3_ORMUB_2004

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PROVA PARA OS ALUNOS DO 3º ANO DO ENSINO MÉDIO

1ª Questão – Uma urna contém 9 cartões numerados de a 9! Se tr"s cartões

s#o ret$rados da urna% de mane$ra a&eat'r$a e s$mu&t(nea% )ua& é a *ro+a+$&$dadede )ue a soma dos tr"s ,a&ores se-a um n.mero *ar/ 0ust$1$)ue sua res*osta!

Uma resolução: Sejam x , y e z os números inscritos em três cartões retiradossimultaneamente. Como não há números iguais em cartões diferentes, y x ≠ , z y ≠ e

x z ≠ . Ao mesmo temo, { } { }9,8,7,6,5,4,3,2,1,, ⊂ z y x .

Como os cartões são retirados simultaneamente, a ordem não ! rele"ante, e o númerototal de oss#"eis resultados ! igual ao número de com$inações com % elementos a artir de um conjunto de & elementos, ou seja,

( ) 84743

6

789

!39!3

!93,9 =⋅⋅=⋅⋅=

−==C N .

'or outro lado, z y x ++ ! ar se e somente se:

(a) { } z y x ,, cont!m três elementos ares, ou seja, { } { }8,6,4,2,, ⊂ z y x ,

ou

($) { } z y x ,, cont!m um elemento ar e dois elementos #mares.

* número de resultados do tio (a) ! igual ao número de com$inações com % elementosa artir do conjunto de + elementos ares, ou seja,

( ) 4

!34!3

!43,4 =

−==C N

a .

* número de resultados do tio ($) ! igual ao roduto do número de com$inações comum elemento a artir do conjunto dos + elementos ares e o número de com$inaçõescom elementos a artir do conjunto dos - elementos #mares, ou seja,

( ) ( ) 402

454

!25!2

!5

!14!1

!42,51,4 =⋅⋅=

−−== C C N b .

inalmente, a ro$a$ilidade de /ue z y x ++ seja ar !

21

11

84

44

84

404 ==+=+ N

N N ba .

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2ª Questão – Na constru2#o da ande$ra O&4m*$ca% a *os$2#o dos ané$s est5

su-e$ta a ,5r$as re6ras! O ra$o dos ané$s e7ternos mede 8 dm% a es*essura e ad$st(nc$a entre do$s ané$s )ue n#o se $nterce*tam de,em ser $6ua$s a dm! Naconstru2#o a+a$7o% os ané$s t"m os centros nos *ontos A :;% ;<% :3% ;< e

= :213 % >8< e% a *art$r destes *ontos% 1a?>se uma re1&e7#o re&at$,a @ reta

determ$nada *e&os *ontos A e D :;% 8< *ara a o+ten2#o dos outros *ontos! Ao secons$derar os tra*é?$os EBC% 1ormado *e&as retas tan6entes e7ternas aos ané$s%e == 1ormado *e&os centros dos ané$s% *ede>se *ara ca&cu&ar

a< a re&a2#o entre as 5reas dos tra*é?$os EBC e ==!+< re*resente a cur,a de menor com*r$mento )ue en,o&,e e7ternamente osc$nco ané$s o&4m*$cos e ca&cu&e o seu com*r$mento!

A B

C

B'

C'

D EH

FG

0esolução:A$ai1o, uma resolução detalhada do ro$lema.a) A figura ! sim!trica em relação 2 reta /ue assa or A e 3, conse/uentemente, $astaconsiderar a metade da direita. 'ara au1iliar nos cálculos, estende4se o segmento 3A e

traça4se o segmento 35, onde ( )12,0 − K .

A B

C

B'

C'

D EH

FG

M

K

L

I

J

N

P

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Usando as coordenadas dos ontos A, 6, C e 3, o$t!m4se:

i) 13= AB ,

ii) o onto m!dio do segmento C C ′ ! ( )6,0 − M , ortanto 2

13

= MC e 6= MA .

7ntão, ( ) ( ) 1176132

13

222 =⋅

+=

+==′′ MA

AB MC MCBAárea BC BC área .

