O r ing. VOJISLAV B E G 0 redovni profesor ElektrotehniEkog fakulteta SveuBiliita u Zagrebu UDZBENICI SVEUCILISTA U ZAGREBU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS U ELEKTROTEHNICI ~ETVRTO DOPUNJENO IZDANJE TEHNICKA KNIIGA ZAGREBP R E D G O V O R C E T V R T O M IZDANJU' Deset godina nakon prvog izdanja bilo je, evo, potrebno veC fetvrto izdanje ove knjige, Sto je potvrda da ie osnovna namjena djela, navedena u predgovoru prvom izdanju, uspjeSno ostvarena. Ofito, djelo nije posluiilo samo kao nastavno pomag alo studentima na elektrotehnifkim fakultetima, veC i drugima koji su ieljeli so lidno svladati osnove mjerenja u elektrotehnici. Dok su u drugom izdanju bile uk lonjene samo naknadno uofene pogreSke i izvrSene sitnije dopune, u treCem su izd anju, zbog neobifno brzog razvoja mjerne tehnike, bile potrebne gotovo u svim po glavljima znatnije dopune, a da se knjiga bitnije ne bi poveCala, ispuStena su n eka rjeSenja koja se danas manje upotrebljavaju. Osim toga, dodano je novo pogla vlje, ,,Daljinska mjerenja i mjerni sustavi", u kojem je veCa painja posveCena m jernim pretvarafima koji sve viSe potiskuju razne elektrifne mjerne instrumente. Zbog istih razloga bilo je i u ovom fetvrtom izdanju potrebno dopuniti neka pog lavlja najnovijim dostignutima iz mjerne tehnike, a ispustiti poneko starije rje Senje koje se danas rjede primijenjuje, kako bi se safuvao isti obim knjige. Zag reb, u travnju 1979. godine Odobreno rjefenjem komisije z a udZbenike i skripra SveuEilifra broj 08-1119/2-1 975, od 30. lipnja !975. 11 Zagrebu, V. Bego PREDGOVOR PRVOM IZDANJU Ovaj udibenik obraduje opCa mjerenja u elektrotehnici, dakle ona mjerenja koja s u zajednitka i osnovna za sva podrutja praktitne elektrotehnike. Razne specijaln e grane mjerenja u elektrotehnici, kao Sto su primjerice mjerenja elektrifnih st rojeva, visokofrekventna, visokonaponska, daljinska mjerenja i mjerenja neelektr itnih velitina, obuhvakena su ovdje samo toliko koliko je to potrebno inienjerim a kojima to nije uia specijalnost. ' I I ' g .: U prvom poglavlju udibenika objagnjeni su osnovni pojmovi teorije pogrdaka i uka zano je na moguCnost njezine primjene u velikoserijskoj proizzvodnji. ' U daljnj ih sedam poglavlja obradeni su najprije najvahiji sastavni dijelovi mjerne oprem e, zatim laboratorijski izvori, elektriEni mjerni instrumenti, brojila, mjerni m ostovi i kompenzatori, mjerni transformatori, te elektronitki mjerni uredaji. U devetom i desetom poglavlju opisane su mjerne metode koje se koriste pri mjerenj u pojedinih elektriznih, magnetskih i neelektrifnih velitina.6 PREDGOVOR Udibenik je prvenstveno narnijenjen studentima elektrotehnike, a dakako i svima drugima koji iele solidno svladati osnove mjerenja u elektrotehnici. Materijal j e obraden Sire nego Sto se obitno izlaie u okviru kolegija na elektrotehnitkim f akultetima. Time se pruia mogutnost studentima da se prema svojim ieljama i potr ebama detaljnije obavijeste o mjerenjima u elektrotehnici, a inienjerima da proS ire znanje steteno za vrijeme studija. Uz opCa objaSnjenja potrebna potetniku, d odana su Eesto i detaljnija razmatranja i analize koje su korisne inienjerima u praksi, a studente privikavaju inienjerskim metodama i inienjerskom natinu miilj enja. Premda udibenik ima 512 stranica i 565 slika, ipak mi nije bila ielja, a n iti je bilo mogute, obraditi sve interesantne teme ovog opiirnog podrufja. U odl itnom djelu prof. dr Josipa Lontara ,,Elektritka mjerenja", koje je doiivjelo ve t Eetvrto izdanje i