UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

CURSO: FISICA IELASTICIDADAUTOR: Mag. Optaciano L. Vsquez GarcaHUARAZ - PER2010

Optaciano Vasquez

I. OBJETIVOSDeterminar esfuerzos normales de elementos estructurales.Determinar deformaciones de elementos estructuralesEstudiar las propiedades mecnicas de materiales Evaluar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales en el rango elstico.Resolver ejercicios y problemas sobre la unidad

II. INTRODUCCINLas diversas estructuras y mquinas, de cuyo diseo y construccin se ocupa el ingeniero en su actividad prctica, deben tener ente otras, la propiedad de resistencia mecnica, es decir, deben oponerse a la rotura al ser sometidas a la accin de fuerzas externas (cargas).Con este propsito, los elementos (piezas) de las estructuras y mquinas debern ser fabricadas del material correspondiente y tener las correctas dimensiones.El primer objetivo de la Resistencia de materiales, es estudiar los mtodos de clculo de la resistencia de las construcciones.

II. INTRODUCCINAdems de esto, en muchos casos, es necesario determinar las variaciones de forma y de las dimensiones (deformaciones), que surgen en los elementos de las construcciones sometidas a cargas. Los cuerpos rgidos, indeformables, estudiados en la Mecnica, en realidad no existenLas deformaciones de un slido sometido a carga en general son pequeas y se detectan con los extensmetros. Las deformaciones pequeas no influyen sensiblemente sobre las leyes de equilibrio y de movimiento. Sin embargo, estas deformaciones son de gran utilidad para el diseo de estructuras y piezas.

II. INTRODUCCINAl mismo tiempo, en muchos casos, resulta necesario limitar el valor de las deformaciones, a pesar de ser pequeas en comparacin con las dimensiones del elemento, ya que en caso contrario sera imposible el funcionamiento normal de la construccin.La propiedad del elemento de oponerse a las deformaciones de llama Rigidez. De aqu que el segundo objetivo es la exposicin de los mtodos de clculo de la rigidez de los elementos de las construcciones.

II. INTRODUCCINEl problema siguiente de la Resistencia de Materiales es el estudio de la estabilidad de las formas de equilibrio de los cuerpos reales. La estabilidad, es la capacidad de un elemento de oponerse a grandes perturbaciones del equilibrio inalterado, como resultado de acciones de perturbacin pequeas. Tambin se dice que el equilibrio es estable, si a una variacin pequea de la carga corresponde una variacin pequea de las deformaciones. Por tanto el tercer objetivo es la exposicin de los mtodos de clculo de la estabilidad de los elementos de las construcciones.

III. SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES.Primera suposicin: El material debe ser macizo y continuo. Es decir, debe despreciarse la estructura atomstica, discontinua de la materia. Segunda suposicin: El elemento se considera homogneo, es decir tiene propiedades idnticas en todos los puntos. En este caso los metales son materiales altamente homogneos. Menos homogneos son la madera, el hormign, la piedra, los plsticos de relleno. El hormign por ejemplo, est compuesto por piedras pequeas, grava, gravilla, cuyas propiedades son distintas de las del cemento

III. SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES.Tercera suposicin:El material debe ser istropo, es decir sus propiedades en todas las direcciones deben ser iguales. Las investigaciones demuestran que los cristales que forman muchos materiales tienen propiedades muy diferentes segn las diferentes direcciones que se considere. Sin embargo, en el caso de materiales compuestos por granos finos, las propiedades en distintas direcciones son iguales. Para materiales como la madera, el hormign armado esta suposicin es lcita con cierta aproximacin.

III. SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES.Cuarta suposicin: Se considera que las fuerzas internas, originales son nulas.Esta suposicin no se cumple cabalmente en ninguno de los materiales utilizados en ingeniera. As por ejemplo, se sabe que en el acero existen fuerzas internas como producto del enfriamiento que experimenta el material, en la madera estas fuerzas aparecen como producto del secamiento de la misma, y en el concreto armado aparecen durante el fraguado.

III. SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES.Quinta suposicin: Esta suposicin tambin se llama principio de superposicin de cargas. Expresa que el efecto debido a la accin de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo es igual a la suma de los efectos de las acciones de estas fuerzas, aplicadas consecutivamente, en orden arbitrario. Esta hiptesis se cumple :Los desplazamientos de los puntos de aplicacin de las fuerzas son pequeos comparados con las dimensiones del slido.Los desplazamientos que acompaan a las deformaciones del slido dependen linealmente de las cargas.

III. SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES.Sexta suposicin:Tambin llamado principio de SAINT VENANT. El valor de las fuerzas interiores en los puntos del slido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicacin de las cargas, depende muy poco del modo concreto de aplicacin de estas cargas.Este principio permite en muchos casos sustituir un sistema de fuerzas por otro, estticamente equivalente, lo que nos permite simplificar los clculos.

IV. FUERZAS EXTERNAS E INTERNASLas fuerzas pueden ser de contacto o fuerzas de cuerpo.Las fuerzas de contacto pueden ser concentradas y distribuidas.Las fuerzas de cuerpo son aquellas que se ejercen entre cuerpos sin existir constando entre cuerpos: Son ejemplos las fuerzas gravitacionales, elctricas y las magnticas

IV. FUERZAS EXTERNAS E INTERNASConsideremos un slido de forma arbitraria sobre el que actan un conjunto de fuerzas exteriores (concentradas o distribuidas) tal como se muestra

IV. FUERZAS EXTERNAS E INTERNASPara obtener las fuerzas internas se usa el mtodo de las secciones. Es decir se traza un corte imaginario a travs de una regin especfica dentro del cuerpo donde van a determinarse las fuerzas internas y se separa una parte como se muestra

IV. FUERZAS EXTERNAS E INTERNASAunque la distribucin de las fuerzas internas es desconocida se acude a las ecuaciones de equilibrio esttico para relacionar las fuerzas exteriores que actan sobre el cuerpo con la fuerza y momento resultantes de la distribucin,

IV. FUERZAS EXTERNAS E INTERNASAl hacerlo as, la fuerza observe que acta a travs del punto O, aunque su valor no dependa de la localizacin del punto. De otro lado, si depende de la localizacin. En general puede escogerse al punto de aplicacin de la resultante al centroide del rea seccionada.

IV. FUERZAS EXTERNAS E INTERNASLas componentes de y segn las direcciones x, y y z, mostradas en la figura, indican la aplicacin de cuatro diferentes tipos de carga definidas como sigue:

IV. FUERZAS EXTERNAS E INTERNASFuerza normal (Nz). Es aquella fuerza que acta perpendicularmente al rea. sta fuerza se desarrolla siempre que las fuerzas externas tienden a jalar o empujar los dos segmentos.Fuerza cortante (V).Es aquella fuerza que reside en el plano imaginario de corte y se desarrolla cuando las fuerza externas tienden a ocasionar el deslizamiento de una parte del cuerpo sobre el otro.

IV. FUERZAS EXTERNAS E INTERNASMomento o par torsional (Tz).Aquel momento que aparece cuando las fuerzas externas tienden a torcer una parte del cuerpo respecto a la otra.

Momento flexionante (M).Aquel momento causado por las fuerzas externas que tienden a flexionar al cuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro del plano.

IV. FUERZAS EXTERNAS E INTERNASMomento o par torsional (Tz). Aquel momento que aparece cuando las fuerzas externas tienden a torcer una parte del cuerpo respecto a la otra.

Momento flexionante (M).Aquel momento causado por las fuerzas externas que tienden a flexionar al cuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro del plano.

