4. Modelos Unidimensionales. - bibing.us.esbibing.us.es/.../4_Modelos_Unidimensionales.pdf · En el primero no hay perfiles de velocidad ni de temperatura y por tanto no hay gradientes

4. Modelos Unidimensionales.

PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.

65

4.0 Introducción.

Existen 2 formas principales de modelar el comportamiento fluidodinámico de un motor Stirling: El modelo unidimensional y el modelo multidimensional.

En el primero no hay perfiles de velocidad ni de temperatura y por tanto no hay gradientes de estos parámetros. Las cantidades que dependen de las variaciones espaciales de velocidad y temperatura (como

y

u

∂∂−= µτ ó

y

Tkq

∂∂−= ) se obtienen

indirectamente mediante correlaciones de coeficientes adimensionales. Podemos distinguir los siguientes tipos:

- Modelos de primer orden. � El modelo isotérmico. o La temperatura del gas en cada cámara permanece constante. o Las pérdidas hidráulicas se estiman con la ecuación de Darcy. o Los espacios de expansión y compresión son isotermos y a la misma

temperatura que los focos caliente y frío respectivamente (también isotermos).

- Modelos de segundo orden. � El modelo adiabático ideal. o La temperatura del gas en cada cámara varía debido a cambios en

presión, flujo del gas desde y hacia las cámaras y la transferencia de calor de las paredes hacia las cámaras.

o La transferencia de calor y los procesos dinámicos del gas son descritos con las ecuaciones diferenciales ordinarias.

o Los espacios de expansión y compresión son adiabáticos. o Los focos caliente y frío son isotermos durante el ciclo aunque diferentes

a la temperatura de sus paredes respectivas, para que haya transferencia de calor en los mismos. Dicha transferencia de calor vendrá determinada por el coeficiente de convección h (normalmente procedente de alguna correlación empírica).

- Modelos de tercer orden. o La transferencia de calor y los procesos dinámicos del gas son descritos

con las ecuaciones diferenciales parciales de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía. Están expresadas en la forma unidimensional y escrita para cada cámara del motor.

o No se tienen en cuenta la influencia de la turbulencia en el flujo.

Normalmente, con los modelos unidimensionales se sobrestiman las prestaciones del motor. Esto se evita con el uso de modelos multidimensionales.


66

4.1 Tipos de Modelos Unidimensionales.

4.1.1 Modelo Isotermo.

Un modelo simple pero efectivo del motor lo constituyen cinco cámaras conectadas en serie, que consisten respectivamente en el espacio de compresión c, el foco frío k, el regenerador r, el foco caliente h y el espacio de expansión e. Cada componente es considerado como una celda, donde el gas que contiene está representado por sus valores instantáneos de número de moles n, temperatura absoluta T, volumen V y presión p. Si se requiere una mejor adecuación del modelo a un motor real, se puede descomponer en un mayor número de celdas. En la figura anterior se asigna una temperatura kT a las cámaras c y k ( )kc TT = y una

temperatura hT a las cámaras h y e ( )he TT = y donde se cumple que kh TT > .

Para la cámara r del regenerador se asume que la temperatura sigue una ley lineal entre los extremos, uno a temperatura kT del foco frío y otra a temperatura hT del foco

caliente, de manera que la media efectiva en el mismo debe ser (deducida en el anexo)

−=

k

h

khr

T

T

TTT

ln

.

La suposición de que los espacios de trabajo son isotermos implica que los intercambiadores de calor (incluido el regenerador) tienen una efectividad perfecta del 100%, con una distribución espacial de la temperatura como la indicada en la figura anterior.

La variación de volumen en el motor dependerá del mecanismo cinemático del mismo, aunque uno que da soluciones analíticas simples para este modelo es el que asume que los volúmenes de los espacios de trabajo varían de forma senoidal y que se conoce como análisis de Schmidt por ser este investigador el primero que lo obtuvo en 1871.

Tk

Tr

Th

T

Tc

Te

Figura 4.1. Temperaturas en las cámaras del modelo isotermo.


67

Comencemos el análisis despreciando las fugas de gas de trabajo hacia la atmósfera y viceversa, de esta manera el número total de moles encerrados en el motor es constante e igual al de la suma del contenido en cada una de sus cámaras

n = nc + nk + nr + nh + ne.

Sustituyendo la ley de los gases ideales

n = p V / R T,

obtenemos

n = p (Vc / Tk + Vk / Tk + Vr / Tr + Vh / Th + Ve / Th) / R.

Donde el valor de Tr corresponde al de la media efectiva en el regenerador suponiendo una distribución lineal de temperaturas en el mismo, como se indicó en la página anterior. Entonces, proporcionando las variaciones de volumen Vc y Ve podemos calcular la presión p en función de Vc y Ve (los volúmenes Vk, Vr y Vh son conocidos).

( )( )

++

−⋅++

⋅=

h

e

h

h

kh

khr

k

k

k

c

T

V

T

V

TT

TTV

T

V

T

V

Rnp

ln.

El trabajo dado por el sistema en un ciclo completo se calcula con la integral de p·dV sobre todo el ciclo

∫ ∫ ∫ ⋅

+=⋅+⋅=+= θθθ

dd

dV

d

dVpdVpdVpWWW ec

ecce .

Evaluando el calor transferido sobre el ciclo completo en las diferentes celdas encontramos que

Qc = Wc; Qe = We; Qk = 0; Qh = 0; Qr = 0.

Esto es el resultado de haber definido los espacios de compresión y expansión como isotermos. En las máquinas reales los espacios de compresión y expansión tienden a ser adiabáticos más que isotermos, lo cual implica que el calor neto Qk y Qh transferido en un ciclo debe ser donado por los intercambiadores de calor. Esto será considerado en el modelo ideal adiabático de la sección siguiente. El conjunto de ecuaciones es


68

4.1.1.1 El análisis de Schmidt.

En el año 1871 Gustav Schmidt publicó un trabajo para resolver de manera analítica el sistema de ecuaciones del modelo isotermo para el caso en que las variaciones de volumen en las cámaras c y e fueran senoidales con un ángulo α de desfase entre ellas.

A partir de aquí haremos uso de la notación siguiente para los distintos volúmenes de las celdas:

Donde

eswe

cle

h

r

k

cclc

swc

Ve

e

V

V

V

V

V

Vc

c

V

V

.en (sweeped) barridovolumen

.en )(clearance muertovolumen

caliente. foco delvolumen

r.regenerado delvolumen

frío. foco delvolumen

.en )(clearance muertovolumen

.en (sweeped) barridovolumen

→→→→→→

→→→

Las variaciones de volumen senoidales de los espacios de expansión y compresión son

Vc = Vclc + Vswc (1 + cos θ) / 2;

Ve = Vcle + Vswe (1 + cos(θ + α)) / 2.

( )( )

++

−⋅++

⋅=

h

e

h

h

kh

khr

k

k

k

c

T

V

T

V

TT

TTV

T

V

T

V

Rnp

ln

Presión

∫

== θθ

dd

dVpWQ e

ee

Calor transferido

∫

== θθ

dd

dVpWQ c

cc

ec WWW += Trabajo dado

eQ

W=η Eficiencia

Vswc Vclc Vk Vr Vh Vcle Vswe

Vc Ve

Figura 4.2. Notación seguida para los distintos volúmenes de las celdas en el modelo de Schmidt.


69

Donde θ es el ángulo del ciclo. Sustituyendo Vc y Ve en las ecuaciones de presión de arriba y simplificando obtenemos

θαθαsin

2sin

cos22

cos ⋅

⋅⋅−⋅

⋅+

⋅⋅+

⋅=

h

swe

k

swc

h

swe

T

V

T

V

T

Vs

RMp ,

donde

( )( )

+

⋅++

−⋅+++

⋅=

e

cle

h

swe

h

h

kh

khr

k

k

k

clc

k

swc

T

V

T

V

T

V

TT

TTV

T

V

T

V

T

Vs

2ln

2.

Con el fin de simplificar la ecuación de presión consideraremos la sustitución de β y c definidas por el siguiente triángulo rectángulo:

Donde

+⋅

⋅= −

k

swc

hswe

hswe

T

V

TV

TV

α

α

βcos

sintan 1 ;

22

cos221

+⋅⋅+

=

k

swc

k

swc

h

swe

h

swe

T

V

T

V

T

V

T

Vc α .

Sustituyendo β y c en la ecuación de presión de arriba y simplificando

( )φcos1 ⋅+⋅=

bs

RMp .

Siendo

φ = θ + β;

b = c / s.

Los valores máximo y mínimo de la presión pueden ser evaluados ahora para los valores extremos de cos φ

( )bs

RMp

+⋅⋅=

1min ; ( )bs

RMp

−⋅⋅=

1max .

h

swe

T

Vc

⋅⋅=⋅

2

sinsin

αβc

β

k

swc

h

swe

T

V

T

Vc

⋅+

⋅⋅=⋅

22

coscos

αβ

Figura 4.3. Triángulo rectángulo usado para definir β y c y usarlos en la expresión de la presión.


70

La presión media en el ciclo viene dada por

∫ ⋅⋅⋅

=π

φπ

2

021

dppmedia ;

( )∫ ⋅⋅+

⋅⋅⋅

⋅=π

φφπ

2

0 cos11

2d

bs

RMpmedia ,

que se resuelve como

( )21 bs

RMpmedia

−⋅⋅= .