posluiilo mnogim generacijama pa i autoru, moZe Eitalac naCi obradene mnoge od tih tema. UopCe sam nastojao piSuCi ovu knjigu da bude Sto ma nje preklapanja i da ona bude u stanovitom smislu nadopuna djelu prof. Lontara. Ugodna mi je duinost zahvaliti prof. dr ini. Radenku Wolfu i prof. ini. France M lakaru koji su pregledali i recenzirali cijeli rukopis te mi pomogli krititkim n apomenarna i korisnim savjetima. Prof. dr ini. Stanko Turk i prof. ini. Ivan SoS tarec pregledali su dijelove rukopisa i upozorili me na manjkavosti i mogutnosti poboljianja. NaroEitu zahvalnost dugujem asistentima Vladimiru Sirnecu, DuSanu BoiiCu, Boiidaru Ferkoviku, Dujanu VujeviCu, Dragutinu MarkovinoviCu i Mladenu B orgifu, koji su mi pomogli u pripremi gradiva, pri rjdavanju zadataka i korektur i sloienog teksta. Urednik edicije Ivan UremoviC i ostali drugovi iz Tehnitke kn jige i Wjeznitke itamparije u Subotici pokazali su veliku susretljivost i razumi jevanje. Njima treba zahvaliti da je knjiga ovako lijepo opremljena. PREDGOVOR SADRZAJ . UVOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. POGRESKE MJERENJA 1.1. Sistematske pogreSke 1.2. SluEajne pogreBke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Rafunanje s grupnim vrijednostima . . . . . . . 1.2.2. Gaussova ili norma lna razdioba . . . . . . . . 1.3. PodruEje pouzdanosti . . . . . . . . . . . . . 1.4. Mjerna nesigurnost . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Granice pogreSaka . . . . . . . . . . . . . . 1.6. PogreSke funkcija izravno mjerenih veli~ina(sloiene pogreske) . . 1.6.1. Standardna devijacija funkcije izravno mjerenih velifina . 1.6.2. Sigurne granice pogreSaka funkcija izravno mjerenih velifina 1.6.3. Stat istifke granice pogreSaka funkcija izravno mjerenih velifina . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Prikazivanje i izravnavanje rezultata mjerenja . . . . . . 1.8. Z a d a c i . . . . . . . . . . . . . . . . . MJERNI OTPORNICI, KONDENZATORI I SVICI . 2.1. Mjerni otpornici . . . . . . . . 2 .1.1. Materijali za mjerne otpornike . . 2.1.2. Vremenska konstanta otpornika . 2.1.3. , Nafini namatanja iifanih otpornika 2.1.4. Etaloni otpora . . . . . . 2. 1.5. Otpornici s preklopkama i fepovima 2.1.6. Otpornici s kliznom iicom . . . 2 .1.7. Slojni otpornici . . . . . . 22. Mjerni kondenzatori . . . . . . . . 2.2.1 . Rafunski etaloni kapaciteta . . . 2.2.2. Upotrebni etaloni kapaciteta . . . 2. 3. Mjerni svici . . . . . . . . . . 2.3.1. Rafunski etaloni samoinduktiviteta . 2.3.2. Upotrebni etaloni samoinduktiviteta . 2.3.3. Rafunski etaloni meauindukti viteta . 2.3.4. Upotrebni etaloni meauinduktiviteta . 2.3.5. Svici promjenljivog meduinduktiviteta 2.8 3. LABORATORIJSKI IZVORI SADRZAJ SADRZAJ 9 . . . . . . . . . . . . . 3.1. Etaloni napona 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. 3.4. 33 . 3.1.1. Westonov etalonski Elanak . . . . 3.1.2. Etaloni napona sa Zenerovim diod ama Laboratorijski izvori istosmjerne struje . . Laboratorijski izvori izmjenifn e struje . . Ugadanje stmje . . . . . . . . . 3.4.1. Potenciometarski spoj . . . . . 3.4.2. Ugadanje struje predotporom . . . 3.4.3. Klizni otpornici . . . . . . . 3.4.4. Regulacioni transformatori . . . . Zadaci . . . . . . . . . . . 4.3, 4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. 4 ELEKTRICNI MJERNI INSTRUMENT1 . . . . . . . . . . . 4.6. 4.1. 45 . Opdenito o elektrifnim mjernim instrumentima . . . . . . Skala i kazaljka elektr iEnih mjernih instrumenata . . . 4.1.1. 4.1.2. Moment i protumoment . . . . . . . . . . 