3. PLOSKVE IN ZEMLJEVIDI

3. PLOSKVE IN ZEMLJEVIDI

Obroči v molekularnih grafih

• Molekularni grafi [benzenoidni sistemi, fulereni, ...] pogosto obravnavajo posebej obroče (rings) ali lica(faces).

• Npr. na levi vidimo štiri obroče.

Odprta in zaprta škatla

• Odprta škatla ima 5, ztaprta pa 6 lic.

• Grafi ne ločijo med obema. Potrebujemo NOVA ORODJA.

3.2 Topološki pogled na ploskve• n-dimenzionalna mnogoterost je

Hausdorffov prostor s števno bazo, kjer ima vsaka točka odprto okolico, homeomorfno n- dimenzionalni krogli Un = { (x1,..,xn) Rn ; x1

2+...+xn2 < 1 }

ali polkrogli { (x1,..,xn) Un ; xn 0 }.

Ploskve

• Rob mnogoterosti sestavljajo vse točke, ki nimajo okolice, homeomorfne Un .

• Povezano, kompaktno 2-mnogoterost s praznim robom imenujemo ploskev (včasih tudi sklenjena ploskev).

• Ravnina: nekompaktna ploskev

• Zaprt disk: ploskev z robom

Primeri sklenjenih ploskev

• Sg, g 0.

• Pri tem dobimo Sg tako, da na sfero S0 nalepimo g ročk.

Ročka je torus z lunknjo

• Ročka je v bistvu torus z luknjo na površini.

• Torus dobimo tako, da prilepimo ročko na sfero.

• To pa je isto, kot da bi na sfero prilepili cevko (na dveh mestih) .

• Sfera z eno luknjo je disk.

• Sfera z dvema luknjama je cevka.

Ročka

Cevka

Disk

Möbiusov trak

• Möbiusov trak dobimo tako, da zlepimo nasprotni stranici dolega traku, pred tem trak zasukamo, tako da lepimo vzdolž obeh puščic.

• Möbiusov trak je neorientabilna ploskev z eno robno komponento.

Kleinova steklenica

• Kleinovo steklenico dobimo tako, da prilepimo cevko nase. Pri tem še pazimo, da obrnemo smer na enem robu.

• V treh razsežnostih se ne moremo izogniti samopresekanju (zelena elipsa na sliki).

Triangulacija ploskve S

• končna družina zaprtih podmnožic {T1,T2,...,Tk}, ki pokrivajo S in

• družina homeomorfizmov i : Ti' Ti, i=1,..n, kjer je Ti' trikotnik v ravnini.

• Ti Tj je , točka ali stranica za i j

• Slike stranic in oglišč trikotnikov Ti'

imenujemo stranice in oglišča.

Triangulirana ploskev

• Ploskev s triangulacijo imenujemo triangulirana ploskev.

• IZREK (T. Radó,1925) Vsaka ploskev je homeomorfna triangulirani ploskvi.

Poligoni

• Poligon je homeomorfna slika zaprtega enotskega kroga v ravnini, ki ima rob z r oglišči razdeljen na r stranic, r > 0.

• Orientacijo poligona določimo z izbiro smeri obhoda.

• Dva poligona s skupno stranico sta skladno orientirana, če na tej skupni stranici inducirata nasprotni orientaciji.

Celulacija ploskve

• Celulacija ploskve - pri triangulaciji ploskve dovolimo združitev več trikotnikov s skupnimi stranicami v poligone .

• Orientacija celulacije je izbira orientacij vseh poligonov na tak način, da sta poljubna dva poligona s skupno stranico orientirana skladno.

Orientacija celulacije

• Z orientacijo ene celulacije C dane ploskve so določene orientacije vseh njenih subdivizij.

• Obratno, orientacija subdivizije določa orientacijo prvotne celulacije.

• To pomeni, da so z izbiro orientacije ene celulacije določene orientacije vseh celulacij dane ploskve.

Orientabilna ploskev

• Ploskev je orientabilna, če ima orientacijo s celulacijo.

• Orientacija ploskve je izbira orientacije ene celulacije te ploskve.

3.1 Kombinatorni pogled na ploskve

(Topološki) polieder

• F=končna družina paroma disjunktnih poligonov v ravnini.

• Naj bo skupno število stranic sodo. Razdelimo jih na pare in jih označimo s črkami. Dve stranici označimo z isto črko pripadata istemu paru.

• Stranice poljubno usmerimo.• Sedaj identificiramo pare stranic z istimi črkami na

tak način, da se usmeritve stranic ujemajo.• Če je dobljeni topološki prostor povezan: polieder• Polieder je ploskev .

Zgled poliedra 1

• F={abc-1,fdb-1,ecd-1,a-1e-1f-1}

a

bc

f

db

e

cd

a

ef

Zgled poliedra 2

• F={afb-1,chd-1,eij-1,gkl-1,aik-1c-1,blj-1d-1,efgh}

a

bc

f

db

e

cd

a

ef

a

i

k

c

e

fh

b

l

j

d

g

Zgled 3: knjiga s tremi listi

• F={abcd, aefg, aijk}

a

ik

j

a

bd

c

a

eg

f

Shema

• A={a1,a2,...,an} množica simbolov

• AA-1 = {a1,a2,...,an ,a1-1,a2

-1,...,an-1}

• w= x1,x2,...,xd , xd AA-1, w je vrstica.

={w1,w2,...,wp } je shema

• Vrstica določa usmerjen večkotnik (poligon).

