4. Serii in Spatii Banach

7/30/2019 4. Serii in Spatii Banach

1/7

4. Serii in spatii Banach

4.1. Serii

Spatiile Banach constituie cadrul natural pentru definirea si studiul conceptului de serie.

Fie (xn)n un sir in spatiul Banach E si sa consideram sirul sumelorpart iale asociat sirului initial:

s0 = x0,..., sn =1

n

k

k

x=

, nN. Perechea formata din sirurile (xn)n si (sn)n se numeste serie cu termenul

generalxn si se noteaza0

n

n

x

. O serie0

n

n

x

se numeste convergenta daca sirul sumelor partiale esteconvergent inE. O serie care nu este convergenta se numeste divergenta.

exemplu:

Fie r R fixat. Atunci seria 20

1 ... ...n n

n

r r r r

= + + + + + , se numeste seria geometrica de ratie r.

Sirul sumelor partiale va fi0

1,s =1

1s r= + , ...,1 , 11

, 1

n

n

r rs r

n r

= =

si limn

ns

=

1

1 r, daca 1r < , caz

in care seria geometrica este convergenta.

In cazul in care seria0

n

n

x

este convergenta, se defineste suma seriei ca fiind s = lim nn

s

(inE), notatia

folosita fiind: s =0

n

n

x

= .

Tinand seama de structura de spatiu liniar al lui E, suma, termen cu termen, a doua serii de aceeasi

natura (convergente sau nu) este o serie de aceeasi natura. Inmultind cu un scalar oarecare o serie, nu

este afectata natura seriei. Eliminand sau adaugand un numar finit de termeni unei serii, nu se modifica

natura seriei (evident pentru seriile convergente suma se modifica).

Situandu-ne intr-un spatiu Banach, sirul sumelor partiale este convergent daca si numai daca esteCauchy, adica: 0 > exista n0N, astfel incat m, n n0 avem m ns s < .Tinand seama ca sm - sn este o suma de termeni consecutivi ai seriei, deducem criteriul lui Cauchy,

pentru serii:

O serie0

n

n

x

intr-un spatiu BanachEeste convergenta daca si numai daca:

0 > exista n0N,astfel incat n > m > n0 avem1

n

k

k m

x= + < .

exemplu:

Seria armonica1

1

n n este divergenta , deoarece evaluand:

1 1 1 1 1 1 1... ...1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

mm m m m m m m

+ + + > + + + = >+

,

obtinem pentru =1

2si pentru mN arbitrar, existenta unui n > 2m 1, astfel incat

1

2n ms s > .

Daca, in particular, m + 1 = n, atunci: 0 > exista n0N,astfel incat n > n0 nx < .Asadar, daca

0

n

n

x

este convergenta, atunci n EinE

x , conditie ce nu este suficienta pentru a asigura

convergenta unei serii.

O serie0

n

n

x

din spatiul Banach E se numeste absolut convergenta daca seria de numere reale

nenegative0

n

n

x

este convergenta. Intr-un spatiu Banach, orice serie absolut convergenta este

convergenta, afirmatia bazandu-se pe criteriul lui Cauchy si pe folosirea inegalitatii:

1 1... ...m n m nx x x x+ ++ + < + + .


2/7

In continuare, ne vom ocupa de serii cu termeni pozitivi, observand ca o serie cu termeni pozitivi

0

n

n

a

este convergenta daca si numai daca sirul sumelor partiale este marginit superior. Prezentamacum un test important de convergenta a seriilor cu termeni pozitivi, si anume criteriile de comparatie:

Propozitia 4.1.1. (primul criteriu de comparatie) Fie seriile de numere pozitive

0

n

n

a

si0

n

n

b

, cuproprietatea ca exista n0 N, astfel incat 0n n anbn. Atunci:

1) convergenta seriei0

n

n

b

implica convergenta seriei0

n

n

a

;2) divergenta seriei

0

n

n

a

implica divergenta seriei0

n

n

b

.

