UNIDAD 3

-FUNCIÓN DELTA DIRAC

Matemáticas V

FUNCION DELTA DIRAC.

Impulso unitario con frecuencia, sobre los sistemas mecánicos actúan fuerzas externas (o fem sobre los circuitos eléctricos) de gran magnitud solo durante un lapso muy breve por ejemplo, en un ala de aeroplano que se encuentre oscilando, puede caer un rayo, se puede dar un golpe brusco a una masa en un resorte con un martillo de bola, o una bola de beisbol (golf o tenis), podría mandarse volando golpeándola violentamente con algún tipo de garrote, como un bate, palo de golf o una raqueta. La función

δ a(t – t0)= { 0 ,0≤t 0−a12a

, t 0−a≤t<t 0+a

0 ,t ≥t 0+a ,

Cuando a> 0, t0>0 se ven en la figura a), y podrían servir como modelo matemático de este tipo de fuerzas. Para los valores pequeños de a ,δ a(t−t 0) es, esencialmente, una función constante de gran magnitud que se encuentra “encendida” sólo durante un lapso muy pequeño alrededor de t 0. El comportamiento de δ (t−t 0)cuando a 0 se muestra en la figura b). Esta función δ a(t−t 0), se llama impulso unitario porque tiene la prioridad de la

integración, ∫0

∞

δa ( t−t 0 )dt=1.

1

1 Zill, Dennis G. (1997). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: International Thompson Editores.

Función delta Dirac. En la practica conviene trabajar con otro tipo de impulso unitario, con una función que aproxima δ a(t – t0), definida con el limite.

δ (t – t0) = lima→0

δ a (t−t 0)

Esta ultima expresión, que por ningún motivo es una función, se puede caracterizar mediante las dos propiedades siguientes:

( i ) δa (t – t0) {∞ ,t=t 00 ,≠ t 0

y (ii)∫0

∞

δ(t – t 0)dt = 1

Impulso unitario δ ( t−t0 ) , se denomina función delta Dirac.

Es posible obtener la transformada de Laplace de la función delta de Dirac con la hipótesis

formal de que L {δ (t−t 0)}=lima→0

L {δ a(t−t 0)}

Teorema: Transformada de la función delta de Dirac.

Para t 0<0 , L {δ(t−t 0)}=e− st 0

DEMOSTRACIÓN: comenzaremos expresando aδa (t−t 0 ) en terminos de la función escalón unitario, de acuerdo con las ecuaciones.

δa ( t−t 0 )=1/2a[u ( t− (t 0−a ) )−u (t−(t 0−a ) )] .

Según la linealidad, la transformada de Laplace de esta expresión es

L {δ a ( t−t0 ) }= 12a

¿

Como esta ecuación tiene la forma indeterminada 0/0 cuando a0, aplicamos la regla de L’Hôpital:

L {δ ( t−t0 )}=lima→0 L {δ a(t−t 0)}=e

−s t 0 lima→0

( esa−e− sa

2 sa)=e

−s t 0

Cuando t 0=0 parece lógico suponer de acuerdo con la ecuación descrita en el teorema, que

L {δ (t ) }=1

Este resultado subraya el hecho de que δ (t) no es el tipo normal de función que tenemos manejando porque de acuerdo con el teorema, esperaríamos queL {( f (t ) }→0 cuando s→∞

Definición de función delta:

δ (t ) es un objeto matematico conocido como la función delta. Es un ejemplo de una distribución o función generalizada. Tiene las siguientes propiedades:

ii) δ (t )=0 si t ≠0.

ii) δ (0 ) noestadefinida

iii) ∫−∞

∞

δ (t ) dt=I

iv) si g(t) es una función continua en (−∞ ,∞ ) , entonses

∫−∞

∞

g ( t ) δ (t ) dt=g(0)

Es posible construir una definición lógicamente rigurosa pero no se hará intuitivamente, se puede pensar en δ (t ) como en una aproximación de un impulso físico de magnitud 1 en el tiempo t=0 por ejemplo podría ser la transferencia rápida de una unidad de carga en el tiempo de carga en el tiempo cero. Se puede demostrar que si a es una constante entonces

v) δ (t−a )=0 si t ≠ a

vi) ∫−∞

∞

δ ( t−a ) dt=1

vii) si g(t) es una función continua en (-∞ ,∞¿ entonces

∫−∞

∞

g (t ) δ ( t−a ) dt=g(a)

2

De estas formulas se obtiene que.

