3.A IKKE-STASJONARITET - Drago Bergholtbergholt.weebly.com/uploads/1/1/8/4/11843961/3.a... · når ( og ). - Oppsummert er den trend-stasjonære prosessen gitt ved: - Merk at dette

Norwegian Business School

11. november 2011

3.A IKKE-STASJONARITET BST 1612 – ANVENDT MAKROØKONOMI MODUL 5

Foreleser: Drago Bergholt

E-post: [email protected]

BST 1612 – Anvendt makroøkonomi 2

- Ikke-stasjonære tidsserier

- Trendstasjonaritet

- Ikke-stasjonaritet

- Test for random walk

- Spuriøse regresjoner

OVERSIKT


- Mange makroøkonomiske variabler øker over tid. Konsumutgifter:

INNLEDNING


- Offentlige utgifter:

INNLEDNING


- Priser:

INNLEDNING


- Børsindeksen S&P 500:

INNLEDNING


- Økende verdi på variablene over tid reiser spørsmålet om hvorvidt seriene er

trendstasjonære (fluktuerer rundt en eller annen lineær eller ikke-lineær

trend), eller mer generelt hva slags vekstegenskaper de besitter.

- Svaret på dette spørsmålet har stor betydning for valg metode når vi foretar

dataanalyser!

- Hvis vi antar egenskaper om en tidsserie som ikke er sanne, kan de

statistiske resultatene bli veldig misledende.

INNLEDNING


- For å illustrere, la oss betrakte følgende autoregressive modell:

der er hvit støy, og er koeffisienter ( ), og er en deterministisk

trend.

- Er denne prosessen stasjonær? Har den et konstant gjennomsnitt over tid?

- La oss simulere prosessen.

- To ord om simulering.

- Eksempelvis setter vi , og variansen til restleddet lik :

der

TRENDSTASJONARITET


- Resultat av simuleringen (200 trekninger):

- Lite tyder på at prosessen er (nivå-)stasjonær!

- Imidlertid er prosessen trend-stasjonær fordi tidsserien fluktuerer rundt en

deterministisk trend, noe vi straks kommer tilbake til.

TRENDSTASJONARITET


- For å si noe mer om den langsiktige trenden kan vi transformere AR( )-

modellen til en MA( )-modell.

- Prosedyren er nøyaktig som før, bortsett fra at vi har et lineært (m.a.o.

deterministisk) trendledd å ta hensyn til i tillegg. Ikke la deg skremme av

utregningen, den er først og fremst ment som en frivillig utfordring til de aller

ivrigste:

TRENDSTASJONARITET


- I utregningen har vi brukt at innebærer at går mot null når går

mot uendelig, og at derfor nærmer seg null når blir høy. Vi har også

brukt formelen for en uendelig geometrisk rekke:

når ( og ).

- Oppsummert er den trend-stasjonære prosessen gitt ved:

- Merk at dette er den samme MA( )-prosessen vi utledet tidligere, bortsett

fra at vi nå har et konstantledd (som er nesten lik null) og en deterministisk,

lineær trend

.

TRENDSTASJONARITET


- Gitt parametrene vi har satt i simuleringen er den lineære trendveksten gitt

ved

. La oss plotte en lineær trend med som

stigningstall i samme figur som den simulerte prosessen, slik at begrepet

trendstasjonaritet blir klart:

TRENDSTASJONARITET


- Det sentrale poenget er at effekten av et sjokk i dag dør ut over tid i den

trend-stasjonære modellen, og at prosessen returnerer tilbake til den lineære

vekstbanen.

- Dette ser vi også fra modellen

Summeleddet viser at effekten av et sjokk avtar, der ”minnet”

som vanlig avhenger av størrelsen på (se også slides om

autokorrelasjonsfunksjonen).

- Dermed vil ikke en innovasjon i prosessen endre langsiktige prediksjoner!

TRENDSTASJONARITET


- Det var trend-stasjonaritet. Et spørsmål som melder seg er hvorvidt

makroøkonomiske variable er trendstasjonære eller ikke.

- Ofte kan det være svært vanskelig å konkludere hvorvidt en serie er

trendstasjonær bare ved å studere grafiske plot.

- For å illustrere, anta nå at i stedet følger en random walk ( ) der vi

også inkluderer et konstantledd (det blir snart klart hvorfor):

- Simulering: Vi setter og variansen til restleddet lik :

der

IKKE-STASJONARITET


- Resultat:

- Hmmm… Denne er ikke helt ulik den trend-stasjonære serien vi så på

tidligere!

IKKE-STASJONARITET


- Men, vi vet at seriene ikke er de samme (på grunn av simulerings-

spesifikasjonene).

- La oss studere egenskapene til random walk-prosessen nærmere. Som før

kan vi sette inn rekursivt for tidligere verdier på :

- La oss for enkelhets skyld anta at . Dette gir:

- Dersom forsvinner simpelthen trendleddet.

IKKE-STASJONARITET


- Med har vi en lineær trend i serien gitt som , altså identisk med

den vi hadde i det trendstasjonære tilfellet.

- Men, i motsetning til tidligere vil ikke konvergere systematisk tilbake til

den lineære trenden! Dette ser vi av .

- For eksempel vil et sjokk lik, la oss si i en gitt tidsperiode, medføre at

samtlige fremtidige realiseringer av serien vil være nøyaktig enhet høyere

enn hvis sjokket ikke hadde funnet sted ( ).

- Dette innebærer at en random walk med drift er ikke-stasjonær i

betydningen at serien ikke har en tendens til å vende tilbake til den lineære

trenden etter et sjokk.

