4-5 曲線之切線、曲率及紐率

.1. 曲線切向量、切線、曲率

x

y

z

)( 0tr

L

)( 0tr′

曲線L的切線方程式

)()()( 00 trtr′

+= λλρ

其中 λ 為切線的參數

)()()( 00 trtr′

+= λλρ

>′′′<+>=< )(),(),()(),(),()( 000000 tztytxtztytx λλρ

>′+′+′+=< )()(),()(),()()( 000000 tztztytytxtx λλλλρ

>′+′+′+=< )()(),()(),()()( 000000 tztztytytxtx λλλλρ

切線的參數式方程式

)()( 00 txtxx ′+= λ

)()( 00 tytyy ′+= λ

)()( 00 tztzz ′+= λ

切線的參數式方程式

)()( 00 txtxx ′+= λ

)()( 00 tytyy ′+= λ

)()( 00 tztzz ′+= λ

)()(

0

0

txtxx

′−=λ

⇔ )()(

0

0

tytyy

′−=λ

)()(

0

0

tztzz

′−=λ

)()(

0

0

txtxx

′−=λ

)()(

0

0

tytyy

′−=λ

)()(

0

0

tztzz

′−=λ

)()(

0

0

txtxx

′−=λ

)()(

0

0

tytyy

′−=

)()(

0

0

tztzz

′−=

)()(

0

0

txtxx

′−=λ

)()(

0

0

tytyy

′−=

)()(

0

0

tztzz

′−=

)()(

)()(

)()(

0

0

0

0

0

0

tztzz

tytyy

txtxx

′−=

′−=

′−

稱為切線的對稱式方程式

例題4-17

求圓柱曲線 >=< bttatar ,sin,cos 在

6π=t 處的切線向量與切線方程式

解 >=< bttatar ,sin,cos

>×=<6

,6

sin,6

cos)6

( ππππ baar

>×××=<6

,21,

23)

6( ππ baar

>=<6

,2

,23)

6( ππ baar

解 >=< bttatar ,sin,cos>−=<′ btatatr ,cos,sin)(

>−=<′ baar ,6

cos,6

sin)6

( πππ

>××−=<′ baar ,23,

21)

6(π

>−=<′ baar ,23,

2)

6(π

>=<6

,2

,23)

6( ππ baar

>−=<′ baar ,23,

2)

6(π

在6π=t 處之切線方程式

b

bz

a

ay

a

ax6

23

2

2

23 π−

=−

=−

−

為了進一步研究曲線之特性

我們引進弧長s做為曲線之參數

由於s 是t的函數,且

dtdtrdts

t

t=0

)(

由於s 是t的函數,且 dtdtrdts

t

t=0

)(

反之，t 也是s的函數t=t(s)

