39, ,

FORMULA CLASICA DE•• LA PROBABILIDAD

Si se lanza repetidamente una moneda al aire, 0 sise realizan sucesivos lanzarnientos de un dado, (,cuales el numero de veces que cabe esperar que se pro-duzca un cierto resultado? Una manera de dar res-puesta a esta pregunta es la siguiente: la monedalanzada al aire puede caer mostrando cara 0 cruz; enconsecuencia, parece razonable esperar que, si se tra-ta de una moneda no defectuosa, el resultado obteni-do sea cara la mitad de las veces y cruz la otra rnitad.En el caso del dado, como las puntuaciones que pue-den obtenerse en cada lanzarniento son seis, 10 razo-nab Ie es esperar que una puntuaci6n deterrninada sepresente una sexta parte de las veces, suponiendo queel dado no este trucado. Este plantearniento intuitivose encuentra formalizado en el concepto de probabi-lidad matematica.

Dado un experimento aleatorio que puede dar lugara n sucesos elementales, la probabilidad de cada uno

Ide eHos es -.

nSi el experimento consiste en ellanzarniento de una

moneda, los sucesos elementales son 2, y la proba-bilidad de obtener cara, 10 rnismo que la de obtener

Icruz, es igual a 2". Si se arroja un dado, los sucesoselementales son 6, cada uno de eHos de probabilidad

Iigual a 6". Por el rnismo razonarniento, si se extrae unnaipe de una baraja espanola, los sucesos elementalesson 48, y la probabilidad de que la carta extraida sea

d . d ,. I 1una eterrmna a sera 19ua a 48.

Se define la probabilidad peS) de un suceso S,compuesto de m sucesos elementales de los n posi-bles, como la suma de las probabilidades de los suce-sos elementales que 10 componen, es decir:

1 11mpeS) = - + - + ... + - = -

n n n nLos m sucesos elementales correspondientes al su-

ceso S se acostumbran a Hamar casos favorables a laobtenci6n del resultado que se espera (es decir, fa-vorables a que ocurra S), rnientras que los n sucesos

elementales son los casos posibles (es decir, todos losresultados posibles del experimento). Dicho de otramanera, la probabilidad de un suceso se expresa co-mo el cociente entre el numero de casos favorables yel de casos posibles. Es decir:

casos favorablespeS) = .

casos poslbles

Si se lanza un dado, la probabilidad de obtener unapuntuaci6n par, por ejemplo, sera:

3 16 2

ya que el numero de puntuaciones pares (m) es 3 (el2, el 4 y el 6), rnientras que los resultados posiblesson 6. Si se extrae una carta de una baraja espanola,la probabilidad de que sea un as sera:

4 148 12

ya que existen 4 casos favorables de que la carta seaun as frente a 48 casos posibles. La probabilidad deque se trate de una carta del palo de copas sera

12 1=48 4

En una partida de parch is, un jugador tiene su ultima ficha aseis casillas del final. Para conseguir la victoria, debe desplazarlaexactamente dicha cantidad de casillas; si se pasa en los puntos, laficha retrocede el numero de sobrantes.

En esta situacion, el jugador tiene una posibilidad entre seis deacabar con un unico lanzamiento (si el dado marca un seis), por

I10 que su probabilidad es de "6. Conseguirlo en exactamente dostiradas de dado, ies mas 0 menos probable que en una sola?

Soludon al final del capitulo

ya que son 12 los casos favorables y 48 los posi-bles. Para poder definir la probabilidad matem::iticade la manera como se ha hecho, hay que suponerque los sucesos elementales que definen una expe-riencia aleatoria son todos ellos igualmente posibles,10 que significa, en definitiva, decir que tienen la rnis-ma probabilidad, aun antes de haber definido 10quese entiende por probabilidad de un suceso. Aunque sepuede considerar bien establecido el concepto ma-tematico de probabilidad, resulta de diffcil utilizacionen muchas de las situaciones reales que estudia la es-tadistica, campo en el que es importante poder aplicarlos razonarnientos probabilfsticos y donde, sin em-bargo, por 10general no se dispone de elementos queperrnitan averiguar de antemano cual es ellllimero decasos, de entre todos los posibles, que pueden con-siderarse favorables a la obtencion de un resultadodeterrninado, y muchas veces ni siquiera cuantos sonlos resultados posibles exactos.