V. ESFUERZOEn esta seccin se muestra la forma como determinar la fuerza y el momento internos resultantes en un punto especfico sobre el rea seccionadaPara resolver este problema es necesario desarrollar un medio para describir la distribucin de una fuerza interna en cada punto del rea seccionada. Para esto, es necesario establecer el concepto de esfuerzo.

V. ESFUERZOConsideremos al rea seccionada subdividida en pequeas reas A, tal como se muestra en la figura b. La fuerza finita muy pequea que acta sobre A es F . Esta fuerza como todas las dems tendr una direccin nica, pero para nuestro estudio la descomponemos en dos Fn y Ft las mismas que son normales y tangenciales al rea respectiva como se ve en la figura c.

V. ESFUERZOCuando el rea A tiende a cero, la fuerza o sus componentes tambin tiende a cero. Sin embargo, el cociente entre la fuerza y el rea tendern a un lmite finito. Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza interna sobre un plano especfico (rea) que pasa por un punto.

V. ESFUERZO NORMALSe define como esfuerzo normal a la intensidad de fuerza, o fuerza por unidad de rea, actuando perpendicularmente a A. Matemticamente se escribe.

Si la fuerza o esfuerzo normal jala sobre el elemento de rea A como se muestra en la figura se llama esfuerzo de tensin, mientras que si empuja sobre A se denomina esfuerzo de compresin.

V. ESFUERZO CORTANTESe define como esfuerzo cortante a la intensidad de fuerza o fuerza por unidad de rea, que acta tangencialmente a A. Matemticamente este esfuerzo se escribe.

En la figura se ha descompuesto este esfuerzo en dos componentes una en direccin x y la otra en direccin y

V. COMPONENTES DEL ESFUERZOPara especificar mejor la direccin del esfuerzo, se descompone en componentes rectangulares x, y y z, orientados como se muestra Bajo estas condiciones las componentes del esfuerzo son.

Las dems componentes se encuentran graficadas en la figura inferior

V. COMPONENTES DEL ESFUERZOSi se corta al cuerpo en otros planos como los que se muestra, aparecern esfuerzos normales y cortantes perpendiculares y cortantes

*V.Componentes del esfuerzo

COMPONENTES DEL ESFUERZO

VI. ESFUERZO NORMAL MEDIO EN UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTEEn la figura, se muestra un elemento estructural al cual se le aplica las cargas de tensin P, colineales con el eje centroidal de la barra. Estas fuerzas se llaman fuerzas axiales. Si cortamos imaginariamente a la barra a travs de la seccin transversal a-a, se puede dibujar el DCL de la mitad derecha de la barra como se muestra en la figura. El equilibrio nos indica que en la seccin hay una distribucin de fuerzas cuya resultante es F, la misma que es normal a la superficie e igual en magnitud a la fuerza externa P y tiene una lnea de accin que es colineal con P. Esta fuerza da origen a un esfuerzo normal

VI. ESFUERZO NORMAL MEDIO EN UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTELa intensidad media de la fuerza interna por unidad de rea normal es el esfuerzo normal medio expresado como

En este capitulo se usa el smbolo para denotar el esfuerzo normal. Se adopta la convencin de asignarle un signo positivo si el esfuerzo es de tensin por el contrario se asigna un signo negativo si el esfuerzo es de compresin.

VI. ESFUERZO NORMAL MEDIO EN UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTEPara determinar el esfuerzo en un punto se divide al rea en elementos A sobre los que acta una fuerza la misma que representa la resultante de las fuerzas internas transmitidas, como se muestra en la figura En estas condiciones es esfuerzo se determina mediante la ecuacin

VI. ESFUERZO NORMAL MEDIO EN UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTEEn general el valor obtenido para el esfuerzo en un punto dado de una seccin transversal es diferente al obtenido mediante la ecuacin y se encuentra que el esfuerzo vara en la seccin.La figura muestra a una barra delgada sometida a fuerzas axiales de compresin P y P, estas variaciones son pequeas en puntos alejados del extremo, pero notoria en puntos cercanos al extremo.