3e maneira análoga, ( ) ( ) KFEDárea EFGH área 2= . 'ara determinar a área do tra!8io

573, reali8am4se construções au1iliares:

i) traça4se o segmento C59ii) estende4se o segmento C6, ara formar o segmento C, de maneira /ue está nosegmento 379

iii) traça4se o segmento C; erendicular ao segmento A6, com 0,2

13 I em A69

i") traça4se o segmento 6< erendicular ao segmento 37, com ( )6,13 J em 379

") traça4se o segmento = erendicular ao segmento C5, com = em C59"i) traça4se o segmento ' erendicular ao segmento 7, com ' em 7.

Analisando a no"a figura conclui4se /ue:

i) os tri>ngulos C?5 e 6;C são congruentes, ois são tri>ngulos ret>ngulos, 6== IC MK

e2

13== BI CM .

ii) os tri>ngulos 6;C, <6, 5= e 7' são congruentes, ois são tri>ngulos ret>ngulos, os>ngulos C6;, 6<, 5= e 7' são congruentes e os segmentos ;C, <6, = e ' medem@ unidades.

'ortanto,

i)2

31336

4

1696

2

13 2

2

=+=+

=== BC LE KF 9

ii)2

13== IB JL

iii)

2

31339

2

313

2

1313

+=++=++=++= LE JL AB LE JL DJ ED

e conse/entemente,

( ) ( ) ( ) 9313239182

31339

2

313

222 ⋅+=⋅

++=⋅

+⋅== KD

ED KF KFEDárea EFGH área

.inalmente, a resosta ao item (a) !:

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( )13

31323

13

313239

117

3132399

)(

)(+=

+=

+⋅=

′′ BC BC área

EFGH área.

$) Seja Γ a cur"a de menor comrimento /ue en"ol"e os cinco an!is ol#micos. 7ssa

cur"a está reresentada na figura au1iliar a$ai1o.

A B

C

B'

C'

D EH

FG

M

K

LJ

Q

R

S

'ara calcular o comrimento de Γ reali8am4se construções adicionais:

i) traça4se o segmento C0 erendicular ao segmento 7, com 0 em 79ii) traça4se o segmento 6B erendicular ao segmento 7, com B em 79iii) traça4se o segmento 6< erendicular ao segmento 7, com < em 79

ii) traça4se o segmento CS erendicular ao segmento 5, com

−12,2

13S em 5.

=ote /ue π=∠+∠ QBJSCR 7ntão, ela simetria da figura, o comrimento de Γ ! o do$ro da soma doscomrimentos:

i)2

13== MC KS 9

ii) SCRSR ∠⋅= 6 9

iii)2

313== BC RQ 9

i") QBJ QJ ∠⋅= 6

") 13== AB JD .

inalmente, a resosta ao item ($) ! (em dm)

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( ) =

+∠⋅++∠⋅+⋅=++++⋅ 13QBJ6

2

313SCR 6

2

132JDQJRQSR KS2

π++=

π⋅++⋅=

∠+∠⋅++⋅ 12313396

2

313

2

392)QBJSCR (6

2

313

2

392 ,

ois π=∠+∠ QBJ SCR .

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3ª

Questão – A *ar5+o&a é o con-unto dos *ontos P do *&ano )ue s#oe)F$d$stantes de um *onto B :1oco< e de uma reta d :d$retr$?<! Seu ,ért$ce V ée)F$d$stante do 1oco e do *é da *er*end$cu&ar @ d$retr$? )ue *assa *or B :,er B$6ura <!

Ao se manter a d$retr$? 1$7a e mo,er o 1oco% a *ar5+o&a se mo,e% -untamente

com seu ,ért$ce! Guando o 1oco B descre,e uma c$rcun1er"nc$a% ,er$1$ca>se )ue o,ért$ce V descre,e uma e&$*se :,er B$6ura H<!Encontre a e)ua2#o da e&$*se )uando o 1oco descre,e a c$rcun1er"nc$a de

ra$o H% com centro na or$6em do s$stema cartes$ano% e a d$retr$? tem *or e)ua2#o >8!

0esolução: A e/uação da circunferência de raio e centro na origem ! 422 =+ y x .

Como o foco ( ) F F y x F , está so$re a circunferência, suas coordenadas satisfa8em:

422=+ F F y x .

Como a diretri8 ! hori8ontal, o ei1o da ará$ola ! "ertical. 7ntão, as coordenadas do"!rtice ( )V V y xV , satisfa8em:

i) F V x x =

ii)2

6−= F

V

y y .