Esta ecuación es la manera más conveniente de relacionar la masa total de gas de trabajo en el ciclo con la presión media de operación.

El trabajo neto dado por el motor es la suma del trabajo dado por los espacios de compresión y expansión. En un ciclo completo

∫ ⋅

⋅==π

θθ

2

0d

d

dVpWQ e

ee ;

∫ ⋅

⋅==π

θθ

2

0d

d

dVpWQ c

cc ;

ec WWW += .

Las derivadas de volumen se obtienen diferenciando Vc y Ve

θθ

sin21 ⋅⋅−= swc

c Vd

dV;

( )αθθ

+⋅⋅−= sin21

swee V

d

dV.

Sustituyendo estos y la ecuación de la presión en las ecuaciones de Wc y We

( )∫ ⋅+⋅+

⋅⋅

⋅⋅−=π

θθβ

θ2

0 cos1sin

2d

bs

RMVW swc

c ;

( )( )∫ ⋅

+⋅++⋅

⋅⋅⋅−=

πθ

θβαθ2

0 cos1sin

2d

bs

RMVW swe

e .

Resolviendo estas integrales obtenemos

( )b

bpVW mediaswc

c

11sin 2 −−⋅⋅⋅⋅= βπ;

( ) ( )b

bpVW mediaswe

e

11sin 2 −−⋅−⋅⋅⋅= αβπ.


71

4.1.2 Modelo Adiabático. El modelo adiabático está cimentado básicamente en la utilización de la ecuación unidimensional de conservación de la masa en todo el motor y en la ecuación de estado del gas ideal nRTpV = y la de conservación de la energía, también unidimensional, en cada celda. La ecuación de conservación de cantidad de movimiento unidimensional es usada en este modelo para la evaluación de la pérdida de carga p∆ mediante el uso de correlaciones empíricas. En este modelo se considera que los espacios de trabajo c y e son adiabáticos. De esta manera los únicos intercambios de calor permitidos con el exterior se producirán en los focos. De nuevo hemos dividido el motor en 5 cámaras. En el siguiente diagrama definimos la nomenclatura seguida para el modelo Adiabático Ideal. Aquí tenemos un solo sufijo (c, k, r, h, e) representando los cinco espacios, y un doble sufijo (ck, kr, rh, he) representando las cuatro interfaces entre esos espacios.

La entalpía es transportada a través de las interfaces en términos de flujos de masa m y la temperatura aguas arriba T. En la figura siguiente se representa el diagrama de distribución de temperaturas en el que se muestra como la temperatura de los espacios de compresión y expansión (Tc y Te) no son constantes, pues varían durante el ciclo entre un valor máximo y uno mínimo de acuerdo con la compresión y expansión adiabáticas que ocurren en los espacios de trabajo.

Tk

Tr

Th

T

Tc

Te

Espacio de compresión adiabático “c”.

Foco frío “k”.

Regenerador “r”.

Foco caliente “h”.

Espacio de expansión adiabático “e”.

Interfaz “ck” Interfaz “kr” Interfaz “rh” Interfaz “he”

Figura 4.4. Nomenclatura seguida para denominar las cámaras e interfaces del modelo adiabático.

Figura 4.5. Temperaturas en las cámaras del modelo adiabático.


72

Entonces las entalpías que fluyen a través de las interfaces ck y he transportan las temperaturas de las celdas aguas arriba, por tanto las temperaturas Tck y The son condicionales según la dirección del flujo y son definidas algorítmicamente como sigue:

If mck’ > 0 then Tck = Tc else Tck = Tk

If mhe’ > 0 then The = Th else The = Te

Nuevamente se considera que no hay fugas de gas, la masa total de gas M en el sistema es constante, y no hay pérdida de presión asociadas a pérdidas de masa, por tanto p representa la presión instantánea en todo el sistema. El trabajo W intercambiado con el entorno proviene de la variación de volumen de los espacios de trabajo Vc y Ve, y el calor Qk y Qh proviene del intercambio con las zonas de los focos frío y caliente, respectivamente. El regenerador es adiabático respecto al exterior pero su matriz metálica intercambia calor Qr con el fluido de trabajo que la atraviesa durante el ciclo.

4.1.2.1 Desarrollo del conjunto de ecuaciones.

Se aplican las ecuaciones de la energía y estado en cada celda y la de continuidad en todo el motor. Para ello consideremos una celda generíca como la siguiente:

En la figura anterior se representan los flujos de masa m& de gas entrante y saliente a sus respectivas temperaturas. También se representan las propiedades del gas (masa m, presión p, temperatura T, y volumen de la cámara V en el instante t). Por ser una celda genérica consideramos que intercambia una cierta cantidad de calor dQ a través de la pared y un diferencial de trabajo dW a través de la pared móvil de la celda. Expresando la ecuación unidimensional de la energía para el gas de trabajo en la celda anterior:

m, p, T, V

dW dQ

m& entrada, Tentrada m& salida, Tsalida

Energía que sale por convección de la celda.

= - + -

Incremento de energía en la celda.

Calor transferido a la celda.

Trabajo dado al entorno.

Energía que entra por convección en la celda.

Advección. Conducción.

Figura 4.6. Flujos de masa y de energía en una celda genérica.

Figura 4.7. Ecuación unidimensional de la energía para el gas de trabajo en una celda genérica.


73

Matemáticamente, esto se expresa

salidaentrada

chm

chmWQ

dt

dE

+⋅−

+⋅+−=

22

22*0 &&&& , Ec. 4-1

donde *0E representa la energía total contenida en el volumen de control en el instante t

( ) dVu

edVetEEV Vvc ∫ ∫ ⋅

+⋅=⋅⋅==

2

2*0

*0

*0 ρρ . Ec. 4-2

Podemos despreciar la contribución de la energía cinética en las expresiones anteriores con lo que tendríamos que la energía total se aproxima a la energía interna

( ) ( )tEtE vcvc ≈*0 y por tanto

( ) ( )salidaentrada hmhmWQdt

dE ⋅−⋅+−= &&&& . Ec. 4-3

Aunque la entalpía depende de la presión y la temperatura, se considera que en gases ideales depende sólo de la temperatura. De esta forma

( ) ( )∫ +⋅=T

T refpref

ThdTTcTh )( . Ec. 4-4

Tomando KTref º0= , ( ) (J/Kg) 0=refTh y suponiendo ctecp = podemos simplificar a

( ) TcTh p ⋅≈ . Ec. 4-5

Teniendo en cuenta todas las simplificaciones anteriores podemos expresar el balance de energía (Ec. 4-3) como sigue

( ) ( ) ( )salidapentradapv TcmTcmWQ

dt

Tmdc

dt

dE ⋅⋅−⋅⋅+−=⋅⋅= &&&& , Ec. 4-6

donde cp y cv son los calores específicos del gas a presión y volumen constante respectivamente.

Asumimos que el gas de trabajo es ideal. Esta es una suposición razonable para los motores Stirling pues el proceso transcurre bastante lejos del punto crítico. La ecuación de estado para cada celda es presentada en su forma normal y diferenciada

TRmVp ⋅⋅=⋅ ; Ec. 4-7

dt

dT

Tdt

dm

mdt

dV

Vdt

dp

p⋅+⋅=+⋅ 1111

. Ec. 4-8

Puesto que descartamos las fugas, se ha de cumplir que

Mmmmmm ehrkc =++++ . Ec. 4-9

Sustituyendo la masa de cada celda en la ecuación del gas ideal (Ec. 4.7)


74

MR

T

V

T

V

T

V

T

V

T

Vp

e

e

h

h

r

r

k

k

c

c

=

++++⋅

, Ec. 4-10

donde, por el perfil lineal de temperaturas asumido para el regenerador, la temperatura media efectiva Tr es igual a

( )

−=

k

h

khr

T

T

TTT

ln

. Ec. 4-11

Resolviendo la ecuación de la presión (Ec 4-10)

++++

⋅=

e

e

h

h

r

r

k

k

c

c

T

V

T

V

T

V

T

V

T

V

RMp .

Ec. 4-12

Diferenciando la ecuación de la masa (Ec 4-9)

0=++++dt

dm

dt

dm

dt

dm

dt

dm

dt

dm ehrkc . Ec. 4-13

Para las celdas de los intercambiadores, como sus respectivos volúmenes y temperaturas son constantes, la forma diferencial de la ecuación de estado (Ec 4-8) se reduce a

dt

dp

pdt

dm

m⋅=⋅ 11

; Ec. 4-14

}

dt

dp

RT

V

dt

dp

p

m

dt

dmTRmVp

⋅=⋅=⋅⋅=⋅

. Ec. 4-15

Sustituyendo en la ecuación de la masa (Ec 4-13)

01 =

++⋅⋅++

h

h

r

r

k

kec

T

V

T

V

T

V

dt

dp

Rdt

dm

dt

dm. Ec. 4-16

Para obtener una ecuación explícita de dt

dp a partir de la Ec. 4-16 hemos de dejar de

expresarla en función de dt

dmc y dt

dme . Consideremos el espacio de compresión

adiabático (dQc/dt = 0).

p, mc, Vc, Tc

ckm&

Tck

Tk

Qc = 0 Qk

Wc

Figura 4.8. Espacio de compresión adiabático interactuando con el foco frío.