∫−∞

t

δ ( t ) dt={1 si t>0 ,0 si t<0 ,

Entonces, formalmente

∫−∞

t

δ ( t ) dt=H (t )

Y δ (t ) se puede considerar, en cierto sentido, como la derivada de la función Heaviside. Una propiedad agradable de la transformada de Laplace es que se aplica a manera casi tan sencilla a impulsos y distribuciones como a las funciones ordinarias.

No es necesario decir que en los problemas reales que involucran impulsos, debe tenerse cuidado de asegurar que las ecuaciones que se están usando sigan proporcionando modelos exactos en la presencia de valores grandes, pero breves dados por el impulso.

2 Stephen L. Campbell, Richard HabermanIntroducción a las ecuaciones diferenciales con problemas de valor de frontera, 1ra. Ed.

Función Delta Dirac

El producto de la convolución puede usarse para encontrar la respuesta de un sistema dinámico a una fuerza súbita de amplitud larga y duración corta (como golpear una bola de beisbol). Esto puede modelarse mediante la función delta de Dirac. Empezaremos en un plano hipotético, “definiendo” la función delta por una propiedad que se requiere que posea.

La función delta de Dirac y sus propiedades

Comencemos por ampliar los dominios de las funciones f en E a toda la recta real al tomar de valor de f(t) como cero para toda t negativa. Este nuevo conjunto de funciones se denota con E1. Ahora ya podemos dar la definición de un objeto muy extraño al que Dirac llamó función generalizada.

Función delta de Dirac. Supóngase que existe un elemento δ en E1 tal que para toda t 0≥0y toda función f enE1 que es continua en t 0,

∫−∞

∞

δ (t 0−u ) f (u )du=f (t 0 ) (1)

El elemento δ se denomina función delta de Dirac.

En realidad no puede haber mas de una función delta de Dirac. Para verlo, digamos que hay dos funciones δ (t ) y μ ( t ) enE1 que satisfacen la definición (1). Entonces, para cualquier punto t 0 endonde μ(t ) es continua,

∫−∞

∞

δ (t 0−u ) μ (u ) du=μ (t 0 )=∫−∞

∞

δ (v ) μ ( t0−v )dv=δ(t 0)

3

3 Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1084), físico teórico británico, fue premiado (junto con Erwin Schrödinger) con el premio Nobel de física por su trabajo en mecánica cuántica. Ente otros logros, Dirac describió el movimiento de un electrón mediante cuatro ecuaciones diferenciales simultaneas. Con e hallazgo de estados negativos de energía que predijo con este modelo matemático, Dirac planteo la hipótesis de la existencia de positrones, o antipartículas electrónicas, hipótesis que se confirmó mas tarde.

Por tanto, δ=μ porque δ (t )=μ ( t ) en todos los valores t donde δ y µ son continuas.

Ahora supongamos que existe una función delta de Dirac. Es posible que el lector sienta incomodidad con el calculo de una función que podría no existir; no obstante, proseguiremos por este camino.

TEOREMA: Propiedades de la función delta de Dirac. Se tiene

∫−∞

∞

δ (t ) dt=1 , L [δ ] ( s )=1 , L [δ( t−u) ]=e−us

Para comprobar la primera propiedad, sea f(t)=escalón(t), que es la función de Heaviside. De (1) puede establecerse que u=t-u y demostrarse que

paso (t )=∫−∞

∞

δ ( v )escalón ( t−v )dv=∫−∞

∞

δ (v ) escalón (t−v ) dv (3)

¿∫−∞

t

δ ( v )dv [ puesto deescalón (t−v )=0=si v>t ]

Por tanto, ∫−∞

t

δ (v ) dv=1 paratodat>0. Y se demuestra la primera desigualdad de (2).

Para demostrar la segunda propiedad se emplea el teorema de la convolución.

L [δ∗escalón ]=L [δ ] L [escalón ] (4)

Por otro lado de tiene que

L [escalón ]=L[1 ] (5)

Y que (después de declarar u=t−v)

L [δ∗escalón ]=L[∫0

t

δ ( t−u )escalón (u ) du]=L[∫t

0

δ ( v )escalón (t−v )(−dv )] (6)

2 Robert L. Borreli, Courthey S. Coleman. Ecuaciones diferenciales. Ed. OXFORD UNIVERSITY PRESS. Pág. 397

¿ L[∫0

t

δ ( v )escalón (t−v ) dv]=L[∫−∞

∞

δ (v ) escalón (t−v )dv ]¿ L [escalón ]=L [1 ]

Donde se han utilizado δ (v )=0 para v<0 , escalón ( t−v )=0 para v> t , y la identidad (3). Por tanto (4),(5) y (6) se observa que L [δ ]=1.

