Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

4. Szűrés frekvenciatérben

Kató Zoltán

Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék

SZTE

(http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Unitér transzformációk

• Az unitér transzformációk olyan lineáris, invertálható

transzformációk véges dimenziós térben, ahol a

transzformációs kernel ortogonális és igazak az alábbi

egymással ekvivalens megállapítások (U unitér

transzformáció):

UU∗T = I, azaz U inverze komplex konjugáltjának transzponáltja;

Normatartó: ⟨f|g⟩ = ⟨Uf|Ug⟩, ahol f és g képfüggvények a véges

dimenziós tér elemei, ⟨:|:⟩ pedig a skaláris szorzatot jelöli;

U oszlopai és sorai orthonormált bázist alkotnak.

• Képfeldolgozásban gyakori unitér transzformációk:

Fourier,

cosinus,

Hadamard,

Haar, …

2

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Fourier transzformáció

• Minden függvény felírható

különböző frekvenciájú sin

és cos függvények (végtelen)

súlyozott összegeként.

Ennek matematikai eszköze a

Fourier-transzformáció.

3

∑ =

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Fourier transzformáció

• A Fourier transzformáció a képfeldolgozásban

leggyakrabban használt unitér transzformáció:

Felbontás hullámfüggvényekre

Az eredeti f(x) függvény (jel) frekvenciáit reprezentálja

Minden w ϵ (0,..,∞)-ra F(w) a megfelelő hullámfüggvény A

amplitúdóját és f fázisát adja F(w) komplex

4

f(x) F(w) Fourier

Transzformáció

F(w) f(x) Inverz Fourier

Transzformáció

)()()( www iIRF

22 )()( ww IRA )(

)(arctan

w

wf

R

I

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Komplex számok

5

a = |z|·cos(f )

b = |z|·sin(f )

valós

képzetes

1 -1

i

-i

b

a f

z

z = Re(z) + Im(z)·i

= a + b·i

= |z|·cos(f ) + |z|·sin(f )·i

= |z|· (cos(f ) + i·sin(f ))

= |z|·eif

valós rész képzetes rész

magnitúdó fázis

a

b

baz

i

arctan

||

1

22

2

f

imaginárius egység

abszolút érték

fázis szög

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

1D cos hullámfüggvény

6

f

tAtf

2cos)(

1/λ – frekvencia (Hz)

A - amplitúdó

λ - hullámhossz

f - fázis eltolás

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

dXeXFxf

dxexfXF

ixX

ixX

2

2

)()(

)()(

),(1 Lf

(inverz trafó)

(folytonos)

bázis-függvények

1D (folytonos) Fourier transzformáció

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

dXdYeYXFyxf

dydxeyxfYXF

yYxXi

yYxXi

)(2

)(2

),(),(

),(),(

bázis-függvények

2D (folytonos) Fourier transzformáció

• A skaláris szorzat nem más, mint

a bázisfüggvényekkel vett hasonlóság mértéke, vagy

a bemeneti függvény vetülete a bázisfüggvényekre

• A teljes 2D síkon vett integrálok!

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

2D cos hullámfüggvény

• Síkhullámok

θ – orientáció (a síkban milyen irányban futnak a hullámok)

Amplitúdó ~szürkeárnyalat

9

orientation

A

q

f = fázis eltolás

1)cossin(

2cos

2),( fqq

yx

Ayxf

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

2D cos hullámfüggvény

• Orientáció és fáziseltolás

10

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Diszkrét Fourier transzformáció (DFT)

• A digitális képek csak véges tartományon értelmezettek

A síkon vett integrál helyett véges szumma

A DFT eredménye a bemeneti képpel megegyező méretű

komplex értékű diszkrét függvény (kép) lesz

11

1

0

1

0

)//(2

1

0

1

0

)//(2

),(),(

1,...,1,0 ,1,...,1,0

),(1

),(

R

u

C

v

CyvRxui

R

x

C

y

CyvRxui

evuFyxf

CvRu

eyxfCR

vuF

1,...,1,0 ,1,...,1,0 ),( CyRxyxf

(inverz trafó)

RxC méretű kép)

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

2D Fourier bázis függvények

12

u=0, v=0 u=1, v=0 u=2, v=0 u=-2, v=0 u=-1, v=0

u=0, v=1 u=1, v=1 u=2, v=1 u=-2, v=1 u=-1, v=1

u=0, v=2 u=1, v=2 u=2, v=2 u=-2, v=2 u=-1, v=2

u=0, v=-1 u=1, v=-1 u=2, v=-1 u=-2, v=-1 u=-1, v=-1

u=0, v=-2 u=1, v=-2 u=2, v=-2 u=-2, v=-2 u=-1, v=-2

u

v

hullámhossz:

