4. Game Theory.pptx

TEORI PERMAINANAmelia Kurniawati, ST., MT.

Kehidupan penuh dengan konflik dan kompetisi, dalam kehidupan banyak contoh yang melibatkan

lawan dalam konflik, di antaranya kampanye politik, pemasaran barang, penerimaan mahasiswa di suatu

daerah untuk beberapa perguruan tinggi favorit.

Berdasarkan hal tersebut, maka pada materi ini akan diperkenalkan suatu situasi pengambilan keputusan

yang mencerminkan adanya kompetitor.

Teori permainan (game theory) adalah bagian dari ilmu pengetahuan yang

berkaitan dengan pembuatan keputusan pada saat dua pihak atau lebih berada dalam kondisi persaingan atau konflik

dimana tujuannya untuk memenangkan permainan dari pesaingnya.

Pada teori permainan, semua pihak diasumsikan akan melakukan strategi

tindakan yang rasional untuk memenangkan persaingan, dan masing-masing pihak

mengetahui strategi pihak lawan, setiap lawan berkeinginan untuk mengoptimumkan

keputusannya sendiri dengan kerugian lawannya.

Pembahasan pada materi ini dititikberatkan pada:

TWO PERSON ZERO SUM GAME

GOAL

• Mahasiswa dapat memahami konsep dasar pengambilan keputusan dalam situasi multi alternatif.

• Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam ilustrasi dalam penyelesaian masalah keputusan dengan metode teori permainan.

OUTLINE

PENDAHULUAN

ELEMEN – ELEMEN DASAR TEORI PERMAINAN

TWO – PERSON, ZERO – SUM GAME

• PURE – STRATEGY GAME• MIXED – STRATEGY GAME

• SOLUSI GRAFIS DARI PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)• SOLUSI PERMAINAN (m x n ) DENGAN PROGRAM

LINIER

LATIHAN SOAL

PENDAHULUAN

PENDAHULUAN

• Definisi: bagian dari ilmu pengetahuan yang berkaitan dengan pembuatan keputusan pada saat dua pihak atau lebih berada dalam kondisi persaingan atau konflik, dimana setiap lawan berkeinginan untuk mengoptimumkan keputusannya sendiri dengan kerugian lawannya.

• Contoh : kampanye iklan peluncuran produk-produk yang bersaing dan perencanaan taktik-taktik perang melawan tentara musuh.

PENDAHULUAN

• Model-model teori permainan ini dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara, bergantung pada faktor-faktor berikut: • banyaknya pemain, • jumlah keuntungan dan kerugian, • banyaknya strategi yang dilakukan dalam

permainan

Klasifikasi Model Game Theory

• Banyaknya pemain:• Two Person Game; banyaknya pemain dua

pihak(baik individu atau kelompok)• N Person Game; banyaknya pemain adalah N

pihak (N>2)• Jumlah keuntungan dan kerugian:

• Zero-sum Game / Constant-Sum Game; jumlah kerugian dan keuntungan dari permainannya adalah nol

• Non Zero-sum Game; jumlah kerugian dan keuntungan dari permainannya bukan nol

Klasifikasi Model Game Theory

• Jadi, TWO PERSON ZERO SUM; sebuah permainan dengan dua pemain, dimana keuntungan satu pemain sama dengan kerugian pemain lainnya.

• Contoh dari N-person Non Zero-sum Game; sejumlah perusahaan melakukan kampanye advertensi yang intensif untuk memperoleh daerah pemasaran yang lebih besar.

ELEMEN – ELEMEN DASAR TEORI PERMAINAN

Persoalan two-person zero-sum game

Perhatikan matriks payoff berikut ini!

Pemain B

B1 B2 B3

Pemain A A1

A2

6 9 2

8 5 4



Pemain B

B1 B2 B3

Pemain A A1

A2

6 9 2

8 5 4

menyatakan outcome atau pembayaran dari strategi permainan yang berbeda



Pemain B

B1 B2 B3

Pemain A A1

A2

6 9 2

8 5 4

bilangan-bilangan positif ini menyatakan perolehan keuntungan bagi pihak yang ditulis pada baris sebagai pemain yang akan

memaksimumkan, dan sekaligus merupakan kerugian bagi pihak yang ditulis pada kolom sebagai pemain yang akan

meminimumkan

Strategi

• Strategi adalah tindakan pilihan• Aturan permainan menjelaskan tentang

bagaimana cara para pemain memilih strategi-strategi mereka

• Suatu strategi dinyatakan dominan apabila payoff yang ada pada suatu strategi bersifat superior (paling tinggi) dibandingkan dengan setiap payoff pada strategi lainnya

• Nilai permainan menyatakan ekspektasi outcome per permainan jika kedua pemain melakukan strategi terbaik (strategi optimum) mereka.

