Métodos con series de Fourier Definición: Función periódica La función ����, definida para toda � tal que ��� � ��para toda �. El número � en un Si existe un mínimo número positivo decimos que � es el periodo de al menor periodo de una función periodo � si � es cualquier periodo de Ejemplo: El periodo de la función mostrada en la figura, es El periodo de las funciones positivo) es 2/�, pues � � � ��y

��� � ��Además, 2 también es periodo de las funciones Definición: Serie de Fourier y coeficientes de Fourier Sea ���� una función continua por partes de periodo Entonces la serie de Fourier de f(t) es la serie

��� � ∑���

donde los coeficientes de Fourier

Métodos con series de Fourier

Definición: Función periódica

, definida para toda �, es periódica si existe un número positivo

� � ���� en un periodo de la función �.

Si existe un mínimo número positivo � tal que ���� sea periódica con periodo es el periodo de �. Por lo general, no tendremos que referirnos

al menor periodo de una función ���� y simplemente diremos que ��es cualquier periodo de ����.

El periodo de la función mostrada en la figura, es 2.

El periodo de las funciones ���� � cos �� y ���� � ��� �� (donde � es un entero �� � ��� � cos��� � 2� � cos �� �� � ��� � ������ � 2� � ��� ��.

también es periodo de las funciones ���� y ����. Definición: Serie de Fourier y coeficientes de Fourier

una función continua por partes de periodo 2 definida para toda Entonces la serie de Fourier de f(t) es la serie

�"� cos nt � %� sinnt���'

donde los coeficientes de Fourier "� y %� se definen mediante las fórmulas

, es periódica si existe un número positivo

sea periódica con periodo �, Por lo general, no tendremos que referirnos ��� tiene

es un entero

definida para toda �.

se definen mediante las fórmulas

"� � '�(

%� � '� ( Puede ocurrir (y con frecuencia ocurre) que la serie de Fourier de una función no converja a la función en ciertos puntos del dominio de esta última. Por tanto, escribiremos

����~ ��� sin utilizar el signo de igualdad entre la función y su serie de Fourier hasta analizar la convergencia de series de Fourier. Ejemplo 1: Determine la serie de Fourier de la función onda cuadrada definida como

���� � * +1 �- – /�1 �- 0 / � 0 �- � � + Solución: Los coeficientes de Fourier son

"1 � 12 ���� �3�

� '� �+� � '� �

"� � 12 �����3�

� '� 4+ '� ��� ��5

%� � 12 �����3�

� 1 61� cos��

( ���� cos�� 7��3� , para � � 0, 1, 2, … y ( ���� sen�� 7��3� , para � � 1, 2, …

Puede ocurrir (y con frecuencia ocurre) que la serie de Fourier de una función no converja a la función en ciertos puntos del dominio de esta última. Por

�� � ∑ �"� cos nt � %� sin nt����' ,

sin utilizar el signo de igualdad entre la función y su serie de Fourier hasta analizar la convergencia de series de Fourier.

Determine la serie de Fourier de la función onda cuadrada definida como

� / 0� / , 0, ;.

Los coeficientes de Fourier son

� � 7� � 12 �+1� 7� �13�

12 ��1� 7� �1

�� � 0. � � cos�� 7� � 12 �+ cos���7�1

3� � 12 cos�� 7��1

53�1 � '� 4'� ��� ��51� � 0. � � sen�� 7� � 12 �+ sen��� 7� � 12 sen�� 7��

11

3�

��<3�1 � 1 6+1� cos��<1

�

Puede ocurrir (y con frecuencia ocurre) que la serie de Fourier de una función no converja a la función en ciertos puntos del dominio de esta última. Por

sin utilizar el signo de igualdad entre la función y su serie de Fourier hasta

Determine la serie de Fourier de la función onda cuadrada definida como

� 2� �1 + cos� � � 2� =1 + �+1��>. Así, "� � 0 para toda � ≥ 0, y

%� � @ 4� �"B" � -C�"B0 �"B" � �"B. ; De esta forma obtenemos la serie de Fourier ��t�~ 4π E sen ntnF GHIJK � 4πLsen t � 13 sen 3t � 15 sen 5t � ⋯P. o bien

��t�~ 4πE sen �2n + 1�t2n + 1�

F�'

La figura muestra las gráficas de la suma parcial,

SR�x� � 4πE sen �2n + 1�x2n + 1R

F�'

para n=3 , n=6, n=12 y n=24.

Observe que cuando x

tiende a una

discontinuidad por la

derecha o por la

izquierda, el valor de TU�V� tiende a

sobrepasar el valor de ���� (+1 o -1 en este

caso). Este

comportamiento de las

series de Fourier cerca

de un punto de

discontinuidad de su

función es típico y se

conoce como fenómeno

de Gibbs.

