4 - Robot mobili - DDR - Robot... · 2016. 3. 6. · 4 –Robot mobili DIFFERENTIAL DRIVE ROVER Jacopo Sini ROBOTICS@MIDDLESCHOOL v 1.1 - Torino, 25/05/2015 Revisione da 1.0 a 1.1

4 – Robot mobili

DIFFERENTIAL DRIVE ROVER

Jacopo Sini

ROBOTICS@MIDDLESCHOOL

v 1.1 - Torino, 25/05/2015Revisione da 1.0 a 1.1 del 28/08/2015

ROBOTICS@MIDDLESCHOOL 4DDR.2

In queste diapositive vedremo:

• Pianificazione della traiettoria

• Differential drive rover

• Guida differential drive

• Programmazione

• Calcolo delle distanze

• (Appendice) Descrizione analitica


Immaginiamo di dover far muovere il nostrorover all’interno di una corsia: come possiamofornirgli il percorso da seguire?


Si vuole far percorrere alrover la corsia in figura (dicui la mappa e’ nota)

Come possiamo fornirgliindicazioni utili per lapianificazione del percorso?


Per prima cosa tracciamo sullamappa la traiettoria cheriteniamo migliore.Vogliamo quindi mantenere laproiezione del punto mediodell’asse fra le due ruote suquesta traiettoria, cosi’ comemostrato in figura.


Fissiamo ora un sistema diriferimento (in questo caso, adesempio, scegliamo di piazzarel’origine degli assi all’iniziodella traiettoria)

x

y


Notiamo subito che alcuni trattidella nostra traiettoria sonoquasi rettilinei, quindi possiamosemplicemente far ruotare,per una certa distanza, ledue ruote alla stessavelocita’.In alcuni tratti possiamosostituire la linea con deisegmenti.

x

y


Rettilinei

x

y


Cosa possiamo fare nei

tratti rimasti vuoti?

x

y


Ricordiamoci che non possiamofar compiere angoli al nostrorobot, ma solo curve.

Un’idea potrebbe esserequella di approssimare latraiettoria rossa con unacirconferenza.

x

y


asse ruote motrici


Punto medio asse ruote motrici


Fisso opportunamente un raggio di curvatura



Dal punto di vista matematico,fissare un raggio di curvaturaopportuno non e’ un passobanale.

Per quanto ci riguardaconsidereremo sempre quei casidove questo sia fornito oevidente.


Fisso un errore massimo rispetto alla traiettoria

rossa


Quando raggiungo l’errore massimo

raccordo la circonferenza ottenuta con il

segmento o circonferenza

successivi


Una possibile soluzione allapianificazione della traiettoria

x

y

Épunti di raccordo


Annotiamo quindi le coordinate(cartesiane) dei punti di raccordo ei raggi di curvatura.

x

y

𝑅2

𝑅1(𝑥1, 𝑦1)

(𝑥2, 𝑦2)

(𝑥3, 𝑦3)

(𝑥4, 𝑦4)

(𝑥5, 𝑦5)(𝑥6, 𝑦6)


In alcune applicazioni dei robot mobiliterrestri (chiamati rover), potrebbe esseretroppo costoso o complesso realizzare unsistema di sterzatura delle ruote, come quelloche si trova comunemente nelle auto.

In questi casi è possibile fornire direzionalitàal robot tramite la tecnica differential drive.

La tecnica differential drive consiste nel farmuovere le ruote del robot a velocitàindipendenti l’una dall’altra.

Analizzeremo, fra tutte le possibiliconfigurazioni, quella a due ruote motricisullo stesso asse e terza ruota condotta.



Vista del differential driver rover dall’alto:


Le RUOTE MOTRICI sono poste inrotazione dai MOTORI.

Come si puo’ vedere le dueruote stanno sullo stesso assee sono parallele, ma essendocollegate a due differentimotori possono avere diversevelocita’

RUOTE MOTRICI


La ruota condotta fornisce ilterzo appoggio al robot.

Ruota condotta


Oltre a fornire l’appoggio alrover, la ruota condotta nondeve opporre resistenza allarotazione.Ruotando attorno allacerniera èe’ in grado di seguirefluidamente la traiettoriaimposta dalle ruote motrici, inmodo simile a quanto fanno leruote dei carrelli deisupermercati.

Cerniera ruota condotta


Abbiamo appena visto che solo la ruotacondotta è in grado di sterzare, ma non hanessun motore.

Per affrontare le curve è necessario usare unatecnica differente da quella usata per la guidadelle automobili, che solitamente vieneimpiegata sui mezzi cingolati (quali carriarmati, pale meccaniche o spazzaneve).


