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4Estudos Preliminares
4.1Identi�cação e Análise de Cenários
4.1.1Campo-Livre
A primeira necessidade observada é o entendimento da resolução docampo-livre pelos programas SASSI∗ (SASSI 2000 e ACS SASSI). A in�uência,na resposta do campo-livre, da variação de parâmetros de de�nição do sítiocomo:
• Tipo de onda incidente e ângulo de incidência da mesma;• Número de camadas de terreno;• Propriedades do terreno, como: módulos de elasticidade longitudinal e
transversal, densidade especí�ca e altura das camadas;• Direção do movimento de controle;• Localização do ponto de controle.
começou a ser estudada na dissertação de mestrado de Dalcanal, [28],e tem continuidade na dissertação de Correia [29]. O apêndice A, apresentaalgumas recomendações para utilização dos programas SASSI∗ obtidas dosestudos realizados até o momento.
4.1.2Interação Solo-Estrutura - In�uência na Resposta do Terreno
As análises da ISE servem para abrir o cenário SASSI∗, no assuntointeração, para a análise da IESE. Para tal estuda-se o efeito da presença deuma estrutura no terreno. Considera-se estrutura super�cial e com diferentesprofundidades de enterramento.
O estudo é iniciado por uma estrutura simples, tipo caixão, com massasconcentradas, sendo suas freqüências naturais variadas através da consideração
Estudos Preliminares 58
de diferentes valores de rigidez. Também se consideram diferentes relações demassa entre a estrutura e o terreno.
Busca-se obter sensibilidade quanto a variação da resposta do terrenopróximo a estrutura implantada e a certo afastamento da mesma.
4.2Campo-livre
4.2.1Resolução do Campo-Livre pelos Programas SASSI∗ (SI) x Propagaçãode Ondas (PO)
Primeiramente faz-se uma ambientação nas soluções adotadas peloSASSI∗ utilizando-se princípios de propagação de ondas em meios elásticos,pelo método da matriz de Thomson-Haskell, [30], apresentado em seqüência.O embasamento da resolução adotada pelo SASSI∗ está apresentada no capí-tulo 3, ítem 3.1.2.
No problema bidimensional no plano, ou seja, ondas P ou SV incidente,tem-se que as condições de deslocamento nas direções x, y e z são respec-tivamente: ux = ux(x, z, t), uy = 0 e uz = uz(x, z, t). Já as equações demovimento nas direções x e z, para um meio viscoelástico isotrópico sujeito auma excitação harmônica são, respectivamente, iguais a:
(M∗ −G∗)∂ε
∂x+ G∗∇2ux = ρ
∂2ux
∂t2(4-1)
(M∗ −G∗)∂ε
∂z+ G∗∇2uz = ρ
∂2uz
∂t2(4-2)
Onde
ε =∂ux
∂x+
∂uz
∂z- dilatação volumétrica
∇2 =∂2
∂x2+
∂2
∂z2- operador de Laplace.
As soluções podem ser expressas por deslocamentos potenciaisΦ e Ψ,nas seguintes formas:
ux =∂Φ
∂x− ∂Ψ
∂z(4-3)
uz =∂Φ
∂z+
∂Ψ
∂x(4-4)
Estudos Preliminares 59
Sendo que Φ e Ψ satisfazem as equações de onda associadas às ondas Pe SV, respectivamente:
∇2Φ =1
V ∗2P
∂2Φ
∂t2(4-5)
∇2Ψ =1
V ∗2S
∂2Ψ
∂t2(4-6)
Como os movimentos são assumidos harmônicos na freqüência ω, ospotenciais de onda também são harmônicos, permitindo-se escrever as equaçõesna forma independente do tempo como:
∇2Φ + k2P Φ = 0 (4-7)
∇2Ψ + k2SΨ = 0 (4-8)
Onde:kP e kS - números de onda P e S complexos, respectivamente.
Que têm como soluções:
Φ = [A1(ω)exp(−ikφz) + A2(ω)exp(ikφz)] exp(ikx) (4-9)
Ψ = [B1(ω)exp(−ikψz) + B2(ω)exp(ikψz)] exp(ikx) (4-10)
Sendo:k = kP sen(β) = kSsen(α) - número da propagação de onda na horizontal,
dependente do ângulo que as ondas P (β ) e SV (α) fazem com a vertical.kφ = kP cos(β) = kcot(β) - número de propagação da onda P na verticalkψ = kScos(α) = kcot(α) - número de propagação da onda SV na vertical.A1, A2, B1, B2 - amplitudes das ondas P ascendente e descendente e das
ondas SV ascendentes e descendentes, respectivamente.
