Upload
bigbr185
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
1/36
Σαρτήσεις - Όρια
Επααληπτικές Ασκήσεις
www.askisopolis.gr
Στέλιος Μιαήλογλο Δημήτρης Πατσιμάς
Εάγγελος Τόλης
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
2/36
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
3/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
1
Επαναληπτικές Ασκήσεις στις
Συναρτήσεις και τα Όρια
1. Δίνεται η συνάρτηση f x x x x, x .
α) Να αποδείξετε ότιx x
x xlim lim 0
x x
β) Να υπολογίσετε τα όρια:
i. xlim f x
ii. x1
lim lnf x
iii. x1
lim f xf x
γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,2
.
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0x 0,2
τέτοιο, ώστε 0 0 0x x x .
2. Έστω συνάρτηση f με σύνολο τιμών το ,για την οποία ισχύει ότι f xe f x x γιακάθε x .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να αποδείξετε ότι 1 xf x e x .γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική
παράσταση της 1f .δ) Να υπολογίσετε τα όρια:
i. 1 2xlim f x 1 x
ii. 1 x x
xlim ln f x x ln 2 5
ε) Να υπολογίσετε το όριο
2
f xx 1
f xlim
x e , αν είναι γνωστό ότι
x 1limf x 0
.
3. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει ότι 3 3f x f x x 2x 2 για κάθε x . Να αποδείξετε ότι:
α) Η f αντιστρέφεται.
β) Η εξίσωση υπάρχει μοναδικός 0,1 τέτοιος, ώστε f 0 .γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω
από τη γραφική παράσταση της 1f .
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0,1 τέτοιο, ώστε
10
10 102f f 10 f 10 .
ε) Να υπολογίσετε το όριο:
x x
x xx
f 2 f 3lim
f 3 f 4
.
στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το .
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
4/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
2
4. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 1 x , x .α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2
2 2x 1 x 1 x 1 x 10 3 έχει
μοναδική ρίζα.
δ) Να δείξετε ότι υπάρχει 0x 1,2 τέτοιο, ώστε 2
0 0f x x 2 .
5. Δίνεται συνάρτηση f : 0, με την ιδιότητα x
f x f y f y
, για κάθε
x, y 0 . Έστω ότι η εξίσωση f (x) 0 έχει μοναδική ρίζα.α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
β) Να αποδείξετε ότι
1
1
1
f f
f
για κάθε κ, λ .
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3
x x 2x 2f e f 2 f f 3
2
.
δ) Έστω ότι επιπλέον για τη συνάρτηση f ισχύει η σχέση f x ln y f y ln x γιακάθε x, y 0 .
i. Να αποδείξετε ότι f x ln x .ii. Να υπολογίσετε τα όρια:
2x 0f x 1
limf x ln x 2
και 2
xlim 2f x 1 f x x 1
6. Δίνεται η συνάρτηση xf x e x, x .α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός 0x τέτοιος ώστε 0x
0e x , .γ) Να υπολογίσετε τα όρια:
i.
x
xx
f x x 2lim
f x x 3
ii.
x x3
x 1
f x e f x elim
x 1
δ) Να λύσετε την ανίσωση 2 4 3f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 .
7. Δίνεται συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύει ότι
f x x
e f x xe ln x x για κάθε x 0 .
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, .
β) Να δείξετε ότι f x ln x x .
γ) Να δείξετε ότι
ln
1
για κάθε 0 .
δ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω
από τη γραφική παράσταση της 1f .
ε) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός 0x για τον οποίο ισχύει
0 0ln x x , .
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
5/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
3
8. Δίνεται η συνάρτηση f x x 1 1 .α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και 1f .
γ) Σε ένα πρόχειρο σχήμα να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και 1f .
δ) Να υπολογίσετε το όριο
23
2x 26
f x f x 1 1lim
f x 1 1
.
ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 2 4 3f x 1 x x x x έχει τουλάχιστον μια ρίζα
στο διάστημα 0,1 .
9. Δίνεται η συνάρτηση f x x 1 x .α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.
δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0 ισχύει: 1 1 .
ε) Να υπολογίσετε το όριο xlim f x 1 f x
.
10.Δίνεται συνάρτηση f : 0, συνεχής στο 0x 0 για την οποία ισχύει ότι
f x y f x f y για κάθε x, y .
α) Να δείξετε ότι 1
f xf x
, x .
β) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο .
γ) Αν η f είναι 1-1, να λύσετε την εξίσωση
1821f x f x
f 2 f 2x .
Έστω ότι για την f επιπλέον ισχύει ότι ( )
( )
x
y
f x e
f ye= για κάθε x,y ∈ .
δ) Να δείξετε ότι xf x e .
ε) Να υπολογίσετε το όριο
xf 4x f x
limf 3x f 2x
.
11.Δίνεται η συνάρτηση x
x
ef x
e 1
.
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της.γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.
δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει το 1 11
f f 2
.
ε) Έστω g x 1 lnx .
i. Να ορίσετε τη συνάρτηση 1f g x και να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία.
ii. Αν 1 e 1 , να αποδείξετε ότι:
1 ln ln
1 ln 1 ln 1
.
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
6/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
4
12. Έστω συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι x 0lim 2f x f x 0
.
α) Να δείξετε ότι x 0limf x 0
.
Έστω ότι ( ) ( ) 32f x f x x x+ − = + για κάθε x ∈ .
β) Να δείξετε ότι
3f x x x .
γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να λύσετε την ανίσωση 1 1f f x 1 .
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xf x e έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα.ε) Να υπολογίσετε τα όρια:
i. x1
lim f xf x
ii.
1
x 2
f x 1lim
x 2
13.Δίνεται η συνάρτηση x 2
f xx 1
, 2 .
α) Να βρείτε τη τιμή του για την οποία f f x x για κάθε x 1 .β) Έστω 1 .i. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.ii. Nα βρείτε το σύνολο τιμών της f.iii. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
iv. Να λύσετε την εξίσωση f f f f f x f f x x 4 .
14. Έστω συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι: f x y f x f y για κάθεx, y .
α) Να αποδείξετε ότι f 0 0 .β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.
γ) Αν η f είναι συνεχής στο 0x 0 , να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο .
Έστω ότι η εξίσωση ( )f x 0= έχει μοναδική ρίζα.
δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
ε) Αν f 1 0 να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
στ) Να λύσετε την ανίσωση x x x xf 3 f 2 4 f 4 f 5 .
15.Δίνεται η συνάρτηση f x ln x x 1, x 0 .α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να λύσετε τις ανισώσεις:i. f x 0
ii. ln x x e 1 iii. ln f x f x e 1
γ) Δίνεται συνάρτηση g : 0, για την οποία ισχύει ότι g xg x e 1 f x για
κάθε x 0 . Να δείξετε ότι g x ln x, x 0
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 1,e τέτοιο, ώστε 2g 2 .
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
7/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
5
16.Δίνεται η συνάρτηση f x x 2 x 1 x 2 x 1 .
α) Να αποδείξετε ότι 2, 1 x 2
f x2 x 1, x 2
.
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
δ) Να υπολογίσετε το όριο
x 2
f f x 2lim
x 2
.
ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0x 2,5 τέτοιο, ώστε:
3 2 30 0 0 0 0f x f x 3f x x x
17.Δίνεται συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι f x f xe e 2x για κάθε x και f 0 0 .
α) Να δείξετε ότι 2f x ln x 1 x , x .β) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή.γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
18.Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο 1, για την οποία ισχύει ότι
2 2 2 2x f x 1 x ln x 2xf x για κάθε x 0 και e 1
f ee
.
α) Να δείξετε ότι 1
f x ln x , x 1x
.
β) Να βρείτε στο 1, το πλήθος των ριζών της εξίσωσης xln x 1 0 .
γ) Να λύσετε την ανίσωση 21
ln ln x e 2ln x
, x 1 .
δ) Να δείξετε ότι e
για κάθε ,
με .
ε) Να υπολογίσετε το όριο
2
2
x e
x ln x xf x 2x 1lim
ln x 2
.