IKKE-STASJONARITET


- La oss legge den lineære trenden inn i figuren med random walk:

- Kan du fastslå at serien ikke er trendstasjonær?

IKKE-STASJONARITET


- Ved å utvide til 10000 observasjoner blir det tydeligere:

- Serien drifter over trendlinjen i flere tusen sammenhengende observasjoner!

Merk at en ny simulering ville gitt andre realiseringer.

IKKE-STASJONARITET


- Poenget er at et sjokk i en random walk vil virke med full tyngde inn på alle

fremtidige realiseringer av , og at det ikke er noen tendens for serien å

vende tilbake til trenden etter sjokket (ikke trendstasjonær).

- Dette er i skarp motsetning til AR( )-prosessen vi studerte tidligere der

.

- Merk også at vi sjelden har veldig ”lange” tidsserier for typiske

makroøkonomiske data. Med korte perioder kan en random walk ligne andre

prosesser.

IKKE-STASJONARITET


- Er en, begge eller ingen av seriene under RW?

IKKE-STASJONARITET


- Er en, begge eller ingen av seriene under RW?

IKKE-STASJONARITET


- Hva er konsekvensen av å overse at en serie er random walk?

- La oss estimere sammenhengen mellom to random walk ved hjelp av MKM:

- Simulerer først to uavhengige random walk (kaller dem Y og RW).

- Bruker deretter de simulerte dataene til å estimere

regresjonskoeffisientene i modellen: .

- I sann modell er .

- Resultat:

- Konklusjon:

Ved å overse at seriene

er RW risikerer vi at

estimatene blir (veldig)

misvisende!

IKKE-STASJONARITET


- I økonometrisk litteratur sier vi at en serie er integrert av orden 1, dvs I( ),

dersom man må ta førstedifferensen for å gjøre den stasjonær. For

eksempel er serien I( ).

- Til sammenligning er serien I( ).

- Dersom en serie er I( ) ønsker vi å transformere den til I( ).

- Men, først må vi forsøke å avklare hvorvidt serien faktisk er I( ).

- Kan skille mellom to tilfeller:

1. Serien har ikke en trend.

2. Serien har en (positiv eller negativ) trend.

TEST FOR RANDOM WALK


- Testen vi skal se på kalles en Dickey-Fuller test (DF-test). Betrakt følgende

AR( ):

- Dersom denne serien er en RW er . Hvordan teste dette statistisk?

- Løsning: Trekk fra på begge sider slik at venstresiden uttrykker

førstedifferensen :

- Dersom er . Ergo estimerer vi i modellen

ved hjelp av MKM og tester

:

versus

: (fordi alternativhypotesen er at ) (hva hvis ?)



- Vi kan ikke bruke vanlige -verdier fordi den asymptotiske -verdien ikke er

Gaussian og har bias nedover (vil føre til at vi avviser for ofte).

- Relevante kritiske verdier finnes i Fuller (1976), men Eviews rapporterer

også disse automatisk (på henholdsvis 1%-, 5%- og 10%-nivå).



- DF-testene kommer i forskjellige varianter. Valg av spesifikasjon avhenger

av seriens egenskaper:

- Random walk:

Strukturmodell Testmodell

⇔

- Random walk med drift:


⇔

- Random walk med drift og deterministisk trend:


⇔



- Hvis restleddene er seriekorrelert kan dette kontrolleres for ved å estimere

en augmentert regresjon, typisk kalt en Augmented Dickey-Fuller test (ADF-

test). For eksempel, hvis restleddene er seriekorrelert av orden :


⇔

- Eviews har forskjellige algoritmer som automatisk velger størrelsen på .



- Merk følgende: I AR(1)-modellen vi startet med, , kan det

tenkes at den sanne parameteren ligger nær , for eksempel at . I

så fall er i testmodellen , altså nær .

- DF-/ADF-testene kan ha liten forklaringskraft når serien som testes er nær

en random walk.



- Data: US GDP (log) over perioden 1947q1-2011q3 (259 observasjoner)

- Setter max laglengde 4 og inkluderer trend og konstantledd når vi tester

variabelen på nivåform.





- Resultater:

1. kan ikke forkastes,

altså beholder vi

hypotesen om random

walk.

2. Inkluderer ett lag av

førstedifferensen til

avhengig variabel. Tyder

på førsteordens serie-

korrelasjon i restleddet.

- Gitt resultatene er neste

steg å teste for RW i

førstedifferensen av

log GDP.



- Setter max laglengde 4 og inkluderer konstantledd.



- Resultater:

1. forkastes.

2. Fant ikke serie-

korrelasjon.

3. Tallverdien på tilsier

at i likningen:



- Vi så tidligere at MKM på to RW-prosesser kan gi signifikante resultater selv

om de var skapt av hverandre.

“If one estimates equations using non-stationary

variables by linear regression and test the hypotheses

about the coefficients using standard test statistics (e.g.,

t-tests), the tests may often suggest a statistically

significant relationship between variables where none in

fact exists.” Granger og Newbold (1974)

- Den sterke korrelasjonen er en konsekvens av en underliggende trend.

Gjelder enten serien er trendstasjonær eller ren RW.

- Løsning: Differensiere dataene så de er stasjonære.

Estimere en kointegrerende sammenheng (vi rekker ikke gå gjennom dette).

SPURIØSE REGRESJONER


1980 1985 1990 1995 2000

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5 vGER pNOR










Documents

3.A IKKE-STASJONARITET - Drago Bergholtbergholt.weebly.com/uploads/1/1/8/4/11843961/3.a... · når ( og ). - Oppsummert er den trend-stasjonære prosessen gitt ved: - Merk at dette