Considera-se um semi-plano formado por n camadas isotrópicas, homo-gêneas e perfeitamente ligadas na interface, sem permitir deslizamento algumentre as superfícies de interface, como apresentado na Figura4.1.
Estudos Preliminares 60
Figura 4.1: Semi-plano estrati�cado excitado por ondas de corpo P e SV
O método consiste em reduzir o sistema de equações correspondentes atodo o meio, (4n-2) condições a serem satisfeitas, em um produto de pequenasmatrizes (4x4), uma para cada camada.
Considere-se a camada m limitada pelas interfaces m-1 e m. Re�exõesmúltiplas formarão um sistema de ondas ascendentes (a) e descendentes(d), propagando-se nas direções negativas e positivas de z, com os seguintespotenciais:
φam = amexp
[i(kx− ζm(z − zm−1))
], onda P ascendente (4-11)
φdm = bmexp
[i(kx + ζm(z − zm−1))
], onda P descendente (4-12)
ψam = cmexp
[i(kx− ηm(z − zm−1))
], onda SV ascendente (4-13)
ψdm = dmexp
[i(kx + ηm(z − zm−1))
], onda SV descendente (4-14)
Onde o subscrito m refere-se à camada e am, bm, cm e dm são as ampli-tudes.
Assim, os potenciais totais dos campos de ondas P e SV são:
Estudos Preliminares 61
φm = φam + φd
m (4-15)
ψm = ψam + ψd
m (4-16)
Uma relação linear entre as amplitudes e as componentes de deslocamen-tos e tensões é dada pela seguinte transformação:
Sm = EmDm (4-17)
Onde
STm =
(uxm uzm σm τm
)(4-18)
DTm =
(am bm cm dm
)(4-19)
Em11 = ikP−1m Em12 = ikPm
Em21 = −iζmP−1m Em22 = iζmPm
Em31 = G∗ (2k2 − k2
Sm
)P−1
m Em32 = G∗ (2k2 − k2
Sm
)Pm
Em41 = 2kG∗mζmP−1
m Em42 = −2kG∗mζmPm
Em13 = iηmQ−1m Em14 = −iηmQm
Em23 = ikQ−1m Em24 = ikQm
Em33 = 2kG∗mηmQ−1
m Em34 = −2kG∗mηmQm
Em43 = −G∗m
(2k2 − k2
Sm
)Q−1
m Em44 = −G∗m
(2k2 − k2
Sm
)Qm
(4-20)
sendo:Pm = exp [iζm (z − zm−1)] exp(ikx) eQm = exp [iηm (z − zm−1)] exp(ikx).
Na interface m-1, Sm−1m = Em−1
m Dm e na interface m, Smm = Em
mDm.Combinando essas relações para produzir uma fórmula de recorrência entre osvalores de deslocamentos e tensões no topo e na base da camada m, tem-seque:
Smm = Em
m(Em−1m )−1Sm−1
m (4-21)
Smm = AmSm−1
m (4-22)
Estudos Preliminares 62
Onde:
(Em−1m )−1 =
− ikk2
Sm
− i(2k2−k2Sm)
2ζmk2Sm
− 12ρmω2
k2ρmω2ζm
− ikk2
Sm
i(2k2−k2Sm)
2ζmk2Sm
− 12ρmω2 − k
2ρmω2ζm
i(2k2−k2Sm)
2ηmk2Sm
− ikk2
Sm
k2ρmω2ηm
12ρmω2
− i(2k2−k2Sm)
2ηmk2Sm
− ikk2
Sm
− k2ρmω2ηm
12ρmω2
exp(−ikx)
(4-23)
Aplicando-se repetidamente a Equação4-21 para todas as camadas, pelascondições de continuidade, tem-se para todo meio que:
Sn−1n = An−1An−2 . . .A1S
01 (4-24)
e
Dn = (En−1n )−1An−1An−2 . . .A1S
01 (4-25)
Dn = JS01 (4-26)
A formulação de Thomson-Haskell é um algoritmo que relaciona as res-postas na interface n-1 com as respostas na superfície livre por um produto dematrizes. Considerando-se que as constantes an e cn correspondem ao campode ondas incidentes na camada n e as condições de contorno, tem-se a forma:
an
bn
cn
dn
=
J11 J12 J13 J14
J21 J22 J23 J24
J31 J32 J33 J34
J41 J42 J43 J44
u0x
u0z
0
0
(4-27)
Da qual pode-se escrever as expressões para os deslocamentos na super-fície livre:
u0x =
anJ32 − cnJ12
J11J32 − J31J12
(4-28)
u0z =
−anJ31 + cnJ11
J11J32 − J31J12
(4-29)
Estudos Preliminares 63
Como S10 é conhecida, o vetor de deslocamentos e tensões pode assim ser
avaliado em qualquer nível da camada m por:
Sz∗m = Ez∗
m (Em−1m )−1Am−1 . . .A1S
01 (4-30)
Onde:z∗ = z − zm−1 - profundidade medida a partir do topo da camada.