19.Δίνεται η συνάρτηση x xf x 2 3 1 ,x .α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο .
β) Να λύσετε την εξίσωση2 2
x 3x 2x 4 2x 4 x 3 x2 2 3 3 γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) , 0 .
ε) Να υπολογίσετε το όριο
xf x
limf x 1
.
20. Δίνεται συνάρτηση f : για την οποία ισχύει 2 2f x x 2xf x για κάθεx .
α) Να αποδείξετε ότι
x 0
f xlim 1
x .
β) Να υπολογίσετε το όριο 2x 0
f xlimx x
.
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
8/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
6
γ) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο .
i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h x f x x διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα
από τα διαστήματα ,0 και 0, .ii. Να βρείτε όλους τους δυνατούς τύπους της .
21. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο 0,1 για την οποία ισχύουν οι
σχέσεις:
x 0
f x 5lim 4
x
και
3 22 x 1 10 x 1 x 1 f x 8x 14x 6 για
κάθε x 0,1 .
α) Να υπολογίσετε τα όρια x 0lim f x
και
x 1lim f x
.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης h x f x ln x 4 , x 0,1 .
γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x 4g x e τέμνει την
y x σε ένα μόνο σημείο με τετμημένη 0x 0,1 .
δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f x4xe e στο διάστημα 0,1 για κάθε .
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
9/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
7
1. Δίνεται η συνάρτηση ( ) f x x x x, x= + ηµ − συν ∈ .
α) Να αποδείξετε ότιx x
x xlim lim 0
x x→+∞ →+∞
ηµ συν= =
β) Να υπολογίσετε τα όρια:
i. ( )xlim f x→+∞ ii. ( )x1
lim ln f x→+∞ iii. ( ) ( )x1
lim f x f x→+∞ ηµ
γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,2
π
.
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0x 0,2
π ∈
τέτοιο, ώστε 0 0 0x x x+ ηµ = συν
Λύση
α) Για κάθε x 0 έχουμε:xx 1 1
x x x x
1 x 1
x x x
Είναιx x
1 1lim 0 lim
x x
, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής είναι καιx
xlim 0
x .
Όμοια καιx
xlim 0
x
.
β) i. x x
x xlim f x lim x 1
x x
ii. Θέτουμε 1
uf x
, τότε x x1
lim u lim 0f x
. Επειδή xlim f x
είναι f x 0
κοντά στο 0x , οπότε: x 1lim ln f x u 0lim ln u .
iii. x u 0 u 01 1 u
lim f x lim u lim 1f x u u
γ) Έστω 1 2x ,x 0,2
με 1 2x x (1), τότε: 1 2x x (2) ,
1 2 1 2x x x x (3) και με πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2), (3)
έχουμε: 1 1 1 2 2 2x x x x x x 1 2f x f x άρα η f είναι γνησίως
αύξουσα στο 0, 2
.
δ) 0 0 0 0 0 0 0x x x x x x 0 f x 0
Είναι f 0 1 0 , f 1 02 2
, δηλαδή f 0 f 02
και επειδή η f είναι συνεχής
στο 0,2
, λόγω του θεωρήματος Bolzano, υπάρχει 0x 0,2
τέτοιο, ώστε
0f x 0 0 0 0x x x . Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,2
το 0x
είναι μοναδικό.
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
10/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
8
2. Έστω συνάρτηση f με σύνολο τιμών το ,για την οποία ισχύει ότι ( ) ( )
f xe f x x+ = για
κάθε x ∈ .α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να αποδείξετε ότι ( )1 xf x e x− = + .γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική
παράσταση της 1f − .
δ) Να υπολογίσετε τα όρια:
i. ( )1 2xlim f x 1 x−→+∞
+ −
ii. ( )( ) ( )1 x xxlim ln f x x ln 2 5−→+∞
− − +
ε) Να υπολογίσετε το όριο( )
( )
2
f xx 1
f xlim
x e→ −, αν είναι γνωστό ότι ( )
x 1limf x 0
→= .
Λύση
α) Έστω ότι υπάρχουν 1 2x ,x
με 1 2x x τέτοια, ώστε 1 2f x f x (1),τότε:
1 2f x f xe e (2) και με πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2) έχουμε:
1 2f x f x1 2 1 2f x e f x e x x που είναι άτοπο. Άρα 1 2f x f x και η f είναιγνησίως αύξουσα στο .
β) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1-1 οπότε αντιστρέφεται.
Θέτουμε f x y , τότε η σχέση f xe f x x γίνεται:
y 1 ye y x f y e y, y , άρα 1 xf x e x, x ,
γ) Επειδή οι γραφικές παραστάσεις των f και 1f είναι συμμετρικές ως προς την y x , η f C
βρίσκεται κάτω από την 1f C όταν βρίσκεται κάτω από την y x .
f x xf x x e e οπότε και f x xf x e x e x x x xe e 0 ισχύει.
δ) i. Θέτουμε2x 1 x u
Είναι 2 2
2
2x x x
x 1 x x 1 xlim u lim x 1 x lim
x 1 x
2
x
xlim
21 x x
2 2
1lim 0
1 1x 1 x x 1 1
x x
, οπότε
1 2xlim f x 1 x
1 u
u 0 u 0limf u lim e u 1
,
ii. 1xlim ln f x x
x xln 2 5
x
x x
eu
x 2 5
x xx x u 0 u 0
elim ln lim ln u
2 5
αφούx x
x x xx x
x
e elim lim
2 525 15
x
xx
e 1lim 0
5 21
5
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
11/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
9
ε)
2 2f (x) y
1 yf xx 1 x 1 y 0 y 0
f x ylim lim
f y ex e
2
yy 0
ylim
e yy e
2
y 0
ylim
y0
3. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει ότι
( ) ( )3 3f x f x x 2x 2+ = + − για κάθε x ∈ . Να αποδείξετε ότι:α) Η f αντιστρέφεται.
β) Η εξίσωση υπάρχει μοναδικός ( )0,1ρ∈ τέτοιος, ώστε ( )f 0ρ = .γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω
από τη γραφική παράσταση της 1f − .
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ( )0,1ξ∈ τέτοιο, ώστε
( ) ( ) ( )10
10 102f f 10 f 10− −ξ = + .
ε) Να υπολογίσετε το όριο:
( ) ( )
( ) ( )
x x
x xx
f 2 f 3
limf 3 f 4→−∞
+ −
.
στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το .
Λύση
α) Έστω 1 2x ,x με 1 2x x , τότε 1 22x 2x και3 3
1 2x x , οπότε και
3 3 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2x 2x x 2x x 2x 2 x 2x 2 f x f x f x f x (1)
Έστω 3g x x x, x .
Έστω 1 2x ,x με 1 2x x , τότε3 3
1 2x x και 3 3
1 1 2 2 1 2x x x x g x g x g 1 .
g
1 2 1 21 g f x g f x f x f x f f 1 1 1
1 και αντιστρέφεται.
β) Για x 0 είναι 3 2f 0 f 0 2 f 0 f 0 1 2 και επειδή 2f 0 1 0 , είναι
f 0 0 .
Για x 1 είναι 3 2f 1 f 1 1 f 1 f 1 1 1 και επειδή 2f 1 1 0 , είναι
f 1 0 .
Επειδή f 0 f 1 0 και η f είναι συνεχής στο 0,1 , λόγω του θεωρήματος Bolzano,
υπάρχει 0,1
τέτοιος, ώστε f 0
. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα το ρ είναιμοναδικό.
γ) Επειδή οι γραφικές παραστάσεις των f και 1f είναι συμμετρικές ως προς την y x , η f C
βρίσκεται πάνω από την 1f C όταν βρίσκεται πάνω από την y x . Δηλαδή:
1 3 3f x f x f x x f x x άρα και 3 3f x f x x x 3x 32x 2 x x x 2 ,
δ) Η f είναι γνησίως αύξουσα άρα:: 10f 0 f 10 f 1 , 10
10f 0 f 10 f 1 και
10 10
10 10 10 1012f 0 f 10 f 10 2f 1 f 0 f 10 f 10 f 12
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
12/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
10
Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει 0,1 : 1 1
f f f 0,012 e
και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, το ξ είναι μοναδικό.
