Upload
gema-del-carmen
View
2.073
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
4º Básico53 =1II Semestre 2013
matemátIcaPlanificaciones
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 3
INTRODUCCIÓN GENERAL
I. Introducción:
La presente planificación es una propuesta de trabajo diario y sistemático. Se ha diseñado acorde a las Bases Curriculares propuestas por el Ministerio de Educación y se han incorporado metodologías efectivas, probadas para la enseñanza de las matemáticas y se definen cinco Ejes a desarrollar:1. Numeración y Operatoria2. Patrones y Álgebra3. Medición4. Geometría5. Datos y Probabilidades
Estas planificaciones al igual que las bases curriculares están expresadas en objetivos de aprendizaje y pretenden desarrollar de manera explícita las siguientes habilidades del razonamiento matemático: 1. Resolver problemas: son desafíos cuyo objetivo es que el alumno solucione, experimente, busque respuestas, aplique
estrategias, compare posibles soluciones, evalúe las posibles respuestas y justifique la correcta. De 1° a 3° básico se trabaja con problemas rutinarios y de 4° a 6° con problemas rutinarios y no rutinarios.
2. Argumentar y comunicar: el estudiante debe dar razones de sus respuestas y proceso para resolver un proceso.3. Modelar: se pretende que el alumno construya sistemas, resaltando los aspectos esenciales y los exprese en lenguaje
matemático.4. Representar: se espera que el alumno use representaciones concretas pictóricas y simbólicas para comunicar situaciones
matemáticas.5. También se promueve desarrollar ciertas actitudes en y la asignatura de matemática que promueven la formación integral
de los alumnos y que derivan de los Objetivos de Aprendizaje transversales, para garantizar un aprendizaje profundo y efectivo. Estas son:
a) Curiosidad e interés por aprender las matemáticas.b) Creatividad en la búsqueda de soluciones a problemas.c) Rigurosidad en sus hábitos de trabajo y estudio.d) Respeto para escuchar las ideas de otros.
El método de enseñanza de las matemáticas, que se desarrolla en estas planificaciones, es que los alumnos transiten de lo concreto, a lo pictórico y luego finalicen en lo simbólico. Esta metodología es conocida como COPISI cuyo objetivo es que los alumnos den sentido a lo que aprenden y construyan su propio significado de las matemáticas, es decir, que desarrollen las habilidades y conocimientos que distinguen a esta disciplina. Lo invitamos a leer esta planificación como una propuesta de trabajo para enseñar matemáticas a todos sus alumnos. Finalmente es importante señalar, que este documento busca facilitar la labor diaria de enseñar, por lo que es importante que cada profesor se lo apropie, lea las clases con antelación, las prepare y las complemente con acciones que considere pertinentes a la realidad de sus alumnos.
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile4
Instrucciones generales para el uso de la planificación
Las planificaciones de APTUS utilizan el enfoque concreto pictórico simbólico. Esta forma de aprendizaje exige por parte de los alumnos la manipulación de diversos y variados materiales, dando importancia al hacer de los alumnos durante el desarrollo de la clase.Las clases han sido diseñadas para que el profesor pueda desarrollar con mayor facilidad la enseñanza de las matemáticas y por este motivo sea más accesible de aprender por todos los alumnos, logrando una correcta internalización de los contenidos.Para ayudar a los estudiantes a comprender con éxito y aplicar los conceptos básicos, nuestras planificaciones están basadas en que los estudiantes deben investigar y explorar los conceptos, comenzando en los primeros años con la comprensión del número y la oración numérica, esto con el fin de ir sentando las bases para la correcta internalización del algebra en los cursos superiores. El material concreto o lúdico está presente en todas las clases de la planificación, por este motivo es muy importante tener en cuenta que:
• La clase se debe preparar y estudiar con anticipación, confeccionando los materiales en ella se indican.• Los materiales necesarios para la correcta ejecución de la clase están anexados en la planificación. El profesor debe preocuparse,
de tener los materiales que necesitarán los alumnos y el docente para el adecuado desarrollo de la clase. • Por otro lado es importante indicar que en las planificaciones se indica el vocabulario matemático de la clase, este debe ser
incluido en un panel matemático dispuesto en cada sala de clases para este fin.• Cada clase tiene un objetivo específico que dice directa relación con el OA descrito al comienzo de cada Unidad. También
tiene un recuadro en dónde se indica los recursos pedagógicos que se usarán en cada clase.
Las clases tienen una secuencia lógica y están divididas en tres momentos:Inicio: donde se activan los conocimientos previos, se realiza una motivación y se explicita los objetivos de la clase.Desarrollo: Se comienza con la exploración por parte de los alumnos de los conceptos a trabajar durante la clase, luego se practica hasta su correcta internalización, y por último se aplica los contenidos por medio de fichas de trabajo.cierre: Se realiza la metacognición y verificación de los aprendizajes.
INTRODUCCIÓN GENERAL
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 9
Información de referencia para el profesor
OBJetIVOS De aPReNDIZaJe
• 1. Demostrar que comprende las fracciones con denomi-nadores 100, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2:
ű explicando que una fracción representa la parte de un todo o de un grupo de elementos y un lugar en la recta numérica.
ű describiendo situaciones en las cuales se puede usar fracciones.
ű mostrando que una fracción puede tener representa-ciones diferentes
ű comparando y ordenando fracciones (por ejemplo: 1/100, 1/8, 1/5, 1/4, 1/2) con material concreto y pic-tórico.
• Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador (denominadores 100, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2) de manera concreta y pictórica en el contexto de la resolución de problemas.
• Identificar, escribir y representar fracciones propias y los números mixtos hasta el 5 de manera concreta, pictórica y simbólica, en el contexto de la resolución de problemas.
mateRIaLeS
• Anexo 1 tiras fraccionarias.• Una bolsa ziploc por alumno.• Tijeras.• 4 cuadrados de papel lustre por alumno.• 2 tiras de papel de 20 cm por alumno.• Papel lustre.• 1 kilo de Harina, azúcar u otro elemento.
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile10
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 1
Objetivos de clase ű Identificar partes iguales de un entero usando material
continuo.
Vocabulario a utilizar ű Fracción, numerador, denominador, partes iguales.
Recursos pedagógicos ű Anexo 1 tiras fraccionarias ű Una bolsa ziploc por alumno ű Tijeras
Inicio
• El profesor escribe: “Hoy aprenderemos a identificar partes iguales de un entero usando material continuo ” Pregunta: ¿Qué es una fracción? (Un entero dividido en partes iguales).
• Pide a un alumno pasar a representar al pizarrón. ¿Qué significa esta representación? (Tenemos un entero, dividido en 4 partes iguales y solo 2 partes son consideradas). ¿Cómo se llaman las partes iguales en que es dividido el entero? (Denominador), ¿Cuál es el denominador? (4) ¿Cómo se llaman las partes consideradas? (numerador)¿Cuál es el nume-rador? (2).
• ¿En qué situaciones de la vida diaria podemos aplicar las fracciones? (Dividir pizzas, torta, dividir comida siempre en partes iguales, dividir dinero, etc.)
• El profesor dice: Compramos un chocolate y lo queremos repartir entre dos personas. ¿Qué podemos hacer? ¿Cómo po-demos repartirlo para que sea justo y las dos personas coman la misma cantidad de chocolate?, (lo podemos dividir en dos partes iguales) ¿Y cómo se llaman esas partes iguales? (Medios). Si la primera persona come una mitad y la segunda otra mitad, ¿Comen lo mismo? (Sí). Entre ambas personas ¿se comen todo el chocolate? (sí) ¿Qué pasa si corto un pedazo más grande y el otro más chico? ¿Comerán lo mismo? (No).
• ¿Cuál es la principal característica de una fracción? (Que la división es en partes iguales).