75

Aplicando la ecuación de la energía (Ec 4-6) a este espacio obtenemos

( )ckpckc

ccv TcmW

dt

Tmdc ⋅⋅−+−=⋅⋅ && 00 . Ec. 4-17

Por consideraciones de continuidad la acumulación de gas dmc/dt es igual a la masa de gas entrante dada por –dmck/dt, y el trabajo dWc/dt es proporcional a dVc/dt, entonces

( )dt

Tmdc

dt

dVp

dt

dmTc cc

vcc

ckp

⋅⋅+⋅=⋅⋅ . Ec. 4-18

Sustituyendo las relaciones del gas ideal

ccc TRmVp ⋅⋅=⋅ ; Rcc vp =− ; γ=v

p

c

c, Ecs. 4-19

y simplificando

ck

cc

c

TRdt

dpV

dt

dVp

dt

dm

⋅

⋅+⋅= γ . Ec. 4-20

De forma similar, para el espacio de expansión

he

ee

e

TRdt

dpV

dt

dVp

dt

dm

⋅

⋅+⋅= γ . Ec. 4-21

Sustituyendo las expresiones de dmc/dt y dme/dt (Ec. 4-20) y (Ec. 4-21) en (Ec. 4-16)

+

+++

⋅+⋅⋅⋅−

=

he

e

h

h

r

r

k

k

ck

c

e

he

c

ck

T

V

T

V

T

V

T

V

T

V

dt

dV

Tdt

dV

Tp

dt

dp

γ

γ 11

. Ec. 4-22

De la forma diferencial de la ecuación de estado (Ec 4-8) obtenemos las relaciones dTc/dt y dTe/dt

⋅−⋅+⋅⋅=

dt

dm

mdt

dV

Vdt

dp

pT

dt

dT c

c

c

cc

c 111; Ec. 4-23

⋅−⋅+⋅⋅=

dt

dm

mdt

dV

Vdt

dp

pT

dt

dT e

e

e

ee

e 111. Ec. 4-24

Aplicando la ecuación de la energía anterior a cada una de los intercambiadores (dW = 0, T constante) y sustituyendo en la ecuación de estado de dichos intercambiadores (Ec. 4-15)

( ) ( )( )dt

dpV

R

c

dt

dmTcmTcmTc

dt

dQ vvsalidapentradap ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅+ && . Ec. 4-25


76

Para las tres celdas de los intercambiadores de calor obtenemos

{;

⋅−⋅⋅−⋅⋅= kr

T

krckckpkvk mTmTc

dt

dpV

R

c

dt

dQ

k

&& Ec. 4-26

{ {;

⋅−⋅⋅−⋅⋅= rh

T

rhkr

T

krprv

fluido

r mTmTcdt

dpV

R

c

dt

dQ

hk

&& Ec. 4-27

{.

⋅−⋅⋅−⋅⋅= heherh

T

rhphvh mTmTc

dt

dpV

R

c

dt

dQ

h

&& Ec. 4-28

Puesto que los intercambiadores de calor son isotérmicos y el regenerador es ideal, Tkr = Tk y Trh = Th. Además se cumple que

{ 5.21

1

_4.1 aire

v

R

c

=↑

=−

=

γ

γ.

Finalmente el trabajo dado por las zonas de compresión y expansión están dadas por

;ec WWW += Ec. 4-29

;dt

dW

dt

dW

dt

dW ec += Ec. 4-30

;dt

dVp

dt

dW cc ⋅= Ec. 4-31

.dt

dVp

dt

dW ee ⋅= Ec. 4-32

Para que el modelo adiabático funcione se le imponen inicialmente unas temperaturas Tk y Th a los focos frío y caliente respectivamente. Si queremos obtener la transferencia de calor a través de los intercambiadores debemos realizar un proceso iterativo con distintas temperaturas iniciales Tk y Th hasta que sus respectivos valores hayan convergido.

En la figura siguiente volvemos a mostrar el diagrama de temperaturas en el que se señalan los flujos de calor Qk, Qr y Qh del foco frío, regenerador y foco caliente respectivamente:

Tk

Th

T

Tc

Te

Twh

Twk

Qk

Qh

Qr

Figura 4.9. Temperaturas en las cámaras del modelo adiabático.


77

En la primera iteración del modelo hacemos coincidir Tk con Twk y Th con Twh y calculamos Q según el método numérico elegido (por ejemplo Euler, Runge-Kutta de orden 4, etc). Para el caso de haber elegido Euler

{ {dt

dt

dQQQ +=

anterioriteración

iteraciónnueva

, Ec. 4-33

donde dt

dQ ya se describió en el modelo adiabático. Si queremos la potencia calorífica

la obtenemos a partir del resultado anterior haciendo freqQQ ⋅=& . Por otra parte, de la ecuación básica de transferencia de calor por convección en flujo estacionario

( ) ( )freq

TTAhQTTAhQ wwg

wwg

−⋅⋅=⇒−⋅⋅= & , Ec. 4-34

donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección, que es empírico y depende de u y por tanto de Re. Por ejemplo, si tuviéramos flujo turbulento podríamos utilizar la analogía de Reynolds. Y en cualquier otro caso se usará la correlación empírica pertinente. Para cada uno de los focos tendremos

( )freq

TTAhQ kwkwgkk −⋅⋅

= ciclo frío foco ;( )

freq

TTAhQ hwhwghh −⋅⋅

=ciclo caliente foco , Ecs. 4-35

donde, siguiendo la nomenclatura del capítulo de rendimientos

rregenerado pérdidasciclo frío foco QQQ k += ; rregenerado pérdidasciclo caliente foco QQQ h += . Ecs. 4-36 Ahora reescribimos estas ecuaciones para calcular las respectivas temperaturas del gas Tk y Th

wgkkwkk Ah

freqQTT

⋅⋅−= ciclo frío foco ;

wghhwhh Ah

freqQTT

⋅⋅−= ciclo caliente foco . Ecs. 4-37

Una vez obtenidas estas dos temperaturas, volvemos a usar el modelo adiabático imponiéndolas como valores de entrada. Se entra así en un proceso iterativo que termina cuando converjan respectivamente los valores de las temperaturas Tk y Th. En nuestro modelo, para unas temperaturas en las paredes Twh = 923 K y Twk = 300 K obtenemos unos valores de Th = 873.44 K y Tk = 314.37 K.


78

Podemos hacer una comparación entre los trabajos máximos posibles en un ciclo ideal que trabaje con las temperaturas máximas y mínimas anteriores:

130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 2300.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Volumen en cm3

Pre

sión

en

bare

s

Diagrama p-V teórico según las temperaturas de las paredes de los focos

3'

2'

4'

1'

Tm

'áx

=Twh

Tm

'ín

=Twk

130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 2300.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Volumen en cm3

Pre

sión

en

bare

s

Diagrama p-V teórico según las temperaturas medias en los focos

3''

4''

2''

1''

Th

Tk

Figura 4.10. Diagramas p-V teóricos. En azul según las temperaturas de las paredes de los focos. En marrón según las temperaturas medias de los focos.

( )

Julios.

V

VTTRnW

mín

máxwkwh

4421

ln

≈

⋅−⋅⋅=′

;( )

. 2419

ln

Julios.

V

VTTRnW

mín

máxkh

≈

⋅−⋅⋅=

Ecs. 4-38

Y suponiendo una velocidad de 2635.43 rpm tendríamos unas potencias máximas de

; 72941 watios.W =′& . 08845 watios.W =& Ecs. 4-39


79

4.1.2.2 Conjunto de ecuaciones y método de solución.

Reunimos, a modo de resumen, el conjunto de ecuaciones anterior:

Presión

.

11

;

+

+++

⋅+⋅⋅⋅−

=

++++

⋅=

he

e

h

h

r

r

k

k

ck

c

e

he

c

ck

e

e

h

h

r

r

k

k

c

c

T

V

T

V

T

V

T

V

T

V

dt

dV

Tdt

dV

Tp

dt

dp

T

V

T

V

T

V

T

V

T

V

RMp

γ

γ

Masas

. ; ; ; ;e

ee

h

hh

r

rr

k

kk

c

cc TR

Vpm

TR

Vpm

TR

Vpm

TR

Vpm

TR

Vpm

⋅⋅

=⋅⋅

=⋅⋅

=⋅⋅

=⋅⋅

=

Acumulaciones de masa:

. ; ;

;

;

dt

dp

p

m

dt

dmm

dt

dp

p

m

dt

dmm

dt

dp

p

m

dt

dmm

TR

dt

dpV

dt

dVp

dt

dmm

TR

dt

dpV

dt

dVp

dt

dmm

hhh

rrr

kkk

he

ee

ee

ck

cc

cc

⋅==⋅==⋅==

⋅

⋅+⋅==

⋅

⋅+⋅==

&&&

&

&

γ

γ

Flujo másico: . ; ; ; hherhehekckkrcck mmmmmmmmmm &&&&&&&&&& +==−=−=

Temperaturas condicionales:

if 0>ckm& then cck TT = else

kck TT =

if 0>hem& then hhe TT = else

ehe TT =

Temperaturas:

.111

;111

⋅−⋅+⋅⋅=

⋅−+⋅⋅=

dt

dm

mdt

dV

Vdt

dp

pT

dt

dT

dt

dm

mdt

dV

Vdt

dp

pT

dt

dT e

e

e

ee

ec

c

c

cc

c

Energía:

( )

( )

( )

.