ε) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει ότι 0 f 1 f 2 f 3 f 4 , οπότε:
x
x
x x
x x xx xx
f 3f 2 1
f 2f 2 f 3lim lim
f 3 f 4 f 4f 3 1
f 3
x
x
xx
f 31
f 2f 2lim
f 3 f 4
1 f 3
γιατί
f 20 f 2 f 3 1
f 3 άρα
x
x
f 2lim
f 3
,
f 31
f 2 και
x
x
f 3lim 0
f 2
,
x
x
f 4 f 41 lim 0
f 3 f 3
.
στ) Επειδή f x x για κάθε x 2 , είναι f x x για κάθε x 2 , άρα
1 1f x x 0 0
x f x
και από Κ.Π. είναι x
1lim 0
f x , άρα
x
lim f x
.
Όμοια xlim f x
, οπότε η f έχει σύνολο τιμών το .
4. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x x 1 x= + − , x ∈ .α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )2
2 2x 1 x 1 x 1 x 10 3+ − + − + + = − έχει
μοναδική ρίζα.
δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ( )0x 1,2∈ τέτοιο, ώστε ( )2
0 0f x x 2= − .
Λύση
α) 2
2 2 11 2 1 1 2 2
x 1f x f x x 1 x x 1 x
2
2x 1 1 22 2
1 1
x xx 1 x 1
1 2 1 21 2 1 22 2
1 1
x x x xf x f x x x
x 1 x 1
1 21 2
2 2
1 2
x xx x 1
x 1 x 1
,
2 2
1 2 1 2
1 2 2 21 2
x x x 1 x 1x x
x 1 x 1
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
13/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
11
Είναι2 2x 1 x x 2 2 2x 1 x x 1 x x 1 0 , άρα
2
1 1x x 1 0 ,2
2 2x x 1 0 και επειδή 1 2x x 0 είναι
1 2 1 2f x f x 0 f x f x f 2 .
β) Είναι xlim f x
2x
1lim x 1 1
x
και
2
x x
xlim f x lim
21 x
2 x
2
1lim 0
1x 1 xx 1 1
x
.
Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο έχει σύνολο τιμών το
f A 0, .
γ) 2
2 2 2x 1 x 1 x 1 x 10 3 f x 1 f x 10 3
1 1
f f x f 3 f x 3
.
Επειδή το 3 ανήκει στο σύνολο τιμών της f και η f είναι γνησίως φθίνουσα, η εξίσωση
f x 3 έχει μοναδική ρίζα.
δ) Έστω 2g x f x x 2, x 1,2 .
Είναι g 1 f 1 1 2 2 1 1 2 0 , g 2 f 2 4 2 5 2 2 5 4 0
δηλαδή g 1 g 2 0 και επειδή η g είναι συνεχής στο 1,2 ως άθροισμα συνεχών
συναρτήσεων, λόγω του θεωρήματος Bolzano, υπάρχει 0x 1,2 τέτοιο, ώστε
0g x 0 2
0 0f x x 2 .
5. Δίνεται συνάρτηση ( ) f : 0,+∞ → με την ιδιότητα ( ) ( )x
f x f y f y
− =
, για κάθε
x,y 0> . Έστω ότι η εξίσωση f(x) 0= έχει μοναδική ρίζα.α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
β) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )
( )
1
1
1
f f
f
−−
−
κ κ − λ =
λγια κάθε κ, λ ∈ .
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) ( )3
x x 2x 2f e f 2 f f 3
2
− + ++ = +
.
δ) Έστω ότι επιπλέον για τη συνάρτηση f ισχύει η σχέση ( ) ( )f x lny f y ln x+ = + γιακάθε x,y 0> .
i. Να αποδείξετε ότι ( )f x lnx= .ii. Να υπολογίσετε τα όρια:
( )
( )2
x 0
f x 1lim
f x lnx 2+→
+
− +και ( ) ( )
( )
2
x
lim 2f x 1 f x x 1→+∞
+ − + +
Λύση
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
14/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
12
α) Η σχέση: x
f x f y f y
1 για x y 1 γίνεται:
f 1 f 1 f 1 f 1 0 . Οπότε η x 1 είναι η μοναδική ρίζα της f.
Έστω 1 2x ,x 0 με 1 2f x f x . Η σχέση 1 για 1x x και 2y x , γίνεται:
1 1 11 2 1 22 2 2
x x xf x f x f f 0 1 x x
x x x
, οπότε η f είναι 1 1 , οπότε
αντιστρέφεται.
β) Έστω f x κ και f y λ , τότε 1x f κ και 1y f λ .
Είναι x
f x f y f y
, άρα:
1
1 1 1 1
1
f κ x xf f x f y f f f κ λ f κ λ
y y f λ
.
γ) Πρέπει xe 0 που ισχύει και3
x 2x 20
2
(1)
3 3
x xx 2x 2 x 2x 2f e f 2 f f 3 f e f 3 f f 22 2
3
x x1 1
x 2x 2e e2f f 3 3 3
3x 2x 2
2 3
x 32e x 2x 2 0
Έστω x 3g x 2e x 2x 2, x . Εύκολα αποδεικνύεται ότι η g είναι γνησίως
φθίνουσα στο . Επιπλέον είναι g 0 0 , οπότε η x 0 είναι η μοναδική ρίζα της
g x 0 και επειδή επαληθεύει την (1) είναι η λύση της εξίσωσης.
δ) i. x x
f x ln y f y ln x f x f y ln x ln y f lny y
και θέτοντας
xu 0
y προκύπτει f u ln u, u 0 άρα και f x ln x, x 0 .
ii.
ln x u
2 2u u ux 0f x 1 u 1 ulim lim lim
f x ln x 2 u u 2
2u0 και
2
2 2
2x x x
x 1lim 2f x 1 f x x 1 lim 2ln x 1 ln x x 1 lim ln
x x 1
Είναι
2 2 2
2 2 2x x x
x 1 x 2x 1 xlim lim lim 1
x x 1 x x 1 x
, άρα θέτοντας
2
2
x 1u
x x 1
έχουμε:
2
2x u 1
x 1lim ln limln u 0
x x 1
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
15/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
13
6. Δίνεται η συνάρτηση ( ) xf x e x, x= + ∈ .α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός 0x ∈ τέτοιος ώστε 0x
0e x ,= α − α ∈ .
γ) Να υπολογίσετε τα όρια:
i. ( )( )
x
xx
f x x 2limf x x 3→+∞
− +− +
ii. ( ) ( )x x3
x 1
f x e f x elimx 1→
− − −−
δ) Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ) ( ) ( )2 4 3f x 1 f x 1 f x 1 f x 1− + − > − + − .
Λύση
α) Έστω 1 2x ,x με 1 2x x , τότε 1 2x x
e e και 1 2x x1 2e x e x 1 2f x f x
f 1 .
β) 0 0x x0 0 0e x e x f x .
Είναι xx xlim f x lim e x και xx xlim f x lim e x .Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο έχει σύνολο τιμών το f A .
Επειδή , υπάρχει μοναδικός 0x τέτοιος ώστε 0x
0 0f x e x .
γ) i.
x x
xx x
f x x 2 e xlim lim
f x x 3
x x
x
2
e x
x
x
x
x xxx
2e 1
elim
3 e3 1
3
x
x
xx
21e e
lim 03 e
13
ii. x x x3
x 1 x 1
f x e f x e elim lim
x 1
xx e x3 e xx e 3
x 1
x xlim
x 1 x 1
Θέτουμε 6 x u , τότε 23 x u , 3x u και 6x u , οπότε:
22 336
x 1 u 1 u 1
u u 1x x u ulim lim lim
x 1 u 1
u 1 5 4 3 2
1
6u u u u u 1
δ) Είναι 2 2x 1 x 1 x x x x 1 και 4 3 4 3 3x 1 x 1 x x x x 1 Αν x 0 ή x 1 είναι
f
2 2 2x x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 f x 1 f x 1 1
(1) και
f
3 4 3 4 3 4 3x x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 f x 1 f x 1 1
(2)
2 4 31 2 f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 .