Strategi

• Strategi optimum adalah strategi yang menjadikan seorang pemain berada pada posisi pilihan terbaik, tanpa memperhatikan tindakan-tindakan pemain lawan.

• Tujuan model permainan adalah untuk mengidentifikasi strategi optimum bagi masing-masing pemain

TWO–PERSON, ZERO–SUM GAME

PURE – STRATEGY GAME

Permainan yang posisi pilihan terbaiknya bagi setiap pemain dicapai dengan memilih satu strategi tunggal

(strategi murni)


Pemain A yang akan memaksimumkan akan mengidentifikasi strategi

optimumya dengan menggunakan maximin criteria, sedangkan pemain B

yang akan meminimumkan akan mengidentifikasi strategi optimumnya

dengan menggunakan minimax criteria.


• Jika nilai maximin = minimax maka permainan selesai (disebut saddle point)

• Jika maximin ≠minimax permainan harus diselesaikan dengan strategi campuran (mixed-strategy game)


Contoh: Dua buah perusahaan sedang dalam proses perencanaan strategi advertensi masing-masing.

Struktur strategi dan payoff-nya sebagai berikut:

PERUSAHAAN B

B1 B2 B3

Perusahaan

A

A1 1 9 2

A2 8 5 4

Carilah nilai permainan dan strateginya!


Jawab : cari nilai maximinnya dan minimaxnya.Struktur strategi dan payoff-nya sbb:

Minimax = maximin,

Jadi strategi optimum bagi A adalah A2 dan strategi untuk B adalah B3, dengan nilai permainan 4.

Perusahaan B Minimum

BarisB1 B2 B3

Perusahaan

A

A1 1 9 2 1

A2 8 5 4* 4 maximin

Maksimum

Kolom

8 9 4

minimax


Prinsip zero-sum keseimbangan hasil bagi kedua belah pihak.Untuk menyeimbangkan, setiap pihak akan memilih pilihan paling menguntungkan di antara yang paling merugikan dari setiap alternatif strategi.


Latihan: Dua buah perusahaan sedang dalam proses perencanaan strategi advertensi masing-masing.

Struktur strategi dan payoff-nya sebagai berikut:

PERUSAHAAN B

B1 B2 B3

Perusahaan

A

A1 7 3 1

A2 6 8 2

Carilah nilai permainan dan strateginya!

MIXED – STRATEGY GAME

Pada game yang tidak mempunyai saddle point, penyelesaiannya harus

dilakukan dengan menggunakan strategi campuran.


Perhatikan matriks payoff dari suatu game berikut ini:

Perusahaan B

B1 B2 B3

Perusahaan

A

1 0 -2 2

2 5 4 -3

3 2 3 -4


Struktur strategi dan payoff-nya sbb:

maximin ≠ nilai minimax, maka permainan di atas tidak mempunyai saddle point

Perusahaan B Minimum

barisB1 B2 B3

Perusahaan

A

1 0 -2 2 -2 <MAXIMIN

2 5 4 -3 -3

3 2 3 -4 -4

Maksimum

Kolom

5 4 2

MINIMAX


• pada permainan yang tidak mempunyai saddle point ini para pemain dapat memainkan seluruh strateginya sesuai dengan set probabilitas yang telah ditetapkan.

Xi = probabilitas pemain A memilih strategi i (i = 1,2,…,m)

Yj = probabilitas pemain B memilih strategi j (j = 1,2,…,n)

∑ xi = ∑ yj = 1

Xi, Yj ≥ 0 untuk setiap i dan j

MIXED – STRATEGY GAMEDalam bentuk matriks:

Solusi persoalan strategi campuran ini masih didasarkan pada kriteria maximin dan minimax.

B

Y1 Y2 ……... Yn

A

X1 a11 a12 a1n

X2 a21 a22 a2n

. . . .

. . . .

. . . .

Xm am1 am2 amn


• Secara matematis:• Pemain A akan memilih :

xi (xi ≥ 0, ∑ xi = 1) yang menghasilkan:

• Pemain B akan memilih :

yj (yj ≥ 0, ∑ yj = 1) yang menghasilkan:


• Jika xi dan yj berkorespondensi dengan solusi optimum maka v = v

• Jika xi* dan yj* = solusi optimum maka ekspektasi optimum dari permainan:

• Mixed strategy game dapat diselesaikan dengan cara grafis dan dengan menggunakan program linier.

SOLUSI GRAFIS PERMAINAN (2 x n) dan (m x 2)

• Syarat penggunaan: salah seorang dari pemain hanya mempunyai 2 buah strategi.