;

;

;

;

;

ecec

ee

cc

heherhhphvh

rhhkrkprvr

krkckckpkvk

WWWdt

dW

dt

dW

dt

dW

dt

dVp

dt

dWdt

dVp

dt

dW

mTmTcdt

dpV

R

c

dt

dQ

mTmTcdt

dpV

R

c

dt

dQ

mTmTcdt

dpV

R

c

dt

dQ

+=⇒+=⋅=

⋅=

⋅−⋅⋅−⋅⋅=

⋅−⋅⋅−⋅⋅=

⋅−⋅⋅−⋅⋅=

&&

&&

&&

Comentario sobre cómo se obtienen las temperaturas en los intercambiadores: ( )

( ).

.

ciclo caliente focociclo caliente foco

ciclo frio focociclo frio foco

wghhwhh

hwhwghh

wgkkwkk

kwkwgkk

Ah

freqQTT

freq

TTAhQ

Ah

freqQTT

freq

TTAhQ

−=→−

=

−=→−

=


80

En el siguiente diagrama de flujo se resumen los pasos seguidos para la resolución del modelo:

Inicio.

k = 1

j = 1

i = 1

Valores dependientes de la cinemática.

Ecuación de estado.

Ecuación de continuidad.

Ecuación de la energía.

i = i+1

i ≤ 360

1TTTT final cinicio cfinal einicio e <−+−

Ecuación de cantidad de movimiento.

( ) ( ) ( ) ( ) 1.01kTkT1kTkT kkhh <−−+−−

j = j+1

k = k+1

si

Temperatura de los focos.

no

si

no

no

si

Figura 4.11. Diagrama de flujo que resume los pasos seguidos para la resolución del modelo.

Donde los subíndices que aparecen son k � va asociado a la temperatura de los focos. i � va asociado a la energía y a la velocidad del flujo dependiente de θ

(asociado por tanto al paso angular, dentro de una misma rotación). j � es el número de vuelta (se para al llegar a condiciones de funcionamiento

estacionario).


81

4.1.2.3 Pérdidas de carga durante el ciclo.

Una vez resuelto el modelo adiabático para un ciclo podemos determinar la caída de presión en los tres intercambiadores de calor. En efecto, del modelo adiabático tenemos los valores de ( ) ( ) ( ) ( )θθθθ hrk uuup y , , en todo momento y con los ( )θu de cada

cámara podemos obtener los ( )θp∆ . Si examinamos la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en forma general

( ) ( ) [ ]dVfpdVvvt

vm

rrrrrrr

ρτρρ +⋅∇+∇−=

⋅∇+∂

∂.

Donde no tenemos fuerzas másicas (no consideramos la gravedad) y podemos expresar la ecuación anterior sin el último término

( ) ( ) [ ]dVpdVvvt

v τρρ ⋅∇+∇−=

⋅∇+∂

∂ rrrrrr

.

Es una ecuación vectorial, en la que cada una de sus componentes tiene los siguientes términos

( ) ( ) ( ) ( )dV

zyxx

pdV

z

wu

y

vu

x

u

t

u zxyxxx

∂∂+

∂∂

+∂

∂+∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂ τττρρρρ 2

;

( ) ( ) ( ) ( )dV

zyxy

pdV

z

wv

y

v

x

uv

t

v zyyyxy

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂+


;

( ) ( ) ( ) ( )dV

zyxz

pdV

z

w

y

vw

x

uw

t

w zzyzxz

∂∂+

∂∂

+∂

∂+∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂+


.

4.1.2.3.1 Simplificación para flujo unidireccional.

Suponiendo que además el flujo es unidireccional en x (v = 0 y w = 0), tendremos una sola ecuación simplificada

( ) ( )dV

yx

pdV

x

u

t

u yx

∂∂

+∂∂−=

∂∂+

∂∂ τρρ 2

.

Y en coordenadas cilíndricas

( ) ( ) ( )dV

r

r

rx

pdV

x

u

t

u rx

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂ τρρ 12

.

Donde r

urx ∂

∂= µτ . Puesto que rxτ es significativo sólo en las paredes del conducto, si

éste se identifica con una superficie de corriente podemos hacer

( ) ( ) ( )dV

rr

rx

pdV

x

u

t

u rxrx

∂∂++

∂∂−=

∂∂+

∂∂

321

ledespreciabosconsideram Lo

2 1 ττρρ.


82

Y nos quedará

( ) ( )dV

rx

pdV

x

u

t

u rx

+∂∂−≈

∂∂+

∂∂ τρρ 2

.

Puesto que rxτ tiene sentido contrario a la velocidad u, podemos definir rxττ −= . Si

además descomponemos dV de manera que dxdAdV frontal=

( ) ( )dxdA

rx

pdxdA

x

u

t

ufrontalfrontal

−∂∂−≈

∂∂+

∂∂ τρρ 2

.

O bien

( ) ( )dxdA

rdxdA

x

pdxdA

x

udxdA

t

ufrontalfrontalfrontalfrontal

τρρ −∂∂−≈

∂∂+

∂∂ 2

.

4.1.2.3.1.1 Línea de corriente.

Si, como hasta ahora hemos supuesto, el volumen infinitesimal es cilíndrico, el área frontal es rdrdAfrontal π2= , y por tanto el último término podemos expresarlo de otra

manera

( ) ( )drdxr

rdxdA

x

pdxdA

x

udxdA

t

ufrontalfrontalfrontal /

/−

∂∂−≈

∂∂+

∂∂ πτρρ

22

.

Y nos queda

( ) ( ){dxdrdxdA

x

pdxdA

x

udxdA

t

u

dPfrontalfrontalfrontal πτρρ

22

−∂∂−≈

∂∂+

∂∂

.

Donde dP es el diferencial de perímetro. Pasándolo todo al primer miembro

( ) ( )0

2

=+∂∂+

∂∂+

∂∂

dPdxdxdAx

pdxdA

x

udxdA

t

ufrontalfrontalfrontal τρρ

.

Puesto que estamos sobre una línea de corriente, p y u varían sólo con x en el espacio y podemos cambiar las correspondientes derivadas parciales por derivadas totales. Ahora podemos dejar la expresión como

( ) ( )0

(difusivo)viscosoTérmino

presión de Términoconvectivo Término

2

io transitorTérmino

=+

++∂

∂321

44 344 2144 344 2144 344 21dPdxdAdx

dx

dpdxdA

dx

uddxdA

t

ufrontalfrontalfrontal τρρ

.

Que es válida para una corriente unidireccional en un volumen diferencial (cualquiera que sea su forma) y en una línea de corriente. En la figura siguiente se detalla un volumen de control infinitesimal cilíndrico:


83

Figura 4.12. Volumen de control infinitesimal cilíndrico en una línea de corriente.

4.1.2.3.1.2 Tubo de corriente.

Si queremos hacer el balance de cantidad de movimiento sobre un tubo de corriente (el de la figura siguiente es cilíndrico):

Tendremos que integrar en todo el volumen la ecuación que teníamos para la línea de corriente

( ) ( )0

(difusivo) viscosoTérmino

0

presión de Término

0

convectivo Término

0

2


0 0000

=+

++∂

∂∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

43421444 3444 214444 34444 21444 3444 21

P x

x

A x

x frontal

A x

x frontal

A x

x frontal

LLLL

dxdPdAdxdx

dpdxdA

dx

uddxdA

t

u τρρ.

Si nuestro volumen de control es cilíndrico, drrddAfrontal ⋅⋅= θ y drddP ⋅= θ

( ) ( ).0

0

2

00

2

00

2

0

2

0

2

0 0000

=+

++∂

∂∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

R x

x

R x

x

R x

x

R x

x

LLLL

drdxdrdrddxdx

dprdrdxd

dx

udrdrdxd

t

u ππππθτθθρθρ

Resolviendo para θd

( ) ( )02222

0000 000

2

0=+

++∂

∂∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

LLLL x

x

RR x

x

R x

x

R x

xdrdxrdrdx

dx

dprdrdx

dx

udrdrdx

t

u πτππρπρ.

Resolviendo los tres últimos términos

( ) ( ) ( )( ) ( ) .022220

000 00

22

0=+−+−+

∂∂

∫∫∫∫ ∫ =

L

LL

L x

x Rr

R

xx

R

xx

R x

xRdxrdrpprdruurdrdx

t

u πτππρρπρ

Donde Rr=

τ denota que el valor de τ se evalúa en la superficie Rr = . Por comodidad

usaremos en adelante la notación τ para referirnos a Rr=

τ .

Resolviéndolo aun más el último término

dxx

uu

∂∂+

dxx

pp

∂∂+ p

τ

u frontaldA

dx

dP

L

x0 xL

R

Figura 4.13. Tubo de corriente.


84

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0222 2

0

22

0 000

=+−+−+∂

∂∫∫ ∫ RLRpprdruurdrdx

t

uxx

R

xx

R x

x LL

L πτππρρπρ.

Ahora τ indica que se ha evaluado τ (antiguo Rr=

τ ) en toda la longitud L del conducto

(valor medio). La expresión anterior representa la relación entre los efectos transitorios, la convección, la pérdida de carga y el cortante en la pared para un volumen de control cilíndrico.