4.1.3. Leiaj sa Siljkom . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. PriguSenje: a) Elektromagnetsko priguSenje 97: b) ZraEno prigugenje 99; c) Tekudinsko priguienj e 99 . . . . . Dinamika pomiCnog organa mjernih instrumenata: a) Gi4.1.5. banje pomiCnog organa nakon ukljutivanja konstantne mjerene veliEine 100: (Titrajno ne priguSeno gibanje; Titrajno priguSeno gibanje; GraniEno aperiodsko gibanje; Aper iodsko gibanje; Izbor priguSenja); b) Gibanje pomiEnog organa kod sinusnih mjere nih velitina 107 . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6. KudiSta elektriEnih mjernih instrumenata 4.1.7. Standardi za elektriEne mjerne instrumente: a) TaEnost 112; b) Preopteredenje 113; c) Referentni uvjeti i promjena pokazivanja 113; d) Prigu Senje 115; e) Ispitni naponi 116; f) Oznake mjernih instrumenata 116 . . . . . . . . Instrumenti s pomifnim svitkom . . . . . . 4.2.1. P r i n c i ~rada . . . . . . . . . . 4.2.2. Dimenzioniranje magneta . . . . . . . . . 121 4.2.3. ProSiri vanje mjernog opsega: a) ProSirivanje naponskog mjernog opsega 125; b) ProSiriva nje strujnog .mjernog op- ..-; sega 125 . . . . . . . . . . . j125) Galvanometri . . . . . . . . . . . . . 127 4.2.4. 4.2.5. Balistitki galvanometar: a) Titrajn o nepriguSeno gibanje 132; b) Titrajno priguseno gibanje 132; c) GraniEno aperio dsko gibanje 134; d) Aperiodsko gibanje 136; e) ProSirivanje mjernog opsega bali stiEkog galvanometra 136; f) Upotreba balistifkog galvanometra 137 . . . . . . . . . 131. 4.2.6. Fluksmetar . . . . . . . . . . 137 4.2.7. Precizni i pogonski i nstrumenti . . . . . . . . 140 42.8. Instrumenti s pomitnim svitkom i poluvodiEk im ispravljatem 141 4.2.9. Instrumenti s pomiEnim svitkom i mehaniEkim ispravlja tem (vektormetri): a) Mjerenje sinusnih napona i struja 152; b) Mjerenje faznog pomaka izmedu dva napona 153; c) Mjerenje djelatne i jalove snage 153; d) Mjeren je viSih harmoniEkih Elanova 154; e) Mjerenje osnovnog harmoniEkog Elana 155; f) Snimanje krivulje struje i napona 155; g) Ostale primjene instrumenata s mehani Ekim ispravljatem 157 . . . . 150 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.1 1 . 4.12.Instrumenti s pomiEnim svitkom i upravljanim poluvodiEkim ispravljatima . . . . . . . . . . . . . . Instrumenti s unakrsnim svicima (kvocijentni magnetoelektrit ni instrumenti) . . . . . . . . . . . . . . . Instrumenti s pomifnim magnetom . . . . . . . . . 4.4.1 Princip rada . . . . . . . . . . . . . . Kvocijentni instr umenti s pomihim magnetom . . . . 4.4.2. 4.4.3. Galvanometri s pomiEnim magnetom . . . . . . . Elektrodinamski instrumenti . . . . . . . . . . . 4.5.1. Princip rada . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2. Elektrodinamski instrumenti bezieljeza . . . . . . Elektrodinamski instrumenti zatvoreni ieljezom (ferodinam4.5.3. ski i nstrumenti) . . . . . . . . . . . . . 4.5.4. Kvocijentni elektrodinamski instrum enti . . . . . . Instrumenti s pomienim ieljezom . . . . . . . . . . 4.6.1. Prin cip rada . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Pogonske i laboratorijske izvedb e . . . . . . . . ~ndukcioniinstrumenti . . . . . . . . . . . . . Elektrostatski instrumenti . . . . . . . . . . . . 4.8.1. Princip rada . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2. Izvedbe elektrostatskih instrumenata . . . . . . . Instrumenti na te rmifkoj osnovi . . . . . . . . . . 4.9.1. Instrumenti s vrudom iicom . . . . . . . . . 4.9.2. Instrumenti s termopretvaratem . . . . . . . . 