Punto medio asse ruote motrici


Centro di istantanea rotazione


raggio di curvatura


velocita’periferica

delle ruote


velocita’periferica del punto medio


La ruota condotta si

allinea alla tangente alla circonferenza


Il caso limite si ha quando il raggio dicurvatura è pari all’interasse (cioè alladistanza tra le ruote).

Questo avviene quando una e una sola delledue ruote è ferma.

Per semplicità e a causa della struttura conruota condotta montata su un carrellino non siconsidereranno le ruote in rotazione con versiopposti.


Ora che abbiamo trovato tutti i punti diraccordo e tutti i raggi di curvatura dobbiamoancora fornire al rover i due angoli che le dueruote devono percorrere.

Attenzione: ricorda che le ruote devonopercorrere l’angolo assegnato, impiegando lostesso tempo (dunque avranno velocitàperiferiche diverse).


Forniamo ora un angolo di rotazione al nostroattuatore:

𝜃


Che effetto ha questa rotazione sul punto dicontatto del rover con il suolo?

Per rispondere a questa domanda è necessariocapire qual è la relazione che lega l’angolo e ladistanza percorsa da una ruota.


Per prima cosa misuriamo il raggio della ruota

𝑟


𝜃

𝑙


𝜃

𝑙

𝑟

𝑙 = 𝑟 ⋅𝜃

360


Per percorrere un segmento di lunghezza 𝑙 èquindi sufficiente far ruotare entrambe leruote dello stesso angolo 𝜃.

𝜃 =𝑙 ⋅ 360

𝑟


Per percorrere un arco di circonferenza ènecessario far percorrere distanze diversealle due ruote.

Come calcolare le due distanze noto il raggiodi curvatura?

4DDR.56ROBOTICS@MIDDLESCHOOL


Traiettoria del punto medio


Traiettoria ruota esterna


Traiettoria ruota interna


Traiettoria seguita dal punto medio


Raggiunta la fine del trattoda spazzare, secondo unatraiettoria circolare, il robotcontinuera’ la sua traiettoriaorientato nel modo indicato afianco (ossia la freccia biancaindicante il frontale delrover segue sempre ladirezione tangente allacirconferenza seguita).


Cosa accade se facciamocontinuare il moto del rovercon entrambe le ruote allastessa velocita’?

Il rover si muove secondo ladirezione tangente allacirconferenza appena seguita.


Vediamo ora come calcolare l’angolo dapercorrere per spazzare un arco di 𝜑 gradisu una circonferenza di raggio 𝑅.

Per prima cosa, ricordiamo che la distanza

percorsa 𝑙 è pari a 𝑙 = 2𝜋𝑅 ⋅𝜑

360


Misuriamo quindi l’interasse, cioè la distanza𝑘 tra il centro delle due ruote del nostro rover:

𝑘


𝑅

𝜑

𝑙 = 2𝜋𝑅 ⋅𝜑

360


𝑅 +𝑘2

𝜑

𝑙1 = 2𝜋 𝑅 +𝑘2

⋅𝜑

360


𝜑

𝑅 −𝑘2

𝑙2 = 2𝜋 𝑅 −𝑘2

⋅𝜑

360


𝜃2

𝑙2

𝜃2 =𝑙2 ⋅ 360

𝑅 −𝑘

2

𝜃1

𝑙1

𝜃1 =𝑙1 ⋅ 360

𝑅 +𝑘

2

𝑟 Raggio ruota motrice.

𝑅 Raggio di curvatura.

𝜃𝑖 Angolo (coordinate di giunto percorso dalla i-esima ruota motrice.

𝜑 Angolo (coordinate nello spazio di lavoro) spazzato durante la percorrenza di una traiettoria circolare.

𝑙 Distanza (lungo la curva) percorsa dal rover.

𝑙𝑖 Distanza (lungo la rispettiva curva) percorsa dalla i-esima ruota.

𝑘 Distanza euclidea tra i punti di appoggio delle due ruote motrici.


BONA B. Modellistica dei robot industriali, Celid, Torino, 2002

CORKE P. Robotics, Vision and Control, star, Springer , 2011

FERRARESI C., RAPARELLI T., Meccanica Applicata, CLUT, 1992

MICROSOFT VIRTUAL ACADEMY

http://www.microsoftvirtualacademy.com/training-courses/sviluppare-

giochi-con-bambini-e-ragazzi


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Per ottenere in versione digitale questo file egli altri della serie

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Per completezza, anche se ben conscio delladifficoltà intrinseca della descrizione, vengonodi seguito riportate le descrizioni analitichenecessarie per implementare concretamenteuna pianificazione di traiettoria tramite latecnica differential drive.