La función delta se utiliza a menudo para resolver PVI. Supóngase que P ( D )=D2+aD+b para las constantes reales a y b. Entonces, el siguiente resultado da una formula de solución para un PVI:

Teorema: la función delta y problemas de valor inicial. La solución del PVI.

P ( D ) [ y ]=f y (0 )= y ' (0 )=0 (7 )

Donde f está en E1, está dada por

y=∫−∞

∞

G ( t , u ) f (u ) du(8)

Donde para cada u la función Z=G(t ,u) es la solución del PVI

P ( D ) [z ]=δ ( t−u ) , z (0 )=z ' (0 )=0 (9 )

Para ver por qué la formula (8) da la solución del PVI (7) se razona como sigue: si

si g (t )=L−1[ 1P ( s) ], entonces la solución del PVI(7) está dada por

y (t )=∫0

t

g (t−u ) f (u ) du=∫−∞

t

g ( t−u ) f (u ) du

=∫−∞

∞

escalón (t−u ) g (t−u ) f (u ) du(10)

Donde se ha aprovechado que f (u )=0 si u<0 yescalón (t−u )=0 parau> t. Por otra parte, se ve que la transformada G(t,u) del PVI está dada por

L ¿

En consecuencia, por (11) y la fórmula del teorema del corrimiento se observa que.

¿ , u¿=g ( t−u ) escalón (t−u )(12)

Por ultimo de (10) y (12) se tiene la fórmula buscada (8):

y (t )=∫−∞

∞

G ( t ,u ) f (u )du

Por consiguiente, se ha planteado otra forma de encontrar la solución única de un PVI.

¿Existe la solución delta de Dirac?

Por el momento, supóngase queδ (t ) es una función en E1 y veamos a donde nos lleva esto. Digamos que t 0>0 es un punto de continuidad para δ y que δ (t ¿¿0)>0¿. Entonces hay un intervalo 0> t0−T ≤t ≤t 0 en el que δ (t ) es positiva y continua. Consideremos la función f ( t )=escalón (T−t ) escalón (t ) . Entonces, como T−t 0<0 , f (t ¿¿0)=0 ,¿ que por (1) se tiene que

0=f (t¿¿0)=∫−∞

∞

δ (t ¿¿0−u) f (u ) du=∫0

T

δ (t¿¿0−u)du¿¿¿

Donde también se ha utilizado el hecho de que f (u )=0 parau<0 y u>T , al hacer el cambio de variables v=t 0−u se observa por la elección de t 0 y t que

0=∫0

T

δ (t¿¿0−u)du= ∫t 0−T

t 0

δ (v ) dv>0¿

Puesto que hemos supuesto que δ (t ) es positiva para t 0−T ≤ t ≤ . esta contradicción indica que δ (t ¿¿0)¿ no puede ser positiva en ningún punto de la continuidad. De manera similar, δ (t ¿¿0)¿ tampoco puede ser negativa y, por tanto, δ desaparece en todo punto donde es continua. Esto significa que el miembro izquierdo de (1) desaparece para toda t, sin importar qué función f se elijade E1 . Pero esto es absurdo de modo que cualquiera que sea δ (t ), no es una función en E1. Teníamos la sospecha de que a partir de la segunda fórmula de (2) ya que δ no puede ser una función, pues cualquier función en E1 debe tener una transformada que tiende a cero cuando s→+∞.

Desde los tiempos de Dirac, las “funciones” como δ han sido muy importantes en las aplicaciones. En los tratamientos avanzados de las modernas matemáticas aplicadas se

construye una teoría lógicamente rigurosa que incluye objetos, conocidos como distribuciones, funciones generalizadas o función simbólica. Que se comportan como la “función delta”.

Ejercicio 1:

Función de forzamiento impulsiva

Resuelva y '+ y=δ (t−1 ) , y (0)=1

Solución:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados se tiene:

sY (s )− y (0 )+Y ( s)=e−s

Despejando Y(s),

Y (s )= 1s+1

+ e−s

s+1,

De manera que:

y (t )=L−1[ 1s+1 ]+L−1[e−s 1s+1 ]=e−t+e−( t−1 ) H (t−1) (1)

Físicamente, este ejercicio se puede ver como el circuito RC lineal simple de la figura 3.12.1, donde y es la carga en el capacitor del tiempo, y existe una carga inicial de 1 en el capacitor. Para 0≤ t<1, el voltaje e es cero, y el capacitor se esta descargando. En el tiempo t=1, hay un impulso de voltaje, es decir se aplica un voltaje muy alto durante un periodo breve, lo que recarga el capacitor. Después el voltaje es 0 otra vez y el capacitor continúa descargándose.