4.9.3. Bimetalni in strumenti . . . . . . . . . . . Registracioni instrumenti . . . . . . . . . . . . . Oscilografi . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11.1. Oscilografi s materijaln im pisacem . . . . . . . . 4.11.2. ~Oscilografis tekudinskim mlazom . . . . . . . . 4.1 1.3. Svjetlosni oscilografi . . . . . . . . . . . Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.10 I I . 5 ELEKTRICNA BROJILA 5.1. Istosmjerna brojila . I 1 . . . i b Elektrolitska brojila . . . . . . Magnetomotorna brojila . . . . . . 5.1.3. Elek trodinamska brojila . . . . . . . 5 2. IzmjeniEna brojila . . . . . . . . . . 5. 2.1. Jednofazna indukciona brojila djelatne energije Indukciona trofazna brojila djelatne energije 5.2.2. 5.2.3.. Indukciona brojila jalove energije . . . . 5.2 .4. Brojila prividne energije . . . . . . . 5.3. Posebne izvedbe elektrienih bro jila . . . 5.3.1. ViSetarifna brojila . . . . . . . . 5.1.1. 5.1.2. 5.3.2. 5.3.3. 5.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 205 205 206 208 209 209 212 213 213 213 214 214 214 215 . . . . VrSna brojila . . . . . . . . . . . . . Brojila s pokazivaEem maksimuma . . . . . . . . . . . . . . . . Elektronirka brojilaIspitivanje brojila . . . . . . . . 5.5.1. Ispitivanje b r o j i l a v a t m e t r o m i stop-urom 5.5.2. Ispitivanje pomodu preciznog brojila . 5.5.3. Ispitiva nje n a trajan rad . . . . 5.5. Z a d a c i . . . . . . . . . 5.5. 6 MJERNI MOSTOVI I KOMPENZATORI 6.1. . . . . . . . . . . . . . . . 216 217 218 218 218 . Wheatstoneov most za istosmjernu s t m j u . . . . . . . . 6.1.1. Izvedbe Wheats toneova mosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Osjetljivost most a 6.1.3. Prilagodenje mosta . . . . . . . . . . . . 6.1.4. Nepotpuno uravnoteien most . . . . . . . . . 6.1.5. Podrufje primjene . . . . . . . . . . . . 6 2. Th ornsonov most . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Wheatstoneov most za izmjenifnu s t m j u . . . . . . . . 6.3.1. Uvjeti ravnoteie . . . . . . . . . . . . . 6.3 .2. Ugadanje ravnoteie mosta . . . . . . . . . . 6.3.3. Klasifikacija mostova . . . . . . . . . . . 6.3.4. Osjetljivost i prilagodenje Wheatstoneova mosta za iz mjeniEne struje . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5. TaEnost mjerenja . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Kompenzatori za istosmjernu s t m j u . . . . . . . . . 6.4 .1. Osnovni spojevi kompenzatora za istosmjernu struju . . 6.4.2. Mjerenje struj e i otpora pomodu kompenzatora . . . . 6.4.3. Osjetljivost nulindikatora . . . . . . . . . . 6.4.4. ~ r e c ~ z n i kompenzatori: a) Feussnerov kompenzator 251 ;I$ Kaskadni kornpenzator 252; c ) Diesselhorstov kompenzator 253; d) Kornpen. . zaror sa strujnim izvororn za mjerenje vrlo malih napona . . . . . 6.4.5. Stepe nasti kompenzator . 6.4.6. Tehnieki kornpenzator . 6.4.7. Samouravnoteiavajuti ( automatski) kompenzatori . Kompenzatori za izmjenifnu s t m j u . . . . . . . . . IzmjeniEni kompenzator s termopretvaratem . 6.5.1. 6.5.2. IzmjeniEni kompenzat or s NTC otpornicima . . . . . 6.5.3. IzmjeniEni kompenzator s elektrodinamskim rnjernim sistemom . . . . . . . . . . . . . . 6.5.4. IzmjeniEni kompenzator s kv adratnim elektrometrom . . 6.5.5. Kompleksni izmjenieni kompenzatori . 6.6. Z a d a c i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7 MJERNI TRANSFORMATORI 7.1. Naponski transfonnatori . . . . . . . . . . transtonnatori . . . . . . . . . . . . . NaEin djelovanja . . . . . . . . . . . . . TaEnost . . . . . . . . . . . . . . . Mjere za smanjenje pogreiaka strujnih transformatora . Vladanje strujnog transformatora pri povedanoj primarnoj struji . . . . . . . . . . . . . . . . TermiEka i dinamiEka struja strujnih transformatora . . 