Asi, puede resultar ilustrativo el caso de una com-pania de seguros de vida para calcular la cuantiade la prima correspondiente a uno de sus asegura-dos, necesita poder atribuir una cierta probabilidadal hecho de que este continue vivo en una fechadeterminada, en funcion de sus caracterfsticas per-sonales. Para resolver esta cuestion, el concepto deprobabilidad matematica Ie proporciona poca ayuda,pues se lirnita a establecer que la probabilidad vale

~, ya que existen dos casos posibles (que este vivo 02que no 10 este), y solo uno es favorable.

Por esta razon se introduce el concepto de proba-bilidad empirica, basado en el supuesto de que lafrecuencia relativa con que un suceso se ha presen-tado hasta un momenta deterrninado persistira en elfuturo. Si en n observaciones del resultado de un ex-perimento aleatorio el suceso S se ha presentado isveces, la probabilidad empiric a de S es:

p(S) =.&.n

La relacion entre la probabilidad empirica y la pro-babilidad matem::itica se fundamenta en la llamadaley de los grandes mimeros: al crecer el numerode observaciones de los resultados de un experimen-to aleatorio, la diferencia entre la probabilidad ma-tem::iticade un suceso y la frecuencia relativa con quedicho suceso se produce como resultado del experi-mento tiende acero, es decir, ambos valores tienden

a igualarse. Esta ley significa que, por ejemplo, si selanza un dado equilibrado un numero n de veces con-secutivas, la frecuencia relativa con que obtendra unapuntuacion deterrninada sera tanto mas proxima alvalor 1 -:-6 cuanto mayor sea n.

PROBABILIDAD DE EXPERIMENTOSCOMPUESTOS

Los experimentos compuestos son aquellos queestan formados por diferentes experimentos simples.Por ejemplo, tirar dos dados a la vez, 0 dos monedas,es un experimento compuesto.

La probabilidad de que se cumpia un suceso en unexperimento compuesto se calcula del mismo modoque los experimentos simples, es decir, se dividen loscasos favorables entre los casos posibles. Para enu-merar estos casos es necesario recurrir, muy a menu-do, a los diagramas de arbol 0 a la combinatoria.

Por ejemplo, (,cual es la probabilidad de obtenerdos caras al lanzar dos monedas al aire? La obten-cion de una cara se representa mediante el numero1, y la de una cruz, mediante el numero 2; al suceso{obtener 2 caras} se Ie denornina suceso A. Los casosposibles son, entonces, los siguientes:

De los cuatro casos posibles, solo hay uno favora-ble al suceso. Se aplica la definicion de la probabili-dad, segtin la cual:

() casos favorablespA =-----casos posibles

Al sustituir los valores hallados, se obtiene el si-guiente resultado:

1p(A) = 4: = 0,25

Para calcular la probabilidad de obtener el sucesoA {sumar 5} despues de lanzar dos dados, se debecalcular el numero de los casos posibles: para ello, sepuede desarrollar un diagrama de arbol 0 bien utili-zar el calculo combinatorio. Se trata de 6 elementostornados de dos en dos, por 10 que se aplican las va-riaciones con repeticion, cuya formula es:

Al sustituir los valores conocidos, se obtiene el si-guiente resultado:

Hay 4 casos favorables al suceso de 36 casos posi-bles. La probabilidad es igual a:

4 1peA) = 36 = "9 = 0, 111.

La probabilidad de un suceso aleatorio S es un valorque se encuentra entre a y 1, es decir:

Si la probabilidad de un suceso es igual a 0, se tratade un suceso imposible, que no puede ocurrir nunca.Si la probabilidad de un suceso es igual a 1, es unsuceso seguro, es decir, que se dara todas las veces.