B

Y1 Y2 ……... Yn

AX1 a11 a12 a1n

X2=1-X1 a21 a22 a2n

menyatakan probabilitas pemain A memilih strategi A2

adalah (1 – probabilitas pemain A memilih strategi A1)


• Berdasarkan strategi murni dari B, maka ekspektasi payoff untuk A adalah:

Strategi

murni B

Ekspektasi payoff A

1 (a11-a21)X1+a21

2 (a12-a22)X1+a22

. .

N (a1n-a2n)X1+a2n


• Berdasarkan strategi murni dari B, maka ekspektasi payoff untuk A adalah:

• Jika pemain B menggunakan strategi murni B1, maka ekspektasi payoff dari pemain A :

= (probabilitas pemain A memilih strategi murni A1)(payoff strategi murni A1 untuk pemain A) + (probabilitas pemain A memilih strategi murni A2)(payoff strategi murni A2 untuk pemain A)

= (x1)(a11) + (x2)(a21)

= (x1)(a11) + (1-x1)(a21)

= a11x11 + a21 – a21x1

= (a11 – a21)x1 + a21


• Berdasarkan kriteria minimax untuk permainan dengan strategi campuran, pemain A harus memilih nilai X1 yang akan memaksimumkan ekspetasi payoff minimumnya. Hal ini dpt dicari dgn cara menggambarkan fungsi-fungsi X1.


matriks payoff:

Carilah nilai permainan ini dan strateginya.

Contoh:

B

1 2 3

A1 0 -2 2

2 5 4 -3


Misalkan : probabilitas A menggunakan strategi A1 adalah x1 probabilitas A menggunakan strategi A2 adalah x2 probabilitas B menggunakan strategi B1 adalah y1 probabilitas B menggunakan strategi B2 adalah y2 probabilitas B menggunakan strategi B3 adalah y3

Dalam kasus ini, A hanya mempunyai dua strategi, dan total probabilitas penggunaan strategi A1 dan A2 adalah 1, maka dapat dimisalkan bahwa x2 = 1 – x1

Jawab


Berdasarkan strategi murni dari B, maka ekspektasi payoff untuk A adalah: jika B menggunakan strategi murni B1, maka ekspektasi pay

off untuk A = (0) x1 + (5) x2 = 0 + 5 (1 – x1) = -5x1 + 5. jika B menggunakan strategi murni B2, maka ekspektasi pay

off untuk A = (-2) x1 + (4) x2 = -2x1 + 4 (1 – x1) = -6x1 + 4. jika B menggunakan strategi murni B3, maka ekspektasi pay

off untuk A = (2) x1 + (-3) x2 = 2x1 - 3 (1 – x1) = 5x1 - 3.

Jawab


Berdasarkan strategi murni dari B, maka ekspektasi payoff untuk A adalah:

Jawab

Strategi

murni B

Ekspektasi

payoff A

1 -5 X1+ 5

2 -6 X1+ 4

3 5 X1+ -3


Jawab

-

-

-

-

-

-

-

-

-3

4

5

0maximin

1 x1

Ekspektasi payoff (menggunakan software TORA)

-

-

-

-

-

-

-2

2

3

1

-1

-

-B1

B2

B3


Jawab

1

1-1

-1

2

2

-2

-2

3

3

-3

-3

4

4

-4

-4

5

5

-5

-5

6

6

-6

-6

7

7

-7

-7

B1B2B3

X1

Y = nilai game

Ini adalah grafik ekspektasi pay off untuk A. Pay off yang ‘merugikan’ bagi A adalah

nilai pay off yang kecil. Maka area solusinya adalah area

yang berwarna hijau. Pay off paling ‘menguntungkan’ di

antara area solusi adalah titik yang berada di paling atas.

maximin


Maximin ekspektasi payoff V = maks xi { min (5 – 5x1), (4 – 6x1), (-3 + 5x1) }

V = maks xi { min (4 – 6x1), (-3 + 5x1) } pilih garis yang berpotongan pada titik maximin

Jawab


• Titik potong dicari secara aljabar biasa:4 – 6x1 = -3 + 5x1

11x1 = 7

X1* = 7/11

Karena x1* + x2* = 1, maka x2* = 4/11

Jawab


• Mencari koordinat Y:v = v* = -3 + 5(7/11) = 2/11

v* = dan v* = ∑∑aijxiyj.