exemplu:0

1

2n

n n + este convergenta deoarece 1 1

2 2n n

n ,

aplicam criteriul enuntat, i.e. seria1

1

n n

are aceeasi natura cu seria

1

12

(2 )

n

nn

= 1

1

1

(2 )n

n

, deci

este divergenta pentru 1 si convergenta pentru 1 > .Propozitia 4.1.2. (criteriul raportului -dAlembert) Fie o serie de numere reale strict pozitive

0

n

n

a

,

cu proprietatea ca :1

limn

nn

al

a

+

=. Atunci:

1.daca l < 1, seria0

n

n

a

este convergenta;

2.daca l > 1, seria0

n

n

a

este divergenta;3.in cazul l = 1, natura seriei

0

n

n

a

poate fi oricare.

exemplu: Seria1

!n

n

n

n este convergenta, deoarece 1lim n

nn

a

a

+

=

1

e.

Considerand o serie absolut convergenta0

n

n

a

de numere reale, cu suma s si cu proprietatea ca

exista n0 N si k (0, 1), astfel incat 1 1nn

aka

+ < , suntem interesati de o evaluare a


3/7

eroriiabsolute n ns s R = , facuta in formula de aproximare ns s . Avand:p

n p na k a+ , n 0n ,

p N, rezulta: 1 2 ... ...n n n n pR a a a+ + += + + + + 0. Cumln ( 1)

lnlim 1

n

nn

a

a

+

= , vom aplica criteriul Raabe-Duhamel,

evaluand:

lnln 1

ln ( 1)

1lim 1 lim ln

1

nn n

nn n

a an a

a

n

+

+

= =

, si astfel ,

pentru a 1

eseria este divergenta;

pentru1

ae

= , obtinem seria1

1

n n , care este divergenta.

Revenind in cadrul unui spatiu BanachE, vom defini un criteriu de convergenta si anume criteriul

lui Abel, obtinut prin aplicarea criteriului lui Cauchy seriilor de forma0

n n

n

x

, unde ( )n n R, si( )

n nx E.


4/7

Propozitia 4.1.5. (criteriul lui Abel) Fie0

n

n

x

o serie in spatiul Banach E, avand sirul sumelorpartiale marginit (in E) si ( )

n n R, un sir monoton descrescator si convergent la zero. Atunci seria

0

n n

n

x

este convergenta.Criteriul lui Abel are un corolar foarte des utilizat pentru cazul seriilor alternante, i.e. seriile de forma

( )0

1 nn

n

a

unde ( )n n R+.Corolar (Criteriul lui Leibniz) Daca ( )

n n R+ este un sir monoton descrescator, convergent la zero,

atunci seria ( )0

1n

nn

a

este convergenta.

exemplu: Seria armonica alternata1

1

1( 1) .

n

n n

+

este convergenta, dar nu este absolutconvergenta.

In cazul seriei alternate convergente ( )0

1n

nn

a

, eroarea comisa prin inlocuirea sumei s a seriei cusuma partiala sn este mai mica in modul decat primul termen neglijat an+1. Eroarea este prin lipsa daca n

este impar si prin adaos daca n este par.

exemplu: Suma seriei armonice alternate este ln 2 (exercitiu). Pentru a obtine suma seriei cu trei

zecimale exacte, cum3

1 1

1 10n

Rn

< 999, asadar trebuie insumati cel putin 1000 termeni.

Prezentam acum o operatie cu serii de numere reale, si anume produsul in sens Cauchy. Fie (un)n

si (vn)n doua siruri de numere reale si sa definim: w0 = u0 v0, w1= u0v1 +,u1 v0, ..., wn=0

n

k n k

k

u v =

,

Seria0

n

n

w

se numeste produsul in sens Cauchy al seriilor0

n

n

u

si0

n

n

v

. Produsul in sens Cauchy adoua serii convergente nu este intotdeauna o serie convergenta. Teorema CauchyMaertens da raspuns

la intrebarea in ce conditii produsul in sens Cauchy a doua serii de numere reale este o serie

convergenta.

Teorema 4.1.1. Daca seriile de numere reale0

nn

u si 0n

nv sunt absolut convergente, avand sumele s

respectiv t, atunci seria produs (in sens Cauchy) este absolut convergenta avand suma st.

