Upload
merah-mirza-yoshioka
View
100
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Dasar Sistem Kendali ? DSK
Citation preview
Model Matematik Sistem Dinamik
Dalam penelaahan sistem kontrol diharapkan pembaca dapat membuat model
sistem dinamika dan menganalisis karakteristik dinamika. Model matematika dan sistem
dinamika didefinisikan sebagai sejumlah persamaan yang menggambarkan dinamika dan
sistem secara tepat, atau paling tidak, cukup baik. Perhatikan bahwa model matematika
tidak unik untuk sistem tertentu yang diberikan. Sebuah sistem dapat digambarkan dalam
banyak cara yang berbeda dan karena itu mungkin mempunyai banyak model
matematika, tergantung pada perspektif seseorang.
Dinamika banyak sistem, apakah sistem tersebut mekanika, listrik, panas,
ekonomi, biologi, dan seterusnya, mungkin dijelaskan dalam bentuk persamaan
diferensial. Persamaan diferensial demikian dapat diperoleh dengan menggunakan hukum
fisika yang mengendalikan sistem tertentu, misalriya, hukum Newton untuk sistem
mekanika dan hukum Kirchoff untuk sistem listrik. Tanggapan sistem dinamika terhadap
masukan (atau fungsi gaya) dapat diperoleh jika persamaan yang terlibat diselesaikan.
Langkah pertama dalam anialisis sistem dinamik adalah menurunkan model
matematikanya. Harus selalu diingat bahwa menurunkan model matematika yang layak
adalah bagian yang paling penting dalam analisis secara keseluruhan.
Model matematika mungkin mengambil banyak bentuk yang berbeda-beda.
Tergantung dari sistem tertentu, satu model matematika mungkin lebih cocok daripada
model matematika yang lain. Misalnya, pada masalah kontrol optimum, lebih
menguntungkan menggunakan gambaran tempat kedudukan. Di lain pihak. untuk analisis
tanggapan transien atau tanggapan frekuensi dari sistem masukan tunggal, keluaran
tunggal, linear, waktu tidak berubah, gambaran fungsi alih lebih baik dan mudah dari
yang lain. Sekali model matematika dari sistem diperoleh, berbagai macam alat bantu
analisis dan komputer dapat digunakan untuk tujuan analisis sintesis.
Selanjutnya akan dibahas cara mendapatkan model matematik dari sistem fisik.
Istilah model matematik diartikan sebagai hubungan matematik yang menghubungkan
keluaran sistem ke masukannya. Mungkin salah satu model yang paling sederhana dari
sistem fisik adalah hukum Ohm (lebih tepat dikatakan sebagal model Ohm) yang
diterapkan pada fenomena resistansi elektrik. Model ini adalah:
v(t) = i(t)R (1)
Pada persamaan ini, v(t) adalah tegangan dalam besaran volt, i(t) adalah arus dalam
besaran ampere, dan R adalah resistensi dalam besaran Ohm. Jika resistansi dihubungkan
dengan sumber tegangan yang diketahui, tegangan akan menjadi masukan sistem dan
arus adalah keluaran sistem (atau tanggapan).
Di dalam kamus IEEE (1) model matematik dari sebuah sistem didefinisikan
sebagai kumpulan persamaan yang digunakan untuk mewakili sistem fisik. Haruslah
dimengerti bahwa tidak ada model matematik yamg pasti dari suatu sistem fisik. Dapat
ditingkatkan ketepatan suatu model dengan cara meningkatkan kerumitan persamaan-
persamaan, tetapi tidak pernah dapat dicapai kepastian. Kita umumnya berusaha keras
untuk mengembangkan sebuah model supaya dapat menyelesaikan persoalan tanpa
membuat model yang terlalu rumit. Telah dinyatakan hahwa pembahasan model sistem-
sistem fisik melibatkan antara 80% -90% dari usaha yang diperlukan di dalam analisis
dan perancangan sistem kendali/kontrol.