22/1 vu

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

13

FFT: M·log2M

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

2100

2200

2300

2400

2500

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 M

DFT: M2

Gyors Fourier transzformáció

(Fast Fourier Transform-FFT)

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Diszkrét Fourier transzformáció

• A DFT a képet nem síkban tekinti, hanem egy tórusz

felületén!

végesből “végtelen”

14

The BoingBoing Bloggers

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Koordináta rendszerek

• A kép koordinátarendszer origója a bal felső sarokban

van

• A Fourier síkon az origó középen van

15

f Re(F) Im(F)

u

v

u

v

x

y

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Egy kép Fourier transzformáltja

• Valós és képzetes rész helyett többet mutat a

magnitúdó és fázis

A magnitúdó a szélek felé gyorsan elenyészik logaritmikus

skálán jelenítjük meg

16

f log(|F|2+1) [F]

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

A Fourier sík pontjai

17

Ez a pont ezt a hullámot reprezentálja

x

y

θ = a hullámfelület iránya, ha négyzetes a kép.

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Egy pont és a hullámok közötti összefüggés

18

θ = a hullámfelület iránya, ha négyzetes a kép.

|F|

[F]

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Egy pont és a hullámok közötti összefüggés

• Egy R×C kép esetén a DFT

(u,v) pontja megadja a

hullámfüggvény

ismétlődésének számát az adott

irányban.

A sor és oszlop irányú

hullámhossz (pixelben):

A hullámfront irányában pedig:

A frekvencia ezek inverze lesz

A hullámok iránya pedig a

alapján számolható:

19

-v irány

u irá

ny

-θ irá

ny

(0,0)

(digitális kép esetén)

sor frekvencia ──────────── oszlop frekvencia

v

R

u

Cvu ,

22

v

R

u

C

uR

vCarctanq

θ = a hullámfelület iránya, ha négyzetes a kép.

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Méret és frekvencia közötti összefüggés

• Ha ΔxΔy egy objektum kiterjedése a képtérben és ΔuΔv

a Fourier térben, akkor közöttük az alábbi összefüggés

áll fent:

• Egy kis méretű képelem

nagy kiterjedésű lesz a

Fourier térben és

fordítva.

20

FT

space frequency

FT

space frequency

216

1

vuyx

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Koordináták és irányok a Fourier síkon

• Mivel a képen a sorok lefelé, az oszlopok pedig jobbra

nőnek, a Fourier síkon a szögek fordítottan állnak

21

increasing rows

increasing cols

(+r,+c) (+r,-c)

(-r,-c) (-r,+c)

q < 0

q < 0

decreasing rows

decreasing cols

(+r,+c) (+r,-c)

(-r,-c) (-r,+c)

q > 0

q > 0

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Impulzusok képi megfelelője

• A lehető legnagyobb frekvenciájú vízszintes irányú

hullám (C páros)

22

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Impulzusok képi megfelelője

• A lehető legnagyobb frekvenciájú függőleges irányú

hullám (R páros)

23

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Impulzusok képi megfelelője

• A lehető legnagyobb frekvenciájú vízszintes+függőleges

irányú hullám (C és R páros)

24

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Impulzusok képi megfelelője

• A lehető legalacsonyabb frekvenciájú vízszintes irányú

hullám

25

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Impulzusok képi megfelelője

• A lehető legalacsonyabb frekvenciájú függőleges irányú

hullám

26

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Impulzusok képi megfelelője

• A lehető legalacsonyabb frekvenciájú negatív átlós

irányú hullám

27

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Impulzusok képi megfelelője

• A lehető legalacsonyabb frekvenciájú pozitív átlós

irányú hullám

28

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Impulzusok képi megfelelője

• (u,v)=(3,3) frekvencia esetén a korábban megismert

képletek alapján kapjuk a hullám λ hullámhosszát és θ

irányát

29

q

q

q

q

512 oszlop

38

4 so

r

3

1213

3

384

3

5122222

v

R

u

C

533843

5123arctanarctan

uR

vCq

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

A Fourier transzformáció tulajdonságai

30

kép-tér

frekvencia-tér

eredeti elforgatás linearitás eltolás skálázás

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Fourier transzformáció tulajdonságai

31

Képtér (x) Frekvencia tartomány (u)

Linearitás xgcxfc 21 uGcuFc 21

Skálázás axf

a

uF

a

1

Eltolás 0xxf uFeuxi 02

Szimmetria xF uf

Konjugált xf uF

Konvolúció xgxf uGuF

Differenciálás n

n

dx

xfd uFui

n2

( ) frekvenciával vannak levezetve uxie 2

A fenti összefüggések az

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

• Konvolúciós tétel:

Konvolúció a képtérben szorzás a frekvencia tartományban

Konvolúció és Fourier transzformáció

32

hfg

dxexguG uxi 2

dxdexhf uxi 2

dxexhdef xuiui 22

'' '22 dxexhdef uxiui

Ha

akkor

uHuF

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Konvolúció és Fourier transzformáció

33

hfg FHG

fhg HFG

Képtér (x) Frekvencia tartomány (u)

Tehát g(x)-t előállíthatjuk Fourier transzformációval:

g f h

G F H

FT FT IFT

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Konvolúció Fourier térben

34

* =

= ·

pontonkénti szorzás

konvolúció

Fourier tr. inverz Fourier tr.

