Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-1

4.2 SEGMENTIRANJE KRIVULJE– povezivanje segmenata uz očuvanje kontinuiteta na spojevima segmenata C0,

C1, C2 ... http://www.ibiblio.org/e-notes/VRML/Anim/FlyDemo.wrl• http://www.theparticle.com/applets/nyu/BezierApplet/

– korištenje crtaće letvice http://www.ibiblio.org/e-notes/VRML/Anim/Morph.wrl

• letvica se učvrsti i optereti utezima tako da postigne željeni oblik• crtač zatim iscrta krivulju• letvica zauzme položaj (formira krivulju) minimalne potencijalne energije

letvica se savija po zakonu progiba opterećene grede:

mostimoment troti,elastičnosmodulYungovgredu na djeduje kojimoment

funkcijukubnu dati će rješenje

−−−

=⇒=

IEM

dxIE

MydIE

Mdx

yd 222

2

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-2

• http://www.cs.princeton.edu/~min/cs426/classes/bezier.html

• http://www.cs.brown.edu/

• http://i33www.ira.uka.de/applets/mocca/html/noplugin/curves.html

• http://www.ddt.pwp.blueyonder.co.uk/evgeny/Intro/Inter.htm

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-3

4.2.1. B - KRIVULJA B - elastična krivulja ima svojstvo elastične letvice (“spline”)

- kontinuitet je postignut dijeljenjem kontrolnih točaka između više segmenata- prirodni splajn se može prikazati kao težinska suma baznih funkcija

– APROKSIMACIJSKA B-KRIVULJA• k stupanj krivulje (broj kontrolnih točaka ne utječe na stupanj)

• ri kontrolne točke - ukupno ih ima n+1

• Ni,k bazne (težinske) funkcije - polinomi stupnja k

• ui vrijednosti uzlova (engl. knot values)

• UKNOT = {ui} vektor uzlova

( ) ( )uNrup ki

n

ii ,

0∑=

=rr

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-4

Određivanje baznih funkcija

• Ako je nazivnik jednak nuli vrijednost razlomka je nula.

• Uzlovi mogu biti višestruki.

• ui+1 - ui = konst. Krivulja se naziva UNIFORMNA krivulja.

Inače krivulja je NEUNIFORMNA.

( ) <≤

= +

einačuuuza

uN iii

10, 0

1

( ) ( ) ( )uNuuuuuN

uuuuuN ki

iki

kiki

iki

iki 1,1

11

11,, −+

+++

++−

+ −−

+−−

=

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-5

Vektor uzlova • veza između broja točaka stupnja krivulje i vektora uzlova

• n + 1 - broj kontrolnih točaka

• k - stupanj krivulje

• m + 1 - broj vrijednosti u vektoru uzlova

• broj segmenata krivulje

broj segmenata krivulje = n - k + 1= m - 2k

• specijalan slučaj m - 2k - 1 = 0 KRIVULJA BEZIERA

(preko Bernsteinovih polinoma)

( ) ( ) ( )

−−−−=

+−−+444 3444 21444 3444 2143421

1121

2..212..3210..00kkmk

KNOT kmkmkmU

1++= knm

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-6

* PRIMJER

Neperiodička kvadratna B-krivulja određene je sa šest kontrolnih točaka.

Odrediti segmente krivulje.

• k = 2

• n + 1 = 6

• m = n + k +1 = 8

1. Korak:

=

+−−+434214342143421

1

876

12

543

1

210

444321000kkmk

KNOT

uuuuuuuuuU

( ) ( )uNrup ii

i 2,

5

0∑=

=rr

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]40,740,6

4,30,53,20,4

2,10,31,00,2

00,100,0

11

11

11

11

==

==

==

==

NN

NN

NN

NN

u

N

N2, 0 N3, 0 N4, 0 N5, 0

0 431 2

1

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-7

2. Korak:

[ ]

( ) [ ]

[ ]( ) [ ]

( ) [ ] ( ) [ ]

( ) [ ] ( ) [ ]

( ) [ ] ( ) [ ]