24
24
ó ó ó etc
• El profesor pega un cuadrado en el pizarrón y dice ”Este cuadrado representa un entero”. Toma otro cuadrado igual y lo do-bla por la mitad en dos partes iguales., lo pega y pregunta: ¿En cuántas partes iguales está dividido el entero? (2) ¿Cómo se llaman las partes cuando el entero está dividido en dos partes iguales? (Medios). Si uno considera solo un medio, ¿Cómo lo represento? ( ).
• El profesor toma otro cuadrado igual y pide a un alumno pasar adelante a dividirlo de otra manera. (Puede dividirlo en cuartos, sextos, octavos, etc. y pega variadas divisiones.
• Luego pregunta: ¿Qué representan cada uno de estos cuadrados? (Una fracción) ¿Cómo son las partes en que está di-vididos cada uno de ellos? (Iguales), ¿Qué representan cada una de las partes? (Representan una fracción del entero).
Desarrollo
12
12
12
12
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 11
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 1
• Luego dibuja en el pizarrón:
• Pregunta: ¿Qué representan las partes pintadas? (Las partes consideradas) ¿En cuántas partes podemos dividir un en-tero? (En tercios, cuartos, quintos, sextos, octavos, décimos, etc.).
• En este caso: , lo dibuja:
• ¿En cuántas partes está dividido el entero? (8). ¿Son todas iguales? (Sí), Qué representa el número 8 de esta fracción? (Que el entero está dividido en 8 partes iguales) ¿Cuántas partes están consideradas o pintadas? (3). ¿Qué nombre lleva la cantidad de partes iguales en las que ha sido dividido un entero? (denominador). Para este caso ¿Cuál es el de-nominador? (8). ¿Cuál es el numerador? (La cantidad de partes iguales que está considerada). En este caso ¿Cuál es el numerador? (3).
• El profesor pide a los alumnos sacar sus cuadernos y escribir como título: Fracciones.• Luego le entrega 11 cuadrados de papel lustre a cada uno. Pegan el primero dejando siempre el color blanco a la vista y
colocan junto a él el número 1 correspondiente a 1 entero.
• Luego dice: “Doblen el papel lustre en dos partes iguales”. ¿En cuántas partes dividimos el entero? (En 2 partes iguales) ¿Cómo se llaman esas dos partes iguales? (Medios) ¿Cuántos medios tiene un entero? (2 medios forman un entero). Si tomo solo una parte, ¿cómo se llama? (un medio) ¿cómo se escribe? ( ). Pegan en el cuaderno los 2 medios debajo del entero y escriben en de cada parte, siguiendo el modelo del profesor en el pizarrón:
• El profesor dice: “Doblen el papel lustre en tres partes iguales”. ¿En cuántas partes dividimos el entero? (En 3 partes igua-les) ¿Cómo se llaman esas tres partes iguales? (tercios), ¿cuántos tercios tiene un entero? (3 tercios forman un entero). Si tomo solo una parte, ¿cómo se llama? (un tercio). ¿Cómo se escribe? ( ). Pegan en el cuaderno los 3 tercios debajo del entero.
• Realizan el mismo ejercicio paso a paso y van respondiendo las preguntas para cuartos, sextos y octavos. Pegan la fracción y escriben en el lado blanco la fracción correspondiente a cada una.
38
=
38
= 1
121
2
13
1212
12
12
ó
13
13
13
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile12
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 1
• El profesor dice: Margarita tiene un chocolate y lo divide en 10 pedazos iguales. Florencia tiene un chocolate igual al de Margarita y lo divide en 5 partes iguales. Cada niña regala un cuadrado de chocolate a su mamá. ¿Qué mamá come más chocolate? ¿Por qué?
cierre
Referencias para el docente:
Ficha 1
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 13
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 2
Objetivos de clase ű Identificar una fracción como parte de un todo en
representaciones con material concreto.
Vocabulario a utilizar ű Fracción, numerador, denominador, partes iguales.
Recursos pedagógicos ű 4 cuadrados de papel lustre por alumno
Inicio
• El profesor escribe: ”Hoy aprenderemos a identificar una fracción como parte de un todo en representaciones con material concreto”. El profesor llama a 4 alumnos y 2 alumnas adelante y pregunta: ¿Cuántas personas tiene este conjunto de alum-nos? (6) ¿Cuántos son hombres? (4) ¿Cuántas son mujeres? (2) ¿Cómo represento 4 hombres de un total de 6 estudiantes en una fracción? ( ) ¿Cómo represento en una fracción a las mujeres del total de estudiantes? ( )
• Manteniendo los mismos 4 alumnos hombres y las 2 mujeres el profesor pregunta: ¿Cuántas personas tenemos en total? (6), ¿Cuántas tienen ojos azules? (xx), ¿Cuántas tienen ojos cafés?(xx) ¿Cómo representamos en una fracción las perso-nas con ojos azules? ( ), ¿Cómo representamos los de ojos cafés? ( ).
• Se sugiere continuar con otras variables o características claras que permitan trabajar con fracciones. (Color de pelo, con chaleco y con polar, etc.)
46
26
x6
x6
• El profesor pide a 10 alumnos pasar adelante y le pide a los compañeros que representen características o situaciones a través de fracciones.
• Ejemplo 1: Hay 6 mujeres y 4 hombres. En total son 10 alumnos. ¿Cuántos estudiantes hay en total adelante? (10) ¿Cuán-tos son hombres? (4), ¿Cuántos son mujeres? (6). ¿Qué fracción representa a los hombres del total? ( ), ¿Qué fracción representa a las mujeres del total? ( ). ¿Cómo se dice cuando el denominador es el número 10? (décimos) ¿Cuál es el numerador y denominador en cada caso?
• Ejemplo 2: Hay 6 mujeres y 4 hombres. En total son 10 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes del total están con pantalones? (x), ¿Cuántos están con jumper? (x) ¿Cómo representamos a los alumnos que están con pantalones y a los que están con jumper? Pasa un alumno y escribe la fracción correspondiente a los alumnos con pantalón y otro alumno a los que están con jumper. Reconocen el numerador y el denominador en cada fracción.
• El profesor toma 12 cuadernos. 7 son de hombres y 5 de mujeres. Pregunta: ¿Cuántos cuadernos son de hombres? (7) ¿Cuántos son de mujeres? (5), ¿Qué fracción representa a los cuadernos de los hombres del total? ( ), ¿Qué fracción representan los cuadernos de las mujeres del total? ( ).
• Para los cuadernos de hombres :
• ¿Cuál es el numerador? (7) ¿Por qué? (Porque 7 son las partes consideradas), ¿Cuál es el denominador? (12) ¿Qué repre-senta el número 12? (El total de elementos del conjunto).
• Para los cuadernos de mujeres :
• ¿Cuál es el numerador? (5) ¿Por qué? (Porque 5 son las partes consideradas), ¿Cuál es el denominador? (12) ¿Qué repre-senta el número 12? (El total de elementos del conjunto).
• El profesor pide a los alumnos 4 lápices rojos, 6 lápices negros, 2 lápices azules, 5 verdes y 3 naranjos.
Desarrollo
4106
10
7125
12712
512
Rojo
Rojo
Rojo
Rojo
Neg
ro
Neg
ro
Neg
ro
Neg
ro
Neg
ro
Neg
ro
azu
l
azu
l
Verd
e
Verd
e
Verd
e
Verd
e
Verd
e
Nar
anjo
Nar
anjo
Nar
anjo
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile14
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 2
• Cuentan en voz alta la cantidad de lápices, de uno en uno. Luego pregunta: ¿Cuántos lápices forman el conjunto de lápi-ces? (20) ¿Por cuántos elementos está formado este conjunto? (Por 20 lápices).
• Pegunta: ¿Cuántos lápices rojos hay? (4). Los cuentan todos juntos. ¿Qué fracción representan los lápices rojos del total? ( ). Pide a un alumno pasar a escribir la fracción en el pizarrón. Reconocen numerador y denominador.
