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1A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
Estruturas de Betão Armado II4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
2A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
ANÁLISE ELÁSTICA DOS ESFORÇOS
Métodos de análise elástica dos esforços:
Métodos analíticos – Séries de Fourier
Métodos numéricos:
- Diferenças Finitas
- Elementos Finitos
Métodos aproximados
Existem ainda tabelas para o cálculo de esforços em lajes vigadas, para diversas relações entre os vãos e para diferentes condições de apoio. As mais conhecidas são as “Tabelas de Marcus” e as “Tabelas de Barés”.
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3A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
LAJE QUADRADA – APOIADA NO CONTORNO
Análise da convergência do Método dos Elementos Finitos
4A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
TEORIA DA PLASTICIDADE
Comportamento não linear do betão armado:
Elástico Linear
mx mx
Comportamento real
Plástico perfeito
Elasto-plástico
2
2
x∂∂ ω
2
2
x∂∂ ω
Devido à não linearidade do comportamento do betão é possível adoptar diagramas de esforços diferentes dos obtidos pelo cálculo elástico, para dimensionamento das armaduras das lajes aos estados limites últimos.
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
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5A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
TEORIA DA PLASTICIDADE
Este facto é especialmente verdade em lajes porque:
A percentagem de armaduras nas lajes é, em geral, pequena, sendo a rotura em flexão condicionada pelo comportamento do aço – comportamento dúctil.
As lajes são bastante mais hiperstáticas que as restantes estruturas (com excepção das consolas e das lajes armadas numa só direcção), permitindo a redistribuição de esforços em várias direcções.
Existem, no entanto, limitações à redistribuição de esforços para acautelar um bom comportamento em serviço, nomeadamente o controlo da fendilhação e da deformação.
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
6A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
TEOREMA CINEMÁTICO
A carga associada a um mecanismo cinematicamente admissível é superior à carga última.
Laje rectangular apoiada nos 4
bordos
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Método das linhas de rotura:
Laje quadrada apoiada em 2
bordos
Mecanismo 1
Mecanismo 2m+ m-
4
7A. P. Ramos Set. 2006
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MÉTODO DAS LINHAS DE ROTURA
Cálculo para o mecanismo 2:
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
m-
2amwi θ−=
δ2
2apwe = 22
31 aθδ =
ei ww =
22
31
22
2
aapam θθ =−
122apm =−
Curiosidade: m+ = m-
8A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
TEOREMA ESTÁTICO
A carga que satisfaz as equações de equilíbrio, não excedendo em nenhum ponto a capacidade resistente, é inferior à carga última.
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Este método é sempre conservativo
Os métodos baseados na análise plástica só devem ser utilizados nas verificações em relação aos estados limites últimos, podendo ser utilizados, sem qualquer verificação directa da capacidade de rotação, desde que:
a) xu/d ≤ 0.25 para classes de resistência do betão ≤ C50/60
xu/d ≤ 0.15 para classes de resistência do betão ≥ C55/67
b) o aço das armaduras é da Classe B ou C
c) A relação entre os momentos nos apoio intermédios e os momentos no vão está entre 0,5 e 2
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9A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
MÉTODO DAS BANDAS
O método das bandas utiliza o Teorema Estático da Teoria da Plasticidade. Baseia-se no principio de que a carga aplicada pode ser equilibrada apenas por flexão.
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
pym
yxm
xm yxyx −=
∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
2
22
2
2
Desta forma, o método é conservativo porque existe uma reserva de resistência (por torção) que não é considerada no cálculo.
pym
xm yx −=
∂
∂+
∂∂
2
2
2
2
-px -py
10A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
MÉTODO DAS BANDAS
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
2
2
xmp x
x ∂∂
=− 2
2
ym
p yy ∂
∂=−
yx ppp +=ppx α=
( ) ppy α−= 1
Com 0 ≤ α ≤ 1 – coeficiente de repartição de carga
A carga é repartida entre as direcções x e y
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11A. P. Ramos Set. 2006
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MÉTODO DAS BANDAS
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
8
2xx
x
lpm =
8
2yy
y
lpm =
12A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
MÉTODO DAS BANDAS
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Os valores de α devem ser determinados por forma a obter diagramas de momentos próximos dos elásticos e não forçar a redistribuições exageradas.
Os valores de α podem ser estimados de duas formas:
• Em função da sensibilidade e experiência do projectista.