Podemos despejar la pérdida de carga Lxx ppp −=∆

0 y tendremos

Numerosos investigadores han centrado su atención en casos particulares del problema aquí descrito. Lo habitual es considerar flujo estacionario y completamente desarrollado.

También se han estudiado por ejemplo los efectos de entrada en conductos, pero considerando el flujo estacionario con un perfil de velocidades uniforme en la entrada y suponiendo en la salida un perfil de velocidades desarrollado del tipo paraboloide de Poiseuille. Otro caso de interés, el de los flujos oscilantes, se ha estudiado considerando que estaban desarrollados (y con ello se tiene un mismo perfil de velocidades a la entrada y a la salida del volumen de control), lo que lleva aparejado una simplificación al anularse el término convectivo en el balance de cantidad de movimiento del volumen de control, como se ha dicho en un párrafo anterior. Pese a que se estudian casos simplificados, su visión es interesante pues nos dan información cualitativa de cómo estos procesos por separado contribuyen en la pérdida de carga en su conjunto.

Estos casos, además de las pérdidas de carga localizadas que pueden darse en determinadas zonas del motor, serán expuestos en los siguientes apartados.

4.1.2.3.1.2.1 Flujo estacionario desarrollado:

Para este tipo de flujo sólo estará activo el término 3 de la ecuación de la pérdida de carga unidimensional, pudiendo expresarse la pérdida de carga como

hxx D

Lpp

L

τ40

=− .

Y sustituyendo τ en función de fC

.~2

~2

1

4

2

2h

f

f

h

D

LuCp

uC

D

Lp

ρ

ρτ

τ

=∆⇒

=

=∆

( ) ( ) ( )( )

+−+∂

∂=∆ ∫∫ ∫ 3214444 34444 21444 3444 21 3 Término

2 Término

0

22

1 Término

02 2221

00

RLrdruurdrdxt

u

Rp

R

xx

R x

x L

L πτπρρπρπ

.


85

Que nosotros expresaremos como

h

f

D

LuuCp

~~2 ρ=∆ .

Con el fin de que el signo de p∆ esté correctamente relacionado con el signo de la velocidad u. También podíamos haberlo resuelto con el “Coeficiente de fricción de Reynolds” (Cref) definido como

hDfref CC Re⋅= .

Donde µ

ρ hD

Duh

⋅⋅=~

Re es el Número de Reynolds basado en el diámetro hidráulico,

definido en la sección Parámetros Adimensionales y que es por definición siempre positivo. El coeficiente de fricción de Reynolds se identifica con el Número de Poiseuille cuando hablamos de flujo laminar. De esta manera la pérdida de carga entre dos secciones separadas una distancia L se puede expresar como

2

~2

h

ref

D

LuCp

µ=∆ .

El coeficiente refC habrá de ser modificado para el caso de conductos formados por

cilindros concéntricos. En un anillo concéntrico, existen dos diámetros; el interior y el exterior:

El diámetro hidráulico se expresa como

( )( ) ( )ba

ba

ba

P

AD frontal

h −⋅=+⋅⋅−⋅⋅=

⋅= 2

244 22

ππ

.

Sin embargo es mejor usar un diámetro efectivo para el caso de cilindros anulares como los que hemos introducido para el modelo en Fluent.

Dicho diámetro efectivo se obtiene corrigiendo del diámetro hidráulico para un flujo laminar en el anillo concéntrico mediante la expresión

ζh

eff

DD = .

r = b

x

u(r)

u(r)

r = a r

Figura 4.14. Perfil de velocidades de un flujo fluido entre dos anillos concéntricos.


86

Donde el factor de corrección se expresa como

( ) ( )( ) ( )bababa

baba

ln22244

222

−−−−⋅−=ς .

De esta manera, al utilizar el número de Reynolds el diámetro efectivo, se expresa como

Dheff Re1

Reζ

= .

Y el factor de fricción

eff

fRe64= , ó bien

efffC

Re16= .

Por tanto el número de Poiseuille lo podemos expresar como:

( ) ( ) {dodesarrolla Flujo

16ReReRe ⋅==== ζζζ efffefffDhf CCCPo .

Y podemos representar la relación del número de Poiseuille a b/a para anillos concéntricos como sigue:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 116

17

18

19

20

21

22

23

24

b/a

Po=

Cf*

Re

Número de Poiseuille frente a relación b/a

Figura 4.15. Número de Poiseuille frente a la relación b/a.

Donde se puede observar que el número de Poiseuille comienza en el valor 16=Po , como se puede esperar para un conducto circular (0=ab ), y se convierte en el valor asintótico 24=Po para el caso extremo en que el radio interior b sea igual al radio externo a ( 1=ab ). Evidentemente esto último no es alcanzable en la práctica al haber sido degenerado extremadamente el conducto.


87

En nuestro caso tenemos un montaje con varios tubos concéntricos para los intercambiadores de calor:

Para el intercambiador izquierdo tenemos que los valores de ζ son

Figura 4.17. Valores de ζ en el intercambiador izquierdo.

Y podemos suponer un 4799941.49998971_ =mediokζ .

De esta manera, aislándonos por el momento de cualquier otra consideración en nuestro razonamiento, el número de Poiseuille para este intercambiador en flujo laminar desarrollado deberá ser

( ) 24367991223.999835416ReRe __ ≈=⋅=== mediokeffmediokfDhf CCPo ζζ .

Para el intercambiador derecho tenemos

Figura 4.18. Valores de ζ en el intercambiador derecho.

Y podemos suponer un 3413321.49997054_ =mediohζ . Nuevamente, el número de

Poiseuille será

( ) 24946131123.999528616ReRe __ ≈=⋅=== medioheffmediohfDhf CCPo ζζ .

Intercambiador izquierdo.

Intercambiador derecho.

Regenerador

ζk1 = 1.49998374198441 ζk2 = 1.49998454055164 ζk3 = 1.49998528170053 ζk4 = 1.49998597080719 ζk5 = 1.49998661256027 ζk6 = 1.49998721132924 ζk7 = 1.49998777077438 ζk8 = 1.49998829435759 ζk9 = 1.49998878491390 ζk10 = 1.49998924532513 ζk11 = 1.49998967792725 ζk12 = 1.49999008504848 ζk13 = 1.49999046850342 ζk14 = 1.49999082998672 ζk15 = 1.49999117138493 ζk16 = 1.49999149415954 ζk17 = 1.49999179955208 ζk18 = 1.49999208873491 ζk19 = 1.49999236278827 ζk20 = 1.49999262286770 ζk21 = 1.49999286987430 ζk22 = 1.49999310490261

ζh1 = 1.49995424368530 ζh2 = 1.49995792144694 ζh3 = 1.49996117294773 ζh4 = 1.49996406161775 ζh5 = 1.49996663950858 ζh6 = 1.49996894961913 ζh7 = 1.49997102784363 ζh8 = 1.49997290418782 ζh9 = 1.49997460396808 ζh10 = 1.49997614866107 ζh11 = 1.49997755660722 ζh12 = 1.49997884349277 ζh13 = 1.49998002272024

ζk1

ζk22

ζh1

ζh13

Figura 4.16. Posición de los intercambiadores de calor en nuestro motor.


88

Los medioζ se han calculado como

∑

∑=

ii

iii

medio A

Aζζ .

Siendo iA el área de paso entre cada uno de los anillos.

El coeficiente fC puede también ser modificado para incluir el efecto de la geometría

del conducto en la pérdida de carga. Para ello escribimos la pérdida de carga debido a la forma del conducto en función de un coeficiente empírico Lk

22

22 vk

g

vkgghp LLformaforma ρρρ =

//==∆ .

Si se quiere añadir formap∆ a la fricciónp∆ que se obtuvo en las mismas condiciones de