FORMULA CIASICA DE LA PROBABILIDAD

I Se lanza una moneda una sola vez. Calcularla probabilidad de que se cumpia el sucesoA {ob-tener cara}.Al lanzar un dado, existen dos posibles resultados:cara y cruz. El suceso A esta formado por un soloelemento, obtener cara. Los casos favorables son 1.Se aplica la formula de la probabilidad, segun la cual:

casos favorablespeA) = .

casos poslbles

casos favorablespeA) = .casos poslbles

Cuando se sustituyen los valores, se obtiene el si-guiente resultado:

3peA) = 6 = 0,5

3 Se elige un mimero al azar entre ell yell 000.lCual es la probabilidad de que el numeroescogido sea un multiplo de 5?

Se denomina A al suceso {multiplo de 5}. Losmultiplos de 5 que se encuentran entre 1 y 10son el 5 y el 10. Entre el 1 y el 100 hay 20multiplos de 5 y, hasta el 1 000, hay 200 ca-sos favorables a que el numero sea un multi-plo de 5. Si se aplica la formula de la proba-bilidad:

Se sustituye el numerador y el denominador por los /' .:valores obtenidos: //:~i

1/ I"~ \\~":':'~' I~ ·(.i I

~2 Calcular la probabilidad de que se obtenga f

Caradel dado

1

2

3456

Frecuenciaabsoluta

86

5

5

79

a) La frecuencia relativa de cada uno de los valo-res del dado.

b) La probabilidad matematica de obtener unacualquiera de las caras.

c) La diferencia entre la frecuencia relativa (0 pro-babilidad empirica) y la probabilidad teoricade obtener cada resultado.

d) Si aumentara el mimero de lanzamientos, lestadiferencia aumentaria 0 bien, por el contrario,disminuiria?

a) La frecuencia relativa se calcula al dividir la fre-cuencia absoluta entre el numero de veces que se hatirado el dado. En el primer caso, la frecuencia rela-tiva es 8 -740 = 0,2; en el segundo, el resultado es 6-740 = 0,15; los siguientes resultados se obtienen delmismo modo, y se recogen en una tabla:

Cara del Frecuencia Frecuenciadado absoluta relativaI 8 0,2002 6 0,1503 5 0,1254 5 0,125

5 7 0,175

6 9 0,225

b) La probabilidad teorica se obtiene mediante la di-vision de los casos favorables entre los casos posi-bles. Cada cara del dado tiene la misma probabilidadteorica de aparecer. Hay seis casos posibles, y paracada cara solo una es favorable. La probabilidad es:

~ = 0, 166

c) La diferencia entre la probabilidad teorica y la fre-cuencia relativa se obtiene restando ambos valores.

En el primer caso, el resultado es 0,2 - 0,166 =0,033; en el segundo, 0, 15 - 0, 166 = -0,0166.EI resto de los resultados se obtiene siguiendo el mis-mo procedimiento. Los resultados se encuentran en latabla siguiente:

Caradel dado

Frecuencia Frecuencia Diferenciaabsoluta relativa entre p y f

1 8 0,200 0,0333-

2 6 -i 0,150 j- 0,0166- -

3 5 0,125 - 0,0416-4 5 0,125 - 0,04165 7 0,175 0,0083

--t

6 9 0,225 0,0583-----d) Segun la ley de los grandes numeros, cuantos maslanzamientos se efectuen, mas disminuira la diferen-cia hasta aproximarse a cero, a no ser que el dadotenga alguna imperfeccion.

5 Se lanzan dos dad os al aire. lCual es la proba-bilidad de que ambos arrojen el valor 6?Solo hay un caso posible en el que los dos dados sonigual a 6. Para calcular los casos posibles, se hallanlas variaciones con repeticion de seis elementos to-rnados de dos en dos; por tanto, su numero es:

Teniendo en cuenta de que hay un caso favorable yque los casos posibles son treinta y seis, la probabili-dad de que ocurra el suceso A {dos dados con el valor6} es la siguiente:

) casos favorables 1 0peA = ----- = - = 0277casos posibles 36 '

6 Se lleva a cabo un experimento consistente enlanzar una moneda al aire. Esta accion se repitetres veces.

a) lCual es la probabilidad de obtener el sucesoA {3 caras}?

b) lQue probabilidad existe de que ocurra el su-ceso B {solo dos caras}?