Dalam menganalisis dan merancang, kita selalu bekerja dengan model matematik
dari sistem fisik yang terlibat. Model dapat atau tidak dapat mewakili dengan tepat
karaktenistik sistem fisik yang sebenarnya. Model dapat dengan tepat mewakili sistem
fisik untuk masukan spesifik yang pasti, tetapi dapat menjadi kurang tepat untuk masukan
spesitik yang berbeda. Hal ini digambarkan dengan sebuah contoh.
Contoh.
Suatu resistor karbon biasa l-Ώ,2-W. Karena itu dianggap sebagai sistem fisik.
Jika diberikan tegangan konstan (dc) scbesar 1 V ke dalam resistor, Model
matematik memperlihatkan bahwa arus 1 A akan mengalir. Jika secara fisik kita
menghubungkan resistor melalui catu daya dc 1-V. arus 1 A akan mengalir
melalui resistor bergantung dan resistansi murni dari resistor, karakteristik catu
daya dan lainnya. Jika daya yang dibuang di dalam resistansi adalah:
(2)
maka ada daya sebesar 1 W yang dibuang di dalam resistor. Sekarang anggaplah
bahwa kita memiliki percobaan yang sama dengan sumber tegangan 10 V. Model
matematik akan menyatakan bahwa arus 10 A akan mengalir melalui resistansi,
dan daya sebesar 100 W akan dibuang di dalam resistansi. Tetapi, karena resistor
fisik hanya dapat menerima daya 2 W, resistor akan gagal jika dihubungkan
dengan catu daya 10 V, yang menyebabkan tidak ada arus, atau bergantung dari
karakteriistik catu daya, sekering mungkin terbakar. Pada banyak kejadian,
besamya arus tidak akan tepat 10 A seperti yang diduga oleh model. Jadi
karakteristik resistor 1-W dapat berubah. bergantung dari sinyal masukan
(tegangan) yang diberikan pada peralatan.
Sistem Linear. Sistem dinamakan linear jika berlaku prinsip-prinsip superposisi.
Prinsip superposisi menyatakan bahwa tanggapan yang dihasilkan dengan mengaplikasi
dua fungsi gaya berbeda secara bersamaan adalah jumlah dari dua tanggapan terhadap
aplikasi fungsi tadi secara sendiri-sendiri. Jadi untuk sistem linear, tanggapan terhadap
beberapa masukan dapat dihitung dengan mengerjakan masukan satu per satu dan
menjumlahkan hasilnya. Prinsip inilah yang memungkinkan membangun penyelesaian
yang rumit untuk persamaan differensial linear dan penyelesaian sederhana.
Sistem waktu tidak berubah linear dan sistem ber ubah linear. Persamaan
diferensial adalah linear jika koefisien tetap atau hanya fungsi dari variabel bebas. Sistem
dinamik yang terdiri dari komponen parameter bulat (“lumped”), waktu tidak berubah
linear mungkin dijelaskan dengan persamaan differensial waktu tidak berubah linear
(koefisien tetap). Sistem demikian dinamakan sistem waktu tidak berubah linear (atau
koefisien tetap linear). Sistem yang digambarkan dengan persamaan diferensial yang
koefisiennya merupakan fungsi waktu dinamakan sistem waktu berubah linear. Contoh
sistem kontrol waktu berubah adalah sistem kontrol pesawat ruang angkasa. (Massa
pesawat angkasa berubah karena pemakaian bahan bakar).