Já no problema bidimensional fora do plano, onda SH incidente, ascondições de deslocamentos nas direções x, y e z são, respectivamente:ux = 0,uy = uy(x, z, t) e uz = 0. Essas condições produzem a seguinte equação demovimento:
∇2uy =1
V 2S
∂2v
∂t2(4-31)
Por separação de variáveis, tem-se a equação da onda no domínio dafreqüência:
∇2uy + k2Suy = 0 (4-32)
Que tem como solução geral:
uy = [A1(ω)exp(−ikψz) + A2(ω)exp(ikψz)] exp(ikx) (4-33)
Onde:kψ = kScos(αi) - número de propagação da onda SH na vertical.A1, A2 - amplitudes das ondas SH ascendente e descendente, respectiva-
mente.
Nesse caso o sistema consistirá do produto de matrizes (2x2) para cadacamada.
Como onda SH incidente gera somente onda SH re�etida e refratada, ocampo de deslocamentos, fora do plano, é formado por ondas SH ascendentes(a) e descendentes (d), propagando-se nas direções negativa e positiva de z,com as seguintes expressões:
uaym
= cmexp[i(kx− ηm(z − zm−1))
], onda SH ascendente (4-34)
Estudos Preliminares 64
udym
= dmexp[i(kx + ηm(z − zm−1))
], onda SH descendente (4-35)
Assim os deslocamentos totais são:
uym = uaym
+ udym
(4-36)
E a relação linear entre as amplitudes das ondas e as componentes dedeslocamento e tensão é dada pela transformação:
Sm = EmDm (4-37)
Onde
STm =
(uym τm
)(4-38)
DTm =
(cm dm
)(4-39)
Em11 = Q−1m Em12 = Qm
Em21 = −iηmG∗mQ−1
m Em22 = iηmG∗mQm
(4-40)
E, a fórmula de recorrência entre os valores de deslocamento e tensão notopo e na base da camada m, torna-se:
Smm = Em
m(Em−1m )−1Sm−1
m (4-41)
Smm = AmSm−1
m (4-42)
Onde:
(Em−1m )−1 =
−i
2G∗mηm
[iG∗
mηm −1
iG∗mηm 1
](4-43)
Para todo o meio tem-se:
Sn−1n = An−1An−2 . . .A1S
01 (4-44)
Estudos Preliminares 65
e
Dn = (En−1n )−1An−1An−2 . . .A1S
01 (4-45)
Dn = JS01 (4-46)
ou seja,{
cn
dn
}=
[J11 J12
J21 J22
]{u0
y
0
}(4-47)
Assim:
u0y =
cn
J11
(4-48)
Novamente pela Equação 4-30, podem-se calcular os deslocamentos emqualquer nível da camada m.
Agora, faz-se uma comparação numérica das metodologias apresentadas.Estuda-se, separadamente, o caso de ondas de corpo P, SV e SH incidente notopo de um semi-espaço que suporta três camadas de solo, como apresentadona Figura 4.2. As respostas de campo-livre, na superfície de cada camada edo SE, são obtidas utilizando-se o programa SASSI 2000 (SI) e o método damatrix de Thomson-Haskell (TH). Os espectros de amplitudes do movimentode campo-livre na vertical do ponto de controle, para as direções x, z e y , sãoobtidos e comparados.
