4 ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ · 4.1 Загальне рівняння поверхні другого порядку Поверхнею другого порядку

§ 4 ПОВЕРХНІ ДРУГОГО

ПОРЯДКУ

1

Кравченко Ю.А., ст. викладач каф. МА і МО

ПЛАН:

4.1 Загальне рівняння поверхні другого порядку. Сфера, як

приклад поверхні другого порядку.

4.2 Метод перерізів, як спосіб побудови поверхні другого порядку

4.3 Види поверхонь:

4.3.1 Циліндричні поверхні.

4.3.2 Конічні поверхні. 4.3.3 Еліпсоїд

4.3.4 Однопорожнинний гіперболоїд

4.3.5 Двопорожнинний гіперболоїд

4.3.6 Еліптичний параболоїд.

4.3.7 Гіперболічний параболоїд

2

4.1 Загальне рівняння поверхні другого порядку

Поверхнею другого порядку називається множина всіх

точок простору, координати яких у декартовій системі

координат Охуz задовільняють рівнянню:

Ах2 + By2 + Cz2

+ Dxy + Ехz + Fуz + Gx + Hy + Кz + L = 0,

де А, В,..., L – дійсні числа, причому хоча б один із

коефіцієнтів А, В, С, D, E, F відмінний від нуля.

3

Сферична поверхня або сфера – це множина

всіх точок простору, рівновіддалених від деякої

точки, що називається центром. Відстань від

центра до довільної точки сфери називається її

радіусом.

Нехай у прямокутній декартовій системі

координат Oxyz точка С(х0; у0; z0) є центром

сферичної поверхні радіуса R (рис. 1).

Сфера

.)()()( 20

20

20 Rzzyyxx

Пiднесемо обидвi частини рiвняння до

квадрату:

або в розгорнутому виглядi:

x2 + у2 + z2 – 2x0x – 2у0у – 2z0z + х02 + у0

2 + z02 – R2 = 0.

Якщо точка С спiвпадає з початком координат,

то рiвняння сфери називається канонiчним i має

вигляд: x2 + y2 + z2 = R2. (рис.2)

(х – x0)2 + (у – у0)

2 + (z – z0)2 = R2

O y

z

x

M

C

Рис. 1

Рис. 2

Для того, щоб точка М(x; у; z) належала сферичнiй поверхнi, необхiдно та достатньо, щоб МС = R або

4

Показати, що задане рівняння є

рівнянням сфери, та знайти її центр і радіус:

x2 + y2 + z2 – 6x + 4y + 5z + 3 = 0.

;03425

254293

222

zyx

.465

2523

222

zyx

x2 + y2 + z2 – 6x + 4y + 5z + 3 = 0;

(x2 – 6x) + (y2 + 4y) + (z2 + 5z) + 3 = 0;

;032

5

2

5

2

52)2222()3332(

22

2222222

zzyyxx

Одержане рівняння описує сферу з центром у точці C(3; –2; –5/2) і

радіусом . 2

65R

5

6

4.2 Метод перерізів 7

; ; 0:

F x y z

z c

Рис. 3

Для вивчення форми поверхні використовують метод

паралельних перерізів. Суть цього методу полягає в наступному:

1) поверхня перетинається координатними площинами та

площинами, які їм паралельні;

2) визначаються лінії перетину поверхні з даними січними

площинами;

3) за виглядом цих ліній роблять висновки про форму даної поверхні.

Циліндричною поверхнею (циліндром) називається поверхня,

утворена рухом прямої (твірної) l, яка перетинає задану лінію (напрямну)

l0, залишаючись паралельною заданій прямій a0, причому задані лінії l0 і a0

не лежать в одній площині.

Поверхні, твірні яких є прямими лініями, називаються лінійчатими.

Оскільки лінійчаті поверхні конструюються з прямолінійних рейок, то

такі поверхні широко використовують в будівництві (опори, башти,

перекриття, покрівлі і т.п.).

Зауваження 1. Циліндр є лінійчатою поверхнею. Його можна уявити як

“огорожу”, виставлену вздовж лінії l0.

,

0

0,:0

z

yxFl

що лежить у площині Oxy (рис. 4).