• Muestra los lápices negros y pregunta: ¿Cuántos lápices negros hay? (6). Los cuentan en voz alta. ¿Qué fracción represen-tan los lápices negros del total? ( ) Pide a un alumno pasar a escribir la fracción en el pizarrón. ¿Qué fracción representa
a los lápices que no son negros? ( ).
• Continúan con preguntas para los lápices azules, naranjos y verdes.
420
6201420
• El profesor entrega a los alumnos 4 papeles lustre y pregunta, ¿Cuántos octavos son necesarios para completar el entero o la unidad? (8) lo escribe. Pide dividir el papel lustre en octavos y mostrarlo.
• Luego pide tomar nuevamente el entero y pregunta: ¿Cuántos sextos son necesarios para tener un entero? (6). Lo escribe. Con-tinúa preguntando con medios y cuartos. Concluyen que para tener un entero el numerador y denominador deben ser iguales.
cierre
Referencias para el docente:
Ficha 2, 3 y 4
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 15
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 3
• El profesor pega en el pizarrón un cuadrado (ANEXO xxx) en el pizarrón y dice: ”Este cuadrado será nuestro entero, y lo vamos a ir dividiendo en distintas cantidades de partes iguales e iremos formando distintas fracciones”.
• Pregunta: Si doblamos una vez el papel, ¿en cuántas partes iguales queda dividido? (En 2). ¿Cómo se llaman? (Medios). Pega en el pizarrón el cuadrado dividido en dos, escribe en cada parte y y la palabra medios abajo.
• Toma otro cuadrado del mismo tamaño y pregunta: ¿Qué significa dividir un entero en tercios? (Dividirlo en tres partes iguales). Lo dobla, lo pega y luego escribe en cada una de las partes.
• Toma otro cuadrado del mismo tamaño que el entero original y pregunta: ¿Qué significa dividir un entero en cuartos? (Dividirlo en cuatro partes iguales). Lo dobla, lo pega y luego escribe en cada una de las partes
Objetivos de clase ű Conoce y representar fracciones de un todo con
denominadores de 2,3,4,5,6,8,10,12 y 100.
Vocabulario a utilizar ű Fracción, numerador, denominador.
Recursos pedagógicos ű Tiras fraccionarias (anexo 1)
Inicio
• El profesor escribe: ”Hoy aprenderemos a representar fracciones de un todo con distintos denominadores”, y pide a un alumno pasar adelante y dibujar . Pregunta: ¿Qué fracción está representada en el pizarrón? ( ). ¿En cuántas partes está dividido el entero? (En 8 partes). ¿Son todas las partes iguales? (Sí), ¿por qué hay 3 partes pintadas? (Porque solo tres partes han sido consideradas). Pide inventar problemas en que se use la fracción .
38
12
12
13
14
38
38
Desarrollo
12
121
1 entero medios
13
13
13
tercios
1414
14
14
cuartosDerech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile16
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 3
• Toma otro cuadrado del mismo tamaño y pregunta: ¿Qué significa dividir un entero en quintos? (Dividirlo en cinco partes iguales). Lo dobla, lo pega y luego escribe en cada una de las partes.
• Continúa con sextos, séptimos, octavos, novenos, décimos, doceavos, y centésimos.
• Teniendo todos los cuadrados pegados en el pizarrón, el profesor pregunta: ¿Qué representa cada uno de los cuadrados? (Un entero), dice: “Trabajaremos con el entero dividido en cinco partes iguales”, lo muestra.
• Pregunta: ¿En cuántas partes iguales está dividido este entero? (En 5 partes iguales) ¿ Qué representan las cinco partes iguales? (Un entero). Muestra el entero formado por y pregunta: ¿En cuántas partes iguales está dividido este entero? (En ocho partes iguales) ¿Qué representan las ocho partes iguales? (Un entero). ¿Cómo escribimos 8 partes iguales en fracción? ( 8/8). ¿Qué representa una parte del entero? ( , una parte de la fracción).
• Muestra el entero formado por 12 partes iguales y dice: Este entero está dividido en doce partes iguales, ¿Qué represen-tan las doce partes iguales? (Un entero). ¿Es igual a los enteros anteriores? (Sí), ¿qué valor representa el entero? (1). Si consideramos solo una parte de las doce partes iguales, ¿cómo lo escribimos? ( ) y ¿Cómo lo leemos? (un doceavo).
15
15
15
15
15
15
quintos
16
16
16
16
16
16
sextos
17
17
17
17
17
17
17
séptimos
19
19
19
19
19
19
19
19
19
novenosoctavos
18
18
18
18
18
18
18
18
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
décimos doceavos
112
112
112
112
112
112
112
112
112
112
112
112
centécimos
1100
15
15
15
15
15
quintos
88
18
112
octavos
18
18
18
18
18
18
18
18
doceavos
112
112
112
112
112
112
112
112
112
112
112
112
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 17
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 3
• Muestra el entero formado por 100 partes iguales y dice: Este entero está dividido en cien partes iguales, ¿qué represen-tan las cien partes iguales? (Un entero). ¿Es igual a los enteros anteriores? (Sí), ¿qué valor representa el entero? (1). Si consideramos solo una parte de las cien partes iguales, ¿cómo lo escribimos? ( ), y ¿cómo lo leemos? (un centésimo).
• Los alumnos sacan sus cuadernos y desprenden el anexo 1 de sus libros. Van pegando uno a uno los cuadrados, y escriben debajo de cada una como se escribe y lee cada parte. ( , dos tercios)2
3
1100
centécimos
1100
• El profesor dice: En el colegio de Rodrigo la directora regaló una torta para cada uno de los tres cursos con mejor asistencia durante el primer semestre. Los cursos ganadores fueron:
• Si cada profesora decide repartir cada torta en partes iguales, ¿En qué curso los pedazos de torta fueron más grandes? (4ºB), ¿por qué? (Porque había menos alumnos entre los que se debía repartir). ¿En qué curso los pedazos de torta fue-ron más pequeños? (3ºA). ¿ Por qué? (Porque la torta se dividió en más pedazos, por lo tanto, son de menor tamaño).
cierre
curso matrícula
2º A 32
4ª B 20
3ª A 38
Referencias para el docente:
Ficha 5 y 6
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile18
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 4
• El profesor entrega a cada alumno una tira de papel de 20 cm de largo. Dice: Doble la tira por la mitad, luego dóblela de nuevo y finalmente una vez más. El profesor modela con su tira los dobleces.
• Luego dice: Desdoble la tira, esta será nuestra recta numérica. Pregunta: ¿Cuántas secciones iguales tiene nuestra recta? (8).• Luego dice: Escriba el 0 y el 1 en cada uno de los extremos de la tira. Escriba cada segmento o parte igual con la fracción
correspondiente. El profesor lo modela.
• El profesor dice: Pinte:
• El profesor entrega otra tira de 20 cm. a los alumnos y les pide doblarla solo 2 veces y pregunta: ¿Cuántas secciones iguales tiene nuestra tira, nuestra recta? (4). Escriben en cada extremo el 0 y el 1 y luego las fracciones correspondientes. ( , , ).
• El profesor dice: Pinte
Objetivos de clase ű Ubicar y representar fracciones en una recta numérica.
Vocabulario a utilizar ű Recta numérica, partes iguales.
Recursos pedagógicos ű 2 tiras de papel de 20 cm por alumno
Inicio
• El profesor escribe: “Hoy aprenderemos a ubicar y representar fracciones en una recta numérica”. Dibuja una recta numérica en el pizarrón.
• Pregunta: ¿Qué representa esta recta? (Una recta numérica). ¿Cómo es la distancia entre un número y otro en una recta numérica? (Siempre igual). ¿Cómo representamos un entero en la recta numérica? (En el número 1). La fracción ¿dón-de la ubicamos en la recta numérica? (Entre el 0 y el 1, justo en la mitad). El profesor ubica en la recta del pizarrón.