La grafica de (1) se puede ver en la figura 3.12.2. Esta grafica debe interpretarse como que, en una problema real, y(t) estaría dada por una función como la de la figura 3.12.3.

4

Ejercicio 2:

Una masa unida a un resorte se libera desde el reposo, a un metro por bajo de la posición de equilibrio para el sistema masa-resorte y comienza a vibrar. Después de π segundos, la masa es golpeada por un martillo que ejerce un impulso sobre la masa. El sistema queda descrito por el problema simbólico con valores iniciales.

d2 xd t 2

+9 x=3δ (t−π ) ;x (0 )=1, dxdt

(0 )=0 (I)

Donde x(t) denota el desplazamiento con respecto del equilibrio en el instante t. Determinar x(t).

Solución:

Sea X ( s)=L {x } (s ) . Como

L {x ' ' } (s )=s2 X (s )−s y L {δ (t−π ) } (s )=e−πs

Al calcular la transformada de Laplace de ambos lados de (I) y despejar X(s) tenemos:

s2 X (s )−s+9 X ( s )=3e−πs

X ( s)= s

s2+9+e−πs 3

s2+9

¿ L {cos3 t } ( s)+e− πs L {sin 3t }(s)

Usamos la propiedad de translación para determinar la transformada inversa de Laplace de X(s)

4 Stephen L. Campbell, Richard Haberman. Introduccion a las ecuaciones diferenciales como problemas de valor de frontera. Pág. 288

Fig. 3.12.2Gráfica de (1)

Fig. 3.12.1 Fig. 3.12.3

Translación en t.

Teorema: Suponga que F ( s )=L {f } (s ) existe para s>α ≥0. Si α es una constante positiva, entonces:

L {f (t−a )u (t−a ) } (s )=e−asF (s),

Recíprocamente, una transformada inversa de Laplace de e−as F (s ) esta dada por:

L−1 {e−asF (s)} ( t )=f (t−a )u (t−a )

sí tenemos que:

x (t )=cos3 t+[sin 3( t−π )] u(t−π )

¿ { cos3 t , t<πcos3 t−sin 3 t , π< t

¿ { cos3 t ,t<π

√2cos (3 t+ π4 ) , π> t

La grafica de x(t) aparece en color en la figura 3.12.4. Como comparación, la curva punteada exhibe el desplazamiento de un resorte vibrante sin perturbaciones. Observe que el impulso suma 3 unidades al momento en el instante t=π.

Desplazamiento de un resorte vibrante golpeado por un martillo t=πGrafica 3.12.4

5

Ejercicio 3:

Suponga que tratamos de resolver:

x ' '+x=δ1

Con condiciones iniciales x0=0 , x ' 0=0. Supongamos que buscamos una solución continua. Tomando transformadas de Laplace con L [x ]=L como es usual, obtenemos

s2 L+L=e−s

( s2+1 ) L=e−s

L= e−s

s2+1

x=L−1[ e−s

s2+1 ]Para esta inversa necesitamos el segundo teorema de translación.

Se establece el resultado que es:

x=sin (t−1)u1(t)

La grafica de esta solución se muestra en la figura 3.12.5

5 R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider. Ecuaciones diferenciales con problemas con valores de frontera .Pág. 433

Segundo teorema de translación

Sea f(t) una función que tiene una transformada de Laplace y sea α una constante positiva. Entonces Forma 1: L[ f (t )ua (t )]=e−asL[ f ( t+a )],

Forma 2: L[ f (t−a )ua (t )]=e−asL[ f ( t )],

Fig. 3.12.5

6

Bibliografía

Zill, Dennis G. (1997). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado . México: International Thompson Editores.

Stephen L. Campbell, Richard HabermanIntroducción a las ecuaciones diferenciales con problemas de valor de frontera, 1ra. Ed.McGRAW-HILL, México, 1998

Robert L. Borrelli, Courtney S. ColemanEcuaciones Diferenciales, una perspectiva de modelación, 1a. ed.Oxford university press, México, 2002.

Daniel A. MarcusEcuaciones Diferenciales, 1a. ed.Compañía editorial continental, México, 1993

R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider.Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera, 3a. ed.Pearson Educación, México, 2001

Stephen L. Campbell, Richard HabermanIntroducción a las ecuaciones diferenciales con problemas de valor de frontera, 1ra. Ed.McGRAW-HILL, México, 1998

6 Daniel A. Marcus. Ecuaciones Diferenciales. Pág. 448