• Forçando a compatibilidade de deslocamentos a “meio vão” da laje.
yx aaa ==EI
lpka xxxx
4
=
EIlpk
a yyyy
4
=
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13A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
MÉTODO DAS BANDAS
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Os valores para kx e ky dependem das condições de apoio:
3845
=k384
08.2=k
3841
=k
yx aaa ==EI
lpkEI
lpk yyyxxx44
= 44yyyxxx lpklpk =
ppx α=
( ) ppy α−= 144 )1( yyxx lkplkp αα −= 44
4
yyxx
yy
lklklk+
=α
14A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
MÉTODO DAS BANDAS
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Se considerarmos alternativamente um vão equivalente (l´):
1
1
4'
4'
+
=
y
x
ll
α
l´= l l´= 0.8l l´= 0.67l
Vem para α:
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
l´x/l´y
a
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15A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
MÉTODO DAS BANDAS (exemplos) (1)
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
lx = ly
a=0.5
lx = ly
a=0.5lx = ly
a=0.5
16A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
MÉTODO DAS BANDAS (exemplos) (2)
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
lx = ly
a=0.71
lx = ly
a=0.83
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17A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
MÉTODO DAS BANDAS (exemplos) (3)
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
lx = 1.5ly
a=0.165
lx ≥ 2ly
a=0
18A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
MÉTODO DAS BANDAS (casos especiais)
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Lajes com cantos reentrantes
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19A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
MÉTODO DAS BANDAS (casos especiais)
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Lajes com aberturas
Abertura Central
20A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
MÉTODO DAS BANDAS (casos especiais)
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Lajes com aberturas
Pequena abertura a um canto
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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
MÉTODO DAS BANDAS (casos especiais)
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Lajes com aberturas
Grande abertura a um canto
22A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
MÉTODO DAS BANDAS (casos especiais)
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Lajes com bordo livre
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23A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
PORMENORIZAÇÃO DE LAJES VIGADAS
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Pormenorização de um painel de canto analisado pelo Método Elástico Linear
Armadura Inferior
24A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
PORMENORIZAÇÃO DE LAJES VIGADAS
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Pormenorização de um painel de canto analisado pelo Método Elástico Linear
Armadura Superior
A-A
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25A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
PORMENORIZAÇÃO DE LAJES VIGADAS
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Pormenorização de um painel de canto analisado pelo Método das Bandas
Armadura Inferior
26A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
PORMENORIZAÇÃO DE LAJES VIGADAS
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Pormenorização de um painel de canto analisado pelo Método das Bandas
Armadura Superior
A-A
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27A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
PAINEIS DE LAJE COM CONTINUIDADE
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Na análise dos esforços em lajes vigadas com continuidade os esforços podem ser determinados nos painéis isolados, sendo depois necessário efectuar o equilíbrio dos momentos negativos nos apoios comuns dos diversos painéis e reajustar os momentos positivos.
28A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
PAINEIS DE LAJE COM CONTINUIDADE
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
O equlíbrio dos momentos negativos sobre os apoios pode ser efectuado por uma técnica simplificada baseada no Método de Cross. Esta técnica consiste em repartir a diferença entre os momentos (m1-m2) pelos dois vãos adjacentes ao apoio da seguinte forma:
m´1 = m1 – k1 (m1 - m2) e m´2 = m2 + k2 (m1 - m2)
Os coeficientes de repartição são dados por:
21
22
21
11 kk
kkekk
kk+
=+
=Nestas expressões k é a
rigidez à rotação da extremidade da barra
junto ao nó
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29A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
PAINEIS DE LAJE COM CONTINUIDADE
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Para painéis extremos (apoiado-encastrado):
lEIk 3
=
Para painéis interiores (encastrado-encastrado):
lEIk 4
=
As expressões apresentadas na página anterior podem igualmente ser escritas da seguinte forma:
´2
´1
´1
2´2
´1
´2
1 lllke
lllk
+=
+=
Em que l´=l para painéis de extremidade, e l´=3/4l para painéis interiores.
30A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
PAINEIS DE LAJE COM CONTINUIDADE
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Se considerarmos agora a simplificação de que o coeficiente de transmissão é nulo para lajes armadas em duas direcções, o processo fica bastante simplificado.
+
=
16
31A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
PAINEIS DE LAJE COM CONTINUIDADE
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
Desta forma torna-se simples o cálculo do momento equilibrado sobre o apoio uma vez que:
21 mmm ′=′=′
( )2121
21 mm
lllmm −′+′
′−=′
Então:
21
2211
lllmlm
m′+′
′+′=′
Ou:
32A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
ALTERNÂNCIA DE SOBRECARGAS
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
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