flujo

( )h

fL

hfL

h

fformafricción D

LuuCuuk

D

LC

uk

D

LuuCppp

~~2~~2

12

2

~~~2 2 ρρρ

ρ ′=

+=+=∆+∆=∆ .

Donde el nuevo coeficiente fC′ será en este caso

L

DkCC h

Lff 4

1+=′ .

E igualmente

Re4

1

L

DkCC h

Lrefref +=′ .

4.1.2.3.1.2.2 Desarrollo de flujo en la entrada:

En este caso, por considerarse que el flujo es estacionario, estarán activos los términos 2 y 3 de la ecuación unidireccional de la pérdida de carga, pudiéndola expresar como

( ) ( )( ) ( ) 0220

00

2

0

22 =+−+− ∫∫L

LL

x

xxx

R

xx RdxRpprdruu πτππρρ .

Despejando la pérdida de carga

( ) ( ) ( )( ) 0220

00 0

222 =+−=− ∫∫L

LL

x

x

R

xxxx RdxrdruuRpp πτπρρπ .

Para resolver analíticamente la ecuación anterior, Graetz en 1885 supuso que el perfil de velocidades a la entrada era constante (cosa que puede conseguirse en la práctica si el borde de entrada se hace suficientemente suave y redondeado) y de valor Uuinicial =~

mientras que en la zona completamente desarrollada suponía un perfil de velocidades de Poiseuille que cumple la relación ( )2212 RrUuP −= . Véase la siguiente figura:


89

Figura 4.19. Desarrollo del flujo en la entrada de un conducto.

Igualmente para la zona desarrollada con régimen de velocidades de Poiseuille el esfuerzo cortante es representado mediante la expresión RUP µτ 4= . La longitud de

entrada es aquella longitud LxL = que necesita el flujo para desarrollarse.

Por comodidad la expresaremos como

( ) ( ) ( )( ) ( ) 02220

00 0

222 =−+−+=− ∫∫L

LL

x

x P

R

xxPxx RdxrdruuRLRpp πττπρρπτπ .

Si consideramos que la densidad no varía sensiblemente en el tramo estudiado, podemos expresarlo como

{( ) ( )

4444444 34444444 21

444 3444 2143421

444 3444 21 flujo del desarrollo al debida adicional carga de pérdida

0

3

1

0

22

dodesarrolla flujosuponiendo Len

carga de pérdida

2 222

22

0

0

0 ∫∫ −+−+=

∫

−

−=∆

+=

L

Lxp

xp

xLx

L

x

P

UR

R

PP

dpp

dxdx

dppp

xx RdxrdrUuRLRpp πττπρπτπ

ρπ

.

Esto puede ser escrito en forma adimensional como una fricción “aparente”

KD

LC

D

LC

U

ppfPappf

xx L +==− 44

2

1 ,2

0

ρ.

Donde puede observarse que se ha adimensionalizado usando la velocidad media en la sección inicial, por ser ésta constante en dicha sección. La K que aparece en la expresión anterior se puede escribir como

( )∫

−+=Rx

x

PL

R

xd

UK

02

4

3

2

ρττ

.

Donde, si hablamos de una tubería de sección circular con diámetro RD 2= , el coeficiente de fricción de Poiseuille será DfPC Re16= como ha venido diciéndose

hasta ahora. El término K es la parte de caída de presión atribuible a la región de entrada, cuyo componente 32 representa la caída de presión necesaria para acelerar un flujo uniforme hacia el paraboloide de Poiseuille mientras que el término integral es la

U2

Uuinicial =~ xL

Nucleo no viscoso

Capa límite Flujo completamente desarrollado

δ


90

contribución al exceso de cortante, aproximadamente 0.6. Para una tubería larga en la que Dx >> , el término ( )DLC fP 4 domina la pérdida por fricción total.

El valor de K es una función de x, ( )xKK = , de manera que crece desde 0=x hasta su

valor asintótico para ∞K en la región completamente desarrollada. Los experimentos de

Shah (1978) indican que el valor adecuado de ∞K en tuberías cilíndricas es 25.1=∞K . Para tuberías con sección no circular o en anillos concéntricos el mismo investigador Shah (1978) sugiere una fórmula de interpolación que correlaciona la fricción con la variable ( ) DDx Re=ξ que es válida dentro del 2% para varias formas de conducto

2

,

1

44.3

444.3Re

ξ

ξξξ c

KPo

CPo appfapp

+

−++≈=

∞

.

De esta manera, el factor de fricción medio para el flujo en desarrollo en un conducto es función de la relación longitud / diámetro ó x/d, además del número de Reynolds. En la fórmula anterior appPo es el número de Poiseuille aparente y Po el número de

Poiseuille calculado anteriormente para flujo completamente desarrollado ( )efffDhf CCPo ReRe ζ== y los valores cy K ∞ , apropiados a la geometría de anillos

concéntricos, están listados en la tabla siguiente:

ab Po ∞K c 0.0 16.00 1.25 0.000212 0.05 21.57 0.830 0.000050 0.10 22.34 0.784 0.000043 0.50 23.81 0.688 0.000032 0.75 23.97 0.678 0.000030 1.00 24.00 0.674 0.000029

La expresión de la pérdida de carga usando los valores de la tabla anterior será

+

−++=∆

∞

2

2

1

44.3444.32

ξ

ξξξ

µc

KPo

D

LUp

h

.

4.1.2.3.1.2.3 Flujo oscilante desarrollado: En esta ocasión los términos activos de la ecuación unidimensional de la pérdida de carga serán el primero y el tercero y la podremos expresar como

( )

+∂

∂=∆ ∫ ∫ RLrdrdxt

u

Rp

R x

x

L πτπρπ

221

020

.

r = b x

u(r)

u(r)

r = a r

Figura 4.20. Valores de Po, K∞ y c según la relación b/a de un conducto formado por anillos concéntricos.


91

Al ser el flujo desarrollado, los perfiles de velocidad instantáneos en cualquier sección son idénticos. De esta manera la velocidad media u~ instantánea en cualquier sección será la misma (no dependen de x).

( )

+=∆ RLLRdt

ud

Rp πτπρ

π2

~1 22

.

Y haciendo uso de la definición de diámetro hidráulico P

ARD frontal

hh

44 =⋅= que se vio

en parámetros adimensionales

( )D

LL

dt

udp

4~τρ +=∆ ,

calculamos la media en el ciclo

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫+=∆T T T

dtD

Lt

TLdt

dt

ud

Tdttp

T 0 0 0

41~11 τρ,

que se expresa por tanto como

( )D

LL

T

up

ciclociclo

ciclo

4~τ

ρ+=∆ .

Adimensionando con la velocidad máxima en el ciclo de la media en cualquier sección

ciclomáxu _~

( )( )( ) ( ) D

L

uu

u

T

L

u

p

ciclomáx

ciclo

ciclomáx

ciclo

ciclomáx

ciclo 4

~2

1~2

1

~

~2

1 2_

2_

2_ ρ

τ

ρ

ρ

ρ+=

∆,

luego

( )( )( ) D

LC

u

u

T

L

u

pciclof

ciclomáx

ciclo

ciclomáx

ciclo 4

~2

1

~

~2

1 2_

2_

+=∆

ρ

ρ

ρ,

y por tanto

( ) ( )( )

+=∆D

LC

u

u

T

Lup

ciclof

ciclomáx

ciclociclomáxciclo

4

~2

1

~~

2

12

_

2_

ρ

ρρ ,

donde la pérdida de carga media en el ciclo depende del coeficiente de fricción de

Fanning medio en el ciclo ciclofC definido como


92

2_

~2

1ciclomáx

ciclo

ciclof

uC

ρ

τ= .

Lo deseable es que se pueda establecer una correspondencia entre este ciclofC y las

magnitudes que caracterizan a los flujos oscilantes; la amplitud adimensional de la oscilación Ao y la frecuencia adimensional Reω. Se ha podido extraer de la literatura consultada algunas correlaciones propuestas por

investigadores en las que ( )ωRe,ociclof AfC = pero que se aplican para rangos de ωRe

y oA que no sirven para nuestro motor.

4.1.2.3.2 Pérdida de carga en medios porosos:

Claramente, los medios porosos han sido estudiados principalmente para la condición de flujo estacionario desarrollado. En ella, los términos de la ecuación unidireccional de la pérdida de carga se anulan (el primero por estar en flujo estacionario, el segundo por ser flujo desarrollado y el tercero, que representa la pérdida de carga por fricción con la pared, se considera despreciable frente a la fricción con el propio medio poroso). Es por ello que a la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento se le añade un término fuente que representa, precisamente, esta fricción con el medio poroso.

Típicamente, la pérdida de carga para medio poroso se ha modelado como proporcional a la velocidad (para el caso de que la velocidad del flujo sea suficientemente lenta), proporcional al cuadrado de la misma (para el caso de que la velocidad del flujo sea más elevada) o como una combinación de ambas para tener en cuenta ambos efectos cuando no predomina claramente ninguno de los anteriores. Esto puede expresarse como

vvC

L

p rr

+−=∆22ρ

αµ

,

dónde vr

aquí representa la velocidad superficial. Si queremos representarlo con la velocidad física aparecerá la porosidad γ en la formulación anterior

+−=∆ LvvC

Lvprrr 22

2γργ

αµ

.

Suponiendo que queramos expresarlo de una forma análoga a como hicimos con el flujo desarrollado y estacionario en un conducto

LuuC

LuD

LuuCp

h

fMP ~~2

~~~2 22 γργ

αµρ

+/==∆ ,

donde fMPC es un coeficiente de fricción análogo al fC para tuberías (Fanning

en medio poroso). α es la permeabilidad.

2C es el coeficiente de pérdida inercial.


93

De donde

2~2

22γ

ρµγ CD

u

DC hh

fMP += ,

y si introducimos el número de Reynolds obtendremos

2

22

2Re2C

DDC hh

fMP

γγ += ,

que se puede reinterpretar como

fdsf

fMP CC

C +=Re

,

siendo sfC un coeficiente de fricción superficial (el subíndice sf hace referencia a “skin

friction” ) y fdC es un coeficiente de forma (el subíndice fd hace referencia a “form

drag”).

4.1.2.3.3 Cálculo del Trabajo Motor.

Por cualquiera de los métodos anteriores, una vez elegido la forma de aproximar la pérdida de carga más representativa a las condiciones que se dan en el motor Stirling, procederemos a calcular carga de pérdidasW integrando para todo el ciclo. Se toma como

referencia la presión del espacio de compresión, lo que implica identificar la presión p con pc

∫ ∑ ⋅

⋅∆==

πθ

θ2

0

3

1carga de pérdidas d

d

dVpW

i

ei ,

que habrá que descontar del trabajo indicado indicadoW para hallar el trabajo motor motorW

( )∫ ∫ ⋅Σ∆−+⋅=−= eecindicadamotor dVpdVdVpWWW carga de pérdidas .