a) Se calculan los casos posibles. Hay tres monedasy los resultados posibles son cara 0 cruz. Por tanto,hay que hallar las formas posibles en que dos elemen-

tos (cara y cruz) pueden agruparse de tres en tres. Secalcula mediante las variaciones con repetici6n, por-que las caras y las cruces pueden repetirse. Su mime-ro se obtiene a partir de la f6rmula:

En este caso, m es igual a 2, mientras que n es elnumero de monedas, es decir, 3. El resultado es:

Hay un solo caso favorable en el que se obtienen trescaras, por 10 que su probabilidad es igual a:

1peA) = "8 = 0, 125

b) Se calculan los casos favorables en que ocurra elsucesoB:

B = { (cara, cara, cruz), (cara, cruz, cara),

(cruz, cara, cara)}

Hay, por tanto, tres casos favorables de un total deocho posibles. Su probabilidad es:

3pCB) = "8 = 0,375

7 En el vagon de un tren hay tres personas. EItren se encuentra casi al final del trayecto y solofaltan tres paradas por recorrer, A, B y C. Al serciudades igual de importantes y con un mimerosimilar de habitantes, existen las mismas probabi-lidades de que un pasajero baje en alguna de lastres estaciones.

a) Elaborar un diagrama de arbol de forma quese obtengan las maneras posibles en las que lospasajeros pueden abandonar el tren.

b) Calcular la probabilidad de que baje una 6nicapersona en la primera estacion.

c) Calcular la probabilidad de que bajen dos per-sonas en la primera estacion.

d) Calcular la probabilidad de que bajen tres per-sonas en la primera estacion.

a) Cuando un pasajero baja en la primera estaci6n, seapunta el resultado en el arbol con la letra A. Si bajaen la segunda estaci6n, el resultado se escribe comoB y, por el contrario, si baja en la tercera estaci6n, elresultado se escribe en el arbol con la letra C. EI arbolresultante es el siguiente:

;ITl-- B,A,A~B,A,B

'0- B,A,C

'[£1- C,C,C

b) Al examinar los resultados anotados en los extre-mos del diagrama de arbol, se observa que hay docecasos distintos en los que baja un solo viajero en laprimera estaci6n, de los veintisiete posibles. Por tan-to, su probabilidad es:

12peA) = 27 = 0,4444

c) En este caso, hay seis variantes distintas en las quebajan dos personas en la primera estacion, y su pro-babilidad es:

6peA) = - = 0,2222

27

d) Existe una sola posibilidad en la que sean los tresviajeros los que desciendan en la primera estacion.En consecuencia, sus posibilidades son:

1peA) = - = 0,0370

27

8 Calcular la probabilidad de que en el juego delbingo, en el que se extraen bolas numerados del 1 al90, se cumpla el suceso A = {numero men or que II}.

9 En una ruleta americana, dividida en celdas conlos numeros 00, 0 y dell al 36, l,cmll es la probabili-dad de que aparezca el numero 3?

10 Un jugador de bingo esta convencido de que elproximo numero que salga sera primo. l,Que proba-bilidad existe de que acierte su pronostico?

11 Indicar el valor de la probabilidad de que pierdauna persona que apuesta al numero 12 en una ruletaamericana.

12 Calcular la probabilidad de que aparezca el nu-mero 4 al sacar una carta de una baraja espanola decuarenta y ocho cartas.

13 l,Cual es la probabilidad de obtener bastos al sa-car al azar una carta de una baraja espanola de cua-renta y ocho cartas?

Sucesos imposibles y seguros • 733

14 La ruleta francesa se compone de casillas nu-meradas del 0 al 36. Un jugador apuesta a todos losmimeros pares. l,Cual es la probabilidad de que ganeen una sola tirada?

15 l,Cuil es la probabilidad de obtener una figuracuando se toma al azar una carta del mazo de unabaraja de cuarenta cartas?

16 Calcular la probabilidad de que se cumpla el su-ceso A {numero primo} en el juego de la ruleta fran-cesa con casillas numeradas del 0 al 36.

17 l,Que probabilidad tiene el suceso B «multiplode 5» en el juego de la ruleta americana?