As propriedades do solo do semi-espaço e das camadas são apresentadasna Tabela 4.1. Considera-se o ponto de controle (PC) localizado no topo daprimeira camada e o movimento de controle atuando nas direções x (mcX),para ondas P ou SV e y (mcY ), para onda SH.
As Figuras 4.3 e 4.4 apresentam os espectros em aceleração do movimentode campo-livre na superfície de cada camada e do semi-espaço (SE), nas dire-ções x e z, respectivamente, para onda P incidente. Observa-se a concordânciade resultados entre as metodologias em todos os casos.
O mesmo ocorrendo com os resultados nas direções x e z, para onda SVincidente, Figuras 4.5 e 4.6, respectivamente, e na direção y, para onda SHincidente, Figura 4.7.
Estudos Preliminares 66
Figura 4.2: Modelo do campo-livre
Tabela 4.1: Propriedades do terreno do modelo de campo-livreParâmetros de campo-livre Camadas Semi-espaço
(cam) (SE)Peso Especí�co (γ) (kN/m3) 18,5 18,5Velocidade de propagação 1200 2500da onda S (VS) (m/s)Velocidade de propagação 1900 4000da onda P (VP ) (m/s)Amortecimento associado 0,07 0,07à onda S (ξS)Amortecimento associado 0,07 0,07à onda P (ξP )
Figura 4.3: Espectro de amplitude do movimento de campo-livre na vertical doponto de controle, direção x, onda P incidente, obtida usando-se o SASSI2000e o método da matrix de Thomson-Haskell (TH)
Estudos Preliminares 67
Figura 4.4: Espectro de amplitude do movimento de campo-livre na vertical doponto de controle, direção z, onda P incidente, obtida usando-se o SASSI2000e o método da matrix de Thomson-Haskell (TH)
Figura 4.5: Espectro de amplitude do movimento de campo-livre na vertical doponto de controle, direção x, onda SV incidente, obtida usando-se o SASSI2000e o método da matrix de Thomson-Haskell (TH)
Estudos Preliminares 68
Figura 4.6: Espectro de amplitude do movimento de campo-livre na vertical doponto de controle, direção z, onda SV incidente, obtida usando-se o SASSI2000e o método da matrix de Thomson-Haskell (TH)
Figura 4.7: Espectro de amplitude do movimento de campo-livre na vertical doponto de controle, direção y, onda SH incidente, obtida usando-se o SASSI2000e o método da matrix de Thomson-Haskell (TH)
Estudos Preliminares 69
4.3Interação Solo-Estrutura - In�uência no Movimento do Terreno
4.3.1Estratégia
Busca-se adquirir sensibilidade quanto ao comportamento da soluçãode problemas com interação solo-estrutura e, posteriormente, com interaçãoestrutura-solo-estrutura, adotada pelos programas SASSI∗, pela análise de umaestrutura espacial modelada por elementos de viga com massas concentradasem um terreno estrati�cado em camadas horizontais semi-in�nitas sobre umsemi-espaço elástico em rocha, Figura 4.8. Assim, comparam-se as respostasobtidas no terreno considerando a interação solo-estrutura, com as respostasdo campo-livre, ou seja, do terreno sem a presença da estrutura.
Os aspectos gerais da interação são avaliados variando-se as relações entrea profundidade de enterramento e a largura da base da estrutura (re) e entreas primeiras freqüências naturais da estrutura e do terreno (rf). Mantém-secomo latente um parâmetro relacionando as massas especí�cas do terreno e daestrutura.
Avalia-se a resposta do terreno, no topo da camada super�cial, navertical do ponto de controle, para os vários casos analisados. As freqüênciasnaturais são obtidas das funções de transferência nas direções x, considerandomovimento de controle na direção Z (FTx-mcZ), e z, para movimento decontrole na direção X (FTz-mcX), por serem funções mais bem comportadas.E, as con�gurações dos modos, nessas freqüências, são obtidas das funções detransferência nas respectivas direções, considerando o movimento de controlena direção X se onda SV incidente e, Z para a onda P, por serem as direçõesde maior in�uência dessas ondas.
Assim, tem-se uma base para posterior análise de problemas com intera-ção estrutura-solo-estrutura utilizando-se o programa SASSI∗ e dos parâmetrosque mais in�uenciam na interação.