Las siguientes fórmulas integrales, que pueden deducirse fácilmente integrando por partes, son útiles para calcular series de Fourier de funciones polinomiales. ( (W

(W� cos 2W� sen Ejemplo 2: Determine la serie de Fourier de la función con periodo periodo como

���� � * La gráfica de � se muestra en la figura Solución: Los valores de ��X� no son importantes, pues no tienen efecto sobre los valores de las integrales que proporcionan los coeficientes de Fourier. Como

as siguientes fórmulas integrales, que pueden deducirse fácilmente integrando por partes, son útiles para calcular series de Fourier de funciones

(W cos W 7W � cosW � W sinW � Y ;

(W senW 7W � senW + W cos W � Y ; cos W 7W � uFsenW + �(W�3' sinW 7W ;

senW 7W � +uFcosW � �2W�3' cosW 7W .

Determine la serie de Fourier de la función con periodo 2 definida en un *0 �- – / � [ 0� �- 0 [ � / �� �- � � X ;

uestra en la figura

no son importantes, pues no tienen efecto sobre los valores de las integrales que proporcionan los coeficientes de Fourier. Como

as siguientes fórmulas integrales, que pueden deducirse fácilmente integrando por partes, son útiles para calcular series de Fourier de funciones

definida en un

no son importantes, pues no tienen efecto sobre los valores de las integrales que proporcionan los coeficientes de Fourier. Como

���� ≡ 0 en el intervalo �+, 0�, cada integral desde � � + a � � . Por tanto, las ecuaciones que determinan los coeficientes de Fourier, son

"1 � 12 � 7��1 � 1 612 ��<1

� � 2 "� � '� ( � cos �� 7��1 � '�]� ( W cos W 7W��1 (W � ��, � � �̂) � 1�� =cos W � W ��� W>1�� � 1�� =�+1�� + 1> En consecuencia, "� � 0 si � es par y � ≥ 2; "� � + ��]� si � es impar.

A continuación,

%� � 12 � ��� �� 7��1 � 1��2 W ��� W 7W��

1

� 1�� =��� W + W cos W>1�� � +1� cos �

Así, %� � �3'�_`a� para toda � ≥ 1

Por lo tanto, la serie de Fourier de ���� es

��t�~π4 + 2 E cos����� bcd�e �f�+1�Fg'sen ntn�

��'

Si ���� es una función con periodo 2, se puede verificar fácilmente que

2 ����7� � 2 ����7��g���

�3�

Para toda ". Según esto, es más conveniente a veces, calcular los coeficientes de Fourier, como

"� � 12 ���� cos�� 7���1

y

%� � 12 ������� �� 7���1

Ejercicios En los problemas 1 al 4 se dan los valores de una función ���� con periodo 2 en todo el periodo. Bosqueje varios periodos de su gráfica y determine su serie de Fourier.

1. ���� � 1 , + [ � [

2. ���� � h3, + / � [ 0+2, 0 / � [ ; 3. ���� � |�|, + [ � [ 4. ���� � h � �, + / � [ 0 + �, 0 / � [ ; 5. Sea ���� una función continua por partes con periodo �. (a) Suponga que 0 [ " / �. Sustituya W � � + � para mostrar que

2 ���� 7��gjj � 2 ���� 7��

1 . Concluya que

2 ���� 7��gj� � 2 ���� 7�.j

1

(b) Dada k, elija � de modo que k � �� � " con 0 [ " / �. Luego sustituya l � � + �� para mostrar que

2 ���� 7� � 2 ���� 7� � 2 ���� 7� .j1

�gj�

mgjm

Series de Fourier y convergencia: El caso general

Definición: Serie y coeficientes de Fourier Sea ���� una función continua por partes con periodo 2n definida para toda �.

Entonces la serie de Fourier de ���� es la serie

����~ "12 � EL"� cos ��n � %� sin��n P���'

donde los coeficientes de Fourier se definen como

"� � 1n2 ���� cos L��op Pp3p 7�

y

%� � 1n2 ���� sen ���op 7� p3p

Si � � 0, se tiene una forma más sencilla de

"1 � 1n2 ���� 7� ,p3p

lo que demuestra que el término constante '�"1 de la serie de Fourier de � no

es más que el valor promedio de ���� en el intervalo q– n , nr. A veces es más conveniente usar

Ejemplo 1: Demuestre que la serie de Fourier de la función mostrada en la figura, es

��� Teorema 1: Convergencia de Series de Fourier Suponga que la función periódica Fourier converge

(a) al valor ���� en cada punto donde (b) al valor

a]=s�o`gsObserve que

a]=s�o`gs�otla izquierda de � en el punto ���3�, así que

Por lo tanto, el teorema 1 se puede formular como sigue: la serie de Fourier de una función suave por partes promedio

"� � 1n2 ���� cos L��op P�p1 7�

%� � 1n2 ���� sen ���op 7� .�p1

Demuestre que la serie de Fourier de la función mostrada en la figura, es

��~ 4 E 12� + 1�

��' senu�2� + 1��2 v .

