Integrales de funciones de

una variable

APUNTES Y EJERCICIOS

Integrales por Sustitución Trigonométrica

Universidad Tecnológica de Chile

SEDE CALAMA

Guía de Apuntes y Ejercicios

Integrales Página 1

INTEGRALES POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

Método por Sustitución Trigonométrica: Este método, el cual es un caso especial de

cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas

integrales indefinidas son funciones trigonométricas, como:

Caso 1: Si un integrando contiene la forma , entonces el cambio de variable

es , donde .

Protocolo a seguir: Sustituir el valor de x, para forzar una factorización y

simplificación de la raíz que permita obtener una integral más simple.

Ejemplo: . Hacemos , por lo cual . Luego

reemplazamos en la integral:

. Por lo tanto, se restituye la variable utilizando el triángulo rectángulo

que representa a la función obteniendo,

.

Caso 2: Si un integrando contiene la forma , entonces el cambio de variable

es , donde .

Protocolo a seguir: Sustituir el valor de x, para forzar una factorización y

simplificación de la raíz que permita obtener una integral más simple.

Ejemplo: . Hacemos , por lo cual . Luego

reemplazamos en la integral:

. Por lo tanto, se restituye la variable utilizando el triángulo

rectángulo que representa a la función obteniendo,

2 +2+ 22+ .

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Caso 3: Si un integrando contiene la forma , entonces el cambio de variable

es , donde .

Protocolo a seguir: Sustituir el valor de x, para forzar una factorización y

simplificación de la raíz que permita obtener una integral más simple.

Ejemplo:

. Hacemos , por lo cual . Luego

reemplazamos en la integral:

. Por lo tanto, se restituye la

variable utilizando el triángulo rectángulo que representa a la función obteniendo,

.

EJERCICIOS

Calcular las siguientes integrales indefinidas de la izquierda:

1.

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3.

4.

5.

6.

7.

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