In finalul paragrafului, ne vom ocupa de serii de functii. Fie ( )n n

f un sir din Hom (A, E1), unde

A X si ( , )X d spatiu metric, in timp ce 1( , . )E este un spatiu Banach. Considerand sirul sumelor

partiale ( )n n

s (1

n

n k

k

s f=

= ), perechea formata din sirurile ( )n nf si ( )n ns se numeste serie de functii si senoteaza

0

n

n

f

. Seria de functii0

n

n

f

converge punctual catre functia fdaca sirul sumelor partialeconverge punctual la f. O serie de functii este uniform convergenta pe A1 A daca sirul sumelorpartiale converge uniform peA1.

In cazul seriilor de functii, criteriul lui Cauchy de convergenta uniforma afirma ca seria de functii

0

n

n

f

este uniform convergenta pe A1 daca si numai daca > 0, n0 ( ), astfel incat pentru n, m

n0, cu m > n,sa avem 1( ) ... ( )n mf x f x + + + < xA1.Propozitia 4.1.6. (criteriul lui Weierstrass) Fiind data A X, sa consideram seria

0

n

n

f

, cu

fn : A E1. Daca exista o serie cu termeni pozitivi0

n

n

a

, convergenta si cu proprietatea ca exista

n0N, astfel incat n 0n , ( )n nf x a< , xA, atunci0

n

n

f

este absolut si uniform convergenta.

exemplu:2 2

0

1

n n x + este absolut si uniform convergenta pe R, deoarece 2 2 2

1 1

n x n 0, astfel incat nN avem1

( )n

kk

f x=

M,

x A. Fien

: A [0, ), n N, cu proprietatea ca oricare ar fi x A sirul ( ( ))n n

x este

descrescator, iar sirul de functii (n

)n converge uniform pe A la functia identic nula. Atunci seria de

functii0

n n

n

f

este uniform convergenta.Corolarul, ce rezulta imediat din criteriul lui Abel, este criteriul lui Leibniz de convergenta uniforma a

seriilor alternate de functii.

Corolar. Fie1

0

( 1)n

n

n

+

, unde functiile n : A [0,), n N, au proprietatea ca, oricare ar fix A, sirul ( ( ))

n nx este descrescator, iar sirul de functii ( )

n n converge uniform pe A la functia

identic nula. Atunci seria de functii1

0

( 1)n

n

n

+

este uniform convergenta peA.

exemplu: Seria 2

0

1( 1) ( )n

n

x xn

+ este uniform convergenta pe R, deoarece sirul cu

termenul general ( )n

x =2 1

x xn

+ este monoton descrescator si cum 21

x xn

+ 1

n, avem

n

u

pe R.

Daca (an)n este un sir de numere reale si x0R, seria 00

( )n

n

n

a x x

, undexR,se numeste seriede puteri. Seriile de puteri sunt serii de functii, functiile

0( ) ( )n

n nf x a x x= fiind definite R. In cele ce

urmeaza vom arata ca o serie de puteri este absolut convergenta in interiorul unui interval deschis de

centru x0 si cu o anumita raza R, i.e. (x0 -R, x0 +R) (R se numeste raza de convergenta a seriei) si este

divergenta pe complementara aderentei intervalului de convergenta.

Propozitia 4.1.7. Pentru seria de puteri 00

( )n

n

n

a x x

consideram: lim n nn

a

= si

1, 0

, 0

0,

R

>

= = =

.

Atunci seria este absolut convergenta pentru 0x x R.exemple:

1.0

,n n

n

n x

R = 0;

2.1 !

n

n

x

n , R = ;

3.0

n

n

x

,R = 1 -seria este divergenta pentru x = 1, deoarece termenul general nu converge la zero.Este natural sa studiem convergenta uniforma a seriilor de puteri.

Propozitia4.1.8. Fie seria de puteri 00

( )n

n

n

a x x

, cu raza de convergentaR.1. Daca R < +, seria converge uniform pe [x0 R + ,x0 +R - ], 0 > ,2. Daca R = +, seria converge uniform pe [x0 R0, x0 +R0], R0 R.

Probleme.