Όμοια αν 0 x 1 προκύπτει
2 4 3f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 .
Άρα 2 4 3f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 x 0 ή x 1 .
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
16/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
14
7. Δίνεται συνάρτηση ( ) f : 0,+∞ → για την οποία ισχύει ότι( ) ( )
f x xe f x xe ln x x+ = + + για κάθε x 0> .
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0,+∞ .
β) Να δείξετε ότι ( )f x lnx x= + .
γ) Να δείξετε ότι
ln
1
αβ <
β − αγια κάθε 0 < α < β .
δ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω
από τη γραφική παράσταση της 1f − .
ε) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός 0x για τον οποίο ισχύει
0 0
lnx x ,= α − α∈ .
Λύση
α) Έστω 1 2x ,x 0 με 1 2x x (1), τότε1 2x x
e e και1 2x x
1 2x e x e (2) , 1 2ln x ln x (3),οπότε από (1) +(2) +(3) έχουμε: 1 21 2 f x f xx x1 1 1 2 2 2 1 2x e ln x x x e ln x x e f x e f x (4).
Έστω xg x e x, x . Εύκολα αποδεικνύεται ότι g 1 , οπότε από τη (4) έχουμε:
g
1 2 1 2g f x g f x f x f x f 0, 1
1 .
β) f x f xx ln x xe f x xe ln x x e f x e e ln x x
g1 1
f x ln x xe f x e ln x x g f x g ln x x f x ln x x
.
γ) ln
1 ln ln ln ln f f
που ισχύει αφού
0 και f 0,1
δ) Επειδή οι γραφικές παραστάσεις των f και 1f είναι συμμετρικές ως προς την y x , η f C
βρίσκεται πάνω από την 1f C όταν βρίσκεται πάνω από την y x . Δηλαδή:
1f x f x f x x ln x x x ln x 0 x 1 .
ε) 0 0 0 0 0ln x x ln x x f x .Είναι
x 0 x 0lim f x lim ln x x
και
x xlim f x lim ln x x
.
Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο A 0, έχει σύνολο τιμών το
f A , . Επειδή υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός 0x για τον
οποίο ισχύει 0f x 0 0ln x x .
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
17/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
15
8. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x 1 1= − + .α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και 1f − .
γ) Σε ένα πρόχειρο σχήμα να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και 1f − .
δ) Να υπολογίσετε το όριο ( ) ( )( )( )( )
23
2x 26
f x f x 1 1lim
f x 1 1→
− − −− −
.
ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )( )4 2 4 3
f x 1 x x x x− = + − − έχει τουλάχιστον μια ρίζα
στο διάστημα ( )0,1 .
Λύση
α) Για να ορίζεται η f πρέπει x 1 0 x 1 , άρα f A 1, .
Έστω 1 2x ,x 1, με 1 2x x , τότε 1 2 1 2x 1 x 1 x 1 x 1
1 2x 1 1 x 1 1 1 2f x f x f 1, f 1 1 1 και αντιστρέφεται.Θέτουμε f x y x 1 1 y x 1 y 1
Πρέπει y 1 0 y 1 , τότε 2 2 2 2x 1 y 1 x 1 y 2y 1 x y 2y 2
άρα 1 2f y y 2y 2, y 1 , οπότε και 1 2f x x 2x 2, x 1 .
β) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα τα κοινά σημεία των 1f f C ,C βρίσκονται στην y x ,
επομένως:
1 1 2 2f x f x f x x x 2x 2 x x 3x 2 0 x 1 ή x 2
Κοινά σημεία τα 1,1 και 2,2 .
γ)
δ)
23
2x 2 x 26
x 1 1 x 1 1f x f x 1 1lim lim
f x 1 1
1 2
3 1
x 1 1
1 2
6 1
3
6x 2
x 1 x 1lim
x 1 1
Θέτουμε 6 x 1 u , τότε 23 x 1 u και 3x 1 u . Όταν x 2 τότε u 1 και το
όριο γίνεται: 23 2
u 1 u 1
u u 1u ulim lim
u 1
u 1 1
ε) 2 2 4 3f x 1 x x x x x 1 1 1
22 4 3x x x x
2x 22x 1 x 4 3 4 3x x x x x 3x 1 0
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
18/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
16
Με σχήμα Horner η εξίσωση γράφεται 3 2x 1 x 2x 2x 1 0 x 1 απορρίπτεται
ή 3 2x 2x 2x 1 0 Έστω 3 2g x x 2x 2x 1, x 0,1 .
Είναι g 0 1 0, g 1 4 0 δηλαδή g 0 g 1 0 και επειδή η g είναι συνεχής στο
0,1 , λόγω του θεωρήματος Bolzano, η εξίσωση g x 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο
0,1 .
9. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x 1 x= + + .α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.
δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0 ≤ α < β ισχύει: 1 1β + − β < α + − α .
ε) Να υπολογίσετε το όριο
( ) ( )( )xlim f x 1 f x→+ ∞ + −
.
Λύση
α) Για να ορίζεται η f πρέπει:x 0 x 0
x 0x 1 0 x 1
, άρα f A 0, .
Έστω 1 2x ,x 0, με 1 2x x , τότε 1 2x x , 1 2 1 2x 1 x 1 x 1 x 1
οπότε και1 1 2 2
x 1 x x 1 x 1 2f x f x f 0, 1 .
β) Είναι x xlim f x lim x 1 x
και f 0 1 .
Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο 0, έχει σύνολο τιμών το
x
f A f 0 , lim f x 1,
.
γ) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα είναι και 1-1 και αντιστρέφεται.
Θέτουμε f x y x 1 x y και επειδή y 1 έχουμε:
2
2 2x 1 x y x 1 2 x 1 x x 2 x x 1 y 2x 1
2 22 2 2 4 2
4 x x y 2x 1 4x 4x y 2y 2x 1 2x 1
2
4x 4x
4 2 2 2
y 4y x 2y 4x 4x
4 22 4 2
2
y 2y 1
1 4y x y 2y 1 x 4y
άρα 4 2
1
2
y 2y 1f y , y 1
4y
, οπότε και 4 2
1
2
x 2x 1f x , x 1
4x
.
δ) 1 1
1 1 1 11 1
1
1
1 1 1
1 1 1
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
19/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
17
1 1f f
f f
ισχύει αφού 0 και f 0,1 .
ε) x xlim f x 1 f x lim x 2 x 1
x 1 x
x x x
x 2 x x 2 x xlim f x 1 f x lim lim
x 2 x
2 x
2x 1 x
x
x x x
2 2lim f x 1 f x lim lim 0
2 2x 1 x x 1 1
x x
.
10.Δίνεται συνάρτηση ( )f : 0,→ +∞ συνεχής στο 0x 0= για την οποία ισχύει ότι
( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = για κάθε x,y ∈ .
α) Να δείξετε ότι ( )( )
1f x
f x− = , x ∈ .
β) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο .
γ) Αν η f είναι 1-1, να λύσετε την εξίσωση( )
( )
( )
( )
1821f x f x
f 2 f 2x= .
Έστω ότι για την f επιπλέον ισχύει ότι ( )
( )
x
y
f x e
f ye= για κάθε x,y ∈ .
δ) Να δείξετε ότι ( ) xf x e= .
ε) Να υπολογίσετε το όριο ( ) ( )
( ) ( )xf 4x f x
limf 3x f 2x→+∞
−+
.
Λύση
α) Για x y 0 είναι 2f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 0 f 0 f 0 1 0
f 0 0 απορρίπτεται ή f 0 1 .Για y x είναι:
1f x x f x f x f 0 f x f x 1 f x f x f x
f x .
β) Για να είναι η f συνεχής στο αρκεί 0
0x xlim f x f x
ή 0 0h 0limf x h f x
, 0x .