Теорема 1. У просторі Oxyz кожне рівняння з двома змінними F(x,y)=0,

що не містить координати z, визначає циліндричну поверхню S, твірні якої

паралельні осі Oz, а напрямною служить лінія

x

y

z

O

S M

N

l0

Рис. 4

4.3.1 Циліндричні поверхні 8

Для довільної точки M(x; y; z) вертикальної циліндричної поверхні S з

напрямною

0

0,:0

z

yxFl

її проекція N(x; y; 0) на площину Oxy лежить на цій лінії l0, а значить,

задовольняє її рівняння

.

00

0,:0

yxFl

Отже, координати точки M(x; y; z) задовольняють рівняння F(x; y) = 0,

оскільки воно не містить змінної z.

Очевидно, що координати точок, які не лежать на поверхні S, це

рівняння не задовольняють, оскільки вони проектуються на площину Oxy

поза лінією l0.

Зауваження 2. Рівняння F(y; z) = 0, що не місить змінну x, у просторі

визначає циліндричну поверхню з твірними, що паралельні осі Ox. Рівняння

F(x; z) = 0, що не місить змінну y, у просторі визначає циліндричну

поверхню з твірними, що паралельні осі Oy.

9

Еліптичні циліндри

2 2

2 21

x y

a b

2 2

2 21

x y

a a

Рис. 6 Рис. 5

10

Приклад побудови еліптичного циліндру:

11

1) Проведено переріз

поверхні

площиною z=0

2 2

2 21

x y

a b

2 2

2 21

x y

a b

12


поверхні

площиною z=0,2

2 2

2 21

x y

a b

13


поверхні

площиною z=-0,2

2 2

2 21

x y

a b

14

4 ) Проведено переріз

поверхні


2 2

2 21

x y

a b

15


поверхні

площиною z= - 0,4

2 2

2 21

x y

a b

4


поверхні


2 2

2 21

x y

a b

16


поверхні


2 2

2 21

x y

a b

17


поверхні

площиною z= 0,8

2 2

2 21

x y

a b

18


поверхні


2 2

2 21

x y

a b

ГІПЕРБОЛІЧНІ ЦИЛІНДРИ

19

2 2

2 21

x y

a b

2 2

2 20

x y

a b

2 2 0x a

Гiперболiчний цилiндр

12

2

2

2

b

y

a

xРiвняння

визначає в просторi гiперболiчний цилiндр з твiрною, що паралельна осi

Oz, i напрямною – гiперболою (рис. 7).

x

y

z

O

Рис. 7

20

21

Проведено переріз

поверхні

площиною z= 0

2 2

2 21

x y

a b

Приклад побудови гіперболічного циліндру:

2 2

2 21

x y

a b

22


поверхні


2 2

2 21

x y

a b

23


поверхні


2 2

2 21

x y

a b

24


поверхні


2 2

2 21

x y

a b

25


поверхні


2 2

2 21

x y

a b

26


поверхні


2 2

2 21

x y

a b

27


поверхні


2 2

2 21

x y

a b

28


поверхні


2 2

2 21

x y

a b

29


поверхні


2 2

2 21

x y

a b

ПАРАБОЛІЧНІ ЦИЛІНДРИ

30

22y px

визначає в просторi параболічний цилiндр з твiрною, що паралельна осi Oz, i напрямною – параболою (рис. 22).

31


поверхні

площиною z= 0

22y px

Приклад побудови параболічного циліндру: 22y px

32


поверхні


22y px

33


поверхні


22y px

34


поверхні


22y px

35


поверхні


22y px

36


поверхні


22y px

37


поверхні


22y px

38


поверхні


22y px

39


поверхні


22y px

4.3.2 Конічні поверхні. Конус другого порядку Конічною поверхнею (конусом) називається поверхня, утворена рухом

прямої (твірної) l, яка проходить через задану точку C(x0; y0; z0) (вершину) і

перетинає задану лінію (напрямну) l0, причому задана точка C не лежить на

заданій лінії l0.