0 1 2 3 4 5
12
12
Desarrollo
18
38
58
78
28
48
68
0 138
24
14
24
34
14
24
34
0 1
18
38
58
78
28
48
68
0 1
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 19
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 4
• El profesor pregunta: ¿De qué otras maneras podemos dividir nuestro entero? (En tercios, cuartos, sextos, etc.). El profe-sor dice: La distancia entre el 0 y el 1 en una recta numérica se puede dividir en muchas partes fraccionarias.
• El profesor dibuja una recta numérica en el pizarrón y dice: “La recta muestra la distancia entre el 0 y el 1, lo que correspon-de a un entero, 1”. Pregunta: ¿Cómo ubico una fracción en la recta? (Debo dividir mi entero en cuantas partes iguales indique el denominador de la fracción). Un ejemplo para ubicar: , divido mi entero en 8 partes iguales, ya que 8 es el denominador de . ¿Cómo ubico en la recta? (desde el 0 cuento y avanzo 3 espacios hasta ).
• El profesor dibuja una nueva recta numérica en el pizarrón y dice: “La recta muestra la distancia entre el 0 y el 1, por lo que corresponde a un entero, 1”. ¿Cómo ubico la fracción en la recta numérica? (Debo dividir mi entero en cuantas partes iguales indique el denominador de la fracción, en este caso en 6 partes iguales, ya que 6 es el denominador de ) ¿Cómo ubico en la recta? (desde el 0 cuento y avanzo 2 espacios hasta ).
• El profesor dibuja una nueva recta numérica en el pizarrón y dice: ¿Cómo ubico la fracción en la recta numérica? (Debo dividir mi entero en cuantas partes iguales indique el denominador de la fracción, en este caso en 4 partes iguales, ya que 4 es el denominador de ). ¿Cómo ubico en la recta? (desde el 0 cuento y avanzo 3 espacios hasta ).
• El profesor pregunta: ¿Qué tienen en común las fracciones , , , ? (Todas tienen igual numerador y denomi-nador) ¿A qué equivalen? (Todas equivalen a 1 entero).
• El profesor explica a los alumnos que trabajarán la ficha 7 realizando el primer ejercicio en forma guiada, paso a paso, res-pondiendo las preguntas.
• Para el ejercicio número 1:
0 1
383
8
26
26
34
34
34
55
88
44
33
34
26
26
38
38
0 116
26
36
46
56
18
28
38
48
58
68
78
0 1
0 1Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile20
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 4
• ¿A qué corresponde la distancia entre el 0 y el 1? (A un entero); ¿en cuántas partes iguales ha sido dividido el entero? (En cuatro partes iguales); ¿a qué corresponde cada uno de los tramos en que ha sido dividida la recta? ( A ).
• Los alumnos continúan completando la guía 7.
Partida
Sta. Julia
Sta. Ana
San José
San Pedro
Sta. Rosa
14
• Luis va desde su casa a la Escuela en micro. La distancia entre cada paradero es la misma. Debe pasar 4 paraderos antes de bajarse. Los paraderos son Santa Julia, Santa Ana, San José, San Pedro y se baja en Santa Rosa. Si va en San José. ¿Qué frac-ción representa lo que Luis ya ha recorrido? ( ) ¿Qué fracción representa lo que le falta por recorrer? ( ).
cierre
35
25
Referencias para el docente:
Ficha 7 y 8
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 21
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 5
Objetivos de clase ű Comparar y ordenar fracciones con un mismo denominador.
Vocabulario a utilizar ű Mayor qué, menor qué, igual qué, fracción, numerador,
denominador.
Recursos pedagógicos ű Tiras fraccionarias (anexo1)
Inicio
• El profesor escribe: “Hoy aprenderemos a comparar y ordenar fracciones “. Escribe en el pizarrón los siguientes números: 1 540, 2 540, 450, 3 580, 1 450 y pregunta: ¿Cuál es el número mayor? (3580), ¿cuál es el número menor? (450). ¿Cómo escribimos 3 580 es mayor que 450? (3 580 > 450).
• Escribe en el pizarrón varios ejercicios y pasan alumnos adelante, leen los números y luego completan con el signo >, <, o =.1 540_____ 2 540, 450 _______1 450, 3 580 ______2 540, etc.
• Los alumnos sacan sus sobres con las tiras fraccionarias. El profesor pide representar y . Luego les pide comparar las
fracciones colocándolas una sobre la otra y pregunta: ¿Qué fracción es mayor? ( ). ¿Qué fracción es menor? ( ). Final-
mente un alumno pasa a completar en el pizarrón la oración con los signos <, > o =.
• El profesor pide representar y . Luego les pide comparar las fracciones. Pregunta: ¿Qué fracción es mayor? ( ), ¿Qué
fracción es menor? ( ). Pide a un alumno pasar adelante y completar en el pizarrón la oración con los signos <, > o =.
• El profesor pide representar y . Luego les pide comparar las fracciones. Pregunta: ¿Qué fracción es mayor? ( ), ¿qué fracción es menor? ( ). Un alumno escribe en el pizarrón la oración con los signos <, > o =.
Desarrollo
16
38
28
16
36
36
16
36
16
36
<
28
38
28
38
<
39
59
39
59
<
393
9
59
59
28
38
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile22
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 5
• El profesor pide representar , , y . Luego les pide comparar las fracciones, e identificar cuál es mayor y cuál es menor.
• Luego pide a un alumno ordenar las fracciones de menor a mayor, colocando el signo correspondiente.
• El profesor pide representar , y . • Luego les pide comparar las fracciones y finalmente ordenar las fracciones de menor a mayor, colocando el signo corres-
pondiente.
• El profesor grafica en el pizarrón y .
• Pide a los alumnos observar las fracciones y pregunta: ¿Cómo son ambos rectángulos? (Iguales). ¿En cuántas partes se han dividido? (En 10 partes iguales). ¿Cuántas partes sombreadas tiene la primera representación? (3). Entonces, ¿a qué fracción corresponde? ( ), ¿cuántas partes sombreadas tiene la segunda representación? (6). Entonces, ¿a qué fracción corresponde? ( ). El profesor dice: Si los enteros se han dividido en partes iguales, podemos decir que el deno-minador es el mismo, en este caso 10. ¿En qué me debo fijar para comparar fracciones si tienen el mismo denominador? (En el numerador). Para este caso, y ¿qué fracción será menor? ( ) ¿Cómo lo escribimos? < .
• El profesor grafica en el pizarrón y .
• Pide a los alumnos observar las fracciones y pregunta: ¿Cómo son ambos círculos? (Iguales). ¿En cuántas partes se han dividido? (En 8 partes iguales). ¿Cuántas partes sombreadas tiene la primera representación? (4). Entonces, ¿a qué frac-ción corresponde? ( ), ¿cuántas partes sombreadas tiene la segunda representación? (2). Entonces, ¿a qué fracción corresponde? ( ).
• El profesor dice: ¿En qué me debo fijar para comparar fracciones si tienen el mismo denominador? (En el numerador). Para este caso, y ¿Qué fracción será mayor? ( ) ¿Cómo lo escribimos? > .
28
510
18
110
38
310
310
610
18
28
38
< <
110
310
510
< <
310
610
482
8
28
28
48
48
412
48
3106
10
31048
28
310
310
610
610
48
28
• Carlos tiene un chocolate que puede dividirse en 12 cuadraditos iguales. Quiere repartirlo dándole a cada uno de sus tres amigos la misma cantidad. ¿Cuántos cuadraditos recibirá cada amigo? ¿Cómo lo represento en una fracción? ( ).
cierre
Referencias para el docente:
Ficha 9 y 10
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 23
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 6
Objetivos de clase ű Comparar y ordenar fracciones con un mismo numerador.
Vocabulario a utilizar ű Fracción, partes iguales, mayor qué, menor qué, numerador,
denominador.