18 Una persona ha de escoger un numero entre el 1y el 50. Calcular la probabilidad de que el resultadosea un multiplo de 3.

19 Se pide elegir al azar un numero entre el 1 y el100. l,Cual es la probabilidad de que el numero acabeen cero?

20 Se lanzan dos dados. l,Cual es la probabilidadde que la suma sea igual a 3?

21 Calcular la probabilidad de que, al lanzar dosdados, sus caras sumen 12.

22 (,Cmil es la probabilidad de que, al lanzar dosdados, la suma sea igual a 7?

23 Se tiran dos monedas al aire. (,Cual es la proba-bilidad de que su resultado sea igual a dos cruces?

24 Se lanzan tres dados. (,Cual es la probabilidad deque la suma de sus caras sea igual a 3?

25 Despues de lanzar tres dados, se suman los va-lores de sus caras. (,Cual es la probabilidad de que su-men 5?

26 (,Que probabilidad existe de que, al tirar tresmonedas al aire, las tres sean cruz?

27 Se lanza una moneda cuatro veces seguidas. (,Cuales la probabilidad de obtener en todas las ocasionescara?

28 Se lanzan tres dados. (,Que probabilidad existede que los dados den como resultado un 5, un 2 y un6, en cualquier orden?

29 En el juego de la ruleta francesa, cuando la bolacae en el valor 0, el ganador es la banca. Unos empre-sarios sin escrupulos han manipulado la ruleta paraque la probabilidad de que caiga en sea el doble quedel resto. (,Cual sera esta probabilidad?

30 Un ingeniero ha disefiado un dado de 12 caras.Lo prueba en 100 ocasiones y anota los resultados,que organiza en la siguiente tabla.

Dado Frecuencia absoluta

1 8

2 11

3 9

4 10

5 12

6 8

7 6

8 9

9 7

10 8

11 5

12 7

a) Calcular la probabilidad empirica, es decir, la fre-cuencia relativa.

b) (,Cual es la probabilidad matematica de que salgacualquiera de las caras?

c) Dibujar un diagrama de barras en el que aparezcanlas frecuencias relativas.

Solucion:

a)Freeuenda Probabilidad

absoIuta empirica

1 8 0,08

2 11 0,11

3 9 0,09

4 10 0,10

5 12 0,12

6 8 0,08

7 6 0,06--+-

8 9 0,09-;-

9 7 0,07

10 8 0,08

11 5 0,05

12 7 0,07

c)0,14=

nocer su rumba. Si se tiene en cuenta que solo uno delos caminos es el correcto, calcular la probabilidad deque sea el camino que acaba recorriendo.

35 Oscar quiere calcular la probabilidad de que, alescribir al azar las letras que forman su nombre, secoloquen justo en el orden indicado. l,Que probabili-dad existe de que ocurra asP

36 Un trilero ha escondido una moneda debajo dealguno de los tres cuencos que hay sobre la mesa. Cal-cular la probabilidad que existe de acertar el cuencodonde se encuentra la moneda al primer intento.

37 Pedro esconde una pulsera al pie de un arbol enuna arboleda formada por ciento treinta y dos arbo-les. Juan 10 ha seguido hasta allf y trata de hallar lapulsera. l,Que probabilidad existe de que la encuentreal primer intento?

38 Silvia ha escondido los ahorros de toda su vi-da debajo de una de las losetas cuadradas del recibi-dor de su casa, que mide 2,10 m de ancho por 3,60 mde largo. Al cabo de los meses ha olvidado debajo deque loseta se encuentran. Si cada loseta mide 30 emde lado, l,que probabilidad existe de que al levantarsolo una de las losetas encuentre el dinero?

39 En un jardfn hay ciento cincuenta y dos flores, yseis abejas estan libando, por separado, nectar en al-gunas de dichas flores. Marfa se acerca al jardfn y, alver las flores, quiere olerlas. l,Que probabilidad exis-te de que al acercarse a una flor se encuentre en ellauna abeja?