Ejemplo 01 La barra de la figura tiene un ancho y espesor constantes de 35 mm y 10 mm, respectivamente. Determine el esfuerzo normal medio mximo en la barra cuando se le somete a las cargas mostradas

Solucin ejemplo 01 En primer lugar se determina las fuerzas internas para ello se usa el mtodo de las secciones y se aplica las ecuaciones de equilibrio como se muestra

Solucin ejemplo 01 De la grafica fuerza distancia se observa que la mxima fuerza que aparece en la barra es de 30 kN

El esfuerzo normal medio mximo ser

Grficamente el esfuerzo es igual al volumen de las fuerzas distribuidas

Ejemplo 02La lmpara de 80 kg es soportada por dos barras como se muestra en la figura. Si AB tiene un dimetro de 10 mm y BC tiene un dimetro de 8 mm. Determine el esfuerzo normal medio en cada barra

Ejemplo 02En primer lugar se determina las fuerzas internas en cada una de las barras para ello se traza el DCL del nudo B y se aplica las ecuaciones de equilibrio

Solucin del ejemplo 02Los esfuerzos normales medios en cada barra sern

El esfuerzo normal medio en la barra AB se muestra en la figura

Ejemplo 03El cilindro mostrado en la figura es hecho de acero cuyo peso especfico es = 490 lb/pie3. Determine el esfuerzo de compresin medio actuando en los puntos A y B

Ejemplo 03En la figura se muestra el DCL de una porcin del cilindro cuya seccin de corte pasa por A y B. El peso de esta porcin es W = V. Por tanto la fuerza interna en esta seccin ser

Ejemplo 03El esfuerzo de compresin medio ser

VII. ESFUERZO CORTANTE SIMPLEConsidere un elemento sometido a una carga P como se muestra en la figura. Si los soporte B y D se consideran rgidos y P es suficientemente grande, sta ocasionar que el material falle a lo largo de los planos AB y CD. El DCL del segmento central no apoyado mostrado en la indica que una fuerza cortante V = P/2 debe aplicarse a cada seccin para mantener el equilibrio. El esfuerzo cortante medio distribuido sobre cada rea seccionada se define por

VII. ESFUERZO CORTANTE simpleLas placas unidas por un perno as como las placas pegadas mostradas, respectivamente son ejemplos de elementos con conexiones a cortante simples. Los diagramas de cuerpo libre mostradas en las figuras y las ecuaciones de equilibrio muestran que las fuerzas internas cortantes V son iguales a la fuerza exterior aplicada P, respectivamente, y el esfuerzo cortante viene expresado

VII. ESFUERZO CORTANTE simple

VII. ESFUERZO CORTANTE DOBLELas placas unidas por un perno, cuya vista transversal se da en la figura, y las placas pegadas mostradas en la 1ig figuras, respectivamente son ejemplos de elementos con conexiones a cortante dobles, en este caso debe observarse que aparecen dos superficies cortantes Los diagramas de cuerpo libre mostradas en las figuras y las ecuaciones de equilibrio muestran que las fuerzas internas cortantes V = P/2 y el esfuerzo es .

VII. ESFUERZO CORTANTE DOBLE.

VIII.ESFUERZO DE APLASTAMIENTO El esfuerzo de aplastamiento se presenta sobre la superficie de contacto entre dos elementos Interactuantes. Para el caso de la conexin mostrada en la figura. El remache ejerce sobre la platina A una fuerza igual y opuesta a la fuerza que ejerce la platina sobre el remache vase figura. En este grfico es la resultante de todas las fuerzas distribuidas en la superficie interior de un cilindro de dimetro d y longitud t igual al espesor de la platina. Debido a que la distribucin de esfuerzos, es muy compleja, se usa un valor medio para el esfuerzo de aplastamiento b, el mismo que se obtiene dividiendo la fuerza y el rea proyectada del remache en la platina Debido a que esta rea es igual a td, donde t es el espesor de la platina y d el dimetro del remache, se tiene.