Recursos pedagógicos ű 4 papeles lustres por alumno ű Tiras fraccionarias (anexo1)
Inicio
• El profesor escribe: “Hoy aprenderemos a comparar y ordenar fracciones con un mismo numerador”. Dice: Luis compró una pizza y la divide en 10 partes iguales. ¿Cuántas personas pueden comer la misma cantidad? (10). Si Martín come de la pizza, ¿cuántos pedazos come? (2). Si José come de la pizza, ¿cuántos pedazos come? (4). ¿Quién come más, Luis o José? (José). Lo que hemos hecho es comparar fracciones con un mismo denominador. Hoy compararemos fracciones con un mismo numerador.
2104
10
• El profesor entrega a cada alumno 4 papeles lustres y dice: Divida el primer papel lustre en cuatro partes iguales siguien-do el modelo del pizarrón.
• Córtelos, y escriba en cada uno la fracción correspondiente , y luego represente . ¿Cuántos cuartos debo considerar? (3), ¿por qué? (Porque la fracción es , lo que significa que el entero lo divido en 4 partes iguales y considero solo 3). Tome el segundo papel lustre y divídalo en 8 partes iguales siguiendo el modelo del pizarrón .
• Escriba en cada parte la fracción correspondiente , córtelos, y represente . ¿Cuántos octavos debo considerar? (3), ¿por qué? (Porque la fracción es 3/8, lo que significa que el entero lo divido en 8 partes iguales y considero solo 3).
• El profesor pide colocar la representación de sobre , pregunta: ¿Qué tienen en común estas fracciones? (Tienen el mismo numerador) ¿Cómo es el denominador? (Distinto) ¿Qué fracción es mayor o ? ( ) ¿Por qué? (Porque lo demuestran con los recortes de las fracciones, porque cada parte es mayor).
Desarrollo
14
14
14
34
14
14
14
14
18
18
18
18
18
18
18
18
38
18
18
18
14
18
38
38 3
8
34 3
434
343
4 38
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile24
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 6
• Pide a un alumno pasar al pizarrón a pegar , y pasa otro a pegar .
• Luego escribe: >
• El profesor dice: Haremos un nuevo ejercicio: Tome un papel lustre y divídalo en 2 partes iguales. ¿Cómo se llaman esas partes iguales? (Medios). Escriba en la parte blanca de cada figura, luego córtelas. Represente .
• Tome otro papel lustre dóblelo armando cuartos ¿Cuántos cuartos tiene un entero? (4). Escriba en cada una de las partes iguales, córtelas y represente .
• El profesor pide colocar la representación de junto sobre , pregunta: ¿Qué tienen en común estas fracciones? (Tienen el mismo numerador) ¿Cómo es el denominador? (Distinto) ¿Qué fracción es mayor o ? ( ) ¿Por qué? (Porque lo demuestran lo hecho con los recortes de las fracciones, porque cada parte es mayor).
• Pide a un alumno pasar al pizarrón a pegar , y pasa otro a pegar sobre el anterior .
• Luego escribe: < y pregunta: ¿Qué estrategia usamos para comparar fracciones con el mismo numerador? (Com-pararlas a través de representaciones concretas).
• Concluyen: Cuando 2 fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene el menor denominador, porque se ha dividido en menos partes y cada parte es mayor.
• El profesor explica que no siempre podemos usar el dibujo, por lo que mostrará una nueva forma de comparar.• Escribe en el pizarrón y . Pregunta: ¿Qué fracción es mayor? ¿Qué fracción es menor? Explica: Estas fracciones tienen
el mismo numerador y distinto denominador. Para poder compararlas en forma exacta, podemos compararlas si ambas tienen igual denominador.
14
14
14
18
18
18
38
38
34
34
12
14
14
14
14
12
12
12
12
14
12
12
12
12
14
14
14
14
14
14
12
14 1
412
<
Lo comparan
12
14
25
210
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 25
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 6
• El profesor dice: con las tiras fraccionarias representen .
• Toman otra representación que sea equivalente:
• Las superponen y comprueban que = .
• Luego ven que sucede con:
- y
- y
- y
25
25
410
25
410
25
1223
2446
34
68
36
16
33
410
• El profesor plantea el siguiente desafío: ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones: , y .
cierre
Referencias para el docente:
Ficha 11
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile26
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 7
Objetivos de clase ű Identificar fracciones que sean equivalentes a partir de
representaciones con material concreto.
Vocabulario a utilizar ű Fracciones equivalentes, numerador, denominador.
Recursos pedagógicos ű Tiras fraccionarias (anexo1)
Inicio
• El profesor escribe: “Hoy aprenderemos a identificar fracciones que sean equivalentes a partir de representaciones con ma-terial concreto”. El profesor dice: Para la fracción , ¿Cuál es el numerador? (3), ¿cuál es el denominador? (8), ¿qué repre-senta el denominador? (La cantidad de partes iguales en que se ha dividido un entero), ¿qué representa el numerador?
(La cantidad de partes que son consideradas de la fracción), ¿cómo se escribe la fracción ? ( ), ¿cómo se grafica?
38
38
38
18
18
18
18
18
18
18
18
• El profesor pide a los alumnos sacar sus tiras fraccionarias y pide colocar el entero sobre el banco. Luego pide colocar y pregunta: ¿Qué fracción podemos encontrar que sea equivalente o igual a ? (Los alumnos prueban usando sus tiras fraccionarias y responden: , o , o , o ).
• Pregunta: ¿ es una fracción equivalente con ? (Sí) ¿Cómo podemos demostrarlo? (Colocando sobre la mesa el ente-ro, abajo y debajo de colocando . ¿Representan la misma cantidad y ? (Sí, cubren la misma parte del entero). Entonces podemos decir que es equivalente con . ¿Cómo lo escribimos? ( = ).
Desarrollo
121
224
36
510
612
24 2
4 24
24
24
121
212
12
12
12
12
1
14
14
12
24
= Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 27
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 7
12
1
18
18
18
18
16
12
48
=
• Pregunta: ¿ es una fracción equivalente con ? (Sí) ¿Cómo podemos demostrarlo? (Colocando sobre la mesa el entero, abajo y debajo de ). ¿Representan la misma cantidad y ? (Sí, cubren la misma parte del entero). Entonces podemos decir que es equivalente con . ¿Cómo lo escribimos? ( = ).
• Pregunta: ¿ es una fracción equivalente con ? (Sí) ¿Cómo podemos demostrarlo? (Colocando sobre la mesa el entero, abajo y debajo de ). ¿Representan la misma cantidad y ? (Sí, cubren la misma parte del entero). Entonces podemos decir que es equivalente con . ¿Cómo lo escribimos? ( = ).
• Realiza las mismas preguntas y pide representarlo con tiras fraccionarias para décimos y doceavos.
• Finalmente concluyen que = = = = = . Todas estas son fracciones equivalentes.
• El profesor grafica en el pizarrón lo siguiente:
48
36
48
36
48
36
48
36
48
36
12
12
12
12
12
12
12
12
12
24
36
48
510
612
12
12
1
16
16
24
36
=
14
14
12
=
36=
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile28
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 7
• Pregunta: ¿Cómo son los enteros? (iguales), ¿cómo son las fracciones que representan las partes sombreadas? (Dife-rentes). Siendo diferentes, ¿representan las mismas partes del todo o del entero? (Sí). ¿Cómo llamamos a fracciones diferentes que representan las mismas partes del entero? (Fracciones equivalentes). Entonces: ¿ y son fracciones equivalentes? (Sí) ¿Cómo lo escribimos? ( = ).
• Luego grafica:
• Pregunta: ¿Cómo son los enteros? (iguales), ¿cómo son las fracciones que representan las partes sombradas? (Diferen-tes). Siendo diferentes, ¿representan las mismas partes del todo o del entero? (Sí). ¿Cómo llamamos a fracciones di-ferentes que representan las mismas partes del entero? (Fracciones equivalentes). Entonces: ¿ y son fracciones equivalentes? (Sí) ¿Cómo lo escribimos? ( = ).