Sistem tak linear. Suatu sistem dikatakan tak linear jika prinsip superposisi tidak
dapat diterapkan. Jadi, untuk sitem tak linear, tanggapan terhadap dua masukan tidak
dapat dihitung dengan mengukur satu masukan pada suatu waktu tertentu dan
menambahkan hasilnya. Contoh persamaan diferensial tak linear adalah :
(3)
Walaupun beberapa hubungan sistem fisik biasanya diwakili persamaan linear,
dalam kebanyakan kasus sebenarnya hubungan tersebut tidak benar benar linear, pada
kenyataannya, pengamatan yang teliti dari sistem fisik, sistem linear akan benar-benar
linear hanya apabila berada pada daerah operasi yang terbatas. Dalam praktek, banyak
sistem elektromekanika, hidrolika, pneumatika dan sebagainya meliputi hubungan tak
linear antar variabel-variabel. Sebagai contoh, keluaran dari suatu komponen mungkin
bercampur untuk sinyal masukan yang besar. (Daerah mati untuk suatu komponen adalah
daerah dengan variasi masukan dengan komponen tidak peka). Hukum kuadrat
ketaklinearan mungkin terjadi untuk beberapa komponen. Sebagai contoh, peredam yang
digunakan pada sistem fisik mungkin linear untuk operasi kecepatan rendah tetapi
menjadi tak linear pada kecepatan tinggi, dan gaya redaman mungkin menjadi sebanding
dengan kuadrat dari kecepatan kerja. Beberapa contoh kurva karakteristik ketidaklinearan
ditunjukkan pada Gambar 4.1.
Ketaklinearan Jenuh Ketaklinearan daerah mati Hukum kuadrat ketaklinearan
Gambar 4.1. Kurva karakteristik untk berbagai ketaklinearan
Beberapa sistem kontrol yang penting adalah nonlinear untuk setiap ukuran
sinyal. Sebagai contoh, pada sistem kontrol dua posi (on-off). aksi pengontrolan adalah
“on” atau “off” dan tidak terdapat huhungan yang linear antara masukan dan keluaran
kontroler.
Prosedur untuk menemukan penyelesaian masalah yang melibatkan sistem
nonlinier umumnya sangat rumit. Karena kesulitan matematika yang ada pada sistem
nonlinear, seringkali dirasakan perlu membuat sistem linear yang ekivalen yang berlaku
untuk jangka operasi yang terbatas. Sekali sistem nonlinear didekati dengan model
matematika linear, maka sejumlah alat bantu nonlinear dapat diterapkan untuk tujuan
analisis dan desain.
Linearisasi sistem nonlinear. Pada rekayasa kontrol operasi normal dan sistem
dapat di sekitar titik keseimbangan, dan sinyal dapat dianggap sebagai sinyal kecil di
sekitar titik keseimbangan tersebut (perlu diketahui bahwa terdapat banyak kekecualian
dalam kasus seperti ini). Namun jika sistem beroperasi di sekitar titik keseimbangan dan
jika sinyal yang terlibat adalah sinyal kecil, maka mungkin untuk mendekati sistem
nonlinear tersebut dengan sistem linear. Sistem linear yang demikian adalah ekivalen
dengan sistem nonlinier tersebut di dalam batas jangka operasi tertentu. Model yang
dilinearisasi demikian (model waktu tidak berubah linear) sangat penting dalam rekayasa
kontrol.
Sistem Listrik
Sistem listrik terdiri dari komponen-komponen yang bersifat resistif, kapa.sitif, dan
induktif. Komponen-komponen dasar tersebut adalah tahanan [R] kapasitor [C] dan
induktor [L].
Sebuah rangkaian listrik diberikan pada Gambar 4.2
Gambar 4.2. Rangkaian seri R-L
Menurut Hukum Kirchoff, persamaan rangkaian adalah:
(4)
dan ini adalah persamaan differensial linear yang tidak homogen orde-1 dengan variabel
bebas t dan variabel tidak bebas i; sedang v adalah fungsi masukan.
Bentuk persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
(5)
Solusi persamaan homogen adalah solusi untuk V[t] = 0, sehngga menurut persamaan [5]
fungsi komplementer adalah:
(6)
jika V/L = konstan, maka solusi khusus adalah:
, sehingga solusi umum menjadi :
(7)
Jika pada t = 0, i = 0 [ saat saklar S belum dihubungkan] , maka :
atau atau
(8)
Dalam persamaan ini τ = disebut konstanta waktu [time
constant], dimana L adalah Henry dan satuan R adalah Ohm.