4.3.2Modelo Básico
Estrutura espacial de dimensões 6 x 6 x 6 m , dividida de 2 em2 m em cada direção e com massas concentradas, como apresentado naFigura 4.8. Modela-se a estrutura com 160 elementos de viga, de seçãotransversal quadrada, com as propriedades geométricas e mecânicas descritasna Tabela 4.2. A massa da estrutura é concentrada e distribuída igualmentenos nós de cada andar, sendo que os andares intermediários recebem a
Estudos Preliminares 70
contribuição de metade da massa dos andares sub e sobrejacentes. Considera-se um carregamento de 12 kN/m2 por andar, correspondendo ao peso próprioda estrutura e de outros carregamentos gravitacionais, sendo assim, cada nódos andares superior e inferior apresenta massa igual a 1,35 t e os dos andaresintermediários igual a 4,05 t, em cada uma das três direções.
Figura 4.8: Modelo da estrutura sobre o terreno estrati�cado.
Tabela 4.2: Propriedades das vigas da estruturaMecânicas Geométricas
Mód. Elast. Long. variável Area Sec. Transv. 0,1600 m2
Coef. Poisson 0,3 Area Cisalhamento 0,1333 m2
Peso Unitário 0,0 Inércia à Torção 0,0036 m4
Fator de Amortecimento 0,07 Inércia à Flexão 0,0021 m4
O terreno é modelado por seis camadas horizontais de solo com 2 m deespessura cada e propriedades indicadas na Tabela4.3, sobre um semi-espaçoelástico de propriedades indicadas na mesma tabela.
A relação entre as massas especí�cas da estrutura e do terreno (rm) éigual a 0,4 .
Adota-se o ponto de controle na superfície do terreno e na posiçãocorrespondente ao centro da estrutura. Utilizam-se onda SV ou P incidentea 20◦ e movimento de controle nas direções X e Z.
Estudos Preliminares 71
Tabela 4.3: Propriedades das camadas de solo e do SEParâmetros do terreno Camadas Semi-espaço
(cam) (SE)Peso Especí�co (γ) (kN/m3) 18,5 18,5Velocidade de propagação 1200 2500da onda S (VS) (m/s)Velocidade de propagação 1900 4000da onda P (VP ) (m/s)Amortecimento associado 0,07 0,07à onda S (ξS)Amortecimento associado 0,07 0,07à onda P (ξP )
4.3.3Programa de Ensaios
Analisa-se a estrutura, com base �xa, separadamente no programa SAP2000, para obtenção de suas freqüências naturais. As freqüências naturais doterreno são obtidas pelo método simpli�cado de representação apresentado emDalcanal, [28]. A análise do sistema terreno estrutura, considerando a interaçãoentre os dois, é realizada no programa SASSI 2000, para os diferentes valoresde relações de freqüências (rf): 0,1; 0,5; 1,0; 1,5 e 2,0.
Juntamente, avalia-se a in�uência da relação entre a profundidade deenterramento da estrutura e a altura/largura da mesma (re) na resposta doterreno, para os cinco casos de rf . Os valores de re considerados são: nulo(0), no caso de estrutura super�cial, 1/3, 2/3 e 1, estrutura completamenteenterrada.
Obtêm-se os modos de aceleração do terreno (Φ), na vertical do ponto decontrole, nas direções x e z, pelas FTx e FTz, respectivamente, considerandomovimento de controle na direção X, se onda SV incidente, e na direção Zse onda P, no topo da camada super�cial, para o campo-livre e os diferentescasos de interação solo-estrutura. Observam-se as variações relativas, entre assituações de campo-livre e deste mais a estrutura, do quadrado do módulodas con�gurações na vertical do ponto de controleΦT Φ, para as três primeirasfreqüências do conjunto terreno-estrutura.
Para mobilizar a in�uência da relação de massas entre a estrutura e oterreno (rm), analisam-se os casos de rf = 0, 1 e re = 0 e 1, submetidos à ondaSV a 20o, considerando rm = 1, 5 e 3, 0; valores mais associados a estruturasde edifícios de instalações industriais pesadas, [16]. Veri�cam-se as variaçõesdas freqüências naturais e dos módulos das con�gurações na vertical do pontode controle.
Na seqüência, analisa-se a in�uência da interação solo-estrutura em
Estudos Preliminares 72
pontos afastados horizontalmente da vertical do ponto de controle a uma vez alargura da estrutura nessa direção (L), duas (2L), três (3L), cinco (5L) e dezvezes essa largura (10L).