Con 𝑘 interasse tra le ruote, 𝑅 raggio dicurvatura, 𝑣𝑙 e 𝑣𝑟 rispettivamente velocitàperiferica delle ruote, rispettivamente sinistrae destra, e 𝜔 velocità angolare, le seguentiequazioni forniscono la cinematica del rover:

𝑣𝑙 = 𝜔 𝑅 −𝑘

2

𝑣𝑟 = 𝜔 𝑅 +𝑘

2

𝑣𝑟 − 𝑣𝑙 =2𝜔𝑘

2→ 𝜔 =

𝑣𝑟 − 𝑣𝑙𝑘

𝑣𝑟 + 𝑣𝑙 = 2𝜔𝑅 → 𝑅 =𝑙(𝑣𝑟 + 𝑣𝑙)

2(𝑣𝑟 − 𝑣𝑙)


Considerando le equazioni a tempo discreto i eassumendo valori costanti durante l’intervallodi tempo:

𝐶𝐼𝑅𝑖 =𝐶𝑥𝑖𝐶𝑦𝑖

=𝑥𝑖 − 𝑅𝑖 sin(𝜑𝑖)𝑦𝑖 + 𝑅𝑖 cos(𝜑𝑖)

𝜔𝑖 =𝑣𝑟𝑖 − 𝑣𝑙𝑖

𝑘; 𝛿𝜑𝑖 =

𝑙𝑟𝑖 − 𝑙𝑙𝑖𝑘

𝑣𝑖 =𝑣𝑟𝑖 + 𝑣𝑙𝑖

2

𝜔𝑖 𝑅𝑖 +𝑘

2= 𝑣𝑟𝑖

𝜔𝑖 𝑅𝑖 −𝑘

2= 𝑣𝑙𝑖

𝑅𝑖 =𝑣𝑖𝜔𝑖

=𝑘(𝑣𝑟𝑖 + 𝑣𝑙𝑖)

2(𝑣𝑟𝑖 − 𝑣𝑙𝑖)









2


2= 𝑣𝑟𝑖


2= 𝑣𝑙𝑖




Centro di istantanea rotazione









2


2= 𝑣𝑟𝑖


2= 𝑣𝑙𝑖




Velocita’ punto medio asse

ruote









2


2= 𝑣𝑟𝑖


2= 𝑣𝑙𝑖




Distanza percorsa ruota destra e

sinistra


𝑥 𝑡 = 0

𝑡

cos 𝜑 𝜏 𝑣 𝜏 𝑑𝜏; 𝑦 𝑡 = 0

𝑡

sin𝜑 𝜏 𝑣 𝜏 𝑑𝜏

𝜑 𝑡 = 0

𝑡

𝜔 𝜏 𝑑𝜏

Se il tempo di campionamento è piccolo:

𝜔𝑖 =𝑑

𝑑𝑡𝜑 → 𝜔𝑖 ≅ 𝜑𝑖+1 ≝ 𝛿𝜑𝑖

𝑥𝑖+1𝑦𝑖+1𝜑𝑖+1

=cos(𝛿𝜑𝑖) − sin(𝛿𝜑𝑖) 0sin(𝛿𝜑𝑖) cos(𝛿𝜑𝑖) 0

0 0 1

𝑥𝑖 − 𝐶𝐼𝑅𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝐶𝐼𝑅𝑦𝑖

𝜑𝑖

+

𝐶𝐼𝑅𝑥𝑖𝐶𝐼𝑅𝑦𝑖𝛿𝜑𝑖


Approssimazione di Eulero

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖𝑇 cos(𝜑𝑖)𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖𝑇 sin(𝜑𝑖)

𝜑𝑖+1 = 𝜑𝑖 + 𝜔𝑖𝑇𝛿𝑙

𝑞𝑖

𝑞𝑖+1

𝛿𝜑 𝑅


Approssimazione di Runge-Kutta

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖𝑇 cos 𝜑𝑖 +1

2𝜔𝑖𝑇

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖𝑇 sin 𝜑𝑖 +1

2𝜔𝑖𝑇

𝜑𝑖+1 = 𝜑𝑖 + 𝜔𝑖𝑇

𝑞𝑖+1

𝛿𝑙

𝑞𝑖𝛿𝜑 𝑅


Integrazione esatta

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 +𝜔𝑖𝑣𝑖

sin𝜑𝑖+1 − sin𝜑𝑖

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +𝜔𝑖𝑣𝑖

cos𝜑𝑖+1 − cos𝜑𝑖

𝜑𝑖+1 = 𝜑𝑖 + 𝜔𝑖𝑇𝑞𝑖+1

𝛿𝑙

𝑞𝑖𝛿𝜑 𝑅

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