La simulación para el caso de estudio del motor nos da las siguientes gráficas de presión respecto al ángulo de la manivela. La primera gráfica enseña las caídas de presión en los tres intercambiadores mientras que la segunda muestra las presiones de los espacios de expansión y compresión respecto al ángulo de la manivela.

200 250 300 350 400 450 500 550 600-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

θ en º

∆ p e

n pa

scal

es

∆p frente a ángulo θ

∆pk

∆pr

∆ph

200 250 300 350 400 450 500 550 600

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8x 105

θ en º

pres

ión

en p

asca

les

presión frente a ángulo θ

pe

pc

Figura 4.21. Pérdida de carga y presión frente al ángulo θ girado por el cigüeñal.

Bajo estas condiciones el trabajo debido a la pérdida de carga es de 12.2 w, alrededor del 9.2 % de la potencia neta de salida.


94

4.1.2.4 Transferencia de calor durante el ciclo.

Hemos visto previamente que la ecuación unidimensional de conservación de la energía es usada en este modelo para la evaluación de hQ& , rQ& y kQ& a partir de la variación de

energía interna en cada cámara y de la energía térmica que acompaña al flujo de masa (flujo advectivo de calor) y se usarán coeficientes de convección hh y kh para la

evaluación de las temperaturas hT y kT .

Para entender qué es el coeficiente de transferencia de calor por convección (coeficiente de película) h, partiremos de la ecuación de conservación de la energía general en la que no se contemplan los términos debidos a campos externos (no hay gravedad en el modelo) ni calores procedentes de reacciones químicas o radiación

( ) ( )( ) ( ) qvvht

e &rrrrrr

⋅∇−⋅⋅∇=⋅∇+∂

∂ τρρ0

0 .

4.1.2.4.1 Simplificación para flujo unidireccional.

Si el flujo es unidireccional en x (v = 0 y w = 0)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∂∂

+∂

∂−∂

∂=

∂∂+

∂∂

y

q

x

q

y

u

x

uh

t

e yxyx &&τρρ 00 .

Si utilizamos coordenadas cilíndricas

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dV

r

qr

rx

q

r

ru

rdV

x

uh

t

e rxrx

∂∂+

∂∂−

∂∂=

∂∂+

∂∂ && 1100 τρρ ,

donde

r

urx ∂

∂−= µτ ; x

Tkqx ∂

∂−=& ; Rr

r r

Tkq

=∂∂=& .

Puesto que rxτ es significativo sólo en las paredes del conducto, si éste se identifica con

una superficie de corriente podemos hacer

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

11

0)n viscosa(disipació

ledespreciabosconsideram lo

00 dVr

qr

rx

q

r

ur

r

ru

rdV

x

uh

t

e rxrx

rx

∂∂+

∂∂

−

∂∂+

∂∂

=

∂∂

+∂

∂

=Φ

&&

321ττρρ

Por otra parte

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

1

momento" deónConservaci"

en hicimos comolesdespreciab

osconsideram lo

00 dVr

qr

rx

q

rr

r

udV

x

uh

t

e rxrxrx

∂∂+

∂∂

−

∂∂

+≈

∂∂

+∂

∂ &&

321

ττρρ


95

y nos quedará

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dV

r

qr

rx

qu

rdV

x

uh

t

e rxrx

∂∂+

∂∂−≈

∂∂+

∂∂ && 1100 τρρ

.

Puesto que rxτ se anula a sí misma salvo en la pared donde Rr = y allí tiene sentido

contrario a la velocidad u, podemos definir rrxττ −= (evaluado en r). Si además

descomponemos dV de manera que dxdAdV frontal=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxdA

r

qr

rx

qu

rdxdA

x

uh

t

efrontal

rxfrontal

∂∂+

∂∂−−≈

∂∂+

∂∂ && 1100 τρρ

,

o bien

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxdA

r

qr

rx

qdxdAu

rdxdA

x

uhdxdA

t

efrontal

rxfrontalfrontalfrontal

∂∂+

∂∂−−≈

∂∂+

∂∂ && 1100 τρρ

.

4.1.2.4.1.1 Línea de corriente. Si, como hasta ahora hemos supuesto, el volumen infinitesimal es cilíndrico, el área frontal es rdrdAfrontal π2= , y por tanto el último término podemos expresarlo de otra

manera

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),2

122

122 00

/

∂∂

/+

∂∂−/

/−≈

∂∂+

∂∂

drdxrr

qr

rrdrdx

x

qdrdxru

rrdrdx

x

uhrdrdx

t

e rx πππτπρπρ &&

y nos queda

( ) ( ) ( ){( ) ( )

{ ,2200

∂∂+

∂∂−−≈

∂∂+

∂∂

dxdrr

qrdxdA

x

qdxdrudxdA

x

uhdxdA

t

e

dP

rfrontal

x

dPfrontalfrontal ππτρρ &&

donde dP es el diferencial de perímetro. Pasándolo todo al primer miembro:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )000 ≈

∂∂+

∂∂++

∂∂+

∂∂

dPdxr

qrdxdA

x

qdPdxudxdA

x

uhdxdA

t

e rfrontal

xfrontalfrontal

&&τρρ.

Puesto que estamos sobre una línea de corriente, p y u varían sólo con x en el espacio y podemos cambiar las correspondientes derivadas parciales por derivadas totales. Ahora podemos dejar la expresión como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0

Conducción

radialcalor dencia transferede Término

axialcalor dencia transferede Término

(difusivo) viscosoTérminoAdvección

0


0 ≈

++++∂

∂

444444 3444444 21

4342144 344 2143421

444 3444 2144 344 21dPdx

dr

rqddxdA

dx

qddPdxudxdA

dx

uhddxdA

t

e rfrontal

xfrontalfrontal τρρ

que es válida para una corriente unidireccional en un volumen diferencial (cualquiera que sea su forma) y en una línea de corriente. En la figura siguiente se detalla un volumen de control infinitesimal cilíndrico:


96

Figura 4.22. Volumen de control infinitesimal cilíndrico en una línea de corriente.

4.1.2.4.1.2 Tubo de corriente.

Si queremos hacer el balance de cantidad de movimiento sobre un tubo de corriente (en la figura siguiente representamos un elemento de corriente dentro de un tubo de corriente cilíndrico):

Tendremos que integrar en todo el volumen la ecuación que teníamos para la línea de corriente

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).0

Conducción


0


0


0

Advección

0

0


0

0

00000

≈

++++∂

∂∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

44444444 344444444 21

444 3444 21444 3444 2144 344 214444 34444 214444 34444 21

P x

x

rA x

x frontalx

P x

x

A x

x frontal

A x

x frontal

LLLLL

dxdPdr

rqddxdA

dx

qddxdPudxdA

dx

uhddxdA

t

e τρρ

Sustituyendo x

Tkqx ∂

∂−=& y Rr

r r

Tkq

=∂∂=&

( ) ( ) ( ) .0

Conducción


0


0


0

Advección

0

0


0

0

00000

≈

∂∂

+

∂∂

−+++∂

∂∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

4444444444 34444444444 21

444 3444 214444 34444 2144 344 214444 34444 214444 34444 21

P x

x

A x

x frontal

P x

x

A x

x frontal

A x

x frontal

LLLLL

dxdPdr

r

Trkd

dxdAdx

x

Tkd

dxdPudxdAdx

uhddxdA

t

e τρρ

Si nuestro volumen de control es cilíndrico

( ) ( ) ( ) .00

2

00

2

00

2

00

2

0

0

0

2

0

0

00000

≈

∂∂

+

∂∂

−+++∂

∂∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

R x

x

R x

x

R x

x

R x

x

R x

x

LLLLL

drdxddr

r

Trkd

rdrdxddx

x

Tkd

drdxdurdrdxddx

uhdrdrdxd

t

e πππππθθθτθ

ρθ

ρ

Resolviendo para θd y alterando el orden de integración de algunas integrales

dxx

uu

∂∂+

dxx

pp

∂∂+ p

( )rrxrx rττ −=

u frontaldA

dx

dP

L x0 xL

R r dr

P

A frontal

Figura 4.23. Tubo de corriente.


