4.2 态和算符的表象表示

1 2

1( )

(2 )

ip x

p x e

在量子力学中，态和力学量的具体表达方式称为表象。 假设体系的状态在坐标表象中用波函数 来描述，前面已经介绍过动量的本征函数为

( , )x t

（ 4.2.1 ）

( , ) ( , ) ( )px t C p t x dp *( , ) ( , ) ( )pC p t x t x dx

且

其中

（ 4.2.2 ）（ 4.2.3 ）

从前面的讨论知道： 是在 所描述的态中在 范围内测量粒子位置的几率；同样 是在 所描述的态中在 范围内测量粒子动量的几率。 和 描述同一个状态， 是这个

( , )x t2( , )x t dx

x x dx 2

( , )C p t dpp p dp ( , )x t

( , )x t ( , )C p t ( , )x t

4.2 态和算符的表象表示

状态在坐标表象中的波函数， 是同一个状态在动量表象中的波函数。

( , )C p t

1. 态的表象表示

本征函数是 。量子态 总可按 的本征函数系展开，得

以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表

象。以一维的 坐标为例。算符 的本征方程是x x ( ) ( )x x x x x x （ 4.2.

4 ）

（ 4.2.5 ）

( )x x

( ) ( ) ( )x x x x dx

( )x x

展开系数 就是该量子态在 表象的表示，即波函数。( )x x

（ 1 ）坐标表象

4.2 态和算符的表象表示

（ 2 ）动量表象

（ 4.2.6 ）

以动量算符的本征函数为基底构成的表象称为动量表象。其本征态为

1 2

1( )

(2 )

ip x

p x e

1 =

(2 1 2

( , ) ( , ) ( )

( , ))

p

ip x

x t C p t x dp

C p t e dp

（ 4.2.7 ）

将量子态 按 展开：( )x ( )p x

展开系数 就是动量表象中的波函数。( , )C p t

4.2 态和算符的表象表示

（ 4.2.8 ）

动量表象也可以用动量为自变量表示( )* 1

( ) ( ) ( ) ( )2p

ip p

pC p x x dx e dx p p

所以，在动量表象中，粒子具有确定的动量 的波函数是以动量 为变量的 函数。

p

p （ 3 ） 任意表象 设有某一线性厄米算符 。假定算符 具有分离本征值谱。它的本征方成为

（ 4.2.9 ）

Q Q

( ) ( )n n nQ r Q r

（ 4.2.10 ）

将波函数 按 算符得正交归一本征函数系 展开( , )r t Q { ( )}n r

( , ) ( ) ( )n nn

r t a t r

由此可知， 是在 所描述的态中，力学量 具有确定值 的几率。它具有和 统计解释完全相同的几率解释。因此，我们可以用一组系数 代替 来描述该状态，将系数 写一个列矩阵，则

2( )na t ( , )x t Q

nQ ( , )x t{ ( )}na t ( , )x t

1 2( ), ( ), , ( )na t a t a t

（ 4.2.12 ）

（ 4.2.10 ）

设 和 都是归一化的，那么就有( , )x t ( )n x

=

=

=1

2 * *

,

*

,

*

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

m n m nn m

m n mnn m

n nn

x t dx a t a t x x dx

a t a t

a t a t

4.2 态和算符的表象表示

( , )x t

( , )x t

( , )x t

式中 *( ) ( , ) ( )n na t x t x dx （ 4.2.11 ）( , )x t

4.2 态和算符的表象表示

在 表象中的表示为( , )x t Q

= 1 2

1

2 * * * *

( )

( )( ), ( ), , ( )

( )

n

n

a t

a ta t a t a t

a t

（ 4.2.13 ）

归一化条件： * ( ) ( ) 1n nn

a t a t （ 4.2.14 ）

如果力学量 除具有分立本征值 外还具有连续本征值 对应的归一化波函数是

Q 1 2, , , nQ Q Q q

1 2( ), ( ), ( ), ( ),n qx x x x

则 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )n n q qn

x t a t x a t x dq （ 4.2.15 ）

( , )x t

表示在 中测量力学量 所得结果在 之间的几率。

4.2 态和算符的表象表示

( , )x t

式中 *( ) ( , ) ( )q qa t x t x dx 归一化条件 * *( ) ( ) ( ) ( ) 1n n q q

n

a t a t a t a t dq （ 4.2.17 ）

（ 4.2.16 ）

2( )qa t dq q q dq ( , )x t Q( , )x t

若算符 的本征值谱连续，则相应的表达式为

（ 4.2.18 ）（ 4.2.19 ）

Q

( , ) ( ) ( )x t a t x d *( ) ( , ) ( )a t x t x dx

* ( ) ( ) ( )x x dx （ 4.2.20 ）

波函数 在 表象中用相应的连续列矩阵表示。Q

4.2 态和算符的表象表示

从上面的讨论可知，同一个态可以在不同的表象中用波函数来描述，所取的表象不同，波函数的形式不同，物理意义不同。 总结上述，可以得出下列对应关系：I. 量子态 希尔伯特空间中的态矢量；