Avalia-se nos topos das primeira (super�cial) e quarta camadas, e dosemi-espaço (SE), a variação relativa dos valores das amplitudes das FT nasfreqüências com movimento predominante na vertical (44,43 Hz) e na horizon-tal (81,05 Hz), para os diferentes valores de afastamento. Essas freqüências sãoos valores das freqüências correspondentes aos máximos picos das FTz-mcXe FTx-mcZ, respectivamente, do campo-livre na vertical do ponto de controle(VtPC) e na superfície da primeira camada. Também veri�ca-se para os to-pos dessas camadas e do SE a diferença das amplitudes máximas das FT nosdiferentes afastamentos em relação à amplitude máxima das FT na VtPC.
4.3.4Apresentação e Análise dos Resultados
A Figura 4.9 apresenta a variação relativa ao campo-livre da primeirafreqüência do conjunto terreno-estrutura obtida das FT no topo da camadasuper�cial, para diferentes relações de freqüência e de enterramento, conside-rando onda SV incidente a 20◦.
Analisando-se a curva correspondente à estrutura super�cial, re = 0,tem-se como divisor o caso onde as freqüências da estrutura e do terrenocoincidem, rf = 1. Veri�ca-se que a freqüência do conjunto, consideradaestrutura super�cial, é reduzida em relação à do campo-livre. Isso deve-seao fato que, ao apoiar a estrutura sobre o terreno a massa da estruturasoma-se à deste, aumentando a massa do conjunto, reduzindo a freqüênciatotal em relação à do campo-livre. Com o enterramento da estrutura há umareorganização da massa e da rigidez do conjunto, aumentando a freqüênciatotal em relação à do campo-livre. Essa variação reduz com o aumento darelação de enterramento.
Voltando-se à curva correspondente à estrutura super�cial, nota-se quepara valores de rf > 1 a freqüência do conjunto cresce com a relaçãode freqüências, aproximando-se assintoticamente de um valor determinado,correspondendo à presença de um caixão rígido depositado sobre o terreno. E,para rf < 1, a freqüência do conjunto também aumenta em relação ao valorpara rf = 1, tendendo ao valor da freqüência do campo-livre à medida querf aproxima-se de zero; uma vez que a rigidez da estrutura tende a zero, oterreno passa a representar todo o conjunto, e a sua freqüência aproxima-se dado campo-livre.
As curvas para estrutura com enterramento, re 6= 0, têm um comporta-
Estudos Preliminares 73
mento regular partindo de rf = 0, 1; com valor bem superior ao da freqüênciado campo-livre e decaindo assintoticamente para o valor determinado, agoraconsistente com um caixão rígido parcial ou totalmente enterrado. Esse va-lor decai com o aumento da relação de enterramento, ainda presidido pelareorganização da massa e da rigidez do conjunto à medida que prossegue oenterramento. Excepcionalmente, parare = 1/3 esse comportamento muda deorientação para rf < 0, 5; quando há um mergulho indicando uma freqüênciado conjunto inferior à do campo-livre.
Figura 4.9: Variação relativa da 1a freqüência do conjunto em função da relaçãode freqüências entre a estrutura e o terrenorf , considerando diferentes relaçõesde enterramento re e onda SV a 20o.
Uma forma simpli�cada para se entender a redução da freqüência doconjunto com a crescente freqüência da estrutura, situação aparentementecontraditória, é a indução de uma associação da rigidez do terreno,kt, com ada estrutura, ke, como apresenta a Figura 4.10.
Massakt ke
F, v
F = ( - ) vkt ke
Figura 4.10: Indução da rigidez do conjunto a partir da rigidez do terreno (kt)e da estrutura (ke).
Para onda P a 20◦, o comportamento é semelhante ainda que com osvalores extremos maiores para rf = 0, 1; Figura 4.11.
Estudos Preliminares 74
Figura 4.11: Variação relativa da 1a freqüência do conjunto em função darelação de freqüências entre a estrutura e o terrenorf , considerando diferentesrelações de enterramento re e onda P a 20o.
As variações das segunda e terceira freqüências são praticamente insig-ni�cantes, inferiores a 5%, exceto para o caso de re = 2/3 e rf = 0, 1 queapresenta uma variação um pouco mais signi�cativa, Figuras4.12 e 4.13.