Нехай напрямна l0 задана як перетин двох поверхонь

.0,,

0,,:

2

10

zyxF

zyxFl

Конус є лінійчатою поверхнею. Нехай M(x; y; z) – довільна точка конічної

поверхні. Тоді рівняння твірної, на якій лежить ця точка, можна подати у

вигляді рівняння прямої, що проходить через дві точки – вершину C(x0; y0;

z0) і точку N(X; Y; Z) перетину цієї твірної та напрямної:

.0

0

0

0

0

0

zZ

zz

yY

yy

xX

xx

Якщо вилучити з наведених рівнянь для довільної точки твірної M(x; y; z)

(ця точка одночасно належить конічній поверхні) координати точки

перетину N(X; Y; Z), використовуючи співвідношення

,0,,

0,,

2

1

ZYXF

ZYXF

то отримаємо рівняння конічної поверхні .0,, zyxF

40

Конус другого порядку (еліптичний конус) (рис. 8) має канонічне

рівняння

.02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Вершина цього конуса лежить у

початку координат O(0;0;0), а

напрямною служить еліпс

czb

y

a

x1

2

2

2

2

з півосями a і b, що лежить у площині z = c, яка перпендикулярна до осі Oz.

Вісь Oz є віссю симетрії даного конуса, а координатні площини служать

його площинами симетрії.

Зокрема, якщо a = b, то рівняння

02

2

2

2

2

2

c

z

a

y

a

x

x y

z

O

Рис. 8

визначає круговий конус.

41

42

4.3.2 Еліпсоїд

43

4.3.3 Еліпсоїд

Якщо еліпс ,12

2

2

2

c

z

b

yщо лежить в площині Oyz, обертати навколо

осі Oz, то отримаємо еліпсоїд обертання навколо осі Oz (рис. 9).

z

x

y b

b

c

Рис. 9

Зробимо відповідну заміну змінних у рівнянні твірної:

.1

12

2

2

222

222

2

2

2

c

z

b

yx

yxy

zz

Ozc

z

b

y

Звідси маємо 12

2

2

22

c

z

b

yx

– канонічне рівняння еліпсоїда обертання.

Зокрема, якщо b = c = R, то маємо

канонічне рівняння сфери

.2222 Rzyx

44

Піддаючи еліпсоїд обертання 12

2

2

22

c

z

b

yxрівномірній деформації

(розтягу чи стиску) вздовж осі Ox з коефіцієнтом деформації k = b/a, треба у

рівнянні цієї поверхні зробити заміну .;; zzyykxx

У результаті одержимо

.12

2

2

22

c

z

b

yxab

Звідси маємо

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

– канонічне рівняння еліпсоїда

загального вигляду (еліпсоїда) (рис. 10).

y

x

z

a

b

c

Рис. 10

45

Гіперболоїди

46

4.3.4 Однопорожнинний гіперболоїд

Якщо гіперболу ,12

2

2

2

c

z

b

yщо лежить в площині Oyz, обертати

навколо уявної осі Oz, то отримаємо однопорожнинний гіперболоїд

обертання навколо осі Oz (рис. 11) .


.1

12

2

2

222

222

2

2

2

c

z

b

yx

yxy

zz

Ozc

z

b

y


12

2

2

22

c

z

b

yx

– канонічне рівняння однопорожнинного

гіперболоїда обертання.

Рис. 11

47

Піддаючи однопорожнинний гіперболоїд обертання 12

2

2

22

c

z

b

yx

рівномірній деформації (розтягу чи стиску) вздовж осі Ox з коефіцієнтом

деформації k = b/a, треба у рівнянні цієї поверхні зробити заміну

.;; zzyykxx


.12

2

2

22

c

z

b

yxab

Звідси маємо 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

– канонічне рівняння однопорожнинного

гіперболоїда загального вигляду

(однопорожнинного гіперболоїда) (рис. 12). x

y

z

a

b

c

Рис. 12

Зауваження 1. Однопорожнинний гіперболоїд

має форму нескінченної трубки, що розширюється

в обидва боки осі симетрії Oz. Поперечним

перерізом є еліпс. Найвужчий з перерізів – при

z = 0.

Зауваження 2. Однопорожнинний гіперболоїд є лінійчатою поверхнею.

48

4.3.5 Двопорожнинний гіперболоїд

Якщо гіперболу що лежить в площині Oyz, обертати

навколо дійсної осі Oz, то отримаємо двопорожнинний гіперболоїд

обертання навколо осі Oz (рис. 13).