Sistem Mekanis
Sebuah sistem mekanis yang terdiri dari sebuah massa [m], sebuah pegas [dinyatakan
oleh konstanta elastisitas k] dan peredam [dashpot] yang menyatakan gesekan mekanis
terhadap massa. Gambar 4.3
Gambar 4.3 : Massa, pegas dan redaman
Gesekan mekanis ini dapat dinyatakan sebagai fungsi kecepatan dengan B adalah
koefisien gesekan. Dengan demikian gaya gesekan adalah Fg = Bv
Jika benda massa m ditarik oleh gaya F dengan arah seperti pada gambar 4.3
maka persamaan gerak untuk sistem menurut hukum Newton II dapat dituliskan sebagai
berikut:
F = ma (9)
di mana F adalah resultante dan semua gaya yang bekerja pada m. Persamaan (9) dapat
juga dituliskan sebagai
Fa – Fp – Fg = ma
atau Fa – kx – Bv = ma
atau ma + Bv + kx = Fa (10)
di mana x adalah perpindahan massa m setiap saat.
Selanjutnya karena , maka persamaan (10) dapat juga
dituliskan:
(11)
Dari bentuk (9), persamaan tersebut adalah persamaan differensial linear orde dua yang
tidak homogen dengan t sebagai variabel bebas, x sebagai variabel tidak bebas dan Fa
sebagai fungsi masukan. Solusi umum persamaan (9) ini bergantung pada bentuk Fa.
Bentuk Fa yang paling umum adalah fungsi tangga (step function), konstanta atau fungsi
sinus.
Sistem Hidrolik
Proses pengisian tangki melalui pipa-pipa/saluran air adalah salah satu contoh dari
sistem ini, dimana pengaturan-pengaturan aliran ke dalam tangki dapat dilakukan melalui
keran, lobang-lobang yang dapat diatur dan sebagainya.
Dalam menganalisis sistem cairan ini dapat diberikan anggapan-anggapan sebagai
berikut:
- tangki dianggap mengandung cairan yang permukaannya bebas.
- pipa penghubung dipenuhi seluruhnya oleh cairan.
- percepatan cairan diabaikan.
Keadaan ini ditunjukkan pada Gambar 4.4
.
Gambar 4.4. Sistem hidrolik
dengan,
qi = debit cairan masuk ke dalam tangki
qo = debit cairan keluar
h = tinggi permukaan cairan di dalam tangki (“head” cairan)
Tinggi cairan (head) menghasilkan suatu tekanan yang menimbulkan aliran cairan
dari tangki dan keadaan ini merupakan kebalikan daripada sifat pipa hambatan-hambatan
lain terhadap aliran.
Untuk suatu tangki yang mengeluarkan cairan karena tekanan “head”-nya, tahanan
hidraulik didefinisikan sebagai peubahan “head” yang diperlukan agar menyebabkan
perubahan aliran. Secara matematis dituliskan sebagai berikut:
(12)
di mana, R = tahanan hidraulik
h = head (ft)
q = laju aliran
Resistansi dan kapasitansi sistem permukaan zat cair. Tinjau aliran dalam pipa pendek
yang dihubungkan pada dua tangki. Resistansi untuk aliran zat cair dalam pipa atau
hambatan didefinisikan sebagai perubahan dalam perbedaan tinggi (perbedaan
permukaan zat cair dalam dua tangki) yang diperlukan untuk membuat satu satuan
perubahan laju aliran, yaitu:
Karena hubungan antara laju aliran dan perbedaan tinggi terjadi untuk aliran laminar dan
aliran turbulen, maka akan ditinjau kedua kasus sebagai berikut.