Είναι 0 0 0 0 0h 0 h 0 h 0limf x h lim f x f h f x limf h f x f 0 f x
.
γ)
18211 1
1821 1821f x f x
f x f 2x f x f 2 f x 2x f x 2f 2 f 2x
1821 1821x 2x x 2 x x 2 0 (1) Έστω 1821g x x x 2, x . Εύκολα αποδεικνύεται ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο
, οπότε είναι και 1-1. Τότε 1 1
1 g x 0 g x g 1 x 1
.
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
20/36
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
21/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
19
x x
f A lim f x , lim f x 0,1
.
γ) f 1 1 1 οπότε αντιστρέφεται.
Θέτουμε x
x x x x x
x
ef x y y e ye y e ye y e 1 y y
e 1
(1).
Επειδή y 0,1 η (1) γίνεται: x y y
e x ln1 y 1 y
, άρα 1 y
f y ln , y 0,11 y
οπότε και 1 x
f x ln , x 0,11 x
.
δ) Έστω ότι 1 1 1
f f 2
τότε
1 1 1 11 1 1
f f f f f f f f f f 2 2 2
f
f
1 e 1f f
2 2e 1
f f f 2e e 1 e 1 f 0 που είναι αδύνατο
αφού f 0,1 .
ε) i. Είναι gA 0, .
Για να ορίζεται η 1f g πρέπει:
1g
f
x A x 0 x 0 x 0
g x A 1 ln x 0,1 0 1 ln x 1 1 ln x 0
x 0 x 01 x e
0 ln x 1 1 x e
, οπότε 1f gA 1,e .
Είναι 1 1 1 ln x
f g x f g x ln ln 1 ln x ln xln x
.
Έστω 1 2x , x 1,e με 1 2x x , τότε: 1 2 1 2ln x ln x ln x ln x 2 και
1 2 1 21 ln x 1 ln x ln 1 ln x ln 1 ln x (3) και με πρόσθεση κατά μέλη των (2)
και (3) έχουμε: 1 1 2 2ln 1 ln x ln x ln 1 ln x ln x
1 1 11 2f g x f g x f g 1,e 2 .
ii.
1 ln 1 1 ln 11 ln ln 1 ln 1 lnln ln1 ln 1 ln 1 ln ln 1 ln ln 1
1
f g1 1f g f g 1 1
2
ισχύει.
12. Έστω συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει ότι ( ) ( )( )x 0lim 2f x f x 0
→+ − = .
α) Να δείξετε ότι ( )x 0limf x 0
→= .
Έστω ότι ( ) ( ) 32f x f x x x+ − = + για κάθε x ∈ .
β) Να δείξετε ότι ( )
3
f x x x= + .γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να λύσετε την ανίσωση ( )( )1 1f f x 1− − > .
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
22/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
20
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) xf x e−= έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα.ε) Να υπολογίσετε τα όρια:
i. ( )( )x1
lim f xf x→+∞
ηµ
ii. ( )1
x 2
f x 1lim
x 2
−
→
−−
Λύση
α) Θέτουμε x u , τότε:
x 0 u 0lim 2f x f x 0 lim 2f u f u 0
οπότε και
x 0lim 2f x f x 0
(1)
x 0 x 0 x 0lim 2f x f x 0 2lim 2f x f x 0 lim 4f x 2f x 0
(2)
α΄ τρόπος
Από 1 2 x 0 x 0lim 2f x f x lim 4f x 2f x 0
x 0lim 2f x
f x 4f x 2f x
x 00 lim 3f x 0
x 0 x 0
3limf x 0 limf x 0
.
β΄ τρόπος
(1),(2)
x 0 x 0 x 0
1 1limf x lim 3f x lim f (x) 2f( x) 2f( x) 4f x 0
3 3
β) Αν στη σχέση 32f x f x x x (3) θέσουμε όπου x το x έχουμε:
3 32f x f x x x 2f x f x x x (4) και
33 4f x 2f x 2x 2x (5)
Με πρόσθεση κατά μέλη των (4) και (5) έχουμε: 3 33f x 3x 3x f x x x .
γ) Έστω 1 2x ,x με 1 2x x , τότε: 3 3
1 2x x και 3 3
1 1 2 2 1 2x x x x f x f x
f 1 1 1 οπότε η f αντιστρέφεται.
f
1 1 1 1 1 1f f x 1 f f f x f 1 f x 2 f f x f 2 x 10 1
δ) Έστω x 3 xg x f x e x x e , x .
Έστω 1 2x ,x με 1 2x x , τότε: 1 2 1 2x x x x
1 2x x e e e e ,
οπότε και 1 2x x1 2 1 2f x e f x e g x g x g 1 .
Είναι 3 x
x xlim g x lim x x e
, 3 x
x xlim g x lim x x e
και επειδήη g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο , έχει σύνολο τιμών το
x x
g A lim g x , lim g x
.
Επειδή το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών της g, η εξίσωση xg x 0 f x e έχειμοναδική ρίζα.
ε) i. Θέτουμε 1
uf x
. Είναι3 3x x x
1 1lim u lim lim 0
x x x
, οπότε:
x u 0 u 01 1 u
lim f x lim u lim 1f x u u
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
23/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
21
ii. Θέτουμε 1f x u x f u .
όταν x 2 , τότε f u 2 f u f 1 και επειδή η f είναι 1-1 ισχύει ότι u 1 .
Είναι
1
3x 2 u 1 u 1 u 1
f x 1 u 1 u 1 u 1lim lim lim lim
x 2 f u 2 u u 2
u 1 21
4u u 2
13.Δίνεται η συνάρτηση ( )x 2
f xx 1
α +=
−, 2α ≠ − .
α) Να βρείτε τη τιμή του α∈ για την οποία ( ) ( )f f x x= για κάθε x 1≠ .β) Έστω 1α =i. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.
ii. Nα βρείτε το σύνολο τιμών της f.
iii. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
iv. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f x f f x x 4+ = + .
Λύση
α) Αρχικά για να ορίζεται η f f πρέπει:
f
f
x 1x A x 1
x 2f x A x 2 x 11
x 1
x 1
1 x 3
(1).
Αν 1 τότε
x 1x 1
3
1 x 3 x 1
, οπότε f f 3
1, 1
1
,
άρα 1 και τότε x 1
10 3 ύ
, άρα f f 1 . Τότε
x 2f x
x 1
και
x 2x 22
x 1f f x f f xx 2
1x 1
2x 2 x 1
x 2 x 1x 1
3xx
3
β) i. x 2 x 1 3 3
f x 1x 1 x 1 x 1
Έστω 1 2x x 1 , τότε 1 21 2
1 1x 1 x 1x 1 x 1
1 2 1 2
3 3 3 31 1
x 1 x 1 x 1 x 1
1 2f x f x f ,1 2 .
Έστω1 2
1 x x , τότε1 2
1 2
1 1x 1 x 1
x 1 x 1
1 2 1 2
3 3 3 31 1
x 1 x 1 x 1 x 1
1 2f x f x f 1, 2 .
ii. x x xx 2 x
lim f x lim lim 1x 1 x
, x x xx 2 x
lim f x lim lim 1x 1 x
,
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
24/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
22
x 1 x 1
1lim f x lim x 2
x 1
και
x 1 x 1
1lim f x lim x 2
x 1
Στο διάστημα 1 ,1 η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα
1xx 1
f lim f x , lim f x ,1
.
Στο διάστημα 2 1, η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα
2x x 1
f limf x , lim f x 1,
.
Το σύνολο τιμών της f είναι το 1 2f A f f ,1 1, 1 .
iii. Έστω 1 2x ,x 1 με 1 2f x f x 1 2
1 2
x 2 x 2
x 1 x 1
1 2x x 1 2x 2x 2 1 2x x 1 22x x 2 1 2x x f 1 1 , οπότε αντιστρέφεται
iv. x x
f f f f f x f f f f f x f f f x f x
.
f f f f f x f f x x 4 f x x x 4
x 24 x 2 4x 4 6 3x x 2
x 1
14.Έστω συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει ότι: ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + γιακάθε
x,y ∈ .