II. 波函数 态矢量在特定基底中的分量，可以用列矩阵或函数表示；

III. 任意算符 的本征函数系 表象的基底；

IV. 不同表象 不同基底，不同坐标系；

V. 本征函数 基矢；

VI. 厄米算符的本征函数系 一组完备的基矢。

Q Q

4.2 态和算符的表象表示

2. 算符的表象表示 前面我们讨论了态在各种表象中的表示，下面我们讨论算符在各种表象中的表示。 设算符 作用于波函数 后，得出另一波函

数 ，在坐标表象下记为：

( , )F x ix

( , )x t

( , )x t

( , ) ( , ) ( , )x t F x i x tx

（ 4.2.21 ）

我们来看这个方程在 表象中的表达式。先设 只有分离的本征值 ，对应的本征函数是 将 和 分别按 展开：

Q Q

1 2, , , nQ Q Q

1 2( ), ( ), ( ),nx x x ( , )x t ( , )x t ( )n x

4.2 态和算符的表象表示

利用 的正交归一性( )n x*

,( ) ( )n m n mx x dx （ 4.2.26 ）

（ 4.2.22 ）( , ) ( ) ( )m mm

x t a t x ( , ) ( ) ( )m m

m

x t b t x

( ) ( ) ( , ) ( ) ( )m m m mm m

b t x F x i a t xx

（ 4.2.23 ）

（ 4.2.24 ）

将（ 4.2.22 ）和（ 4.2.23 ）代入（ 4.2.21 ） 得：

上式两边左乘 再对 在整个区域内积分得：（ 4.2.25 ）

* ( )nx x

* *( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )n nm m m m

m m

b t x x dx x F x i x dxa tx

4.2 态和算符的表象表示

*( ) ( ) ( , ) ( ) ( )nm m m

m

b t x F x i x dxa tx

（ 4.2.27 ）得：

* ( ) ( , ) ( )nnm mF x F x i x dx

x

令

则 ( ) ( )n nm mm

b t F a t

（ 4.2.28 ）

（ 4.2.29 ）

上式就是（ 4.2.21 ） 在 表象中的表达式。 和 分别是 和 在 表象中的表示。 是算符 在 表象中的表示。这一组方程用矩阵形式写出为：

Q { ( )}ma t { ( )}nb t( , )x t ( , )x t Q

nmF F

11 12 11 1

21 22 22 2

1 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

m

m

n n n nm n

F F Fb t a t

F F Fb t a t

b t F F F a t

（ 4.2.30 ）

4.2 态和算符的表象表示

（ 4.2.31 ）

所以，算符 在 表象中是一个矩阵，它的矩阵元是 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，现在我们来看厄米算符在 表象中的矩阵表示有什么特点。

F Q nmF

Q

由 * *( )F dx F dx * * *( ){ ( )} ( ) ( )

mmn nm n m n mnF F x F x dx x F x dx F （ 4.2.32 ）

上式表明， 矩阵的第 列第 行的矩阵元等于第 列第 行矩阵元的复共轭，此即厄米矩阵。所以，表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。

F m n n m

现在要问：算符在自身表象中的矩阵表示又取什么形式？

4.2 态和算符的表象表示

上式表明，算符在自身表象中是一个对角矩阵。

是算符 的本征函数，则：

（ 4.2.33 ）m n,m

=

=Q

*

*

( ) ( , ) ( )

( ) ( )

nm n m

n m m

Q x Q x i x dxx

x Q x dx

( )n x Q

如果 只具有连续分布的本征值 ，上述讨论仍然成立，只是 、 、 的脚标由可数的 、 换成连续变化的 ，所有的求和要换为对 的积分，算符 在 表象中仍旧是一个矩阵，矩阵元为：

Q q a b nm

q q Q Q

* ( ) ( , ) ( )qq q qF x F x i x dxx

（ 4.2.34 ）

例如，在坐标表象中 的矩阵元为F

=

" "( ) ( , ) ( )

( , ) ( )

xxF x x F x i x x dxx

F x i x xx

（ 4.2.35 ）

4.2 态和算符的表象表示

如果 既有分立的本征值，又有连续分布的本征值，那么在 表象中，算符得矩阵元既具有可数的行和列（对应分离本征值部分），又有用连续的变化的下标来表示的行和列（对应连续本征值部分）。

FQ

在动量表象中 的矩阵元为：* ( ) ( , ) ( )pp p pF x F x i x dx

x

（ 4.2.36 ）

F