( ) [ ]41,6

44,31,5

4,33,21,4

3,22,11,3

2,11,0

0,334

40,2

23

21,2

1,00,223

30,1

12

11,1

00,112

20,0

01

01,0

4

43

42

31

2

1

0

−=

−+−=

−+−=

−+−=

−+=−−

+−−

=

−=−−

+−−

=

=−−

+−−

=

uN

uuN

uuN

uuN

uuNuuuuN

uuuuN

uNuuuuN

uuuuN

NuuuuN

uuuuN

( ) ( ) ( )uNuuuuuN

uuuuuN i

ii

ii

ii

ii 0,1

12

20,

11, +

++

+

+ −−

+−−

=

u

N N2, 1 N3, 1

0 431 2

N1, 1

=

+−−+434214342143421

1

876

12

543

1

210

444321000kkmk

KNOT

uuuuuuuuuU

1N4, 1 N5, 1

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-8

3. Korak:

( ) ( ) ( )uNuuuuuN

uuuuuN i

ii

ii

ii

ii 1,1

13

31,

22, +

++

+

+ −−

+−−

=

( )[ ]

( ) [ ]( )

[ ]

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

[ ] [ ]

( )[ ]3,2

2

2,1

2

1,0

2

2,2

2,1

2

1,0

2,1

2

1,01,01,2

24

41,1

13

12,1

1,0

21,1

13

31,0

02

02,0

23

2362

2

2234

2

22

221

1

uuuuN

uuu

uuuuuNuuuuN

uuuuN

uNuuuuN

uuuuN

−+

−+−+=

−+−=

−+

−+−=

−−

+−−

=

−=−−

+−−

=

=

+−−+434214342143421

1

876

12

543

1

210

444321000kkmk

KNOT

uuuuuuuuuU

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-9

( )[ ] [ ]

( )[ ]

( )[ ] [ ]

( )[ ]4,3

22,5

4,3

2

3,2

2

2,4

4,3

2

3,2

2

2,1

2

2,3

3

161023

22

24

211102

21

−=

−+−+

−=

−+

++−+

−=

uN

uuuN

uuuuN

u

NN1, 2

N2, 2 N4, 2

N5, 2

0 431 2

N0, 2 N3, 2

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-10

Određivanje segmenata krivulje:

( ) ( )uNrup ii

i 2,

5

0∑=

=rr

( )uNi 2, [0, 1] [1, 2] [2, 3] [3, 4]

0rr

122 +− uu

1rr

uu 223 2 +− 22

21 2 +− uu

2rr

2

2u2332 −+− uu

293

21 2 +− uu

3rr

21

21 2 +−uu

21152 ++− uu 84

21 2 +− uu

4rr

2221 2 +− uu 1610

23 2 −+− uu

5rr

962 +− uu

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-11

Parametar u mijenja se od 0-1, 1-2, 2-3, 3-4

Segment 1: u ∈ [0, 1]

Segment 2: u ∈ [1, 2] Reparametrizacija u=t+1, t ∈ [0, 1]:

( ) [ ]

−

−−

−

=

3

2

12

2

21

232

132211

21

1rrr

uuupr

r

r

r ( ) [ ]

−

−

=

3

2

12

2

021

21

011211

21

1rrr

tttpr

r

r

r

( ) [ ]

−

−

=

2

1

02

1

00102221

231

1rrr

uuupr

r

r

r

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-12

Segment 3: u ∈ [2, 3] Reparametrizacija u=t+2, t ∈ [0, 1]:

Segment 4: u ∈ [3, 4] Reparametrizacija u=t+3, t ∈ [0, 1]:

n-3k+3=2 periodička segmenta segmenti 2 i 3 su isti!