97

( ) ( ) ( ) .022222

5 término

0

4 término

00

2 término

0

0

0

0

00000

≈

∂∂

+

∂∂

−+++∂

∂∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

4444 34444 214444 34444 214444 34444 21

LLLLL x

x

RR x

x

R x

x

R x

x

R x

xdrdx

dr

r

Trkd

rdrdxdx

x

Tkd

dxdrurdrdxdx

uhdrdrdx

t

e πππτπρπρ

Resolviendo los términos 2, 4 y 5 y sacando fuera π2 en todos ellos

( ) ( )( )

( ) ( ) .022222

5 término4 término

00

2 término

0 00

0

0

00

0

0

000

≈

∂∂+

∂∂−+++

∂∂

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫=

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

4444 34444 214444 34444 21

4444 34444 21

LRr

r

Lx

x

LxL

x

L x

x

r

Trk

r

Trk

Rx

Tk

x

Tk

R x

x

R uh

uh

R x

xdx

r

Trkdrdr

x

Tkddrdxurdruhddxrdr

t

e ππτπρπρπρ

ρ

Evaluando las integrales 2 y 4 en una línea de corriente

( ) ( ) ( )[ ] ( )

.022

222

5 término

4 término

0

0

2 término

0 000

0

0

0

0

00

0

≈

∂∂+

∂∂−

∂∂−+

++−+∂

∂

∫ ∫∫

∫ ∫∫∫ ∫

=

=

∂∂

∂∂

4444 34444 21444444 3444444 21

44444 344444 21

LRr

r

L

L

L

L

x

x

r

Trk

r

Trk

R

xx

R x

x

R

xx

R x

x

dxr

Trkdrdr

x

Tk

x

Tk

drdxurdruhuhdxrdrt

e

ππ

τπρρπρπ

La última integral (integral 5) podemos evaluarla primero en la sección y después a lo largo de x

.222

22

00

00

0

0rser por 0

0

0

∫∫

∫∫ ∫

==

==

==

==

∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂=

∂∂−

∂∂=

=

∂∂−

∂∂=

∂∂=

=

LL

LLRr

r

x

xRrRr

x

xrRr

x

xrRr

x

x

r

Trk

r

Trk

r

TRLkdx

r

Trkdx

r

Trk

r

Trk

dxr

Trk

r

Trkdx

r

Trkd

πππ

ππ

4434421

De esta forma nos quedará

( ) ( ) ( )[ ] ( )

,022

222

0

00 000

0

0

00

0

≈

∂∂+

∂∂−

∂∂−+

++−+∂

∂

=∫

∫ ∫∫∫ ∫

44 344 21&

pared

L

L

L

L

Q

Rr

R

xx

R x

x

R

xx

R x

x

r

TRLkrdr

x

Tk

x

Tk

drdxurdruhuhdxrdrt

e

ππ

τπρρπρπ

de donde podemos despejar paredQ&

( ) ( ) ( )[ ] ( ) .2 222

000 000

0

00

00

∫∫ ∫∫∫ ∫

∂∂−

∂∂−+−+

∂∂

≈R

xx

R x

x

R

xx

R x

xpared rdrx

Tk

x

Tkdrdxurdruhuhdxrdr

t

eQ

L

L

L

L πτπρρπρπ&

En realidad expresaremos el flujo de calor local ( )xQpared& ( paredQ& es la media sobre toda

la longitud del conducto) usando un coeficiente de transferencia de calor por convección (coeficiente de película) de la manera siguiente


98

TAhQ calorciatransferenpared ∆==

44 344 21&

cilindros para RL2

_

π

,

donde ( )xQpared

& es el flujo de energía calorífica por unidad de tiempo en vatios.

( )xh es el coeficiente local de transferencia de calor por convección enKm

w

º2⋅.

calorciatransferenA _ es el área de la superficie de intercambio en 2m .

( )xT∆ es la diferencia de temperatura en K entre la de la pared paredT y la

media del flujo ( )xTm.

Es decir, puesto que en flujo laminar la transferencia de calor entre la pared y el fluido en contacto con ella se produce únicamente por conducción, igualamos la expresión de la ley de Fourier con la del coeficiente de transferencia de calor por convección dando lugar a

( )( )

mpared

Rr

mparedcalorciatransferen

paredr

Rrycalorciatransferen

paredr

TT

r

Tk

xhh

TThA

Qq

r

Tk

y

Tk

A

Qq

−∂∂−

==⇒

−==

∂∂−=

∂∂==

=

==

_

0_

&&

&&

.

Donde ( )xTm es la temperatura media en una sección y se evalúa en términos de la

energía térmica transportada por el fluido conforme pasa por la sección transversal

{ {

{ m

uTdA

cm

TdAucT

udAm

TcmE

dATcuE

c

v

c

c

frontal

A frontal

ctecv

A frontalv

m

A frontal

mvt

A frontalvt

&&

&

&&

321&

∫∫∫∫

∫∫

∫∫

=

==⇒

=

≡

=

ρρ

ρ

ρ

ltransversasección

masa deunidadporinternaenergía

área deunidadpormasadeflujo

.

El coeficiente h es local y podemos encontrar un coeficiente de convección medio para toda la tubería haciendo la integral sobre toda su longitud x

∫∫

−∂∂−

== =LL x

xmpared

Rrx

xL dxTT

r

Tk

Lhdx

Lh

00

11.


99

Si igualmente calculamos paredQ& para todo el conducto a partir de la expresión que usa

el coeficiente de película

∫∫ ∆== LL x

x calorciatransferen

x

x paredpared TdxhAL

dxQL

Q00

_

11 && ,

y se intuye que Lh es un coeficiente muy complejo de obtener a partir de la ecuación de la energía.

Tendremos una expresión simplificada para el caso en que la temperatura de la pared

paredT sea constante y tengamos flujo estacionario, desarrollado térmicamente, sin el

término de cortante ni el de gradiente axial de temperaturas. En ese caso podremos despejar Lh de

( ) ( )[ ] mlcalorciatrasnferenL

R

xxpared TAhrdruhuhQL

∆=−= ∫ _0 00 02 ρρπ& ,

siendo mlT∆ la diferencia de temperaturas media logarítmica definida como

( )entradasalida

entradasalidaml TT

TTT

∆∆∆−∆≡∆

ln,

ya que, al ser la temperatura paredT una constante, la diferencia de temperaturas

( )mpared TT − decrece exponencialmente con la distancia x.

Con el fin de utilizar el coeficiente de película Lh de una manera útil en ingeniería se recurre a valores empíricos obtenidos en laboratorio en condiciones de interés. Normalmente este interés ingenieril se ha centrado fundamentalmente en casos mucho más simples y bastante alejados de lo que se necesita en el análisis de un motor Stirling. Los principales son:

- Flujo estacionario desarrollado

66.3=DNu para flujo laminar.

- Desarrollo del flujo en la entrada

14.03

1

PrRe86.1

⋅

⋅=

s

D

DL

Nuµµ

.

En el modelo adiabático, la temperatura en el medio poroso se evalúa mediante una media logarítmica de las temperaturas Th y Tk, luego no es necesario calcular hr.


100

4.1.2.5 Tabla resumen expresiones para ∆p y h. A continuación exponemos, a modo de tabla, las expresiones usadas en el modelo adiabático para el cálculo de la pérdida de carga y el coeficiente de película para cada intercambiador, comparadas con la que usa el Profesor Urieli en el suyo:

Urieli. Mi modelo.

∆p foco frío

∆p foco caliente

Cref = 0.0791·Re0.75

2

~2

h

ref

D

LuCp

µ=∆

( )Re2

,2 appf

h

CD

LUp

µ=∆

∆p regenerador

Cref = 24 si Re < 2000

Cref = 0.0791·Re0.75 si Re ≥ 2000

2

~2

h

ref

D

LuCp

µ=∆

C0 = 25887.23

∆p = C0·lr·vsuperficial

h foco frío

Nu = 0.035·Re0.72

hD

kNuh

⋅=

h foco caliente

Nu = 0.035·Re0.84

hD

kNuh

⋅=

h regenerador

PrRe2 ⋅⋅= refC

St

h

p

D

cSth

µ⋅⋅⋅=

Re

Nu = 0.03955·Re0.75

hD

kNuh

⋅=

Se observa que Urieli ha supuesto flujo estacionario y desarrollado para aproximar la pérdida de carga. Supone flujo turbulento en los focos (aunque el número de Reynolds sea inferior a 2000) y usa normalmente flujo laminar para el regenerador. En el presente modelo, en cambio, se ha preferido usar la expresión para flujo estacionario no desarrollado, y de este modo ajustarlo más al modelo multidimensional en Fluent. Se verá en el próximo capítulo que el modelo multidimensional usa como focos multitud de anillos concéntricos de longitud bastante corta (no hay longitud suficiente para que el flujo se desarrolle).


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En cuanto a la transmisión de calor, Urieli ha supuesto aplicable la analogía de Reynolds para flujo turbulento

PrRe2 ⋅⋅= refC

St � h

p

D

cSth

µ⋅⋅⋅=

Re .

.2

PrReCkh

k

hNu

RePrC2

1Nu

2Pr

CSt

PrRe

Nu

Pr ReStNu

PrSt2

C

31

f

31

f3

2f

32

f

h

h

D

D

⋅⋅⋅=⇒

≡

=⇒==⋅

⇒

⋅⋅=

⋅=

En mi modelo, en cambio, se ha elegido un parámetro Nu empírico proveniente de la literatura y en el que se han ajustado los coeficientes para aproximar el flujo de calor en cada intercambiador al que Fluent provee como resultado del modelo multidimensional. El coeficiente de película del regenerador sólo es necesario para calcular rregeneradoη . No

se usa para calcular la temperatura en el regenerador rT . En su lugar se emplea la temperatura media efectiva.

4.2 Conclusión.

En este capítulo se han descrito dos modelos unidimensionales, el isotérmico y el adiabático, y el proceso que éstos siguen para llegar a la solución final. Ambos parten de unas ecuaciones simplificadas, siguen una estrategia clara y son fáciles de implementar.

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4. Modelos Unidimensionales. - bibing.us.esbibing.us.es/.../4_Modelos_Unidimensionales.pdf · En el primero no hay perfiles de velocidad ni de temperatura y por tanto no hay gradientes