Convergencia de Series de Fourier

Suponga que la función periódica � es suave por partes. Entonces su serie de en cada punto donde � es continua, y s�ot�> en cada punto donde � es discontinua.�> es el promedio de los límites por la derecha y p

en el punto �. Si � es continua en �, entonces ����� � ���g� � ���3�2 .

Por lo tanto, el teorema 1 se puede formular como sigue: la serie de Fourier de una función suave por partes � converge para cada valor de

���� � ���g� � ���3�2 .

Demuestre que la serie de Fourier de la función mostrada en la figura, es

es suave por partes. Entonces su serie de

es discontinua.

es el promedio de los límites por la derecha y por ���� � ���g� �

Por lo tanto, el teorema 1 se puede formular como sigue: la serie de Fourier de converge para cada valor de � al valor

Por esta razón es costumbre escribir

����en el entendido de que debemos modificar la definición de necesario) en cada uno de sus puntos de discontinuidad para que satisfaga la condición del valor promedio, mencionada anteriormente. Ejemplo 1 La gráfica de la función del ejemplo anterior, muestra que si par, entonces limoyPor lo tanto,

Observe que la serie de Fourier

��� Converge a cero si � es un entero par (pues signo igual. Ejemplo 2 Sea ���� una función con periodo 2 tal que para � entero par, mediante la condición del valor promedio; en consecuencia, ���� � 2 si � es un entero par. La gráfica de la función siguiente Demuestre que su serie de Fourier es

��t� �válida para toda �.

Por esta razón es costumbre escribir

� � � "12 � EL"� cos ��n � %� sin��n P���' ,

en el entendido de que debemos modificar la definición de necesario) en cada uno de sus puntos de discontinuidad para que satisfaga la condición del valor promedio, mencionada anteriormente.

La gráfica de la función del ejemplo anterior, muestra que si �1 es un entero yo�̀ ���� � �1 y limoyo�t ���� � +1

���1g� � ���13�2 � 0. Observe que la serie de Fourier

��� � 4E 12� + 1�

��' senu�2� + 1��2 v es un entero par (pues sen� � 0) y se justifica el uso del

una función con periodo 2 tal que ���� � �� si 0 / � / 2. Definimos entero par, mediante la condición del valor promedio; en consecuencia,

es un entero par. La gráfica de la función � aparece en la figura Demuestre que su serie de Fourier es

� � � 43 � 4�fcos��n� + 4πE sin��n�

F�'�

��'

en el entendido de que debemos modificar la definición de � (en caso necesario) en cada uno de sus puntos de discontinuidad para que satisfaga la

es un entero

) y se justifica el uso del

. Definimos ���� entero par, mediante la condición del valor promedio; en consecuencia,

aparece en la figura

A partir de la serie de Fourier dada, demuestre que

(a) ∑ '�] � �]z���'

(b) ∑ �3'�_`a�]���' � �]

'�

(c) ∑ '���3'�] � �]{���' .

Ejercicios

1. En los siguientes problemaperiodo completo; en cada discontinuidad, el valor de f(t) es el dado por la condición de valor promediode � y determine su serie de Fourier.

a) ���� � @0 , 0 / � / 11 , 1 / � / 2 0 , 2 / � / 3b) ���� � h 0, +2 / � /sen � , 0 / � /

2. (a) Suponga que � 0 / � / 2. Muestre que(b) Sustituya un valor adecuado de

Series de senos y cosenos de Fourier Se dice que la función � definida para toda

para toda �; � es impar si para toda �.

A partir de la serie de Fourier dada, demuestre que

problemas se define la función periódica periodo completo; en cada discontinuidad, el valor de f(t) es el dado por la condición de valor promedio dada anteriormente. Bosqueje la gráfica

y determine su serie de Fourier.

123 ; / 0/ 2; es una función con periodo 2 tal que ����

. Muestre que

���� � 1 + 2E sen����

��'

Sustituya un valor adecuado de � para deducir la serie de Leibniz1 + 13 � 15 + 17 �⋯ � 4

Series de senos y cosenos de Fourier

definida para toda � es par si ��+�� � ����

si ��+�� � +����

se define la función periódica ���� en un periodo completo; en cada discontinuidad, el valor de f(t) es el dado por

Bosqueje la gráfica

� � � � si

e Leibniz

Propiedades:

(a) Si � es par: ( ���� 7��3� � 2( ���� 7��1 .

