Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Página 1 de 5
Formulário de Econometria – Prof. Roberto C. Leoni
Modelo Linear
Coeficiente angular
Modelo estimado
Estimadores de mínimos quadrados
Erro de previsão
Elasticidade
Modelo log-log
Elasticidade no modelo log-log
Variância e covariância dos coeficientes
Valor esperado (média) dos coeficientes
Sob a hipótese de normalidade os coeficientes têm distribuição normal com suas respectivas médias e variâncias
| 1 2( | ) y xE y x x= µ = β + β
2
( | ) ( | )E y x dE y x
x dx
∆β = =
∆
1 2( )e y E y y x= − = − β − β
1 2ˆ
t ty b b x= +
( )2 22
t t t t
t t
T x y x yb
T x x
−=
−
∑ ∑ ∑∑ ∑
1 2b y b x= −
variação percentual em /
variação percentual em /
y y y y x
x x x x y
∆ ∆η = = = ⋅
∆ ∆
2
( ) / ( ) ( )
/ ( ) ( )
E y E y E y x x
x x x E y E y
∆ ∆η = = ⋅ = β ⋅
∆ ∆
2ˆ
xb
yη = ⋅
1 2ln( ) ln( )y x= β + β
2
dy x
dx yβ = ⋅ = η
� �2
1 2 2cov( , )
( )t
xb b
x x
−= σ
− ∑� �
22
1 2var( )
( )
t
t
xb
T x x
= σ
−
∑∑
��
2
2 2var( )
( )t
bx x
σ=
−∑
2 2( )E b = β 1 1( )E b = β
2 2
1 1 2~ ,
( )
t
t
xb N
T x x
σβ −
∑∑
2
2 2 2~ ,
( )t
b Nx x
σβ − ∑
Quando β1=0: Quando β2=0:
2 2
t t
t
x yb
x=∑ ∑∑
1b y=
Quando β1=0:
��
2
2 2var( )
t
bx
σ=∑
Formulário de Econometria
( ) ( )2
c cP t t P t tα
≥ = ≤ − =
Variância do erro da reta de regressão
Previsão pontual
Erro de previsão
Média, variância e erro padrão (desvio
Intervalo de confiança para os coeficientes
Teste de hipóteses (significâncias) para os coeficientes
Uma hipótese nula, H0
Uma hipótese alternativa, H1
Um teste estatístico
Uma região de rejeição
Intervalo de confiança para previsão pontual.
2 2 2var( ) [ ( )] ( )t t t t
e E e E e E e= σ = − =
0 1 2 0y b b x= +
0 0 1 2 0 1 2 0 0
1 1 2 2 0 0
ˆ ( )
( ) ( )
f y y b b x x e
b b x e
= − = + − β +β +
= −β + −β −
( ) 0E f = ˆvar( ) 1f = σ + +
2[ ep( ) ep( )] 1k c k k c kP b t b b t b− ≤ β ≤ + = − α
0 0 0ˆ ˆ[ ep( ) ep( )] 1c cP y t f y y t f− ≤ ≤ + = − α
Formulário de Econometria – Prof. Roberto C. Leoni da reta de regressão
(desvio-padrão) do erro de previsão
Intervalo de confiança para os coeficientes
Teste de hipóteses (significâncias) para os coeficientes
H0: βk = c
H1: βk ≠ c ou H1: βk > c ou H1: β
bicaudal unicaudal
Intervalo de confiança para previsão pontual.
ou
2 2 2var( ) [ ( )] ( )t t t t
e E e E e E e= σ = − =
0 0 1 2 0 1 2 0 0
1 1 2 2 0 0
( )f y y b b x x e
b b x e
= − = + − β +β +
22 0
2
( )1ˆvar( ) 1
( )t
x x
T x x
−= σ + +
− ∑
2
2ˆ
ˆ2
te
Tσ =
−
∑
[ ep( ) ep( )] 1k c k k c kP b t b b t b− ≤ β ≤ + = − α
( 2 )~ep( )
kT
k
b ct t
b−
−=
( ) ( ) / 2c c
P t t P t t≥ = ≤ − = α
[ ep( ) ep( )] 1c cP y t f y y t f− ≤ ≤ + = − α 0ˆ
cy t f±
Página 2 de 5
Prof. Roberto C. Leoni
βk < c
caudal unicaudal
( ) ( )ˆvarep f f=
( ) ( ) / 2 ( )cP t t≥ = α
ep( )cy t f
Quando β1=0:
22 0
2ˆ ˆvar( ) 1
t
xf
x
= σ +
∑
Formulário de Econometria
Tabela de análise de variância: Fonte de Variação Graus de Liberdade
Explicado 1
Não explicado T-2
Total T-1
Coeficiente de Determinação
�� � ���
���� 1 ��
��� SQR=soma de quadrados da regressão; SQE=soma de quadrados do erro; SQT=soma de quadrados total.
