Embed Size (px)
DESCRIPTION
Matrices Elementales
Citation preview
Matrices Elementales y Rango
César Barraza
Universidad Nacional de Ingeniería
2015
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 1 / 8
Operaciones Elementales
Se definen tres operaciones elementales sobre las filas (o columnas) de unamatriz que a continuación enunciamos
1 Intercambiar las filas (columnas) i y j
fi � f j
2 Multiplicar una fila (columna) por un escalar k 6= 0
fi → k fi
3 Añadir k-veces la fila (columna) i a la fila (columna) j
f j → f j + k fi
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 2 / 8
Operaciones Elementales
Se definen tres operaciones elementales sobre las filas (o columnas) de unamatriz que a continuación enunciamos
1 Intercambiar las filas (columnas) i y j
fi � f j
2 Multiplicar una fila (columna) por un escalar k 6= 0
fi → k fi
3 Añadir k-veces la fila (columna) i a la fila (columna) j
f j → f j + k fi
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 2 / 8
Operaciones Elementales
Se definen tres operaciones elementales sobre las filas (o columnas) de unamatriz que a continuación enunciamos
1 Intercambiar las filas (columnas) i y j
fi � f j
2 Multiplicar una fila (columna) por un escalar k 6= 0
fi → k fi
3 Añadir k-veces la fila (columna) i a la fila (columna) j
f j → f j + k fi
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 2 / 8
Matrices Elementales
DefiniciónUna matriz E obtenido de la matriz identidad I realizando exactamente unaoperacion elemental por fila es llamada una matriz elemental.
NotaDebemos notar que si E es una matriz obtenida por una operacion elemental por filasobre la matriz identidad Im entonces, para cualquier matriz A de orden m× n, elproducto EA es exactamente la matriz que se obtiene cuando se aplica la mismaoperación elemental por fila sobre A
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 3 / 8
Matrices Elementales
DefiniciónUna matriz E obtenido de la matriz identidad I realizando exactamente unaoperacion elemental por fila es llamada una matriz elemental.
NotaDebemos notar que si E es una matriz obtenida por una operacion elemental por filasobre la matriz identidad Im entonces, para cualquier matriz A de orden m× n, elproducto EA es exactamente la matriz que se obtiene cuando se aplica la mismaoperación elemental por fila sobre A
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 3 / 8
Inversa de una Matriz Elemental
TeoremaUna matriz elemental es invertible y su inversa es tambien una matriz elemental delmismo tipo. Ademas
1 Si E multiplica a una fila por c 6= 0, entonces E−1 multiplica a la misma fila por1c
2 Si E intercambia dos filas, entonces, E−1 los intercambia tambien3 Si E añade a la fila i un múltiplo de la fila j, entonces E−1 resta a la fila i el
mismo multiplo de la fila j
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 4 / 8
Inversa de una Matriz Elemental
TeoremaUna matriz elemental es invertible y su inversa es tambien una matriz elemental delmismo tipo. Ademas
1 Si E multiplica a una fila por c 6= 0, entonces E−1 multiplica a la misma fila por1c
2 Si E intercambia dos filas, entonces, E−1 los intercambia tambien
3 Si E añade a la fila i un múltiplo de la fila j, entonces E−1 resta a la fila i elmismo multiplo de la fila j
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 4 / 8
Inversa de una Matriz Elemental
TeoremaUna matriz elemental es invertible y su inversa es tambien una matriz elemental delmismo tipo. Ademas
1 Si E multiplica a una fila por c 6= 0, entonces E−1 multiplica a la misma fila por1c
2 Si E intercambia dos filas, entonces, E−1 los intercambia tambien3 Si E añade a la fila i un múltiplo de la fila j, entonces E−1 resta a la fila i el
mismo multiplo de la fila j
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 4 / 8
Inversa de una Matriz Elemental
De acuerdo a este teorema tenemos que:
Operación Matriz Operación MatrizElemental Elemental Elemental Elementalfi � f j E f j � fi E−1
fi → c fi E fi → 1c fi E−1
fi → fi + c f j E fi → fi − c f j E−1
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 5 / 8
Foma Escalonada y Escalonada Reducida por Filas
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada por filas si satisface lassiguientes tres propiedades
1 El primer elemento diferente de cero en cada fila es 1, llamado el 1principal o pivote
2 Una fila cuyos elementos son todos ceros, aparecen debajo de todas lasfilas que contienen al menos un elemento diferente de cero
3 Para dos filas sucesivas no nulas el pivote de la fila inferior aparece mas ala derecha
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada reducida por filas si
1 Esta en su forma escalonada por filas2 Cada columna que contiene al pivote tiene sus otros elementos iguales a
cero.
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 6 / 8
Foma Escalonada y Escalonada Reducida por Filas
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada por filas si satisface lassiguientes tres propiedades
1 El primer elemento diferente de cero en cada fila es 1, llamado el 1principal o pivote
2 Una fila cuyos elementos son todos ceros, aparecen debajo de todas lasfilas que contienen al menos un elemento diferente de cero
3 Para dos filas sucesivas no nulas el pivote de la fila inferior aparece mas ala derecha
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada reducida por filas si
1 Esta en su forma escalonada por filas2 Cada columna que contiene al pivote tiene sus otros elementos iguales a
cero.