( ) [ ]

−−

−

=

4

3

22

3

224

29

253211

21

1rrr

uuupr

r

r

r

( ) [ ]

−−−

−

=

5

4

32

4

91686104

123

21

1rrr

uuupr

r

r

r ( ) [ ]

−

−

=

5

4

32

4

021

21

011

123

21

1rrr

tttpr

r

r

r

( ) [ ]

−

−

=

4

3

22

3

021

21

011211

21

1rrr

tttpr

r

r

r

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-13

Periodički segment • Unutar neperiodičke B-krivulje stupnja k postoje periodički segmenti:

• kada je zadan veliki broj točaka središnji dio krivulje jednostavnije se može računati uporabom izraza za periodički segment

Npr: periodički segment kubne B-krivulje (k=3):

• broj periodičkih segmenata

1423 −≥−≥ kmilikn

2433 +−+− kmilikn

( ) [ ]

−−

−−

=

+

+

−

2

1

1

23

0141030303631331

611

i

i

i

i

i

rrr

r

ttttpr

r

r

r

r

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-14

Geometrijska svojstva

• Krivulja leži unutar konveksne ljuske kontrolnih točaka.

To je posljedica baricentrične kombinacije težinskih funkcija .

• i - ti segment je u konveksnoj ljusci pripadnih kontrolnih točaka

• k = 1 linearna interpolacija - krivulja je jednaka karakterističnom poligonu

• lokalni nadzor - pomak jedne točke utječe najviše na k+1 segment

• u uzlu krivulja ima neprekinutost Ck-q, q višestrukost uzla

• *** http://www.cs.utah.edu/~dav/curve_ed/

( ) 10

, =∑=

n

iki uN

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-15

• Krivulja prolazi kroz početnu i završnu točku

• Derivacije u početnoj i krajnjoj točki

( ) ( ) nkraj rprp rrrr== 1,0 01

Karakteristični poligon

0rr

1rr

2rr

3rr

4rr

5rr

u0 = u1 = u2 = 0

u3 = 1

u4 = 2u5 = 3

u6 = u7 = u8 = 4

( )up1r

( )up2r

( )up3r ( )up4

r

Konveksna ljuska p3

( ) ( ) ( ) ( )1

1

1

011 1

1,0−−

−

+ −−

=′−=′

km

nnkraj

k urrkp

urrkp

rrr

rrr

Konveksna ljuska

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-16

Oblikovanje krivulje • Višestruke kontrolne točke

• Višestruke vrijednosti uzlova

⇒ smanjenje kontinuiteta - krivulja se približava kontrolnim točkama

• Fantomske točke - dodaju se kolinearno s derivacijama u krajnjim točkama tako da krivulja prolazi tim točkama

• Poznate derivacije *** http://www.people.nnov.ru/fractal/Splines/None.htm

Višestrukost Kontrolne točke Uzla

1 C2 G2 C2 G2

2 C2 G1 C1 G1

3 C2 G0 C0 G0

4 C2 G0 diskontinuitet - odvojene točke

( )101 rrr rrr sa−

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-17

– INTERPOLACIJSKA B-KRIVULJA• k stupanj krivulje

• pi točke kroz koje želimo da krivulja prolazi - ukupno ih ima n +1

• ⇒ potrebno je odrediti točke kontrolnog poligona rj tako da krivulja prolazi točkama pi. Kada odredimo točke rj načinimo aproksimacijsku krivulju određenu točkama rj

rj Broj uvjeta:

Zatvorene periodičke krivulje j = 0 .. n - 1 nOtvorene neperiodičke krivulje j = 0 .. n + k - 1 n + k

Kod zatvorenih periodičkih krivulja krajnje točke se preklope spočetnima.Kod otvorenih periodičkih krivulja poznato je n +1 interpolacijskihtočaka i treba još k -1 dodatnih uvjeta.

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-18

* PRIMJER

Poznato je pet točaka. Odrediti kvadratnu interpolacijsku otvorenu

neperiodičku B-krivulju.