α) Να αποδείξετε ότι ( )f 0 0= .β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.
γ) Αν η f είναι συνεχής στο0x 0= , να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο .
Έστω ότι η εξίσωση ( )f x 0= έχει μοναδική ρίζα.δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
ε) Αν ( )f 1 0> να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
στ) Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ) ( ) ( )x x x xf 3 f 2 4 f 4 f 5+ ⋅ > + .
Λύση
α) Για x y 0 είναι f 0 f 0 f 0 f 0 0 .
β) Για y x είναι f x x f x f x f 0 f x f x
0 f x f x f x f x f περιττή.
γ) Επειδή η f είναι συνεχής στο 0x 0 ισχύει ότι x 0lim f x f 0 0
.
Για να είναι η f συνεχής στο αρκεί 0 0h 0limf x h f x
, 0x .
Είναι 0 0 0 0 0h 0 h 0 h 0limf x h lim f x f h f x limf h f x 0 f x
δ) Επειδή f 0 0 η x 0 είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f x 0 .
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
25/36
www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια
23
Έστω 1 2x , x με 1 2 1 2f x f x f x f x 0
1 2 1 2f x f x 0 f x x 0 1 2 1 2x x 0 x x f 1 1 .
ε) Αρχικά θα αποδείξουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη.
Έστω , , με .
Αρκεί να αποδείξουμε ότι f f f ή f f f .
Έστω ότι δεν ισχύει ο προηγούμενος ισχυρισμός και έστω ότι f f f , τότε
επειδή f f και η f είναι συνεχής στο , , λόγω του θεωρήματος ενδιάμεσων
τιμών υπάρχει , τέτοιο, ώστε f f . Επειδή όμως η f είναι 1-1 ισχύει ότι
που είναι άτοπο αφού , . Άρα η f είναι γνησίως μονότονη.
Επειδή 0 f 0 f 1 και η f είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως αύξουσα.
στ) f
x x x x x x x x x x x xf 3 f 2 4 f 4 f 5 f 3 2 4 f 4 5 3 2 4 4 5 1
x x
x x x 3 43 4 5 0 1 05 5
(1).
Έστω x x
3 4g x 1
5 5
, x .
Έστω1 2
x , x με 1 2x x τότε1 2x x3 3
5 5
,1 2x x4 4
5 5
, άρα και
1 1 2 2 1 1 2 2x x x x x x x x3 4 3 4 3 4 3 4
1 15 5 5 5 5 5 5 5
1 2g x g x g 2 .
g
1 g x g 0 x 0 2
.
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
26/36
www.askisopolis.gr Σπλαξηήζεο - Όξα
24
15. Δίλεηα ζπλάξηζ f x lnx x 1, x 0 .
α) Να ανδείμεηε όη f είλα γλζίωο αύμνπζα.
β) Να ιύζεηε ηο αλζώζεο:
i. f x 0 ii. lnx x e 1 iii. lnf x f x e 1
γ) Δίλεηα ζπλάξηζ g: 0, γα ηλ ννία ζρύε όη
g xg x e 1 f x
γα άε x 0 . Να δείμεηε όη g x ln x, x 0
δ) Να ανδείμεηε όη πάξρε 1,e ηέηνν, ώζηε2
g 2 .
Λύση
α) Έζηω 1 2x ,x 0, κε 1 2x x , ηόηε: 1 2ln x ln x (1) α 1 2x 1 x 1 (2)Με ξόζεζ αηά κέι ηωλ (1), (2) έρνπκε:
1 1 2 2 1 2ln x x 1 ln x x 1 f x f x άξα f είλα γλζίωο αύμνπζα ζην
0, .
β) i. Παξαηξνύκε όη f 1 ln1 1 1 0 , νόηε:
f
f x 0 f x f 1 x 1 1
ii. ln x x e 1 ln x x 1 e f x e (3)
Παξαηξνύκε όη f e lne e 1 1 e 1 e , νόηε (3) γίλεηα:
f
f x f e x e 1
iii. ln f x f x e 1 ln f x f x 1 e f f x e (4)
Αξρά γα λα νξίεηα f f x ξέε:
f
x 0x 0x 1
f x 0 f x f 1 x 1
1 .
Η (4) γίλεηα: f f
f f x f e f x e f x f e x e 1 1
γ) Είλα g x g xg x e 1 f x g x e 1 ln x x 1
g x ln xg x e 1 ln x e 1 (5)
Θεωξνύκε η ζπλάξηζ xh x x e 1, x .
Έζηω 1 2x ,x κε 1 2x x (i), ηόηε: 1 2x x
e e (ii) α αό (i) + (ii) έρνπκε:
1 2 1 2x x x x1 2 1 2 1 2x e x e x e 1 x e 1 h x h x , άξα h είλαγλζίωο αύμνπζα ζην , νόηε είλα α 1 1 .
Αό η ζρέζ (5) έρνπκε: 1 1
h g x h ln x g x ln x
.
δ) 2 2g 2 ln 2 0
Έζηω 2x ln x 2x x , x 1,e . Η θ είλα ζπλερήο ζην 1,e ωο άξνζκα ζπλερώλζπλαξηήζεωλ.
Είλα 1 ln1 2 1 1 0 α 22 2e lne 2e e 1 2e e e 1 0
διαδή 1 e 0 , άξα ιόγω ηνπ Θ.Bolzano πάξρε 1,e ηέηνν, ώζηε 0 2g 2 .
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
27/36
www.askisopolis.gr Σπλαξηήζεο - Όξα
25
16. Δίλεηα ζπλάξηζ f x x 2 x 1 x 2 x 1 .
α) Να ανδείμεηε όη2, 1 x 2
f x2 x 1, x 2
.
β) Να κειεηήζεηε ηλ f ωο ξνο η κνλνηνλία.
γ) Να βξείηε ην ζύλνιν ηκώλ ηο f.
δ) Να πνινγίζεηε ην όξνx 2
f f x 2lim
x 2
.
ε) Να ανδείμεηε όη πάξρε0x 2,5 ηέηνν, ώζηε:
3 2 3
0 0 0 0 0f x f x 3f x x x
Λύση
α) Αξρά ξέε x 1 0 x 1 , x 2 x 1 0 α x 2 x 1 0
f x x 1 1 2 x 1 x 1 1 2 x 1
2 2
f x x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1
2 2
f x x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1
f x x 1 1 x 1 1
Είλα x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 x 2 Αλ x 2 ηόηε f x x 1 1 x 1 1 2 x 1 α
αλ 1 x 2 ηόηε f x x 1 1 x 1 1 2 .
Άξα
2, 1 x 2
f x 2 x 1, x 2
β) Όηαλ x 1, 2 f είλα ζηαεξή.
Έζηω 1 2x ,x 2, κε 1 2x x , ηόηε:
1 2 1 2 1 2 1 2x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 f x f x , άξα f είλα
γλζίωο αύμνπζα ζην 2, .
γ) Αξρά α κειεηήζνπκε ηλ f ωο ξνο η ζπλέρεα ζην x 2 .
Είλα x 2 x 2 x 2
lim f x lim 2 x 1 2 lim f x f 2
, άξα f είλα ζπλερήο ζην x 2
α εεδή είλα ζπλερήο α ζηα δαζηήκαηα 1, 2 , 2, , f είλα ζπλερήο ζην εδίννξζκνύ ηο.
Είλα x xlim f x lim 2 x 1
.
Γα ην δάζηκα 1A 1,2 , εεδή f είλα ζηαεξή, είλα 1f A 2 .
Σην δάζηκα 2A 2, , f είλα ζπλερήο α γλζίωο αύμνπζα, άξα
2xx 2
f A lim f x , lim f x 2,
.
Τν ζύλνιν ηκώλ ηο f είλα ην 1 2f A f A f A 2, .
