GRAEVINSKI FAKULTETSVEUILITA U MOSTARUPredmet: MEHANIKA 2Vjebe
br. 4Profesor: doc dr sc Mladen Koul Profesor: doc. dr. sc. Mladen
KoulAsistent: Ante Dolan, mag. ing. gra.1Mostar, 28. listopada
2013.ZADATAK 1.U zadanom poloaju mehanizma odrediti ubrzanje toke
B, ako je kutna brzina tapa OA, a njegovo kutno ubrzanje Jo je
zadano:0e23 c e OA r AB 2r OB 2r 3 njegovo kutno ubrzanje . Jo je
zadano: 0 03 c = e 1OA r, AB 2r, OB 2r 3. = = =2RJEENJE:Poto toka B
istovremeno pripada tapu AB i tapu O B njeno se ubrzanje moe
odrediti na dva Poto toka B istovremeno pripada tapu AB i tapu O1B,
njeno se ubrzanje moe odrediti na dvanaina:A AB A BN BTa a a a ,*=
+ +` 1 1O OB BN BT*a a a .`= +) Pri tome je:A AN ATa a a . = +
Poznate komponente gornjih jednadbisu:2AN 0 AT 0a r , a r , = e =
cdok su nepoznate:12 2O A 2 2 AB BBN AB AB BT AB BNv va AB 2r , a
2r , a .BO 2 3= e = e = c = =31BO 2r 3Gdje u prethodnom izrazu
predstavljaju kutnu brzinu i kutno ubrzanje poluge AB.AB AB, e
cKutnu brzinu poluge AB odrediti emo pomou brzine toke A. Prethodno
je potrebno definirati i j kt b i t k A b i t k B i t t i l b i l
AB pravac i smjer vektora brzine toke A, pravac brzine toke B i
trenutni pol brzina poluge AB.Toka A je toka u kojoj se spajaju dva
kruta tijela, poluge OA i AB. Budui je pravac vektora brzine uvijek
okomit na spojnicu promatrane toke sa polom brzina onda se moe
zakljuiti da jej p j p p j jvektor brzine toke A okomit na polugu
OA, a usmjeren tako da prati vektor kutne brzine poluge OA. Razlog
tomu je jer je nepokretni oslonac O stalni pol brzina za kruto
tijelo OA.Toka B je zajednika toka za kruta tijela AB i O1B Budui
se kruto tijelo O1B oslanja na4Toka B je zajednika toka za kruta
tijela AB i O1B. Budui se kruto tijelo O1B oslanja na nepomini
oslonac on mu je ujedno i stalni pol brzina, tako da je pravac
vektora brzine toke B okomit na polugu O1B.S d k d ti i b i d ij t
k l AB l k j d diti i t t i l b i Sad kad su nam poznati pravci
brzina dvije toke poluge AB, lako je odrediti i trenutni pol brzina
za polugu AB.Trenutni pol brzina dobijemo tako da na pravce brzina
toaka A i B konstruiramo normale i mjesto njihovog sjecita
predstavlja pol brzina krutog tijela kojem pripadaju te dvije toke.
U ovom zadatku to je poluga AB.NAPOMENA: U ovom zadatku se dogodilo
da se pol brzina krutog tijela OApoklapa sa polom NAPOMENA: U ovom
zadatku se dogodilo da se pol brzina krutog tijela OA poklapa sa
polom brzina krutog tijela AB. to nije sluaj uvijek.Ako toku A
promatramo kao dio krutog tijela AB njena brzina je:5A 0v OA =
eKada toku A promatramo kao dio krutog tijela AB njena brzina
je:APA 0v OA ee= = = eA AB ABv AP = e AB 0ABAP OAe= = = eVektor
usmjerimo tako da vrti oko pola brzina u istu stranu kao i vektor
brzine toke A ABeVektorusmjerimo tako da vrti oko pola brzina u
istu stranu kao i vektor brzine toke A. ABSada moemo izraunati
brzinu toke B, kao dio krutog tijela AB, kao umnoak kutne brzine
krutog tijela AB i udaljenosti toke B od toke PAB, kao trenutnog
pola brzina krutog tijela AB. g j j , g p g jBAB AB 0v BP r 3 = e=
e6Pravac vektora smo ve odredili, a usmjeren je tako da oko
trenutnog pola brzina krutog tijela AB vrti u istu stranu kao i
vektor krune brzine krutog tijela AB. Sada se na poznate brzine
toke B moe odrediti kutna brzina krutog tijela O1B Brzina toke B
Sada se na poznate brzine toke B moe odrediti kutna brzina krutog
tijela O1B. Brzina toke B kao sastavnog dijela krutog tijela O1B
je:B v OB = eB 0 0v r 3 e ee = = =1B1 O Bv OB = e1O B1OB 2 2 r 3e =