• A continuación representan:
• Pregunta: ¿Cómo son los enteros? (iguales), ¿cómo son las fracciones que representan las partes sombradas? (Diferen-tes). Siendo diferentes, ¿representan las mismas partes del todo o del entero? (NO). ¿Qué representa la primera fracción? ( ). ¿Qué fracción representa la segunda fracción? ( ). ¿Son equivalentes y ? (No, porque tiene el mismo deno-minador, pero están consideradas distinta cantidad de partes, lo que las hace tener distinto numerador).
• El profesor dice: Si es equivalente con , con , , , etc. ¿Existe alguna manera de encontrar fracciones equivalen-tes? ¿Hay algún patrón que podamos usar para encontrar fracciones equivalentes? Deja unos minutos para que lo discutan con su compañero de banco. Finalmente dice: “Para encontrar fracciones equivalentes podemos multiplicar numerador y denominador por el mismo número”.
• Por ejemplo:
• Otro ejemplo:
36
12
262
6
131
3
36
12
44
44
14
14
12
24
36
48
510
13=
26=
44=
14=
12
510=
37
921
• 3• 3
37
921=
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 29
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 7
• El profesor entrega un dado por pareja y dice que buscaremos fracciones equivalentes.• Escribe en el pizarrón la siguiente fracción: . Pide a un alumno que lance el dado, sale el número 4 y pide multiplicar
numerador 2 • 4 que es igual a 8, lo escribe.• Luego multiplica el denominador 5 • 4 que es igual a 20.• Finalmente escribe y dice: es equivalente a . (Lo dibuja y grafica).
• Repiten la acción para otra fracción: . Pide a un alumno que lance el dado, sale el número 5 y pide multiplicar numerador 4 • 5 que es igual a 20, lo escribe. Luego multiplica el denominador 8 • 5 que es igual a 40. Finalmente escribe y dice: es equivalente a .
• Repiten la acción para , , , etc.
cierre
25
25
820
Referencias para el docente:
Ficha 12 y 13
25=
48 2
52040 2
749
310
820=
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile30
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 8
Objetivos de clase ű Leer, escribir y mostrar números mixtos y establecer su relación
con las fracciones impropias a partir de representaciones.
Vocabulario a utilizar ű Números mixtos, fracciones propias, fracciones impropias.
Recursos pedagógicos ű Papel lustre por alumno
Inicio
• El profesor escribe: “Hoy aprenderemos a leer, escribir y mostrar números mixtos y establecer su relación con las fracciones im-propias a partir de representaciones”. Escribe en el pizarrón y pide a un alumno pasar a representar la fracción en el pizarrón.
• Luego pregunta: ¿Cómo podemos encontrar una fracción equivalente a 1/4? (Multiplicando el numerador y el denomi-nador por un mismo número, por ejemplo x2. El numerador 1 , x2= 2 y el denominador 4 , x2 = 8), ¿qué fracción obtene-mos? (2/8). Entonces es equivalente a .
• Pide representar en las fracciones del pizarrón la fracción equivalente con otro color.
• Finalmente pregunta: ¿Cómo son estas fracciones? (Equivalentes). ¿Qué significa que sean equivalentes? (Que represen-tan la misma cantidad, es decir, = )
14
14
28
14
28
• El profesor escribe en el pizarrón varias fracciones: , , , y pregunta: ¿Qué tienen en común estas fracciones? (Todas tienen el numerador menor que el denominador). El profesor verbaliza: Las fracciones cuyo numerador es menor que el denominador se llaman fracciones propias. ¿Las fracciones propias son mayores o menores que 1 entero? (Menores).
• El profesor entrega a cada alumno 2 cuadrados de papel lustre. Y pregunta: ¿Qué representa cada cuadrado? (Un entero).
• Luego dice: Divida cada entero en 4 partes iguales, escriba en cada una de las partes, y pinte por el lado blanco . ¿Cómo podemos que hacerlo si el entero está dividido en solo 4 partes iguales? (Pintando 4 cuartos del primer cuadrado y 2 cuartos del segundo cuadrado).
Desarrollo
24
38
15
15100
14
64
ó ó
ó ó
64= fracción impropiaDere
cho e
xclus
ivo A
ptus C
hile
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 31
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 8
• ¿Qué fracción representa? (6/4). El profesor dice: Esta es una fracción impropia. Se llama fracciones impropias a aquellas fracciones que tienen el numerador igual o mayor al denominador. Por ejemplo: . Entonces las fracciones impropias ¿son mayores o menores que 1 entero? (mayores o iguales al entero).
• El profesor pide observar lo representado en los papeles lustres y pregunta: ¿Cuántos enteros están representados? (1), y ¿cuántos cuartos hay en la segunda fracción? ( ). Entonces podemos escribir que = 1 entero y . Se escribe:
• Este es un número mixto. ¿Por qué se llama número mixto? (Porque está formado por un número entero y una fracción). Da otros ejemplos:
• El profesor entrega 2 papeles lustres a los alumnos y pide dividirlos en octavos. Escriben en cada parte y escribe en el pizarrón . Pregunta: ¿Cómo se llama esta fracción? ( ), ¿qué tipo de fracción es? (Fracción impropia), ¿por qué se llama fracción impropia? (Porque el numerador es mayor al denominador).
• Luego les pide que representen la fracción pintando. Pregunta: ¿Cuántas partes debo pintar? (13). ¿Cuántas partes tiene cada entero? (8). Si pinto 8 partes en cada entero, ¿cuántos enteros completos debo pintar para representar ? (1). ¿Cuántas partes debo pintar en el segundo entero? (5).
• ¿Cómo se llama un número formado por un entero y una fracción? (Número mixto) ¿Por qué se llama número mixto? (Porque está formado por un entero y una fracción).
• El profesor escribe la fracción en el pizarrón y pregunta: ¿Qué tipo de fracción es esta? (Una fracción impropia) ¿Qué significa que sea impropia? (Que el numerador es mayor que el denominador) ¿En qué la puedo transformar? ( En un número mixto) ¿Qué debo hacer para transformar una fracción impropia en un número mixto? ( Puedo graficar los )
64
24
1813
8
138
95
95
138
138
24
64
64= = 2
41Entero fracción
73= = 2 1
3
1 1 13
35
85= = 1
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
58
138= =
1 58
1
95 =
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile32
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 8
• Luego me pregunto: ¿Cuántos enteros están representados en ? (1 entero) ¿Cuántos quintos están considerados en el segundo entero? (4). Entonces es igual a 1 entero y .
• El profesor escribe otra fracción en el pizarrón y pregunta: ¿Qué tipo de fracción es esta? (Una fracción impropia) ¿Qué significa que sea impropia? (Que el numerador es mayor que el denominador) ¿En qué la puedo transformar? (En un número mixto) ¿Qué debo hacer para transformar una fracción impropia en un número mixto? (Puedo graficarlo). ¿De qué otra manera puedo hacerlo, especialmente cuando graficarlo es muy difícil? (Lo primero es dividir,7: 2, que es igual a 3 y me queda 1, entonces es igual a 3 enteros y ).
95
72
72
12
95
45
95
451=
72
=
72
=
72
=
12
12
1 + 1 + 1 +
3
3
• El profesor escribe varias fracciones en el pizarrón propias e impropias y pide a varios alumnos clasificarlas y explicar por qué están en un grupo o en otro y pregunta cuáles de esas fracciones se pueden expresar como números mixtos (las im-propias).
cierre
Referencias para el docente:
Ficha 14 y 15
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 33
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 9
Objetivos de clase ű Sumar fracciones propias de igual denominador.
Vocabulario a utilizar ű Fracciones propias.
Recursos pedagógicos ű Tiras fraccionarias (anexo1)
Inicio
(NOTA: un error frecuente es sumar los denominadores, por lo que hay que estar atentos en ese aspecto).• El profesor escribe: “Hoy aprenderemos a sumar fracciones propias de igual denominador”. El profesor escribe en el pizarrón
varias fracciones, , , , y pregunta: ¿Qué tipo de fracciones son? (Fracciones propias), ¿Cómo es el numerador en relación al denominador en estas fracciones? (Menor) ¿Cómo se llaman las fracciones cuyo numerador es mayor o igual el denominador? (Fracciones impropias). Pide a un alumno pasar a escribir una fracción impropia. Luego pide a otro alumno pasar a representarla y escribirla como número mixto.
