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3. Trajectoire (suite)
- Calcul de l’abscisse curviligne
- Vecteur normal- Rayon de courbure- Trièdre de Frenet p. 15 à 18
Vecteur tangent et abscisse curviligne
u = OM / MM’
OM / s
Rapprochons les pointsM’ M (ou t’ t)
position
à t M
position à t’ = t + t M’
s
MM’=OM
O x
origine repère
Vecteur tangent et abscisse curviligne (2)
lim u = lim OM / s
= dOM/ds
Sur le graphe cette limite est le vecteur tangent
T = dOM/ds
M
M’
s
MM’=OM
t0 t0T
Abscisse curviligne et vitesse
T = T(s) avec s fonction de t
t s(t) OM(s)
dt
OMd
ds
OMd
sOM
dt
ds
Abscisse curviligne et vitesse
dt
OMdT
dt
ds
)(Mvdt
ds
vitesse instantanée [ norme de v(M) ] = dérivée de l’abscisse curviligne (car norme vecteur T = 1 …)
Calcul de l’abscisse curviligne
Exemple :
x(t) = t
y(t) = 1 + t² t0 = 0 t t1 = 2s
z(t) = (4/3) t3/2 …... M0M1 = 6 m
(en m)
1
0
01 )()()(t
t
dtMvtsts
M0M1 =
Vecteur normal à la trajectoire
3 points de la trajectoire
M M’ et M'' (à t, t+dt, et t – dt)
forment le plan osculateur (P)
(…relatif à M, donc P n’est pas un plan fixe : son inclinaison varie avec t)
plan osculateur et trajectoire
O
(T)
position M2
position M1
Si trajectoire 2D, (P) = plan de la trajectoire
Vecteur normal à la trajectoire (2)
le plan osculateur contient M et M’ donc T
(P) défini par T et N le vecteur normal tel que:
• N T• N dirigé à l’intérieur de la trajectoire
(T, N) = π/2 ou (T, N) = – π/2
Vecteur normal à la trajectoire (3)
+π/2
v(M)
T
N
– π/2
TN
Calcul du vecteur normal
N =+ dT / d (1) (d angle OM’ OM)
-
Plus utile sous la forme
N = (2)
dtTd
dtTd
Calcul du vecteur normal (2)
Cas frequent de trajectoire 2D :
T = Tx i + Ty j supposé connu. or N.T =0
NxTx + NyTy = 0
• N = – Ty i + Tx j angle = +pi/2
• N = Ty i – Tx j angle = -pi/2
Rayon de courbure
• RC = rayon du cercle qui tangente la trajectoire– dans le plan osculateur – au voisinage de M
Rc
M trajectoire
Centre du cercle :
dans prolongement
du vecteur normal
Calcul du rayon de courbure
Dans le plan (P) , au voisinage de M,mouvement équivalent à
un mouvement circulaire de rayon Rc :
• Vitesse linéaire de M = rayon x |vit. angulaire|
• || v(M) || = Rc × || = = ||dT/dt||
• || v(M) || = Rc × || dT/dt ||
dtTd
MvRC
)(
dt
d
Relation vecteur tangent, vecteur normal, et rayon de courbure
A partir de
N = et
On obtient
dtTd
dtTd
dtTd
MvRC
)(
NR
Mv
dt
Td
C
)(
Le rayon de courbure permet de caractériser les trajectoires
• Trajectoire à Rc constant : – en 2D, cercle (Rc = R)
– en 3D ?
hélice, mvt sur sphère
• Rc – cas limite
mvt rectiligne
Trièdre de Frenet
• Troisième vecteur, appelé binormale
B = T N
– angle T,N = + π/2 B (π) , vers le haut – angle T,N = – π/2 B (π) , vers le bas
π : plan osculateur
(M, T, N, B) = trièdre de Frenet
repère local, associé à R0
Programme Matlab (tracé courbe 3D+ rayon de courbure
t=[0:0.1:2];
x=1+t;
y=t.^2;
z=4/3*t.^(3/2);
plot3(x,y,z, 'r-o'); grid; rotate3d on
Rc=(1+2*t).^3./sqrt(4*t+1./t+4);
figure(2)
plot(t,Rc,'b-o');grid
TD2 : exos 4,5,6,7
Calcul du rayon de courbure (3)
• Si vecteur accélération connu
|| v(M) || 3
Rc =
|| v(M) a(M) ||
exemple :
