ANNO 1988

ARGOMENTO Cinghie, pulegge, critiche flessionali

RIFERIMENTO Volume 2, Capitolo 14; Volume 3, Capitolo 11

Un albero, avente lunghezza pari a 1,1 m, sostenuto da due supporti di estremità, deve azionare, al regime di800 giri/min, una macchina operatrice la cui coppia resistente ha momento uguale a 50 N·m. Il moto è comunicatoall’albero mediante una cinghia avvolta su di una puleggia del diametro di 0,25 m, calettata alla distanza media di0,4 m da uno dei supporti . È inoltre noto che il peso della puleggia suddetta è pari a 80 N e che il tiro della cin-ghia è verticale, con il medesimo verso del peso della puleggia.

Il candidato, fissando opportunamente i dati occorrenti, determini il diametro dell’ albero e, trascurando il pesoproprio dello stesso albero, calcoli la prima velocità critica flessionale, giudicando infine, in relazione al valore ditale velocità, se il sistema ruotante funziona in condizioni di sicurezza.

Calcolo del diametro dell’albero

Supponiamo, in assenza di dati più precisi, chela trasmissione avvenga con una cinghia pianadi cuoio; per il calcolo del momento flettenteagente sull’albero si dovrà tener conto del pe-so della puleggia e della risultante delle ten-sioni nei due rami della cinghia.

Sappiamo che, considerando un coefficientedi attrito di 0,28 e un angolo di avvolgimentodi 4π/5, si ha t � F e T � 2 · F, per cui lo sforzocomplessivo è pari a 3 · F.

La forza periferica è data da:

per cui il carico complessivo in corrispondenza della puleggia sarà:

La reazione del supporto A si calcola con l’equilibrio alla rotazione in B:

e il momento flettente in corrispondenza della puleggia è:

Nella stessa sezione agirà anche un momento torcente

Il diametro dell’albero, quindi, va calcolato per un momento flettente ideale:

Adottando un acciaio Fe 490 UNI 7070 (ora UNI EN 10250), che ha un carico di rottura minimo di490 N/mm2 (Manuale, pag. 370, tab. 24), e per il quale possiamo considerare quindi una tensione ammissibile afatica pari a σam = 60 N/mm2, si calcola il diametro dell’albero:

Si assume un diametro d = 43 mm per tener conto della presenza della cava della linguetta (t1 = 5 mm).

dM

f id=

⋅

⋅=

⋅

⋅≅

32

3 14 60

3 3( )

,

32 328 70038 mm

π σam

M M Mf id f t( )

= + ⋅ = + ⋅ ≅2 20,75 325 820 0,75 50 000 328 72 2 000 N mm⋅

M Mt r

= = ⋅ = ⋅50 N m 50 000 N mm

M Rf a

= ⋅ ≅ ⋅400 325 820 N mm

Q F P= ⋅ + = ⋅ + =3 3 400 80 1280 N

Ra

=⋅

≅1280 700

1100814,5 N

FM

dt= = =

/2

50400

0,125N

1 La riproduzione di questa pagina tramite fotocopia è autorizzata ai soli fini dell’utilizzonell’attività didattica degli alunni delle classi che hanno adottato il testo

Idee per insegnare meccanica, macchine ed energia conPidatella CORSO DI MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA © Zanichelli 2012

DID

ATTICA

SU M

ISUR

AR

isoluzione delle prove d’esam

e

40 cm 70 cm

F

Calcolo della velocità critica flessionale

La velocità critica dell’albero, se si trascura il peso proprio dell’albero come richiesto dal testo, è data dalla re-lazione:

dove f è la freccia dovuta al peso della puleggia.

Sappiamo che nel caso specifico si ha:

e che il momento d’inerzia della sezione è:

Numericamente risulta:

La velocità critica è pertanto:

La velocità normale di funzionamento è di 800 giri/min, che corrisponde a una velocità angolare

che è circa un quinto della prima velocità critica; l’albero lavora quindi in condizioni di assoluta sicurezza.

ωπ

=⋅

≅2

60

n83,8 rad s

ωc

g

f= = ≅

9810

0,0553421 rad s

f =⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅≅

80 40 70

3 1100

2 2

205 000 167 7300,0553 mm

I d= ⋅ = ⋅ ≅π π

64 64434 4 4167 730 mm

fP a b

E I a b=

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ +

2 2

3 ( )

ωc

g

f=

2La riproduzione di questa pagina tramite fotocopia è autorizzata ai soli fini dell’utilizzonell’attività didattica degli alunni delle classi che hanno adottato il testo

Idee per insegnare meccanica, macchine ed energia conPidatella CORSO DI MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA © Zanichelli 2012

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