因此曲線弧長s也可以做為曲線之參數

即曲線方程式可寫成

)())(()( srstrtrr ===

dsrd

是單位切線向量

簡稱切向量

且記為 α

即ds

rd=α

切向量的性質

(1) 與 互相垂直α dtd α

其中

(2)sQ

dtd

s ΔΔ=

→Δ 0limα

QΔ 表示 )( ss Δ+α 與 )( sα 的夾角

)( sα

)( ss Δ+α )( sαΔQΔ

證明1)()( =Δ+= sss αα

2sin2)()()( Qssss Δ=−Δ+=Δ ααα

解釋於黑板

ssss

dsd

s Δ−Δ+=

→Δ

)()(lim0

ααα

ssss

dsd

s Δ−Δ+=

→Δ

)()(lim0

ααα

s

Q

dsd

s Δ

Δ

=→Δ

2sin2

lim0

α

s

Q

dsd

s Δ

Δ

=→Δ

2sin2

lim0

α

s

Q

dsd

s Δ

Δ×=

→Δ

22

lim0

α

sQ

dsd

s ΔΔ=

→Δ 0limα

定義 4-4

稱

dsd

dsrdsk α== 2

2

)(

)(sr為曲線 在s點的曲率

當 0)( ≠sk 時

稱)(

1)(sk

s =ρ

為曲線在s點的曲率半徑

以上討論的曲線方程式以弧長為參數

但大部分的實際問題

給出的曲線方程式不是以弧長為參數

如何由非弧長參數t來計算切向量 )(sα

與曲率 )(sk 可見下面的例子

例 題 4-18

已知圓柱螺線

試求切向量 與曲率

>=< tttr 3,cos4,sin4

)(sα )(sk

解 >=< tttr 3,cos4,sin4

>−=<′

3,sin4,cos4)( tttr

222 3)sin4()cos4()( +−+=′

= tttrdtds

5916 =+=

5)( =′

= trdtds

dsdt

dtrd

dsrd ⋅==α

dsdt

dtrd ⋅=

>−=<′

3,sin4,cos4)( tttr

>−<= 3,sin4,cos451 tt

>−<== 3,sin4,cos451 tt

dsrdα

>−−<= 0,cos4,sin451 tt

dtdα

dsdsk α=)(

dsdt

dtd ⋅= α

dtdα

51=

22 )cos4()sin4(251 tt −+−= 25

4=

.2. 曲線的主法線向量、扭率

因為 α 是單位向量

所以dsdα

與 α 互相垂直

已知2

2

dsrd

dsrd

dsd

dsd =

=α

若 02

2

≠ds

rd

2

2

2

2

dsrd

dsrd

=β

時

則向量

dsd

kα1=

α是單位向量且與 垂直

定義4-5

2

2

2

2

dsrd

dsrd

=β

為曲線的主法線向量

稱向量dsd

kα1=

(請參閱下一頁的圖)

α

dsd

kαβ 1=

βα ×=n

βα , 與 n 構成一個右手系 ，且 1=n

平行於

證明：

dsnd β

因為 n 為單位向量dsndn ⊥

已知 0=⋅αn

dsdn

dsnd αα ⋅+⋅=0

dsdn

dsnd αα ⋅+⋅=0

βα ⋅+⋅= nkdsnd0

α⋅=dsnd0

則 α⊥dsnd

則

α⊥dsnd

又 ndsnd ⊥

因此 dsnd

平行於β

定義4-6

設02

2

≠ds

rd

)()( ssTdsnd β−=

則由

所確定的函數

)(sT 稱為曲線在s處的扭率

因為)()( ssT

dsnd β−=

且

則 dsndsT =)(

1)( =sβ

的夾角對弧長的變化率

dsdsk α=)(

是曲線切向量

同理

α

dsndsT =)(

是單位向量 n 的夾角對弧長的變化率

例4-19

已知圓柱螺線

試求主法線向量 扭率與

>=< tttr 3,cos4,sin4

β

(解答寫於黑板)

例4-20

已知曲線

試求曲率 扭率T與

)0()3(,3),3( 323 >>+−=< attaatttar

k

(解答寫於黑板)

端點曲線的例子(二)

只改變方向

而不改變模的 向量函數

它的端點曲線在

以原點為球心，向量大小為半徑的球面上

稱為球面曲線

因此

)(tAx x=

)(tAy y=

)(tAz z=

稱為端點曲線L的參數式方程式

或寫成向量形式

ktAjtAitAr zyx )()()( ++=

>=< )(),(),( tAtAtA zyx

稱為端點曲線的向量式方程式

參數式方程式←→向量式方程式

已知曲線的向量式方程式

很容易寫出曲線之參數式方程式

反之亦然

參數式方程式→向量式方程式之例子

圓柱螺線的參數式方程式為

tax cos=

tay sin=

btz =

圓柱螺線的參數式方程式為

tax cos=

tay sin=btz =

圓柱螺線的向量式方程式為

kbtjtaitatrr ++== sincos)(

>=< bttata ,sin,cos

例題4-12

寫出點

平行向量

的直線方程式

),,( 0000 zyxp

>=< zyx aaaa ,,

例題4-12 之解答

),,( 0000 zyxp a

o

),,( zyxM0OP

r

at

atOPr += 0

><+>=< zyx aaatzyxr ,,,, 000

atOPr += 0

>+++=< zyx taztaytaxr 000 ,,

為直線之向量式方程式

向量函數的坐標型態

則稱 為變數t的向量函數

記作

A

)(tAA = 它的坐標形式

ktAjtAitAA zyx )()()( ++=

.2. 向量函數的導數、切線向量

定義4-2

:t0 的增加量

:向量函數)(tA

:)()()( 000 tAttAtA −Δ+=Δ

:定數0t

tΔ

A 從自變數t0 變到t0+∆t時的增量

x

y

z

)( 0tA

P

L

Q

)( 0 ttA Δ+

)( 0tAΔ

若下列極限存在

ttAttA

ttA

Δ−Δ+=

ΔΔ )()()( 000

ttAttA

ttA

tt Δ−Δ+=

ΔΔ

→Δ→Δ

)()(lim)(lim 000

00

則稱此極限為向量函數 )(tA

在t0處的導數向量

記作

ttAttA

ttA

dttAdtA

tt Δ−Δ+=

ΔΔ==

′→Δ→Δ

)()(lim)(lim)()( 00

0

0

0

00

若>=< )(),(),()( tAtAtAtA tyx

則>′′′=<=

′)(),(),()()( 0

0 tAtAtAdt

tAdtA tyx

>=<dt

tdAdt

tdAdt

tdA zyx )(,)(

,)(

kdt

tdAjdt

tdAi

dttdA zyx )()()( ++=

x

y

a

f(a)