1. Sa se stabileasca, cu ajutorul definitiei, natura seriilor urmatoare:

a) 2 21

2 1

( 1)n

n

n n

+

+ ; b) 13 2

6

n n

nn

+

;: c) 11

lnn

n

n

+

; d) 1 ,n

n

n

1

> .


6/7

R. d)

1

2

( 1)

(1 )

n

n n

n ns

+ + +=

seria este convergenta si s =

2(1 )

.

2. Stabiliti natura seriilor urmatoare, folosind criteriile de comparatie:

a)1

sin

2n

n

; b)

21

3

1n

n

n> ; c)

1

1

n

n n

n

+

; d)

1

11

( 1)n

nn

n

n

+

+

; e).

1

1

nn n n;

f) 1 + 3

2

(2 ),(2 )...(2 )n

n

e e e

; g)0

1

2n

n n + ; h)

0

1

(0,2)n

n n + ;

3. Studiati, cu ajutorul criteriului raportului, natura seriilor urmatoare:

a)0 ( 1)!n

n

n + ; b)

2

1

( !)

(2 )!n

n

n ; c)

1

, 0n

n

n a a

> ; d)1

( . )

!

n

n

a n

n .

4. Studiati natura seriilor urmatoare, folosind criteriul Raabe-Duhamel:

a)1

(2 1)!!

(2 )!!n

n

n

; b)1

(2 1)!! 11

(2 )!! 2 1n

n

n n

+

+ .

5. Stabiliti natura seriilor urmatoare, folosind criteriul radacinii:

a)

2

1

1

4

n

nn

n

n

+ ; c)

1

11

n

n

n

an

+ , a > 0; c)

2

21

1n

n

n na

n

+ +

, a > 0.

6. Sa se arate ca seria3

2

( 1)

lg

n

n n

este convergenta si sa se determine numarulde termeni ce trebuie insumati pentru a obtine suma seriei cu trei zecimale exacte.

R. Vom obtine1010 1n > , ceea ce arata ca seria converge lent.

7. Stabiliti natura seriei 1n( 1)...( 1)

!

n

n

+, R \N.

R.1

1

n

n

x n

x n

+ =+

, ceea ce implica utilizarea criteriului Raabe-Duhamel in studiul convergentei

absolute. Avem:1

lim 1n

nn

xn

x +

=

( 1)limn

n

n

+

= +1, deci pentru 0 seria este absolut

convergenta. Pentru < 0, scriind: ( 1)nn

x = ( )(1 )...( 1)!

n

n

,avem o serie alternata.

Notand:n

a =( )(1 )...( 1)

!

n

n

, observam ca pentru -1 s irul ( )

n na R+ este crescator,

limita sa fiind astfel nenula, deci seria este divergenta. Pentru (-1, 0), sirul ( )n na este descrescatorsi marginit inferior, deci convergent. Pentru a arata ca lim 0

nn

a

= determinam un sir (bn)n , astfel incat:

1 2 ... nn

b b ba

n

+ += ,rezultand ca limn

bn = limn

an. Avem: bn = n an - (n - 1) an-1 = (-) an-1 ,ceea ce

implica lim 0n

na

= . Conditiile criteriului lui Leibniz fiind indeplinte seria este semiconvergenta .

8. Sa se arate ca seriile 1 +

1

11

3 12

2 2

n

n

nn

+

+ si 1 -

1

3

2

n

n

sunt divergente, dar produsul lor insens Cauchy este o serie convergenta.

R.0

3.

4

nn

n k n k k

c a b =

= =

.

9. Sa se determine multimea de convergenta pentru urmatoarele serii de functii:


7/7

a)1

1n

n

n

n

+ 1

1 2

nx

x

, x1

2 ; b)

1

sinn

n

x

n

,xR; c)

2

22

( 1) 1

ln 1

nn

n

x

n x

+ .

10. Stabiliti multimea de convergenta a urmatoarelor serii de puteri si calculati suma lor:

a)

1

1 ( 1)

nn

n

x

n

+

; b)2 1

0 ( 1) 2 1

nn

n

x

n

+

+ ; c) 1+ 0( 1)...( 1)

!

n

n

n

xn

+

Documents

4. Serii in Spatii Banach