Coeficiente de correlação.
Formulário de Econometria – Prof. Roberto C. Leoni
Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrado Médio
SQR(Regressão) = ∑� �� ����
SQE(Erro) = ∑����� = ∑� � ���� SQE/(T
SQT = SQR + SQE = ∑� � ����
SQR=soma de quadrados da regressão; SQE=soma de quadrados do erro; SQT=soma de quadrados total.
Notação: r pode ser expandido e representado por outras
relações.
1. r=rXY
2. T=n=total de observações.
3. Sx=desvio padrão de x
4. Sy=desvio padrão de y
5. Cox(x,y)=covariância entre x e y
6. Var(x)=variância de x
7. Var(y)=variância de y
Página 3 de 5
Prof. Roberto C. Leoni
Quadrado Médio
SQR/1
SQE/(T-2)
-----
SQR=soma de quadrados da regressão; SQE=soma de quadrados do erro; SQT=soma de quadrados total.
����
Notação: r pode ser expandido e representado por outras
T=n=total de observações.
Sx=desvio padrão de x
Sy=desvio padrão de y
y)=covariância entre x e y
Var(x)=variância de x
Var(y)=variância de y
Formulário de Econometria Outra fórmula para β2
Mudanças na escala de x
Mudanças na escala de y
Formas funcionais comuns:
β2
Tipo
Formulário de Econometria – Prof. Roberto C. Leoni
Modelo Estatístico Coeficiente
angular
Página 4 de 5
Prof. Roberto C. Leoni
Elasticidade Coeficiente
angular
Página 5 de 5
Formulário de Econometria – Prof. Roberto C. Leoni
Regressão Múltipla Variância do erro da reta de regressão
Variância do coeficiente β2 (para k=3)
Teste de hipóteses
Estimação de intervalos
ou
Coeficiente de determinação Coeficiente de determinação ajustado
Estatística F (com restrição)
F crítico (J;T-K)
Estatística F (global- testamos todos os coeficientes = 0)
F crítico (K-1;T-K)
1 2 2 3 3t t t K tK ty x x x e= β + β + β +…+ β +2
2 ˆˆ t
e
T K
Σσ =
−
( )
2
2 2
2 2 23
var( )(1 )t
bx x r
σ=
− −∑( )( )
( ) ( )
2 2 3 3
232 2
2 2 3 3
t t
t t
x x x xr
x x x x
− −=
− −
∑∑ ∑
2 2
1 2 2~ ( ), ~ (0, )t t K tK ty N x x e N β + β + + β σ ⇔ σ …
( )~ , vark k kb N b β ( )
( )~ˆvar
k k
T K
k
bt t
b−
− β= ˆep( ) var( )k kb b=
[ ]ep( ) ep( ) 1k c k k k c k
P b t b b t b− ≤ β ≤ + = − α [ ep( ), ep( )]k c k k c kb t b b t b− +
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
ˆ
ˆ1 1
t
t
t
t
y ySQRR
SQT y y
eSQE
SQT y y
Σ −= =
Σ −
Σ= − = −
Σ −
2 / ( )1
/ ( 1)
SQE T KR
SQT T
−= −
−
( )2 2T 1
R 1 1 RT K
− = − ⋅ −
−
( )( )
R U
U
SQE SQE JF
SQE T K
−=
−
( ) / ( 1)
/ ( )
SQT SQE KF
SQE T K
− −=
−
SQEU = SQE
J=K-1 (número de hipóteses)
SQER = soma de quadrados dos erros restrito
SQEU = soma de quadrados dos erros não restrito
J-número de hipóteses