,12

2

2

2

c

z

b

y


.1

12

2

2

222

222

2

2

2

c

z

b

yx

yxy

zz

Ozc

z

b

y


12

2

2

22

c

z

b

yx

– канонічне рівняння двопорожнинного

гіперболоїда обертання.

Рис. 13

49

Піддаючи двопорожнинний гіперболоїд обертання

рівномірній деформації (розтягу чи стиску) вздовж осі Ox з коефіцієнтом

деформації k = b/a, треба у рівнянні цієї поверхні зробити заміну

.;; zzyykxx

12

2

2

22

c

z

b

yx


.1

2

2

2

22

c

z

b

yxab


12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

– канонічне рівняння двопорожнинного гіперболоїда загального вигляду

(двопорожнинного гіперболоїда) (рис. 14).

x y

z

a b

c

Рис. 14

50

Параболоїди

51

4.3.6 Елiптичний параболоїд

Якщо параболу що лежить в площині Oyz, обертати навколо

її осі Oz, то отримаємо параболоїд обертання навколо осі Oz (рис. 15).

,22 pzy


.22 2

2222

2

pzyxyxy

zz

Oz

pzy


zp

y

p

x

22

22

– канонічне рівняння параболоїда обертання.

Рис. 15

52

Піддаючи параболоїд обертання

(розтягу чи стиску) вздовж осі Oy з коефіцієнтом деформації ,

треба у рівнянні цієї поверхні зробити заміну



– канонічне рівняння параболоїда

загального вигляду (елiптичного

параболоїда) (рис. 16).

zp

y

p

x

22

22

рівномірній деформації

qpk

.;; zzkyyxx

.

22

22

zp

yqp

p

x

zq

y

p

x

22

22

x

y

z

Зауваження. Еліптичний параболоїд можна утворити рухом параболи

y2 = 2qz вздовж параболи x2 = 2pz так, що площина першої параболи

залишається паралельною координатній площині Oyz, а її вершина ковзає

по другій параболі. Площини цих парабол перпендикулярні між собою.

При цьому рухома і нерухома параболи повернуті опуклостями в один бік

– вершиною вниз.

Рис. 16

На початок розділу

53

54


поверхні

площиною x=0

Одержимо параболу

2 2

2 2

x yz

a b

2

2

0x

yz

b

Приклад побудови еліптичного параболоїда:

2 2

2 2

x yz

a b

ЕЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД

55


поверхні


2 2

2 2

x yz

a b


56


поверхні


2 2

2 2

x yz

a b

2 2

2 21

2 2

x y

a b


57


поверхні


2 2

2 2

x yz

a b

2 2

2 21

3 3

x y

a b


58


поверхні


2 2

2 2

x yz

a b

2 2

2 21

4 4

x y

a b


59


поверхні

площиною y=-1,5

2 2

2 2

x yz

a b

2

2 2

2,25xz

a b


60


поверхні

площиною y=-1

2 2

2 2

x yz

a b

2

2 2

1xz

a b


61


поверхні

площиною y=-0,5

2 2

2 2

x yz

a b

2

2 2

0,25xz

a b


62


поверхні

площиною y=0

2 2

2 2

x yz

a b

2

2

xz

a


63


поверхні

площиною y=1,5

2 2

2 2

x yz

a b

2

2 2

2,25xz

a b

4.3.7 Гiперболiчний параболоїд

Гіперболічним параболоїдом називається поверхня (рис. 16),

.22

22

zq

y

p

x

Ця поверхня утворюється рухом параболи y2 = –2qz вздовж параболи

x2 = 2pz так, що площина першої параболи залишається паралельною

координатній площині Oyz, а її вершина ковзає по іншiй параболі. Площини

цих парабол перпендикулярні між собою. При цьому рухома і нерухома

параболи повернуті опуклостями у протилежні боки: перша напрямлена

вершиною вверх, а друга – вершиною вниз.

Зауваження 1. Гіперболічний параболоїд має форму сідла. Початок

координат O(0;0;0) (вершина гіперболічного параболоїда) є сідловою

точкою (точкою перевалу) цієї поверхні.

Зауваження 2. Гіперболічний параболоїд є лінійчатою поверхнею.

що задається канонічним рівнянням

64

67

Успіхів у навчанні!!!

68

Documents

4 ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ · 4.1 Загальне рівняння поверхні другого порядку Поверхнею другого порядку