• w = abc-1 = =bc-1a = c-1ab

• w -1 = cb-1a-1 = =a-1c b-1 = b-1a -1c

Zgled za vrstico

a

bc

Abstraktni polieder

- shema

• u v : v dobimo iz u na naslednje načine - u ciklično permutiramo - u zapišemo v nasprotnem vrstnem redu - zamenjamo eksponente 1 in –1

’, če imata ekvivalentne vrstice / je abstraktni polieder

Vprašanja

Katere sheme opisujejo

• povezane prostore?

• ploskve (ploskve z robom) ?

• orientabilne ploskve?

Podshema

- shema z množico simbolov A()’ je podshema . in sta trivialni podshemi.’ je odprta, če A(’)A(\ ’)= • Shema je povezana, če nima netrivialnih

odprtih podshem.

Odgovor 1

Katere sheme opisujejo

• povezane prostore?

• Povezane sheme - nimajo netrivialnih odprtih podshem.

Odgovor 2

Kateri sheme opisujejo• ploskve (ploskve z robom) ?

• #(,a) ... število pojavitev simbola a v je ploskev, če je povezana in za vsak

a A() velja #(,a) =2. je ploskev z robom, če je povezana in za

vsak a A() velja #(,a) 2.

Odgovor 3

Katere sheme opisujejo• orientabilne ploskve?• +(,a) ... število pojavitev a v • -(,a) ... število pojavitev a-1 v • Ploskev je orientirana, če za vsak a A()

velja +(,a) = -(,a) .• Ploskev je orientabilna, če obstaja

orientirana ploskev ’ /

Enorazsežna subdivizija

shema,

• A={a1,a2,...,an,x} množica simbolov

• Enorazsežna subdivizija (xyz) : x povsod zamenjamo z yz, x

-1 pa z z -1y

-1

• Inverzna operacija (kompozicija) (yzx) ni vedno izvedljiva.

Dvorazsežna subdivizija

shema,

• x A()

• w = uv • Dvorazsežna subdivizija (uv{ux, x

-1v})

• Inverzna operacija (kompozicija) ({ux, x

-1v} uv)

Ekvivalenca shem

in ’ sta ekvivalnetni, če lahko ’ dobimo iz s končnim zaporedjem eno- in dvorazsežnih subdivizij ter eno- in dvorazsežnih kompozicij.

• Ekvivalentni shemi opisujeta (do homeomorfizma natančno) isti polieder

• Ekvivalenčni razred je abstraktna ploskev.

Graf poliedra

shema

• Množica lic sheme F - vrstice

• Množica povezav E - različni simboli

• Vozlišča V - krajišča povezav

• X() =(V, E) – pripadajoči graf

Eulerjeva karakteristika

• ______ ()= |V| - |E| + |F|

Pri eno- in dvorazsežni subdiviziji ter eno- in dvorazsežni kompoziciji se ohranja

• ()

• orientabilnost, neorientabilnost

Fundamentalni poligon

• Če pri povezanem poliedru zadostikrat združimo po dve vrstici sheme (naredimo

dvorazsežno kompozicijo), dobimo eno samo vrstico (poligon)

• To je fundamentalni poligon (poliedra)

Sfera

Oznaka Shema Orientabilno

S0 aa-1 2 da

Torus (sfera z enim ročajem)


S1 aba-1b-1 0 da

a

b

a-1

b-1

Večkratni torus (sfera z g ročaji)


Sg

a1b1a1-1b1

-1... agbgag

-1bg -1 2-2g da

Projektivna ravnina


N1 aa 1 ne

Kleinova steklenica


N2 aabb 0 ne

b

a

a

b

Neorientabilna ploskev roda q


Nq

a1a1a2a2...

aqaq

2-q ne

Nehomeomorfnost ploskev

• Ploskve S0, S1,..., Sp,.., N1, N2,… so paroma nehomeomorfne.

Preprosta normalizacija

• P in Q neprazna niza simbolov = Paa-1Q shema, ´ = PQ je ekvivalentna shemi • Ko shemo prevedemo na eno samo vrstico

in izvedemo preprosto normalizacijo, kolikorkrat se da, ima shema obliko aa-1 ali pa vsebuje vsaj dva različna simbola.

Prevedba na ročaj

• Naj opisuje orientabilno ploskev.

• v naj nastopata vsaj dva različna simbola v vrstnem redu a…b…a-1…b-1

= PaQbRa-1S b-1T´ = PSRQT aba-1b-1 je ekvivalentna shemi

Prevedba na standardne modele

• Ko na shemi z eno vrstico, ki opisuje orientabilno ploskev, dovoljkrat uporabimo preprosto noramlizacijo in prevedbo na ročaj, dobimo shemo oblike a1b1a1

-1b1-1...

agbgag-1bg

-1

• Podobno prevedemo shemo, ki opisuje neorientabilno ploskev, na obliko a1a1a2a2...aqaq

Klasifikacija sklenjenih ploskev

• Vsaka sklenjena orientabilna ploskev je homeomorfna eni od ploskev Sg, g 0.

• Vsaka sklenjena neorientabilna ploskev je homeomorfna eni od ploskev Nq, q 0.

Razpoznavanje sklenjenih ploskev

• Naj določa sklenjeno ploskev.

• Ugotovimo, ali je orientabilna ali ne

• Izračunamo (); rod izračunamo iz formule () = 2-2g za orientabilne ploskve in () = 2-q za neorientabilne ploskve

Documents

3. PLOSKVE IN ZEMLJEVIDI