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
28/36
www.askisopolis.gr Σπλαξηήζεο - Όξα
26
δ) Θέηνπκε 2 2u u u
f x u 2 x 1 u x 1 x 1 x 12 4 4
Εεδή x 2lim f x 2
, όηαλ x 2 , ηόηε u 2 . Είλα
2 2x 2 u 2 u 2 u 2
8 u 1 1f f x 2 f u 2 2 u 1 2
lim lim lim limu u 4x 2 u 2 u 21 2
4 4
2
u 2 u 2
8 u 1 18 u 1 1 u 1 1lim lim
u 2 u 2 u 1 1 u 2 u 2 u 1 1
u 2 u 2
8 u 28 u 1 1lim lim
u 2 u 2 u 1 1
u 2 8
18u 2 u 1 1
ε) Έζηω 3 2 3g x f x f x 3f x x x, x 2,5 .
Η g είλα ζπλερήο ζην 2,5 ωο ζύλεζ α άξνζκα ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ. Είλα
3 2g 2 f 2 f 2 3f 2 8 2 8 4 6 10 8 0 α
3 2 3 3 2g 5 f 5 f 5 3f 5 5 5 4 4 3 4 125 5 28 0 , διαδή
g 2 g 5 0 άξα ιόγω ηνπ Θ.Bolzano, πάξρε 0x 2,5 ηέηνν, ώζηε
3 2 30 0 0 0 0 0g x 0 f x f x 3f x x x .
17. Δίλεηα ζπλάξηζ f : γα ηλ ννία ζρύε όηf x f x
e e 2x γα άε
x α f 0 0 .
α) Να δείμεηε όη 2f x ln x 1 x , x .
β) Να δείμεηε όη f είλα εξηηή.
γ) Να ανδείμεηε όη f είλα γλζίωο θίλνπζα.
δ) Να βξείηε ην ζύλνιν ηκώλ ηο f.
Λύση
α)
2f x f x f x f x f x
f x
1e e 2x e 2x 0 1 e 2xe 0
e
2 2
f x f x f x2 2 2e 2xe x x 1 e x x 1 .
Θέηνπκε f xg x e x , ηόηε ξνγνύκελ ζρέζ γίλεηα: 2 2g x x 1 (1)
Εεδή2x 1 0 γα άε x είλα α g x 0 γα άε x α εεδή g είλα
ζπλερήο ωο ζύλεζ α άξνζκα ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ α δαηξεί ζηαεξό ξόζκν.
Είλα f 0g 0 e 1 0 άξα g x 0 α (1) γίλεηα:
f x f x2 2 2g x x 1 e x x 1 e x 1 x (2)
Είλα2 2 2 2 2
x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x 0 άξα (2) γίλεηα:
2f x ln x 1 x , x .
β) Εεδή f έρε εδίν νξζκνύ ην , γα άε x είλα α x .
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
29/36
www.askisopolis.gr Σπλαξηήζεο - Όξα
27
2 22
2
x 1 x x 1 xf x ln x 1 x ln
x 1 x
22 2
2
2
x 1 x xf x ln ln
x 1 x
21 x 2x 1 x
f x ln1 0 2ln x 1 x f x άξα f είλα εξηηή.
γ) Αξεί λα ανδείμνπκε όη γα άε 1 2x ,x κε 1 2x x είλα 1 2f x f x .
Έζηω όη 1 2f x f x , ηόηε 1 2f x f x
1 2f x f x e e (3) α
1 2 1 2f x f x f x f xe e e e (4).Με ξόζεζ αηά κέι ηωλ (3), (4) έρνπκε:
1 1 2 2f x f x f x f x
1 2 1 2e e e e 2x 2x x x
νπ είλα άηνν. Άξα 1 2f x f x α f είλα γλζίωο θίλνπζα ζην .
δ) Είλα 2 2 2 2x x x1 1
lim x 1 x lim x 1 x lim x 1 xx x
2x
1lim x 1 1
x
, άξα
2u x 1 x
2
x x u ulim f x lim ln x 1 x lim ln u
Είλα 2 2 2 2
2
2x x x
2
x 1 x x 1 x x 1 xlim x 1 x lim lim
1x 1 xx 1 x
x
x
2
1lim 0
1x 1 1
x
, άξα
2u x 1 x
2
x x u 0 u 0lim f x lim ln x 1 x lim ln u
.
Εεδή f είλα ζπλερήο α γλζίωο θίλνπζα ζην A , έρε ζύλνιν ηκώλ ην
x xf A lim f x , lim f x , .
18. Δίλεηα ζπλάξηζ f ζπλερήο ζην
1, γα ηλ ννία ζρύε όη
2 2 2 2x f x 1 x ln x 2xf x γα άε x 0 α
e 1f e
e
.
α) Να δείμεηε όη1
f x lnx , x 1x
.
β) Να βξείηε ζην
1, ην ιήνο ηωλ ξώλ ηο εμίζωζο xln x 1 0 .
γ) Να ιύζεηε ηλ αλίζωζ 2 1
ln lnx e 2lnx
, x 1 .
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
30/36
www.askisopolis.gr Σπλαξηήζεο - Όξα
28
δ) Να δείμεηε όη e
γα άε , κε .
ε) Να πνινγίζεηε ην όξν2
2
x e
xln x xf x 2x 1lim
ln x 2
.
Λύση
α) 2 2 2 2 2 2 2 2x f x 1 x ln x 2xf x x f x 2xf x 1 x ln x
2 2 2xf x 1 x ln x
(1).
Θέηνπκε g x xf x 1, x 0 , ηόηε (1) γίλεηα 2 2 2g x x ln x
(2)
Είλα 2 2x ln x 0 γα άε x 1 νόηε α g x 0 γα άε x 1 . Εεδή g είλα
ζπλερήο ζην 0, α δαηξεί ζηαεξό ξόζκν ζην 1, .
Είλα g e ef e 1 e e 1
e
1 e 0 , άξα g x 0 γα άε x 1 α (2) γίλεηα:
1
g x x ln x xf x 1 x ln x xf x x ln x 1 f x ln x , x 1x
Αό η ζρέζ (1) γα x 1 έρνπκε: 2
f 1 1 0 f 1 1 , άξα
1
ln x , x 1f x x
1, x 1
. Εεδή f είλα ζπλερήο ζην 1, , ηειά είλα
1
f x ln x , x 1x
.
β) 1x ln x 1 0 ln x 0 f x 0x
.
Έζηω 1 2x ,x 1, κε 1 2x x , ηόηε 1 2ln x ln x α1 2 1 2
1 1 1 1
x x x x , άξα α
1 2
1 2
1 1ln x ln x
x x 1 2f x f x άξα f είλα γλζίωο αύμνπζα ζην 1, .
Είλα x x
1lim f x lim lnx
x
.
Εεδή f είλα ζπλερήο α γλζίωο αύμνπζα ζην A 1, , έρε ζύλνιν ηκώλ ην
xf A f 1 , lim f x 1,
.Εεδή ην κδέλ βξίζεηα ζην ζύλνιν ηκώλ ηο f α f είλα γλζίωο αύμνπζα ζην Α,
πάξρε κνλαδόο 0x A ηέηννο, ώζηε 0f x 0 , νόηε δνείζα εμίζωζ έρεκνλαδή ξία.
γ) 2 2 21 1
ln ln x e 2 ln ln x 2 e f ln x f eln x ln x
(3)
Αξρά γα λα νξίεηα ζύλεζ f lnx ξέε ln x 1 x e .
Εεδή f είλα γλζίωο αύμνπζα ζην 1, (3) γίλεηα:2
2 eln x e x e , νόηε
ηειά
2e
e x e
.
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
31/36
www.askisopolis.gr Σπλαξηήζεο - Όξα
29
δ)
1 11 1 1 1
e e e ln ln ln
1 1
ln ln f f
νπ ζρύε αθνύ 1 α f είλα γλζίωο αύμνπζα
ζην 1, .
ε)
2 2
22
x e x e
1x ln x x ln x 2x 1
x ln x xf x 2x 1 xlim lim
ln x 2 ln x 2
2
2
x e
x ln x x ln x 1lim
2x 1 2
2
x e
x ln x ln x 2lim
ln x 2 ln x 2
2x e
x ln x 2lim
ln x 1
ln x 2
23e
19. Δίλεηα ζπλάξηζ
x xf x 2 3 1 ,x
.