L:過點(a,f(a))的切線

L的斜率=

y=f(x)的圖形

axdxdyaf ==′ )(

x

y

z

)( 0tA

P

L

Q

)( 0 ttA Δ+

)( 0tAΔ

ttA

ΔΔ )( 0 是PQ上一個向量

當 0>Δt 時，則與 )( 0tAΔ 同方向

當 0<Δt 時，則與 )( 0tAΔ 反方向

當 0→Δt 時，PQ割線繞著P點轉動

且以點P處的切線為其極限的位置

因此，向量dt

tAd )( 0 在點P處的切線上

其方向指向t增大的方向

若 )(tAr = 是曲線的向量方程式

則dt

tAddtdr )(= 在曲線的切線上

而且指向增大的一方。

我們稱dt

tAddtdr )(= 為曲線 )(tAr =

的 切線向量

例題 4-13

求三次扭曲線 >=< 32,, ctbtatr 的切線向量

解：

>=< 32 ,, ctbtatr

所以曲線的切線向量為

>=<′ 23,2,)( ctbtatr

導數向量的性質

設 )(tff = 為純量函數

)(),(),( tCCtBBtAA === 為向量函數

則

(1)dtAdfA

dtdf

dtAfd +=)(

(2)dtBdAB

dtAd

dtBAd ⋅+⋅=⋅ )(

(3)dtBdAB

dtAd

dtBAd ×+×=× )(

(4) ),,(),,(),,(),,(dtCdBAC

dtBdACB

dtAdCBA

dtd ++=

例題 4-14

試證:模為常數的向量函數與其導數向量函數

互相垂直。

相當於證明: 0)()( =′

⋅ tAtA

例題 4-14 的證明:

設 ctA =)(

則 2)()( ctAtA =⋅

[ ] 2)()( cdtdtAtA

dtd =⋅

[ ] 2)()( cdtdtAtA

dtd =⋅

0)()()()( =′

⋅+⋅′

tAtAtAtA

0)()(2 =⋅′

tAtA

0)()( =⋅′

tAtA

因此 )()( tAtA ⊥′

模為常數的向量為球面向量

因此其幾何意義為:

球面曲線的切向量與球半徑垂直

.3. 弧長參數

前面所研究的曲線

中參數t 可以是時間參數或其他參數

其中一個非常重要的參數是 弧長S

)(tAr =

若把曲線弧長S作為參數，

則曲線的眾多性質與公式有明確的意義

因此稱弧長S為曲線的 自然參數

x

y

z

)( 0tr

P

L

Q

)(tr

)(ts

弧長公式

設曲線

則

>=<= )(),(),()( tztytxtrr

′+′+′=′=t

t

t

ttztytxdtrts

00

)()()()( 222

′+′+′=′=t

t

t

ttztytxdtrts

00

)()()()( 222

)()()()()( 222 tztytxtrtsdtd ′+′+′=′=

)()( trtsdtd ′=

dttrds )(′=

22

2 )( dttrds ′=

22 )()( dttrtrds ⋅=

dttrdttrds )()(2 ⋅=

rdrdds ⋅=2

2dsrdrd =⋅

1=⋅dsrd

dsrd

1=⋅ds

rdds

rd 1=ds

rd

切線向量

曲線弧長s做為曲線方程式的參數時

dsrd=α 的模為1

即切線向量是單位向量

練習4-3

1. 求曲線 >=< tatatar 2cos,2sin,sin

在3π=t 的切線向量

解:>=< tatatar 2cos,2sin,sin

>−=<′

ttatatatr sincos2,2cos2,cos)(

>−=<′

3sin

3cos2,

32cos2,

3cos)

3( πππππ aaar

>−=<′

3sin

3cos2,

32cos2,

3cos)

3( πππππ aaar

>××−−××=<′

23

212),

21(2,

21)

3( aaar π

>−−=<′

aaar23,,

2)

3(π

練習4-3

2.求圓柱曲線 >=< tttr ,sin2,cos2

在4π=t 的切線向量

解:

>=< tttr ,sin2,cos2

>−=<′

1,cos2,sin2)( tttr

>−=<′

1,4

cos2,4

sin2)4

( πππr

>−=<′

1,4

cos2,4

sin2)4

( πππr

>××−=<′

1,222,

222)

4(πr

>−=<′

1,2,2)4

(πr

練習4-3

2.求曲線 >=< ttettttr ,cos,sin

在 0=t 的切線向量

解:

>=< ttettttr ,cos,sin

=′

)(tr

>+−+< tt teetttttt ,sincos,cossin

解:=′

)(tr

>+−+< tt teetttttt ,sincos,cossin

=′

)0(r

>+−+< 00 0,0sin00cos,0cos00sin ee

>=< 1,1,0