Tinjau sistem permukaan zat cair pada Gambar.4.5(a). Bila aliran pada hambatan adalah
laminar, maka hubungan antara laju aliran keadaan tunak dan tinggi permukaan (kepala)
pada keadaan tunak diberikan oleh:
Q = KH (13)
dengan
Q = laju aliran zat cair, m3/sec
K = koefisien, m2/sec
H = permukaan zat cair pada keadaan tunak, m
Kecepatan aliran
Kemiringan =
a b Gambar 4.5 (a) Sistem permukaan zat cair, (b) kurva laju aliran versus permukaan zat cair
Perhatikan bahwa hukum untuk aliran laminar ini analog dengan hukum Coulomb yang
menyatakan bahwa arus berbanding lurus dengan beda potensial.
Untuk aliran laminar, resistansi R diperoleh:
(14)
Resistansi aliran laminar adalah konstan dan analog dengan resistansi listrik.
Bila aliran yang melalui penghambat turbulen, maka laju aliran keadaan
tunak diberikan oleh
(15)
dengan
Q = laju aliran zat cair, m3/sec
K = koefisien, m2,5/sec
H = permukaan zat cair pada keadaan tunak, m
Resistansi Rt aliran turbulen diperoleh
Dengan bentuk persamaan (11) diperoleh
sehingga
Jadi,
(16)
Nilai resistansi Rt aliran turbulen tergantung pada laju aliran dan permukaan zat cair.
Nilai Rt kecil, mungkiri dapat dikatakan konstan bila perubahan permukaan zat cair dan
laju aliran kecil.
Dengan menggunakan resistansi aliran turbulen, huhungan antara Q dan H
diberikan oleh
(17)
Linearisasi akan sahih bila perubahan tinggi permukaan zat cair dan laju aliran pada
keadaan tunak cukup kecil.
Sistem Elektromekanik
Generator Arus Searah
Diasumsikan bahwa generator dc dijalankan oleh sumber energi yang disebut penggerak
utama, yang berkapasitas cukup sehinngga beban elektrik pada generator tidak
mempengaruhi kecepatan generator. Selanjutnva diasumsikan bahwa generator berputar
pada kecepatan konstan. Diagram rangkaian generator diberikan pada Gambar 3.6.
Persarnaan untuk rangkaian medan adalah
(18)
dengan ketergantungan fungsional dari variabel-variabel terhadap waktu diabaikan agar
mudah. Pada persamaan ini, ef adalah tegangan medan yang diberikan dan dianggap
sebagai masukan sistem. Arus medan adalah ij, resistansi kumparan medan adalah Rf dan
induktansi kumparan medan adalah Lf Persamaan untuk rangkaian armatur adalah
(19)
dengan eg adalah tegangan yang dibangkitkan oleh rangkaian armatur, ia adalah arus
armatur, ea adalah tegangan di teminal armatur, dan Ra dan La rnasing-masing adalah
resistansi dan induktansi armatur. Persamaan yang menghubungkan tegangan yang
dibangkitkan eg ke fluks medan, Ф adalah
(20)
Gambar 4.6. Generator DC
Pada persamaan ini, K adalah parameter yang ditentukan oleh struktur fisik generator dan
dθ/dt adalah kecepatan sudut armatur. Karena dθ/dt telah diasumsikan konstan dan karena
fluks f berbanding langsung dengan arus medan if, tegangan yang dihangkitkan. dari
Persamaan (20) dapat dituliskan sebagai
eg = Kgif (21)
Motor Servo
Servomotor arus searah (DC). Terdapat banyak jenis motor yang digunakan
dalam industri, Motor DC yang digunakan dalam sistem servo dinamakan servomotor dc.
Pada servomotor dc, rotor inersia dibuat sangat kecil, yang menghasilkan motor dengan
rasio torsi-terhadap-inersia sangat tinggi yang tersedia secara komersial. Beberapa
servomotor dc mempunyai konstanta waktu yang luar biasa kecilnya. Servomotor dc
dengan tingkat daya yang rendah digunakan pada peralatan yang berkaitan dengan
komputer dan instrumentasi seperti misalnya disk drive, tape drive, dan pengolah kata
(“word processor”). Servomotor dc dengan tingkat daya menengah dan tinggi digunakan
pada sistem robot, mesin pemintal yang dikontrol secara numerik, dan seterusnya.