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Ideális aluláteresztő szűrő

• D0: levágási frekvencia, ahol H=1-ből H=0-ba megy át

• D0-nál kisebb frekvenciákat változtatás nélkül átereszti,

míg a többit elnyeli.

• Erős simító hatás

• Alkalmazási lehetőségek: zajszűrés

35

különben ,0

)(ha,1),(

2

0

22 DvuvuH ILPF

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Ideális aluláteresztő szűrő

36

a szűrőfüggvény

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Ideális aluláteresztő szűrés

37

F

F-1

. kiindulási kép

frekvencia-

maszk

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Ideális aluláteresztő szűrés

• Tesztkép és Fourier transzformáltja

38

a rárajzolt körök sugarai: 230, 80, 30, 15, 5

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Ideális aluláteresztő

szűrés

39

eredeti 5

15 30

80 230

levágási frekvenciák

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Ideális felüláteresztő szűrő

• D0-nál nagyobb frekvenciákat változtatás nélkül

átereszti, míg a többit elnyeli.

• csak a nagy frekvenciájú komponensek maradnak a

képben (pl. él, zaj)

• Alkalmazási lehetőség: él detektálás

40

különben ,1

)(ha,0),(

2

0

22 DvuvuH IHPF

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Ideális felüláteresztő szűrés

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Ideális felüláteresztő szűrés

42

kiindulási

kép

frekvencia-

maszk

F

F-1

.

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Alul- és felüláteresztő szűrőpárok

43

),(1 ),( vuLPFvuHPF

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Ideális sáváteresztő szűrő

44

csak a (D1,D2) sávba tartozó frekvenciákat engedi át, a többit elnyeli

különben ,0

)( ha ,1),(

2

2

222

1 DvuDvuH IBPF

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Ideális sávszűrés

45

zajos

kép

frekv.

maszk

frekv.

kép

szűrt

kép

1

0

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Ideális szűrő ≠ ideális eredmény

• Éles vágási frekvencia gyűrűsödést idéz elő a képtérben

46

IFT

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Ideális szűrő ≠ ideális eredmény

• Ideális aluláteresztő szűrőt alkalmazva az eredmény

“szellemképes” lesz:

47

Ideal LPF

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Optimális szűrő a Gauss szűrő

• A lehető legélesebb frekvenci-vágás szellemkép nélkül

• Gauss szűrő

48

IFT

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Isotropikus 2D Gauss szűrő

49

0

22

2

22

2

2

)(exp),(

2

)()(exp

2

1),(

D

vuvuH

yxyxg

GLPF

x

y

R = 512, C = 512

= 257, = 64

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Aluláteresztő Gauss szűrő

• Simítás gyűrűsödés nélkül

50

Gaussian LPF

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Aluláteresztő Gauss szűrés

51

kiindulási kép Gauss frekvencia-maszk szűrt kép

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Gauss aluláteresztő

szűrés

52

eredeti 5

15 30

80 230

levágási frekvenciák

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Gauss felüláteresztő szűrő

53

Fourier tartomány Képtér Szűrő függvények

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Gauss sáváteresztő szűrő

54

Fourier tartomány Képtér Szűrő függvények

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Butterworth szűrők

• Gauss szűrő diszkrét közelítése

Aluláteresztő Butterworth szűrő

Felüláteresztő Butterworth szűrő

55

nBLPF

D

vu

vuH2

0

22

1

1),(

nBHPF

vu

DvuH

2

22

01

1),(

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Adott frekvenciájú zaj szűrése

• A Fourier tartomány elemzésével azonosíthatjuk a

nemkívánatos frekvenciákat

• Majd ezeket kimaszkolva előállítjuk a szűrt képet

56

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

57

kiindulási, frekvencia, szűrt frekvencia, eredmény

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

58

kiindulási, frekvencia, inverz maszk, eredmény

Kató

Zo

ltá

n:

Dig

itáli

s K

ép

feld

olg

ozás (

Teh

ets

ég

go

nd

ozó

pro

gra

m)

Felhasznált anyagok

• Palágyi Kálmán: Digitális Képfeldolgozás

/pub/Digitalis_kepfeldolgozas

• Trevor Darrell: C280, Computer Vision

http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/academic/class/15385-

s06/lectures/ppts/

• Richard Alan Peters: EECE/CS 253 Image Processing

http://www.archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing

• További források az egyes diákon megjelölve

59