3a# o$t!m4se /ue V F x x = e ( )3262 +=+= V V F y y y , e su$stituindo na e/uação da

circunferência:

( )[ ] 432 22

=++ V V y x .

3i"idindo4se am$os os mem$ros da igualdade or +, o$t!m4se

( ) 13y4x 2

V

2V =++ .

Assim, o "!rtice da ará$ola está so$re a elise de e/uação

( ) 134

22

=++ y x

.

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4ª Questão – Se-a P:7< um *o&$nJm$o de 6rau n% com n ra4?es d$st$ntas% e ta& )ue o

coe1$c$ente do termo de ma$or 6rau é ! Sa+endo>se )ue a menor ra$? é K asra4?es est#o numa *ro6ress#o 6eométr$ca de ra?#o K o termo $nde*endente éH3H% determ$ne o 6rau de P:7<!

0esolução: * olinDmio ( ) x P ! de grau n e tem n ra#8es reais distintas n x x x ...,, ,21 .

Considerando /ue n x x x <<< ...21 , sa$e4se /ue 11 = x e 14 −= k k x x ara cada número

inteiro E /ue satisfaça nk ≤≤2 . 'ortanto, 14 −= k k x .

'or outro lado, o coeficiente do termo de maior grau ! F, conse/entemente, ! "álida a

e1ressão:

( ) ( ) ( ) ( )n x x x x x x x P −⋅⋅−⋅−= ...21 ,

e o termo indeendente de 1 !

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )1...212)1(...210

12102121

132

2141

4...4441...1...2

−++−++++

−

⋅−=⋅−=

=⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅−=−⋅⋅−⋅−=nnnn

nn

n

n

n x x x x x x

?as, a soma dos termos da rogressão aritm!tica F,, ..., (n4F) !

( ) ( )

2

11...21

−=−+++ nnn ,

ortanto:

( ) ( )1132212

−⋅−= nnn.

;sso imlica /ue n ! um número ar e( ) 1321 =−nn ,

ou seja

01322 =−− nn ,

/ue, resol"endo chega4se em nGF ou nG4FF.

Como n tem /ue ser ositi"o e ar, então o grau do olinDmio ! F.

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5ª Questão – No tr$(n6u&o A=% a+a$7o% P é um *onto so+re =% G um *onto so+re AP e An%

n%H%3%% é a 5rea de cada tr$(n6u&o *arc$a&!

a< Pro,e )ue2

1

A

A

P=

P3=

+< Pro,e )ue4

3

42

31

2

1

A

A

A A

A A

A

A

=++

=

c< =a&cu&ar a 5rea do tr$(n6u&o A= a+a$7o% em )ue est#o $nd$cadas as 5reas dos

tr$(n6u&os *arc$a$s!

0esolução: 3enotando or a altura do tri>ngulo maior (A6C) em relação ao "!rtice A e or h a altura do tri>ngulo menor (B6C) em relação ao "!rtice B, temos:

a) .

2

2 B

2

1

PC

PB

h PC

h P

A

A=

⋅⋅

=

$) .

2

2

42

31

PC

PB

H PC

H PB

A A

A A=

⋅

⋅

=++

ogo, de acordo com o item (a), .2

1

42

31

A

A

A A

A A=

++

Ham$!m,

2

1

42

31

A

A

A A

A A=

+

+ ⇔ 142231 )()( A A A A A A +=+ ⇔ 14122321 A A A A A A A A +=+ ⇔ .

2

1

4

3

A

A

A

A=

c) Alicando o resultado2

1

4

3

A

A

A

A= ao tri>ngulo A6C da segunda figura temos:

i)30

40

35

84=

++

y

x

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Analogamente, considerando como $ase o AC, /ue ! di"idido elo onto 0, temos:

ii)353040

84 y x=

++

⇔ y x 284 =+

Su$stituindo (ii) em (i) temos

3

4

35

2=

+ y

y ⇔ 14046 += y y ⇔ 1402 = y ⇔ 70= y .

Assim, )70(284 =+ x ⇔ 84140 −= x ⇔ 56= x .

inalmente, a área do tri>ngulo A6C !:

.315)7056(189)(35304084 =++=+++++ y x

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