sehingga: y1*(5-5x1) + y2*(4-6x1) + y3*(-3+5x1) = 2/11

20/11 y1* + 2/11 y2* + 2/11 y3* = 2/11

dengan y1* + y2* + y3* = 1

Jawab


Dalam hal ini, persamaan ∑ aij xi yang tidak melewati titik maximin berkorespondensi dengan yj* = 0 (supaya tidak menaikkan expected payoff); karena itu, y1* = 0 sehingga y2* + y3* = 1 atau y3* = 1- y2* masukkan pada persamaan (1), didapat:

jika x1 = 0 4y2* - 3y3* = 2/11 ; x1

x1 = 1 -2y2* + 2y3* = 2/11 ; x2

sehingga didapat: y3* = 6/11

y2* = 5/11

Jawab


Dengan demikian, maka solusi optimum untuk kedua pemain adalah:

Pemain A: (x1, x2) = (7/11, 4/11)

Pemain B: (y1,y2,y3) = (0, 5/11, 6/11)

dengan nilai game v* = 2/11

Jawab

SOLUSI PROGRAM LINIER PERMAINAN (m x n)

Seperti dikemukakan di muka, kriteria maximin dapat diformulasikan sebagai

Maks {min i1 xi, i2, …, in xi }

Dimana I = 1 dan xi ≥ 0 i = 1, …, m

Jika v = min ( i1 xi, i2 xi, …, in )


Matriks payoff dari suatu permainan sebagai berikut:

Tentukanlah strategi optimum untuk masing-masing pemain!

Contoh:

B

1 2 3

1 3 -1 -3

A 2 -3 3 -1

3 -4 -3 3


Dari matriks payoff di atas kita tahu bahwa nilai maximinnya adalah -3 sehingga nilai permainannya dapat berharga negatif atau nol.

Karena itu, diperlukan suatu konstanta k yang harganya paling sedikit sama dengan nilai maximin yang negatif itu.

Konstanta k itu kemudian ditambahkan kepada seluruh elemen matriks.

Jawab:


Misalnya digunakan K = 5, maka matriksnya menjadi:

Jawab:

B

1 2 3

1 8 4 2

A 2 2 8 4

3 1 2 8


Formulasi program linier untuk pemain B adalah:

Maks. W = Y1 + Y2 + Y3

s/t 8Y1 + 4Y2 + 2Y3 ≤ 1

2Y1 + 8Y2 + 4Y3 ≤ 1

Y1 + 2Y2 + 8Y3 ≤ 1

Y1, Y2, Y3 ≥ 0

Jawab:


Setelah formulasi di atas diselesaikan dengan metode simpleks, maka didapat tabel optimum sebagai berikut:

Jawab:

Basis Y1 Y2 Y3 S1 S2 S3 solusi

W 0 0 0 5/49 11/196 1/14 45/196

Y1

Y2

Y3

1 0 0 1/7 -1/14 O

0 1 0 -3/196 31/196 -1/14

0 0 1 -1/98 -3/98 1/7

1/14

11/196

5/49


Sehingga diperoleh solusi :

W = 45/196 ;Y1 = 1/14 ; Y2 = 11/196 ; Y3 = 5/49

Nilai Permainan :

V* = = = 196/45 – 5 = -29/45

Solusi Optimum pemain B :

Y1* = = = 14/45 ; Y2* = = = 11/45

Y3* = = = 20/45

Jawab:

kw

1

w

Y1

196/45

14/1w

Y2

196/45

196/11

5196/45

1

w

Y3

196/45

49/5


Solusi Optimum untuk Pemain A diperoleh dari solusi dual dari formulasi strategi pemain B

Z = W = 45/196 ; X1 = 5/49 ; X2 = 11/196 ; X3 = 1/14

Solusi pemain A :

X1* = = = 20/45 ; X2* = = = 11/45

X3* = = = 14/45

Jawab:

z

X1

196/45

49/5z

X 2

196/45

196/11

z

X 3

196/45

14/1


Dengan demikian, maka solusi optimum untuk kedua pemain adalah:

Pemain A: (X1, X2, X3) = (20/45, 11/45, 14/45)

Pemain B: (Y1, Y2, Y3) = (14/45, 11/45, 20/45)

dengan nilai game v* = -29/45

Jawab:

LATIHAN SOAL

Soal 1.

Diketahui matriks payoff sebagai berikut:

Carilah nilai permainan ini dan strateginya!

B

1 2 3

A1 2 -3 -4

2 -6 -1 1

Soal 2.

Pertimbangkan permainan (2x4) berikut ini.

Carilah nilai permainan A dan B!

B

1 2 3 4

A1 2 2 3 -1

2 4 3 2 6

Soal 3.

Diketahui nilai pay off dari suatu game adalah sebagai berikut :

Dengan metode grafis, tentukan strategi optimal untuk pemain A dan B, serta tentukan nilai game-nya.

B1 B2

A1 5 8

A2 6 5

A3 5 7

Documents

4. Game Theory.pptx