(b) Si � es impar: ( ���� 7��3� � 0. (c) Si � y � son pares, entonces �� es par. (d) Si � y � son impares, entonces �� es impar.

De estas propiedades se deduce:

"� � 1n2 ���� cos L��op Pp3p 7� � 2n2 ���� cos L��op Pp

1 7� %� � 'p ( ���� sen}_~�� � 7� p3p � 0.

Extensiones pares e impares Sea � una función definida en el intervalo 0 / � / n. Se define la extensión par con periodo 2n de �, a la función

�j��� � � ���� �- 0 / � / n��+�� �- – n / � / 0;. Se define la extensión impar con periodo 2n de �, a la función

����� � � ���� �- 0 / � / n��+�� �- – n / � / 0;. La serie de Fourier de la extensión par �j contendrá sólo términos con cosenos y se llama serie de cosenos de Fourier de la función �. La serie de Fourier de la extensión impar �� contendrá sólo términos con senos y se llama serie de senos de Fourier de la función �. Definición: Series de senos y cosenos

Supóngase que la función ���� es continua por partes en el intervalo =0, n>. Entonces la serie de cosenos de Fourier de � es la serie

��t� � "12 � E"� cos��n�

��'

con

"� � 2n2 ���� cos ��n dtp1 .

La serie de senos de Fourier de � es la serie

��t� � E%� sen��n�

��'

con

%� � 2n2 ���� sen��n dtp1 .

Ejemplo 1 Determine la serie de cosenos de Fourier y la serie de senos de Fourier para � , que está definida como ���� � � para 0 / � / n.

Solución:

"1 � 2n2 � 7�p1 � 2n 612 ��<1

p � n y

"� � 2n2 � cos ��n dt � 2Ln�π�2 ucos u duF�1

p1

� 2Ln�π� =u senu � cos u>1F� � @+ 4Ln�π� para n impar0 para n par. ; Así, la serie de cosenos de Fourier de � es � � n2 + 4n� Lcos�n � 13� cos 3�n � 15� cos 5�n � ⋯P para 0 / � / n.

%� � 2n2 � sen��n dtp1 � 2n���2 W senW 7W ��

1

� 2n��� =+W cos W � senW>1�� � 2n� �+1��g'. Así, la serie de senos de Fourier de � es

� � 2npara 0 / � / n.

Teorema 1: Derivación término a término de una serie de Fourier Supóngase que la función y que su derivada �� es suave por partes para toda Fourier de �� es la serie

����� � obtenida al derivar término a término de la serie de Fourier

����Observación: La serie de Fourier � � 2n con +n / � / n, cumple casi todas las hipótesis del teoremcontinuidad de f y sólo tienen discontinuidades de salto aisladas. Pero 2 obtenida al derivar la serie dada término a término diverge (por ejemplo, cuando � � 0 y cuando � �la serie dada, no es válida.En contraste, la serie de Fourier |�| � n2 +

n Lsen�n + 12 sen2�n � 13 sen3�n �⋯P

Teorema 1: Derivación término a término de una serie de Fourier

Supóngase que la función � es continua para toda �, periódica con periodo 2L, es suave por partes para toda �. Entonces la serie de

� EL+�n "� sen��n � �n %� cos��n P���'

obtenida al derivar término a término de la serie de Fourier

� � � "12 � EL"� cos ��n � %� sen��n P���' .

n Lsen�n + 12 sen2�n � 13 sen3�n �⋯P , cumple casi todas las hipótesis del teorema 1 excepto la

continuidad de f y sólo tienen discontinuidades de salto aisladas. Pero

2 Lcos�n + cos 2�n � cos 3�n +⋯P la serie dada término a término diverge (por ejemplo, � n) y por lo tanto la derivación término a término de

la serie dada, no es válida. En contraste, la serie de Fourier

4n� Lcos�n � 13� cos 3�n � 15� cos 5�n � ⋯P

Teorema 1: Derivación término a término de una serie de Fourier

, periódica con periodo 2L, . Entonces la serie de

a 1 excepto la continuidad de f y sólo tienen discontinuidades de salto aisladas. Pero la serie

la serie dada término a término diverge (por ejemplo, erivación término a término de

con +n / � / n, satisface todas las hipótesis del teorema 1, de modo que su serie de Fourier puede derivarse término a término. El resultado es ����� � 4 Lsen�n � 13 sen3�n � 15 sen5�n �⋯P. Que es la serie de Fourier de la función onda cuadrada con periodo 2L que

asume el valor +1 para – n / � / 0 y �1 para 0 / � / n. Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series de Fourier Para resolver la ecuación diferencial "V�� � %V� � �V � ���� , �0 / � / n� ; V�0� � V�n� � 0, primero extendemos la definición de la función ���� al intervalo – n / � / 0 de manera adecuada, y luego a toda recta real mediante las