α) Να ανδείμεηε όη f είλα γλζίωο αύμνπζα ζην .
β) Να ιύζεηε ηλ εμίζωζ2 2
x 3x 2x 4 2x 4 x 3x2 2 3 3
γ) Να βξείηε ην ζύλνιν ηκώλ ηο f.
δ) Να βξείηε ην ιήνο ηωλ ξώλ ηο εμίζωζο f (x) , 0 .
ε) Να πνινγίζεηε ην όξνx
f xlim
f x 1 .
Λύση
α) Έζηω 1 2x , x κε 1 2x x , ηόηε: 1 2x x2 2 , 1 2x x3 3 , άξα α
1 1 2 2 1 1 2 2x x x x x x x x2 3 2 3 2 3 1 2 3 1 1 2f x f x άξα f είλα γλζίωοαύμνπζα ζην .
β) 2 2 2 2
x 3x 2x 4 2x 4 x 3x x 3x x 3x 2x 4 2x 42 2 3 3 2 3 2 3
2 2x 3x x 3x 2x 4 2x 4 22 3 1 2 3 1 f x 3x f 2x 4 (1)
Εεδή f είλα γλζίωο αύμνπζα είλα α , νόηε (1) γίλεηα: 2 2x 3x 2x 4 x 5x 4 0 x 1 ή x 4 .
γ) Είλα x xx xlim f x lim 2 3 1 1 γαηίx x
x xlim 2 lim 3 0 α
x xx xlim f x lim 2 3 1
γαηί x xx xlim 2 lim 3
.
Εεδή f είλα ζπλερήο α γλζίωο αύμνπζα ζην έρε ζύλνιν ηκώλ ην
x x
f lim f x , lim f x 2,
.
δ) Εεδή ην α αλήε ζην ζύλνιν ηκώλ ηο f α f είλα γλζίωο αύμνπζα ζην
, πάξρε κνλαδόο 0x ηέηννο, ώζηε 0f x .
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
32/36
www.askisopolis.gr Σπλαξηήζεο - Όξα
30
ε)
x x
x xx x
f x 2 3 1lim lim
f x 1 2 3 1
1
x
x
3
lim
x
x x
x
2 11
3 3
3
x
x
21
3
x x
xx
2 110 1 03 3
lim 10 12
13
20. Δίλεηα ζπλάξηζ f : γα ηλ ννία ζρύε
2 2f x x 2xf x γα άε
x .
α) Να ανδείμεηε όηx 0
f xlim 1
x .
β) Να πνινγίζεηε ην όξν2x 0
f xlim
x x
.
γ) Έζηω όη f είλα ζπλερήο ζην .
i. Να ανδείμεηε όη ζπλάξηζ h x f x x
δαηξεί ζηαεξό ξόζκν ζε
αέλα αό ηα δαζηήκαηα ,0 α 0, .
ii. Να βξείηε όινπο ηνπο δπλαηνύο ηύνπο ηο .
Λύση
α) Γα x 0 είλα 2 22 2
f x xx2
x x
2
f x
x
2 2
f x f x x2 0
x x x
2 22 2
f x f x f xx x2 1 1 1 1
x x x x x
2 2
x 0 x 0
f x xlim 1 lim 1 1 1 0
x x
.
2 2
f x f x f x f x f x f x1 1 1 1 1 1
x x x x x x
Είλα
2 2
x 0 x 0
f x f x
lim 1 lim 1 0x x
, νόηε αό ην ξηήξν αξεκβνιήο
είλα α
x 0 x 0
f x f xlim 1 0 lim 1
x x
.
β)
2x 0 x 0
f x f x x 1lim lim 1
x x x x x 1
γαηί x u
x 0 u 0 u 0
f x f ulim lim L 1
x u
γ) Είλα 2 2 2 2f x x 2xf x f x 2xf x x
2 2 2 2f x 2xf x x x x 2 2 2 2 2 2f x x x x h x x x .
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
33/36
www.askisopolis.gr Σπλαξηήζεο - Όξα
31
Είλα x x άξα 2 2x x 0 α 2 2x x 0 κόλν γα x 0 . Η h έρε κνλαδή
ξία ηλ x 0 νόηε δαηξεί ξόζκν ζε αέλα ,0 , 0, ,
δ) 2 2h x x x ή 2 2h x x x ή
2 2
2 2
x x ,x 0
h x 0 ,x 0
x x ,x 0
, ή
2 2
2 2
x x ,x 0
h x 0 ,x 0
x x , x 0
21. Δίλεηα ζπλάξηζ f ζπλερήο α γλζίωο θίλνπζα ζην 0,1 γα ηλ ννία ζρύνπλ
ν ζρέζεο:x 0
f x 5lim 4x
α 3 22 x 1 10 x 1 x 1 f x 8x 14x 6
γα άε x 0,1 .
α) Να πνινγίζεηε ηα όξαx 0
limf x
αx 1
limf x
.
β) Να βξείηε ην ζύλνιν ηκώλ ηο ζπλάξηζο h x f x lnx 4 , x 0,1 .
γ) Να ανδείμεηε όη γξαθή αξάζηαζ ηο ζπλάξηζοf x 4
g x e
ηέκλε ηλ
y x ζε έλα κόλν ζκείν κε ηεηκκέλ0
x 0,1 .
δ) Να βξείηε ην ιήνο ηωλ ξώλ ηο εμίζωζοf x4xe e
ζην δάζηκα 0,1 γα
άε .
Λύση
α) Έζηω f x 5
xx
, x 0 , ηόηε: f x 5 x x f x x x 5 α
x 0 x 0lim f x lim x x 5 5
.
Γα x 1 είλα: 3
2 x 1 10 x 1 2x 1 f x 8x 14x 6
2 2 x 1x 12 10 x 1 f x
x 1
4x 3
x 1
Είλα x 1 u2 2
x 1 u 0 u 0
x 1 ulim 2 10 x 1 lim 2 10u 2x 1 u
, x 1lim 2 4x 3 2
νόηε αό ην ξηήξν αξεκβνιήο είλα α x 1lim f x 2
.
β) Έζηω 1 2x , x 0,1 κε 1 2x x , ηόηε 1 2f x f x (1),
1 2 1 2 1 2ln x ln x ln x ln x ln x 4 ln x 4 (2)
Με ξόζεζ αηά κέι ηωλ (1), (2) έρνπκε:
1 1 2 2 1 2f x ln x 4 f x ln x 4 h x h x h 0,1 2
Είλα
x 1 x 1lim h x lim f x ln x 4 2
α
x 0 x 0lim h x lim f x ln x 4
.
Εεδή h είλα ζπλερήο α γλζίωο θίλνπζα ζην 0,1 έρε ζύλνιν ηκώλ ην:
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
34/36
www.askisopolis.gr Σπλαξηήζεο - Όξα
32
x 1 x 0
h A lim h x , lim h x 2,
γ) Αξεί λα δείμνπκε όη εμίζωζ f x 4
e x έρε αξβώο κία ιύζ ζην 0,1 .
Έζηω f x 4x e x , x 0,1 .
Εύνια ανδελύεηα όη θ είλα 2 ζην 0,1 α x 0lim x e
, 2
x 1lim x e 1
.
Άξα 21
0,1 1,ee
.
Εεδή 0 A α θ είλα γλζίωο θίλνπζα ζην 0,1 , εμίζωζ x 0 f x 4e x
έρε κνλαδή ξία ζην 0,1 .
δ) f x f x 44xe e e xe e
. Έζηω f x 4x e xe , x 0,1 .
Εύνια ανδελύεηα όη ω 2 0,1 α έρε ζύλνιν ηκώλ2
1e , e
e
.
• Αλ 22
1e 0 e e 2
e
ηόηε εμίζωζ x 0 έρε κία ιύζ.
• Αλ2
1e 0
e
διαδή 2 εμίζωζ x 0 δελ έρε ακία ιύζ.
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
35/36
8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf
36/36
www.askisopolis.gr
http://www.askisopolis.gr/http://www.askisopolis.gr/