Conclui-se, então, que as variações que realmente têm in�uencia nainteração são as observadas na primeira freqüência do conjunto, especialmentepara os casos de rf ≤ 1, 0 e com enterramento da estrutura.
Figura 4.12: Variação relativa da 2a freqüência do conjunto em função darelação de freqüências entre a estrutura e o terrenorf , considerando diferentesrelações de enterramento re e onda SV a 20o.
Estudos Preliminares 75
Figura 4.13: Variação relativa da 3a freqüência do conjunto em função darelação de freqüências entre a estrutura e o terrenorf , considerando diferentesrelações de enterramento re e onda SV a 20o.
As variações relativas ao campo-livre do módulo das con�gurações de-formadas do terreno, na primeira freqüência do conjunto, para diferentesrfe re, são apresentadas nas Figuras 4.14, direção x, onda SV incidente e, 4.15,direção z, onda P incidente.
Figura 4.14: Variação relativa do módulo da con�guração do conjunto nadireção x, 1a freqüência, em função da relação de freqüências entre a estruturae o terreno rf , considerando diferentes relações de enterramentore e onda SVa 20o.
Estudos Preliminares 76
Figura 4.15: Variação relativa do módulo da con�guração do sistema na direçãoz, 1a freqüência, em função da relação de freqüências entre a estrutura e oterreno rf , considerando diferentes relações de enterramento re e onda P a20o.
Observa-se pouca variação do módulo em todas as situações no casode rf > 0, 5; com algumas alterações na região de baixos valores da relaçãode freqüências. Esse comportamento também é observado para variação domódulo das con�gurações nas segunda e terceira freqüências, em ambas asdireções.
Uma vez que os sistemas com menores relações de freqüência são osque apresentam maior sensibilidade à interação solo-estrutura, avalia-se ain�uência do aumento da relação de massas em dois sistemas comrf = 0, 1;um considerando a estrutura super�cial e outro a estrutura completamenteenterrada. Os resultados são apresentados na Tabela4.4.
Tabela 4.4: Variações relativas dos valores das freqüências do conjunto pararf = 0, 1 e onda SV à 20o.
Variação das freqüências do conjuntorm re = 0 re = 1
1a 2a 3a 1a 2a 3a0,4 -0,01 0,00 0,00 0,07 0,05 -0,011,5 -0,02 -0,01 0,00 0,20 -0,10 -0,023,0 -0,04 -0,02 0,00 0,05 0,06 0,02
Estudos Preliminares 77
Observa-se que, no caso da estrutura super�cial, o aumento da relaçãode massa é insigni�cante para variação das freqüências naturais. Já no caso daestrutura enterrada, a variação das primeira e segunda freqüências do sistemapode chegar a 20% em relação à freqüência do campo-livre. Novamente avariação da terceira freqüência é insigni�cante.
Prossegue-se com o estudo da in�uência da interação solo-estruturana resposta do terreno, com o afastamento relativo da vertical do pontode controle. Para tal, a Figura 4.16 expõe as relações entre as amplitudesdas respostas nos topos das primeira e quarta camadas e do SE, com oafastamento da vertical do ponto de controle, obtidas na maior freqüênciacom movimento predominante na vertical (44,43 Hz) considerando sistemascom re = 2/3 e dois valores de rf : 0,1 e 1,5; sendo onda SV incidente. Dandoprosseguimento, a Figura 4.17 apresenta as mesmas relações porém, obtidasna maior freqüência com movimento predominante na horizontal (81,05 Hz) epara onda P incidente.
Afastamento relativo à VtPC
|a|
/|a
VtP
C|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.5
0.6
0.7
0.8
1
2
3
4
5
CL
rf = 0,1
rf = 1,5
(a) topo camada super�cialAfastamento relativo à VtPC
|a|
/|a
VtP
C|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.5
0.6
0.7
0.8
1
2
3
4
5
CL
rf = 0,1
rf = 1,5
(b) topo quarta camada
Afastamento relativo à VtPC
|a|
/|a
VtP
C|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
CL
rf = 0,1
rf = 1,5
(c) topo SE
Figura 4.16: Variação das amplitudes das respostas do terreno em função doafastamento relativo à VtPC, das FTz-mcX, f = 44, 43Hz, considerandore = 2/3 e onda SV a 20o.