1 - *Trace un plano que pasa a travs del elemento formando un ngulo con la normalESFUERZO EN UN PLANO OBLICUODe las condiciones de equilibrio, las fuerzas distribuidas (esfuerzos) sobre el plano pude ser equivalente a la fuerza P

Esfuerzos mximos

Esfuerzo ltimo y esfuerzo admisibleEl conocimiento de los esfuerzos, el ingeniero lo usa para:El anlisis de las estructuras y mquinas existentes, para predecir su comportamiento en condiciones de carga especificado.Diseo de nuevas estructuras y mquinas que cumplirn su funcin de una manera segura y econmica.

Esfuerzo ltimo y esfuerzo admisiblePara poder realizar las acciones anteriores debe saber como se comporta el material cuando se le somete a cargas conocidas.Para ello se realiza ensayos de caracterizacin del material, por ejemplo ensayos de traccinDe esta manera se determina la carga ltima o de rotura (Pu). El esfuerzo ltimo ser

Esfuerzo ltimo y esfuerzo admisibleDe igual forma se pueden realizar ensayos para determinar el esfuerzo cortante ltimo del material, obtenindose.

Un elemento esructural debe diearse de tal manera que la carga ltima sea mucho mayor que la carga de trabajo (carga admisible) o de diseo.As slo se utilizar una fraccin de la carga ltimaEl remanente se deja en reserva para un desempeo seguro

Esfuerzo ltimo y esfuerzo admisibleLa raz entre la carga ltima y la carga admisible se le denomina FACTOR DE SEGURIDAD

La escogencia de un buen factor de seguridad depende de un buen juicio del ingeniero. Entre otras tenemos:Variaciones en las propiedades de los materiales: composicin, resistencia y dimensiones de los elementos.Nmero de ciclos de trabajoTipos de cargas que se considera en el disoTipos de fallas que pueden ocurrir

Esfuerzo ltimo y esfuerzo admisibleIncertidumbre debido al mtodo de analisisDeterioro que puede ocurrir en el futuroImportancia del elemento conrespecto a la seguridad

EjemploLa barra mostrada en la figura tiene una seccin transversal cuadrada cuyo ancho y espesor es 40 mm. Si se aplica una fuerza axial de 800 N a lo largo del eje centroidal de la barra: determine el esfuerzo normal medio y el esfuerzo cortante promedio que acta sobre el material en (a) el plano a-a y (b) el plano b-b

SolucinLa barra se secciona como se muestra en la figura (b) obtenindose la carga axial igual a P = 800N

El esfuerzo normal medio y cortante medio sern

La distribucin de esfuerzos se muestra en la figura (c).

SolucinEn la figura se muestra el DCL del elemento seccionado en b-b. Aqu actan las fuerzas N y V.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio

Solucin

O en forma simplificada

Resolviendo estas ecuaciones

SolucinEn este caso el rea seccionada tiene un espesor de 40 mm y una profundidad de 40 mm/sen60= 46.19 mm, respectivamente. El esfuerzo normal y cortante sern

Ejemplo 02El puntal de madera mostrado en la figura se encuentra suspendido de una barra de acero de dimetro de 10 mm, empotrada en la pared. Si el puntal soporta una carga vertical de 5 kN, calcule el esfuerzo cortante promedio en la barra en la pared y a lo largo de los dos planos sombreados sobre el puntal, uno de los cuales es abcd.

Solucin 02El perno en su unin a la pared experimenta una fuerza cortante V = 5 kN como se muestra el DCL.

El DCL del segmento seccionado del puntal muestra que a travs del rea actan dos fuerzas cada una de V = 2,5 kN

m

Solucin 02El esfuerzo cortante medio en la barra ser.