36
710
512
• El profesor pide a los alumnos sacar sus tiras fraccionarias. Pide representar y luego representar . Pregunta: ¿Qué fracción representa la primera tira? ( ). ¿Qué fracción representa la segunda tira? ( ). Si quiero unir ambas tiras ¿Qué ope-ración podemos realizar? ( Una adición). ¿Cómo lo haríamos? (Uniendo las tiras fraccionarias que representan
y ). ¿Cómo lo escribimos? ( + ). Pregunta ¿Qué fracción representa el resultado de + = ( ). ¿Qué es lo que hicimos? (Sumar dos fracciones con el mismo denominador). (¿Qué suma o adición realizamos? ( + = ).
• El profesor pide representar con tiras fraccionarias y luego representar . Pregunta: ¿Qué fracción representa la pri-mera tira? ( ). ¿Qué fracción representa la segunda tira? ( ) Si quiero unirlas, ¿qué operación podemos realizar? (Una adición), ¿cómo lo haríamos? (Uniendo las tiras fraccionarias que representan y ), ¿cómo lo escribimos? ( + ). Pregunta: ¿Qué fracción representa el resultado de + = ( ) ¿Qué es lo que hicimos? (Sumar dos frac-ciones con el mismo denominador) ( Qué suma o adición realizamos? ( + = ).
Desarrollo
14
14
14
14
14
14
242
4
24
24
34
34
24
24
14
24
34
1 + 24
14
14
14+ =
+ = =
16
26
16
16
16
36
1 + 26
+ =
+ = =
262
6 262
626 2
6
161
6 161
616 1
6
36 3
6
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile34
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 9
• El profesor pide sumar con tiras fraccionarias + . Los alumnos repiten los pasos anteriores, representan cada fracción con tiras, las suman y llegan al resultado.
• El profesor grafica en el pizarrón dos enteros y dice: Vamos a sumar y , ¿en cuántas partes iguales debemos dividir cada fracción o entero? (En 5 partes iguales).
• Luego pregunta: ¿Qué fracciones vamos a sumar? ( y ) ¿Cuántas regiones debemos pintar para representar la primera fracción? (2). Pide a un alumno pasar adelante a pintarla. ¿Cuántas regiones o partes debemos pintar para re-presentar la segunda fracción? (1). Pasa un alumno a pintarlas. ¿Qué representaremos en el tercer entero? (El total de las regiones pintadas de cada fracción). Entonces, ¿cuántas partes debemos pintar? (3), ¿por qué debemos pintar 3 partes? (Porque 2 + 1 =3). Pasa un alumno a pintar adelante.
• El profesor plantea otro ejercicio en el pizarrón: + Pregunta: ¿Cuántos enteros tenemos que representar? (2) ¿En cuántas partes iguales debemos dividir cada uno de nuestros enteros para realizar esta suma? ( En 12), ¿cuántas re-giones debemos pintar para representar la primera fracción? (4). Pide a un alumno pasar adelante a pintarla. ¿Cuántas regiones o partes debemos pintar para representar la segunda fracción? (8). Pasa un alumno a pintarlas. ¿Qué represen-taremos en el tercer entero? (El total de las regiones pintadas de ambas fracciones). Entonces, ¿cuántas partes debemos pintar? (12), ¿por qué debemos pintar 12 partes? (Porque 4 + 8 =12 ). Pasa un alumno a pintar adelante.
• Finalmente pregunta: Si + = , ¿A qué corresponde la fracción ? ( A 1 entero). Concluyen que para sumar frac-ciones de igual denominador se suman los numeradores y se mantiene el denominador.
25
412
412
241
434
812
1212
1212
812
15
28
25
15
58
28
58
78
2 + 58
+ =
+ = =
18
18
18
18
18
18
18
25
15
35
2 + 15
+ =
+ = =
+ =
412
812 14 + 8
12+ = =
• El profesor dice: Para hacer un postre la señora Mónica necesita de kilo de nueces, y para hacer pasteles la Sra. Lucía necesita de kg de nueces. ¿Quién necesita más nueces? (La señora Mónica) ¿Cuántas nueces necesitan entre las dos? ( de kilo) . Grafique la suma.
cierre
Referencias para el docente:
Ficha 16 y 17
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 35
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 10
• El profesor pide a los alumnos sacar sus tiras fraccionarias. Escribe en el pizarrón - .
• Pide representar Pregunta: ¿Qué fracción está representada en tiras? ( ). ¿Cómo resolvemos - ? (Restándole o quitándole a ), ¿ qué fracción representa el resultado de - = ), ¿qué es lo que hicimos? ( Restamos dos fracciones con el mismo denominador), ¿qué sustracción realizamos? ( - ).
• El profesor anota un nuevo ejercicio en el pizarrón: – , y pregunta: ¿Qué tienen en común estas fracciones? (Tienen el mismo denominador).
• Pide representar Pregunta: ¿Qué fracción está representada en tiras? ( ), ¿cómo resolvemos – ? (Restándole a ) ¿qué fracción representa el resultado de – ? ( ), ¿qué es lo que hicimos? (Restamos dos fracciones con
el mismo denominador), ¿qué sustracción realizamos? ( – ).
Objetivos de clase ű Restar fracciones propias con el mismo denominador.
Vocabulario a utilizar ű Fracciones propias, restar.
Recursos pedagógicos ű Tiras fraccionarias (anexo1)
Inicio
• El profesor escribe: “Hoy aprenderemos a restar fracciones propias con el mismo denominador”. Pregunta: ¿Cómo suma-mos fracciones con el mismo denominador? (Representando gráficamente cada fracción, y luego sumando los numera-dores y manteniendo el denominador). ¿Cómo resolvemos + ?
• Pide a un alumno pasar adelante y graficar los sumandos, en este caso fracciones. ¿Qué tienen en común estas fracciones? (Tienen el mismo denominador). ¿Qué tenemos que sumar una vez representada cada fracción? (Sumar los numeradores).
• Entonces: + =
36
36
26
34
34 3
434 3
4
34
34
14
14
610
610
6106
10610
610
610
310
310
310
310
310310
14 1
4
24
14
26
56
+ =
36
56
26
3 + 26
+ = =
Desarrollo
14
14
14
110
110
110
110
110
110
34
24
14
3 - 14
- = =
610
310
310
6 - 310
- = =
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile36
Unidad Fracciones
NÚM
EROS
Y OP
ERAC
IONE
S4º
BÁS
ICO
2 horas�Clase 10
• El profesor anota un nuevo ejercicio en el pizarrón: – , y pregunta: ¿Qué tienen en común estas fracciones? (Tienen el mismo denominador).
• Pide representar Pregunta: ¿Qué fracción está representada en tiras? ( ), ¿cómo resolvemos – ? (Restándole a ) ¿qué fracción representa el resultado de – ? ( ), ¿qué es lo que hicimos? (Restamos dos fracciones con
el mismo denominador), ¿qué sustracción realizamos? ( – ).
• El profesor grafica en el pizarrón un entero y dice: Vamos a restar - , ¿en cuántas partes iguales debemos dividir el entero? (En 5 partes iguales), ¿cuántas partes vamos a achurar? (4), ¿por qué vamos a pintar 4 partes? (Porque en la fracción 4/5 son 4 las partes que son consideradas).
• Pasa un alumno a achurar las 4 partes. ¿Qué debemos hacer a continuación? (Restar o borrar una parte achurada que corresponde a ), ¿cuántas partes quedaron achuradas? (3 partes).
• Entonces, ¿cuál es el resultado de - ?• Pide a todos los alumnos contar en voz alta las partes que quedan ( ).