Estudos Preliminares 78
Afastamento relativo à VtPC
|a|
/|a
VtP
C|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.5
0.6
0.7
0.8
1
2
3
4
5
CL
rf = 0,1
rf = 1,5
(a) topo camada super�cialAfastamento relativo à VtPC
|a|
/|a
VtP
C|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
CL
rf = 0,1
rf = 1,5
(b) topo quarta camada
Afastamento relativo à VtPC
|a|
/|a
VtP
C|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2
CL
rf = 0,1
rf = 1,5
(c) topo SE
Figura 4.17: Variação das amplitudes das respostas do terreno em função doafastamento relativo à VtPC, das FTx-mcZ , f = 81, 05Hz, considerandore = 2/3 e onda P a 20o.
Observa-se que, tanto para onda SV quanto para onda P incidente, asmaiores variações são para o caso de rf = 0, 1; e para distâncias inferiores acinco vezes a largura da base da estrutura, na mesma direção do afastamento.A partir dessa distância o comportamento das curvas de resposta dos sistemastendem a �car paralelas à curva resposta do campo-livre. A variação do sistemacom rf = 1, 5 é muito menor em todos os casos.
Para se ter uma idéia geral da sensibilidade do valor do afastamento àinteração solo-estrutura, apresentam-se, na Figura4.18, a variação relativa aocampo-livre dos valores das amplitudes das respostas máximas da FTz-mcX,para onda SV incidente e FTx-mcZ, para onda P incidente, dos sistemas comre = 2/3 e rf = 0, 1 e 1, 5; nos topos das primeira e quarta camadas e do SE.
Novamente observa-se maior sensibilidade dos sistemas comrf = 0, 1 euma variação inferior a 15% a partir de um afastamento de três vezes a largurada estrutura na direção de afastamento (3L), em todos os casos.
Estudos Preliminares 79
Afastamento relativo á VtPC
(|a
sis
tem
a|
-|a
CL|)
/|a
CL|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.9
-0.75
-0.6
-0.45
-0.3
-0.15
0
0.15
0.3
rf = 0,1 - topo cam suprf = 1,5 - topo cam suprf = 0,1 - topo cam 4rf = 1,5 - topo cam 4rf = 0,1 - topo SErf = 1,5 - topo SE
(a) FTz-mcX, SV 20o
Afastamento relativo à VtPC
(|a
sis
tem
a|
-|a
CL|)
/|a
CL|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.75
-0.6
-0.45
-0.3
-0.15
0
0.15
0.3
0.45
rf = 0,1 - topo cam suprf = 1,5 - topo cam suprf = 0,1 - topo cam 4rf = 1,5 - topo cam 4rf = 0,1 - topo SErf = 1,5 - topo SE
(b) FTx-mcZ, P 20o
Figura 4.18: Variação relativa ao campo-livre das respostas máximas das FT,pelo afastamento relativo à VtPC, de sistemas comre = 2/3 e rf = 0, 1 e 1, 5;no topo das camadas super�cial e quarta e do SE.
Em síntese, a in�uência da interação solo-estrutura pode ser avaliadaprincipalmente analisando-se a variação na primeira freqüência do conjuntoterreno-estrutura. De maneira geral, observa-se que a freqüência decai expo-nencialmente, à medida que cresce a relação de freqüências entre a estrutura eo terreno, tendendo para um valor determinado, correspondente a uma estru-tura rígida sobre o terreno ou neste embutida. A posição relativa das curvasdepende da relação de enterramento; menores enterramentos, maiores valoresdeterminados. Sistemas com relação de freqüências mais baixas, ou seja, onde afreqüência da estrutura é inferior à metade da do terreno, apresentam maioresvariações da freqüência do conjunto e do módulo da con�guração a ela as-sociada, bem como oscilações de comportamento. Ainda que, o enterramentoda estrutura conduza à idéia de maiores efeitos de interação, o exemplo emquestão mostra que, este ponto precisa ser examinado com detalhe em fun-ção da relação entre as freqüências da estrutura e do terreno. Para estruturassuper�ciais e relativamente �exíveis praticamente não há interação. Quanto àin�uência na resposta do terreno com o afastamento da vertical do ponto decontrole, pode-se considerar como distância limite de sensibilização três vezesa largura da estrutura na direção de afastamento (3L).