40 Una empresa ocupa cinco pisos de un edificio,en cada uno de los cuales trabaja el mismo numero deempleados. En el ascensor entran cuatro de ellos, para

subir a los pisos donde tienen sus puestos de trabajo.Calcular:

a) La probabilidad de que tres empleados bajen en elquinto piso.

b) La probabilidad de que dos empleados bajen en eltercer piso.

c) La probabilidad de que ninguno de ellos baje enel primer piso.

a) 0,0256; b) 0,1536c) 0,4096

41 En un no hay veinticinco salmones, treinta yseis truchas, treinta y un cachos y diecinueve car-pas. Un pescador muy experimentado siempre pescaalgun pez cuando lanza el anzuelo. Calcular las si-guientes probabilidades:

a) Pescar una trucha.b) Pescar un salmon.c) Pescar una trucha 0 una carpa.d) Pescar un cacho 0 un salmon.

a) 0,324; b) 0,225c) 0,495; d) 0,504

42 Juan participa en una carrera junto a otros dosmotoristas. La pericia con la motocicleta de los tres essemejante e, igualmente, los motores tienen una po-tencia similar. l,Que probabilidad existe de que Juangane la carrera, si no son posibles los empates?

43 Para una obra de teatro se buscan tres actores. Alas pruebas se presentan ocho personas, entre las quese encuentra Clara. Si se supone que todos los actoresson igual de buenos, l,que probabilidad existe de queClara logre uno de los papeles de la obra?

44 En un tomeo, cuatro equipos, A, B, C, YD, sedisputan la primera plaza. Calcular la probabilidad deque el equipo B logre la primera posicion.

45 Se lanza al aire un dado y, al mismo tiempo, unamoneda. l.Cual es la prababilidad de que saJga un 6 yuna cruz?

46 En una uma hay siete bolas amarillas, dos azulesy cuatra rajas.

a) l.Que prababilidad existe de que se extraiga alazar una bola azul?

b) l.Que prababilidad existe de que se extraiga unabola amarilla y, despues de reponerla, se extraigauna bola azul?

Soluci6n:a) 0,1538; b) 0,0828

47 Una fabrica de pelotas produce una gran varie-dad de modelos. Un empleado se encarga de pra-barlas. En este momenta esta prabando doce pelotasgrandes amarillas, ocho pelotas pequenas amarillas,cuatra pelotas rajas gran des y veintitres pelotas pe-quenas de color verde. Coge una pelota al azar. Cal-cular la prababilidad de los siguientes sucesos:

a) La pelota es verde.

b) La pelota es grande.

e) La pelota es raja.

d) La pelota es pequena y amarilla

e) La pelota es grande y verde.

Soluci6n: a) 0,4893; b) 0,3404c) 0,0851; d) 0,1702e) 0

48 La probabilidad de ex traer una bola raja de unauma es de 0,375 yen la uma hay adem as cinco bolasverdes. l.Cuantas bolas rojas hay?

49 Una persona piensa en un numero entre el 1 yel100. l.Que probabilidad existe de que un amigo suyoacierte dicho numero?

50 Un gato de color negro, otro gris y un terceromarr6n acostumbran a pasearse juntos por un callej6nuno allado del otro.

a) Dibujar un diagrama de arbol que describa todoslos posibles 6rdenes que pueden darse entre lostres gatos.

b) l.Que probabilidad existe de que el gato negro seencuentre junto al gato marr6n?

FINAL DE JUEGO (pag. 728): Si se lanza el dado dos vms, como existen seis resultados posibles en cada tirada, los resultados posiblestotales son 6 X 6 = 36. En la primera tirada es un resultado positivo cualquier numero menos el 6, ya que este hace que se Ilegue al final enuna sola tirada. Para cada uno de los otros resultados, en la siguiente tirada hay un unico valor que lIeva a la meta: el que, sumado al de laanterior, da como resultado seis. Por tanto, hay s610 cinco combinaciones de dos tiradas, de las treinta y seis posibles, que consiguen el objetivo

propuesto, por 10que su probabilidad es de ~. Si se comparan las dos probabilidades a examen, resulta:

I 6 5-=->-6 36 36

Por tanto, la probabilidad de acabar en dos tiradas es menor que la de hacerlo en una sola.