• El plantea otro ejercicio en el pizarrón: - y dice: ¿Qué es lo primero que debemos hacer (Dibujar un entero). ¿En cuántas partes iguales hay que dividir el entero? ( En 12 partes iguales), ¿cuántas partes vamos a achurar? (8), ¿por qué vamos a pintar 8 partes? ( Porque en la fracción son 8 las partes que son consideradas).
• Pasa un alumno a achurar las 8 partes. ¿Qué debemos hacer a continuación? (Restar o sacar tres partes achuradas que corresponden a ), ¿cuántas partes quedaron achuradas? (5 partes). Entonces, ¿cuál es el resultado de - ?
• Pide a todos los alumnos contar en voz alta las partes que quedan ( ).
• Concluyen que para restar fracciones de igual denominador se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
88
88
888
888
88
45
812
812
812
512
312
312
312
45 3
5
15
15 1
5
88
68
68
68
68
2868
18
18
18
18
18
18
18
18
88
28
68
8 - 68
- = =
15
15
15
15
15
45
35
15
4 - 15
- = =
812
512
312
8 - 312
- = =
112
112
112
112
112
112
112
112
112
112
112
112
• El profesor dice: Don Pedro tiene 1 kilo de chocolate y quiere regalar a 4 personas la misma cantidad. ¿Cuánto debe regalar a cada uno para que todos reciban lo mismo? (Explique y grafique como llega al resultado).
cierre
Referencias para el docente:
Ficha 18 y 19
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
Una con una línea la fracción con la correspondiente representación, considerando las partes pintadas del total.
48
24
410
13
39
12
66
40
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
O Unidad Fracciones
Ficha 1Clase 1
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
5
10
8
35
510
510
38
58
25
Observe la lámina y responda:
1. ¿Cuántos patos hay en total? patos.
2. ¿Qué fracción representa los patos que están en el agua?
3. ¿Qué fracción representa los patos que están fuera del agua?
5. ¿Cuántas manzanas hay en total? manzanas.
6. ¿Qué fracción representa las manzanas que están en el árbol?
7. ¿Qué fracción representa las manzanas que están en el suelo?
8. ¿Cuántas peras hay en total? peras.
9. ¿Qué fracción representa las peras que están en el suelo?
10. ¿Qué fracción representa las peras que están en el árbol?
Responda:
41
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
OUnidad Fracciones
Ficha 2Clase 2
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
38
47
33
49
412
12 12
1. ¿Qué fracción de cada conjunto está sombreada?
2. Dibuje un conjunto de cuadrados con sombreados.
3. Dibuje un conjunto de flores con pintadas.
39
412
42
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
O Unidad Fracciones
Ficha 3Clase 2
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
23
46
29
812
412
812
1. Escriba una fraccion para cada representación.
2. Martín tiene una colección de 12 CDs. De los 12 CDs 8 son de música rock.
a) Escribe una fracción que represente los CDs de música Rock.
a) ¿Qué fracción representa los CDs que no son de rocks?.
Está feliz
son círculos
Tienen sombrero
Está triste
43
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
OUnidad Fracciones
Ficha 4Clase 2
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
Representa las siguientes fracciones:
410
59
33
38
56
212
1100
14100
44
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
O Unidad Fracciones
Ficha 5Clase 3
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
24
38
412
510
13
13100
1010
11
12
23
528
516
Escriba la fracción que está representada:
45
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
OUnidad Fracciones
Ficha 6Clase 3
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
14
18
12
13
23
16
15
25
35
45
26
36
46
56
28
38
48
58
68
78
24
34
Escriba las fracciones que faltan en cada recta numérica:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
46
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
O Unidad Fracciones
Ficha 7Clase 4
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
14
36
48
18
14
47
38
23
Ubique cada fracción en las rectas numéricas:
Escribe la fracción que corresponde al :
1)
2)
3)
4)
0 114
0 136
0 148
0 115
0 1
0 1
0 1
0 1
1) 2)
3) 4)
47
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
OUnidad Fracciones
Ficha 8Clase 4
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
14 <
24
24
58
262
3
<
<
<=
34
48
362
3
Escriba la fracción que representa cada figura utilizando los signos < , > o =.
312
612
48
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
O Unidad Fracciones
Ficha 9Clase 5
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
< <
<
=
V
V
V
F
Escriba la fracción que representa cada figura utilizando los signos < , > o =.
Complete con V o F:
39
19
14
44
412
912
49
79
1) 2)
3) 4)
1. Dos tercios es mayor que un tercio
2. Siete décimos es menos que diez décimos
3. Ocho novenos es mayor que tres novenos
4. Cuatro cuartos es mayor que cuatro cuartos
49
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
OUnidad Fracciones
Ficha 10Clase 5
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
<
<
<
<
<
=
=
= <
28
38
48
88
Compare y escriba >, < o =
Escriba de menor a mayor las siguientes fracciones:
45
35
38
48
712
512
7100
7100
44
55
78
18
18
12
88
1212
56
36
1)
4)
7)
2)
5)
8)
3)
6)
9)
28
38
48
88
, , .
50
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
O Unidad Fracciones
Ficha 11Clase 6
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
Si
Si
Si
No
No
No
Sombree con lápiz mina e indique si las fracciones son o no equivalentes:
24
12
y son equivalentes26
34
y son equivalentes
33
44
y son equivalentes23
12
y son equivalentes
36
24
y son equivalentes28
38
y son equivalentes
33
23
36
44
12
24
28
38
1) 2)
3) 4)
5) 6)
24
12
26
34
51
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
OUnidad Fracciones
Ficha 12Clase 7
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
24
26
212
48
48
Pinte en la segunda fracción las partes necesarias para obtener una fracción equivalente a la primera y complete:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
24
36
12
16
12
13
24
52
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
O Unidad Fracciones
Ficha 13Clase 7
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
Una cada número mixto con la correspondiente representación:
Una cada fracción impropia con la correspondiente representación:
121
453
132
122
64
72
83
95
53
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
OUnidad Fracciones
Ficha 14Clase 8
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
125
118
84
=
==
252
381
132
122
482
2
Escriba la fracción impropia y el número mixto que corresponde a cada representación.
Pinte las partes necesarias para representar la fracción impropia y escriba su correspondiente número mixto.
23 = 1
21
1) 2)
3) 4)
1) 2)
3) 4)
52 = 1
22 52
=
72 = 20
8 =
54
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
O Unidad Fracciones
Ficha 15Clase 8
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
44
1112
810
34
Pinte cada fracción y encuentre el total de cada adición.
+ =14
24
34
+ =
+ =14
34
+ =
+ =712
412
+ =
+ =510
310
+ =
+ =14
24
+ =
1)
2)
3)
4)
5)
55
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
OUnidad Fracciones
Ficha 16Clase 9
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
34
38
13
48
23
78
33
410
38
48
78
510
910
Escriba y resuelva la adición que está representada en cada ejercicio:
1)
2)
3)
4)
5)
+ =14
24
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
56
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
O Unidad Fracciones
Ficha 17Clase 9
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
26
57
510
25
Represente achurando la primera fracción y marque con una cruz la fracción que debe restar. Escriba el resultado.
1)
2)
3)
4)
5)
- =58
28
38
- =36
16
- =810
310
- =77
27
- =45
25
57
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
OUnidad Fracciones
Ficha 18Clase 10
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile
48
14
00
38
Reste las siguientes fracciones pintando y marcando con una cruz. Luego escriba el resultado.
1)
2)
3)
4)
5)
- =34
24
- =12
12
- =68
28
- =56
26
- =810
510
58
NÚM
EROS
Y OP
ERAT
ORIA
4º B
ÁSIC
O Unidad Fracciones
Ficha 19Clase 10
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e
Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 261
Clase 1, 3, 5, 6 ,7, 9 y 10ANEXO 1 - Unidad Fracciones
Derech
o exc
lusivo
Aptu
s Chil
e