El esfuerzo cortante del puntal ser

Los diagramas de los esfuerzos en la barra y en el puntal se muestran en las figuras

m

Ejemplo 03El miembro inclinado en la figura est sometido a una fuerza de compresin de 3000 N. Determine el esfuerzo de compresin medio a lo largo de las reas de contacto definidas por AB y BC as como el esfuerzo cortante medio a lo largo del plano horizontal definido por EDB

Ejemplo 03En la figura se muestra el DCL el miembro inclinado mostrado en la figura.Aplicando las ecuaciones de equilibrio

Aplicando las ecuaciones de equilibrio al otro diagrama resulta

Solucion 03Los esfuerzos promedios de compresin a lo largo de los planos horizontal y vertical del elemento inclinado son

El esfuerzo cortante que acta a lo largo del plano horizontal EDB

EJEMPLOUna viga AB se sostiene mediante un puntal CD y soporta una carga P = 3000 lb, como se muestra en la figura. El puntal que consta de dos miembros, se une a una viga mediante un tornillo que atraviesa ambos miembros en la junta C. Si el esfuerzo cortante medio permisible en el tornillo es de 15000 psi, Qu dimetro mnimo se requiere para el tornillo?.

Ejemplo El rea de la seccin transversal de todos los elementos de la armadura que se muestra en la figura es de 500 mm2, mientras que el dimetro de todos los pernos es de 20 mm. Determine: (a) Los esfuerzos axiales en los miembros BC y DE y (b) el esfuerzo cortante en el perno A, suponiendo que est en cortante doble

Ejemplo El dispositivo mostrado en la figura sirve para determinar la resistencia de la madera al esfuerzo cortante. Las dimensiones de la madera son 6 pulg x 8 pulg x 1,5 pulg. Si la fuerza requerida para partirlo es de 12 kips, determine la resistencia promedio de la madera al esfuerzo cortante

Ejemplo La seccin transversal del punzn y la matriz de la figura es un crculo de una pulgada de dimetro. Una fuerza P = 6 kips se aplica al punzn. Si el espesor d la placa es t = 1/8 pulg. Determine el esfuerzo cortante promedio en la placa a lo largo de la trayectoria del punzn

Ejemplo Dos tubos de hierro de fundicin se unen con adhesivo en una longitud de 200 mm. El dimetro externo de cada tubo es de 50 mm y 70mm, y el espesor de su pared es de 10 mm. Si se separan al transmitir una fuerza de 100 kN. Cul fue el esfuerzo cortante promedio en el adhesivo justo antes de la separacin?.

Ejemplo Un cilindro est sostenido por una barra y un cable, tal como se muestra en la figura. El cilindro tiene una masa de 100 kg y un radio de 100 mm. Determine: (a) El esfuerzo axial medio en el cable de acero CD de 5 mm de dimetro; (b) El dimetro mnimo requerido para el seguro A si el esfuerzo cortante en el seguro debe limitarse a 15 MPa. El seguro A est a cortante doble.

Ejemplo La viga est soportada por un pasador A y un eslabn BC. Determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador B que tiene un dimetro de 20 mm y est sometido a cortante doble.

Ejemplo Un empalme en madera se fabrica con adhesivo como se muestra en la figura. La longitud de la regin pegada es L = 4 pulg y el espesor de la madera es de 3/8 pulg. Determine el esfuerzo de corte promedio en el adhesivo.

Ejemplo Un empalme en madera se fabrica con adhesivo como se muestra en la figura. La unin transmite una fuerza P = 20kips y tiene las siguientes dimensiones L = 3 pulg, a = 8 pulg y h = 2 pulg. Determine el mximo esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cortante en el adhesivo.

Ejemplo Calcule el esfuerzo de compresin en la biela mostrada en la figura cuando se aplica una fuerza P = 10 lb al pedestal de freno. Suponga que la lnea de accin de la fuerza P es paralela a la biela, cuyo dimetro es d = 0,22 pulgadas y las otras dimensiones ilustradas se miden perpendicularmente a la lnea de accin de la fuerza P.

optaciano Vsquez*