Pada servomotor dc, kumparan medan dapat dihubungkan secara seri dengan
jangkar magnit (“armature”) atau kumparan medan tersebut dapat dipisah dari jangkar
magnetnya (ini berarti, medan magnet dihasilkan oleh rangkaian yang terpisah). Dalam
kasus terakhir, bila medan dibangkitkan secara terpisah, maka fluks magnetik tidak
tergantung pada arus jangkar magnet. Pada beberapa servomotor dc, medan magnet
dihasilkan oleh magnet permanen dan karenanya fluks magnetik konstan. Servomotor dc
seperti demikian dinamakan servomotor dc magnet permanen. Servomotor dc dengan
medan yang dibangkitkan secara terpisah, dan juga servomotor dc magnet permanen
dapat dikontrol oleh arus jangkar magnet. Skema untuk mengontrol keluaran servo-
motor dc dengan arus jangkar magnet demikian dinamakan kontrol jangkar magnet
servomotor dc.
Pada kasus yang arus jangkar magnetnya dibuat konstan dan kecepatan dikontrol
oleh tegangan medan, motor dc tersebut dinamakan motor dc dikontrol medan. (Beberapa
sistem kontrol kecepatan menggunakan motor dc dikontrol medan). Kebutuhan akan arus
jangkar magnet yang konstan merupakan kekurangan yang serius. (Pemberian sumber
arus yang konstan jauh lebih sukar daripada pemberian sumber tegangan yang konstan).
Konstanta waktu dari motor dc dikontrol medan umumnya besar dibandingkan dengan
konstanta waktu motor dc dikontrol jangkar magnet yang sebanding.
Servomotor dc mungkin juga digerakkan oleh kontroler gerakan elektronik’. yang
seringkali dinamakan servodriver disebut kombinasi motor penggerak. Servodriver
mengatur gerakan servomotor dc dan beroperasi dalam berbagai macam mode. Beberapa
cirinya adalah penggerakan posisi titik ke titik, profil kecepatan, dan percepatan yang
dapat diprogram. Penggunaan kontroler gerakan elektronik yang menggunakan driver
dimodulasi lebar pulsa (“pu1se with modulated driver”) untuk mengontrol servomotor dc,
sering kali digunakan dalam sistem kontrol robot, sistem kontrol numerik, dan sistem
kontrol posisi dan / atau kecepatan lainnya.
Selanjutnya dibuat model motor servo. Diagram rangkaian motor servo diberikan
pada Gambar 4.7. Pada gambar ini ea(t) adalah tegangan armatur, yang dianggap sebagai
masukan sistem. Resistansi dan induktansi rangkaian armatur adalah Rm dan Lm Tegangan
em(t) adalah tegangan yang timbul pada kumparan armatur karena adanya pergerakan
pada kumparan di dalam medan magnetik motor dan biasanya disebut sebagai EMF-
balik. Sehingga dapat kita tuliskan bahwa
(22)
dengan K adalah parameter motor, Ф adalah fluks medan dan θ adalah sudut poros
motor; Jadi dθ/dt adalah kecepatan sudut poros. Kita sumsikan bahwa fluks Ф konstan;
sehingga
(23)
Gambar 4.7. Motor servo
Sistem Analogi
Sistem yang dapat digambarkan dengan model matematika yang sama, tetapi
berbeda secara fisik dinamakan sistem yang analogi (analogous system). Jadi sistem yang
analogi dijelaskan dengan persamaan diferensial atau integrodiferensial atau sejumlah
persamaan.
Konsep sistem yang analogi sangat berguna dalam praktek karena alasan sebagai
berikut:
1. Dapat diterapkan secara langsung terhadap sistem yang analogi di bidang
apapun yang lain.
2. Karena sistem yang satu mungkin lebih mudah ditangani dalam percobaan
daripada yang lain, maka daripada mempelajari dan membangun sistem
mekanika (atau sistem hidrolika atau pneumatik), dapat dibangun dan ditelaah
analogi listriknya, karena sistem listrik atau elektronika umumnya jauh lebih
mudah dikerjakan dengan percobaan.