= = Vektor kutne brzine krutog tijela O1B usmjeren je tako da oko
toke O1, kao stalnog pola brzina t O B ti i t t k i kt b i t k B
tapa O1B, vrti u istu stranu kao i vektor brzine toke B.Sada moemo
pisati da je normalna komponenta ubrzanja toke B u odnosu na pol
O1:112O 20BN 1 O B 0r 3a OB 2 r 34 2e = e = = eN l k b j k B d k Ak
fik i i l b i j7Normalna komponenta ubrzanja toke B u odnosu na
toku A kao fiktivni pol brzina je:A 2 2BN AB 0a AB 2 r = e=
eIzjednaavanjem jednadbi * uz uvoenje svih zamjena koje su
prethodno definirane dobivamo: j j j j j j p1 1O O A ABT BN AN AT
BN BTa a a a a a + = + + + O A U ovoj vektorskoj jednadbi
pojavljuju se dvije nepoznanice, koje se mogu odrediti iz dviju
skalarnih jednadbi dobivenih projekcijom gornje vektorske jednadbe
na osi x i y:1O ABT BT ai a 1O A ABN AT BN BTX: a a a cos30 a
cos60, = +1BN AT BN BTO A ABT AN BN BT: cos cos ,Y: a a a cos60 a
cos30, = + +1O A 2 2BT 0 BT 015a 5 3r , a r2= e = eI i k b i k B
j8Intenzitet ukupne brzine toke B je:( ) ( )1 12 2O O 2B BN BT 0a a
a r 57 = + = eZADATAK 2.Poluga O1A okree se konstantnom kutnom
brzinom oko ose koja prolazi kroz toku O1, a l O B k k k b i k k j
l i k k O1epoluga O2B okree se konstantnom kutnom brzinomoko ose
koja prolazi kroz toku O2.Odrediti brzinu toke C za poloaj
mehanizma prikazan na slici. Zadano je: 2e1 2OA b 3, O B b. =
=9RJEENJE:Sustav se sastoji od etiri kruta tijela: O1A, AC, CB i
O2B.K t tij l O Ai t l i l b i j t k t l d t ki O Kruto tijelo O1A
ima stalni pol brzina na mjestu nepokretnog oslonca, odnosno u toki
O1.Kruto tijelo O2B ima stalni pol brzina na mjestu nepokretnog
oslonca, odnosno u toki O2.Prema tome, brzine toaka A i B moemo
pisati:A 1 1 1B 2 2 2v OA b 3v O B b= e = e= e = eBrzina toke moe
se odrediti na dva naina. Jedan je da je odreujemo u odnosu na toku
B kao fiktivni pol brzina, a drugi da je odreujemo u odnosu na toku
A kao fiktivni pol brzina. Time 10p , g j j pemo dobiti dva izraza
za odreivanje brzine toke C: BC B CAC A Cv v vv v v= += + C A C v v
v = +Izjednaavanjem prethodna dva izraza dobijemo vektorsku
jednadbu oblika:B A B AB C A C v v v v + = + Projekcijom prethodnog
vektorskog izraza na x i y os koordinatnog sustava dobiti emo
intenzitet brzina toke C u odnosu na toke A i B kao fiktivne polove
brzina:B BA 1C A C 1v b 3X v cos30 v v 2 b30 3 e = = = = e11( )C A
C 1B A AB C C C 2 1 1 2cos30 32Y v v sin30 v v b b b = = e + e = e
+ eVektor brzine toke C se dobije kao zbroj vektora brzine toke C u
odnosu na fiktivni pol B i vektora brzine toke B.Intenzitet brzine
toke C odrediti emo na osnovu kosinusnog pouka:2 B 2 BC B C B Cv (v
) (v ) 2 v v cos120 = + 2 2 2 2C 2 1 1 22 2C 1 1 2 2v b 4 b 2 2 b b
( 0,5)v b 4 2= e + e e e = e e e + ePravac vektora brzine toke C
dobiti emo projekcijom jednadbena os x:BC B C v v v = + Bv cos v
cos30 o = B132 bv cos302 e 12c Cv cos v cos30 oC2 2c 1 1 2 2v
cos302cosv b 4 2o = = e e e + eZADATAK 3.tap AB duine l zglobno je
vezan za obod diska polumjera R koji se kotrlja bez klizanja po j
dl i Ak ik l j di di k i b i i b j d di i ravnoj podlozi. Ako u
prikazanome poloaju sredite diska ima brzinu i ubrzanje , odrediti
brzinu i ubrzanje klizaa A.0v0a13RJEENJE:Brzine:0 00 D Dv vv OP = e
e = =0 D DOP R0A D 0vv AP R 2 v 2R= e = = A B Bv cos90 v cos 45 v 0
= = A 0A AB AB ABABv v 2v APAP l= ee= =14Ubrzanja:0 0a aOP0 00 D Da
OPOP R= c c = =O OA O AN AT a a a a = + + Projekcijom na x i y os
imamo:A O AN AT a a a a = + +2O 20AN Dva OAR= e =O0AT D 0Raa OA R
aR= c = =15Sada je ubrzanje toke B:*Projekcijom vektorske jednadbe
* na osi x i y imamo:16
