§4.5 (1) 单叶双 曲 面

解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，其主要内容可示意如下：

第一章点 坐标

轨迹 方程第二章

曲面 曲线 普通 参数

平面 与直线第三章

方程与关系

一般曲面 第四章 常见曲面和 二次曲面第五章 二次曲线的一般理论一般曲线

一、概念在空间直角坐标系中，由方程

)0,,(12

2

2

2

2

2

cbacz

by

ax

所表示的曲面，叫做单叶双曲面 , 此方程叫做单叶双曲面的标准方程 .

方程1

2

2

2

2

2

2

cz

by

ax 与 1

2

2

2

2

2

2

cz

by

ax

表示的曲面也是单叶双曲面.

二、性质 1. 对称性 中心 ： 坐标原点（ 1 个） ; 主轴 ： x 轴、 y 轴和 z 轴（ 3 条） ;

主平面： xOy 面、 yOz 面和 zOx 面（ 3个） . 2. 截距和顶点

x=0, y=0 → z 无解 , 则 z 轴上没有顶点；

x=0, z=0 → y = ±b, 则 y 轴上有顶点 :

z=0, y=0 → x = ±a, 则 x 轴上有顶点 : （ 0 ， ±b ， 0 ）（ 2 个）；

（ ±a ， 0 ， 0 ）（ 2 个） .

)0,,(12

2

2

2

2

2

cbacz

by

ax

3. 主截线

0

12

2

2

2

xcz

by

(1) : 双曲线实轴为 y 轴 , 虚轴为z 轴 ;

0

12

2

2

2

ycz

ax

: 双曲线 实轴为 x 轴 ,

虚轴为 z 轴;

(2)

(3)

0

12

2

2

2

zby

ax

: ( 腰椭圆） .

)1(2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

4. 平行截线

hzch

by

ax

2

2

2

2

2

2

1

hzchb

y

cha

x1

)1()1( 222

2

222

2

无论 h 取何值，此方程组总表示在平面 : hz 上的椭圆，它的两半轴为： 221 chb 与221 cha 此时椭圆的两轴端点（ ± ， 0 ，

h ）221 cha 与

（ 0 ， ± ， h ）

221 chb 分别在两条主截线（双曲线）上， 且所在平面与 腰椭圆平行 .

结论：单叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动其大小和位置而产生的，在变动中这个椭圆始终保持：所在平面平行于xOy 面，且两轴的端点分别沿着 yOz 和 zOx 面上的主截线（双曲线）滑动。

三、图形 根据以上讨论，可画出单叶双曲面的图形如下：

主双曲线（ yoz面）

腰椭圆（ xoy 面）

主双曲线

（ xoz面）

主双曲线

（ yoz面）主双曲线

（ xoz面）

腰椭圆

（ xoy面）

四、总结

单叶双曲面的图形可由一族椭圆生成，由这个无界的曲面可联想到宇宙的广袤。因此，在美国有一座天文馆，就建成单叶双曲面的形状，其设计师就是由彗星的椭圆、双曲线轨道联想到这幅探索宇宙空间的精美图画。这充分表现了设计者极高的数学素质和审美意识。“抽象的几何图形，一旦纳入审美的艺术范畴，会带来特殊的美感，因此，在观察几何图形时应重视美的联想。”（摘自“解析几何教学中的审美教育”，马世祥等，甘肃高师学报， 2005 ， Vol.10 NO.2 ）

作业： P165 习题 3,4,5.

已知轨迹求方程：

1. 求出 矢量式参数方程 ；

2. 写出 坐标式参数方程 ；

3. 转化 为普通方程 。

已知方程，求空间轨迹：

参数方程 数参数1. （一个参数为曲线，两个参数为曲面。）

2. 普通方程 看形式 （联立方程组为曲线， 单独一个方程 为曲面。）

.cos

,sinsin

,cossin

vtz

tvty

tvtx(0≤t <+)

表示空间曲线。只有一个参数 t,

1.

2.

.

,sin

,cos

vtz

tuy

tux

(<u<+, <t<+)

有两个参数 u 、 t,表示空间曲面。

;1

,022

xz

zyx1.

联立方程组的形式，表示曲线。

2. x=0

单独一个方程，表示曲面 （平面）。

判断： 6416 222 zyx（ 1）

（ 2）

0

0

y

x

图形 → 方程

旋转曲面锥面柱面

1. 常见曲面

方程 → 图形

抛物面双曲面椭球面

2. 二 次 曲面

(1) 对 称性

(3) 主 截线

(2) 顶点

(4) 平 行 截线