Bagian ini menyajikan analogi antara sistem listrik dengan mekanika. Namun
konsep sistem yang analogi berlaku untuk sistem jenis lain dan analogi di antara sistem
mekanika, listrik, hidrolika, pneumatik, thermal, dan sistem lainnya dapat ditentukan.
Analogi listrik-mekanika.
Sistem mekanika dapat ditelaah melalui penggunaan analogi listriknya, yang
mungkin lebih mudah dikonstruksi daripada model sistem mekanika yang berkaitan.
Terdapat dua analogi listrik untuk sistem mekanika: analogi tegangan gaya dan analogi
arus-gaya.
Analogi gaya-tegangan.
Tinjau sistem mekanik pada Gambar 4.8 (a) dan sistem listrik pada Gambar
4.8(b).
(a) (b) Gambar 4.8. Sistem listrik dan mekanika yang analog
Persamaan sistem adalah
(23)
persamaan sistem selanjutnya
Dalam suku muatan listrik q persamaan terakhir menjadi
(24)
Tabel 4.1. Analogi gaya-tegangan
Sistem Mekanik Sistem ListrikGaya р (torsi T) Tegangan eMassa m (momen inersia J) Induktansi LKoefisien gesekan b Tahanan RTetapan pegas k Kapasitansi bolak-balik, 1/CPerpindahan x (perpindahan sudut θ) Muatan qKecepatan x (kecepatan sudut θ Arus i
Analogi gaya-arus.
Analogi lain antara sistem mekanik dan listrik didasarkan pada analogi gaya-arus.
Tinjau sistem mekanik pada Gambar 4.9(a). Persamaan sistem dapat diperoleh sebagai
(25)
(a) (b)
Gambar 4.9. Sistem mekanik dan listrik analog
Perhatikan sistem listrik pada Gambar 2.2 (b). Dengan menerapkan hukum Kirchhoff
untuk arus memberikan
iL + iR + iC = iS (26)
dengan
persamaan (26) dapat ditulis dengan
(27)
Perhatikan bahwa fluks magnetik gandeng Ψ direlasikan dengan e oleh persamaan
berikut:
dalam bentuk Ψ persamaan (27) dapat ditulis sebagai berikut:
(28)
Dengan membandingkan Persamaan (26) dan (28), diperoleh bahwa dua sistem tersebut
adalah analogi. Beberapa besaran yang analog diberikan pada Tabel 4.2. Di sini analog
tersebut disebut analogi gaya arus (atau analogi massa-kapasitas).
Perlu diingat bahwa analog antara dua sistem mungkin salah atau tidak berlaku
lagi jika daerah operasinya diperluas terlalu jauh. Dengan kata lain, karena persamaan
diferensial, yang analognya didasarkan, hanya merupakan pendekatan karakteristik
dinamika dan sistem fisik dalam daerah operasi tertentu, maka analogi tadi dapat tidak
berlaku lagi jika daerah operasi salah satu sistem itu sangat luas. Namun, jika daerah
operasi sistem mekanika yang diberikan luas, mungkin dapat dibagi menjadi dua atau
lebih subdaerah, dan sistem listrik yang analog dapat dibuat untuk masing-masing
subdaerah. Faktanya, analog tidak terbatas pada sistem listrik dan sistem mekanika saja,
berlaku juga untuk sebarang sistem sesuai dengan persamaan diferensialnya, atau fungsi
alih, dalam bentuk yang identik.
Tabel 4.2.. Arus-gaya
Sistem Mekanik Sistem ListrikGaya р (torsi T) Arus iMassa m (momen inersia J) Kapasitansi CKoefisien gesekan b Tahanan bolak-balik, 1/RTetapan pegas k Induktansi bolak-balik, 1/LPerpindahan x (perpindahan sudut θ) Fluks magnetik gandeng ΨKecepatan x (kecepatan sudut θ ) Tegangan e