• k = 2

• poznato je 5 točaka kroz koje krivulja treba prolaziti

• treba nam još k-1=1 dodatni uvjet

– neka je dodatni uvjet derivacija u početnoj točki

• kontrolni poligon će imati 6 točaka 5..0=jrjr

1rr

2rr

3rr

4rr

5rr

0rr

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-19

Segment 1: u ∈ [0, 1]

Segment 2: u = 1 ili u reparametriziranom obliku t = 0:

( ) [ ]

( ) [ ] 10

0

3

2

0

1

0

0

2

1

02

1

2200102221

231

0120

00102221

231

10

rrrrr

up

rrrr

uup

rr

r

r

r

r

r

r

r

r

r

+−=

−

−

=′

=

−

−

=

( )22

0 212

rrprr

r+=

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-20

Segment 3:

Segment 4:

Svih 6 uvjeta zapisano matrično:

( )22

0 323

rrprr

r+=

( )

( ) 54

434

122

0

rp

rrprr

rrr

=

+=

( )( )( )( )( )( )

−

=

′

5

4

3

2

1

0

4

4

3

2

1

1

100000

021

21000

0021

2100

00021

210

000022000001

100000

rrrrrr

pppppp

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-21

U dobivenom sustavu potrebno je invertirati matricu (ili riješiti LU

dekompozicijom, Gaussovom eliminacijom) i odrediti točke ri

kontrolnog poligona.

Točke ri određuju kontrolni poligon tako da aproksimacijska krivulja

prolazi zadanim pi točkama.

Daljnje proširenje B-krivulja → NURBS• NeUniformne http://www.people.nnov.ru/fractal/Splines/Basis.htm

• Racionalne

• B-krivulje

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-22

SPLAJN CATMULL-ROMA

Kada želimo da krivulja glatko interpolira niz 3D točaka koje interaktivno zadajemo, možemo koristiti ovu interpolaciju.

- interpolira niz točaka P1 do Pm-1 na osnovi sekvence P0 do Pm.

Vektor tangente u točci Pi paralelan je s dužinom Pi-1 Pi+1.

Nema svojstvo konveksne ljuske.

P0

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

( ) [ ]

−−−

−−

=−

−

−

i

i

i

i

i

rrrr

ttttpr

r

r

r

r

1

2

3

23

002001011452

1331

211

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-23

4.3. POVRŠINE • promatramo geometrijsko mjesto točaka (trag) koji nastaje ako se

neka krivulja pomiče i istovremeno deformira u prostoru • segment površine čini krpicupovezivanje krpica uz ostvarivanje kontinuiteta duž spojeva

– C0 jednakost točaka krivulja duž spoja– C1 iste parcijalne derivacije (poprečno)– C2 zakrivljenost (poprečno)

POVRŠINA BEZIERA• ako koristimo krivulje Beziera - dobit ćemo krpicu Beziera• GENERATRISA - generira površinu• DIREKTRISA - krivulje koje određuju kako će generatrisa gibati kroz

prostor• http://www.ibiblio.org/e-notes/Splines/Surf.wrl

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-24

• površina je funkcija dva parametra u, v

• generatrise• direktrise

u

v00rr 01rr

02rr03rr

10rr

11rr

12rr 13rr

20rr30rr

21rr

31rr

22rr

32rr33rr

23rr

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-25

• prva i zadnja direktrisa zovu se glavne direktrise jer kontrolne točke generatrise leže na njima

• putanje vrhova kontrolnih poligona generatrise određuju direktrise⇒ direktrise ne leže na površini (osim glavnih direktirisa)

• stupanj krivulja određuje krpicu npr. bikvadratne, bikubične

*** http://www.cs.technion.ac.il/~cs234325/Homepage/Applets/applets/bezpatch/GermanApplet.html

( ) [ ]( )( )( )( )

=

τ

τ

τ

τ

vDvDvDvD

Muuuvup

3

2

1

0

23 1,r

Ž. Mihajlović, ZEMRIS, FER 4.2-26

• pojedine direktrise

• krpica površine

( ) [ ] ( ) [ ]

=

=

13

12

11

10

231

03

02

01

00

230 11

rrrr

MvvvvD

rrrr

MvvvvD

( ) [ ] ( ) [ ]

=

=

33

32

31

30

233

23

22

21

20

232 11

rrrr

MvvvvD

rrrr

MvvvvD

( ) [ ]

=

1

1,2

3

33323130

23222120

13121110

02020100

23

vvv

M

rrrrrrrrrrrrrrrr

Muuuvup τr