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 6 / 8
Foma Escalonada y Escalonada Reducida por Filas
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada por filas si satisface lassiguientes tres propiedades
1 El primer elemento diferente de cero en cada fila es 1, llamado el 1principal o pivote
2 Una fila cuyos elementos son todos ceros, aparecen debajo de todas lasfilas que contienen al menos un elemento diferente de cero
3 Para dos filas sucesivas no nulas el pivote de la fila inferior aparece mas ala derecha
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada reducida por filas si
1 Esta en su forma escalonada por filas2 Cada columna que contiene al pivote tiene sus otros elementos iguales a
cero.
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 6 / 8
Foma Escalonada y Escalonada Reducida por Filas
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada por filas si satisface lassiguientes tres propiedades
1 El primer elemento diferente de cero en cada fila es 1, llamado el 1principal o pivote
2 Una fila cuyos elementos son todos ceros, aparecen debajo de todas lasfilas que contienen al menos un elemento diferente de cero
3 Para dos filas sucesivas no nulas el pivote de la fila inferior aparece mas ala derecha
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada reducida por filas si
1 Esta en su forma escalonada por filas2 Cada columna que contiene al pivote tiene sus otros elementos iguales a
cero.
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 6 / 8
Foma Escalonada y Escalonada Reducida por Filas
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada por filas si satisface lassiguientes tres propiedades
1 El primer elemento diferente de cero en cada fila es 1, llamado el 1principal o pivote
2 Una fila cuyos elementos son todos ceros, aparecen debajo de todas lasfilas que contienen al menos un elemento diferente de cero
3 Para dos filas sucesivas no nulas el pivote de la fila inferior aparece mas ala derecha
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada reducida por filas si1 Esta en su forma escalonada por filas
2 Cada columna que contiene al pivote tiene sus otros elementos iguales acero.
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 6 / 8
Foma Escalonada y Escalonada Reducida por Filas
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada por filas si satisface lassiguientes tres propiedades
1 El primer elemento diferente de cero en cada fila es 1, llamado el 1principal o pivote
2 Una fila cuyos elementos son todos ceros, aparecen debajo de todas lasfilas que contienen al menos un elemento diferente de cero
3 Para dos filas sucesivas no nulas el pivote de la fila inferior aparece mas ala derecha
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada reducida por filas si1 Esta en su forma escalonada por filas2 Cada columna que contiene al pivote tiene sus otros elementos iguales a
cero.
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 6 / 8
Inversa de una MatrizMétodo de Gauss Jordan
TeoremaSea A una matriz de orden n× n, entonces A es invertible si y solo si A es el productode matrices elementales.
Método de Gauss JordanPaso 1 Concatenar la matriz A y la matriz identidad del mismo orden[
A... I
]Paso 2 Mediante operaciones elementales llevamos la matriz A a la
forma escalonda reducida, realizando las mismas operacionessobre la matriz identidad[
A... I
]oper. elem
[ERA
... B]
Paso 3 Si la forma escalonda reducida de A (ERA) es la matrizidentidad, entonces B es la matriz inversa de A. De lo contrarioA no posee inversa
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 7 / 8
Inversa de una MatrizMétodo de Gauss Jordan
TeoremaSea A una matriz de orden n× n, entonces A es invertible si y solo si A es el productode matrices elementales.
Método de Gauss JordanPaso 1 Concatenar la matriz A y la matriz identidad del mismo orden[
A... I
]Paso 2 Mediante operaciones elementales llevamos la matriz A a la
forma escalonda reducida, realizando las mismas operacionessobre la matriz identidad[
A... I
]oper. elem
[ERA
... B]
Paso 3 Si la forma escalonda reducida de A (ERA) es la matrizidentidad, entonces B es la matriz inversa de A. De lo contrarioA no posee inversa
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 7 / 8
Rango de una matriz
DefiniciónEl rango de una matriz A de orden m× n es definido como el orden (tamaño)de la submatriz no-singular de A de mas alto orden
El rango de la matriz A se suele denotar como rank (A) o R (A)
TeoremaEl rango de una matriz no cambia si aplicamos cualquiera de las operacioneselementales definidas previamente.
ProposiciónEl rango de una matriz es igual al numero de filas no nulas de su forma escalonadapor filas.
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 8 / 8
Rango de una matriz
DefiniciónEl rango de una matriz A de orden m× n es definido como el orden (tamaño)de la submatriz no-singular de A de mas alto orden
El rango de la matriz A se suele denotar como rank (A) o R (A)
TeoremaEl rango de una matriz no cambia si aplicamos cualquiera de las operacioneselementales definidas previamente.
ProposiciónEl rango de una matriz es igual al numero de filas no nulas de su forma escalonadapor filas.
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 8 / 8
Rango de una matriz
DefiniciónEl rango de una matriz A de orden m× n es definido como el orden (tamaño)de la submatriz no-singular de A de mas alto orden
El rango de la matriz A se suele denotar como rank (A) o R (A)
TeoremaEl rango de una matriz no cambia si aplicamos cualquiera de las operacioneselementales definidas previamente.
ProposiciónEl rango de una matriz es igual al numero de filas no nulas de su forma escalonadapor filas.
César Barraza (Universidad) Rango de una matriz 2015 8 / 8