7.2.5. 7.2.6. OznaEavanje stezaljki . . . . . . . . . . . 7.2.7. Izvedb e strujnih transformatora . . . . . . . . 7.3. S t w j n i mjerni transformatori za istosmjernu s t m j u . . . . 7.4. Mjerenje pogreSaka mjernfh transformatora . . . . . . . 73 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 . Stmjni 7.2.1. 7.2.2. 7.2.3. 7.2.4. . 8 ELEKTRONICKI MJERNI UREDAJI 8.1. Mjerna pojafala . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 262 264; 265 266 267 269 '. . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. 7.1.2. 7.1.3. 7.1.4. 7.1.5. 7.1.6. 7.1.7. NaEin djelovanja . . . . . TaEnost . . . . . . . . OznaEavanje stezaljki . . . . Ispitivanje izolacije . . . . . Izvedbe naponskih transformatora Kapacitivni na ponski transformatori . . . . . Induktivna djelila 8.1.1. Negativna reakcija ili negativna povratna veza . . . . 8.1.2. Svojstva mj ernih pojaEala . . . . . . . . . . 8 3 Elektronifki voltmetri . . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Istosmjerni elektronirki voltmetri . . . . . . . . 8.2.2. Izmjeni Eni elektronitki voltmetri . . . . . . . . 8.3. Dlgitalni mjerni uredaji . . . . . . . . . . . . . 8.3.1. ElektroniEki brojaEi: a ) Mjerenje vremena 319; b) Mje renje frekvencije 320 . . . . . . . . . . . . . 8.3.2. Pretvaranje analognih vel iEina u digitalne: a) Pretvaranje istosmjernog napona u vrijeme 321; b) Pretvara nje napona u frekvenciju 322; c) Stepenasti pretvaraEi 323 . . . . 8.4. Oscilosk op . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. ZaJtita od smetnji . 8.6. Z a d a c i . . . . . 9. MJERENJE ELEKTRICNIH I MAGNETSKIH VELICINA 9.1. Mjerenje napona i s t r u j a . . . . . . . . . . . . Mjerenje vrlo malih istosmjernih struja i nap ona . . . 9.1.1. Mjerenje vrlo malih izmjeniEnih struja i napona: a) Mjerne 9.1. 2. sluialice 338; b) Vibracioni galvanometri 339; c) ElektroniEki nulindikatori 341 . . . . . . . . . . . . . Visokonaponska mjerenja: a) Kuglasta iskriSta 342; b) Dje9.1.3. litelj napona 346; c) Mjerni instrumenti prikljuEeni na naponske t ransformatore 347; d) Instrumenti spojeni u seriju s otporom 347; e) Instrumenti koji mjere ispravljenu struju kondenzatora 347; f) Mjerenje visokih napona elek trostatskim instrumentima 348; g) Visokonaponski rotirajudi voltmetri 348; h ) O stale metode 348; i) Visokonaponski izvori. industrijske Frekvencije 349; j) Izv ori udarnih napona 350; k) Izvori istosrnjernih visokih napona 352 . . . . . 9.1 .4. Mjerenje velikih istosmjernih s t r u j a strujnim jarmom . . 9 2 Mjerenje s nage . . . . . . . . . . . . . . . Mjerenje snage kod istosmjerne s t r u j e .. . . . . . 9.2.1. 9.2.2. Mjerenje djelatne snage jednofazne izmjenirne struje: a ) Mjerenje snage pomoeu vatmetra 360; b) Mjerenje snage pomodu tri ampermetra 362; c) Mjerenje snage pomodu tri voltmetra 363; d) Mjerenje snage kompleksnim i zmjenienirn kompenzatorom i izrnjenitnim mostovima 363; e) Mjerenje snage pomoCu mjernih pretvarafa snage 364 . . . . . . . . . . . . . . . . .12 9.2.3. 9.2.4. SADRLAJ Mjerenje djelatne snage trofaznih sistema p o m o i i ~ metode dvajuvatmelara(Aronov5poj) . . . . . . . . . 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. Mjerenje djelatne snage trofaznih sistema metodom triju vatmetara . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.5. Mjerenje jalove snage u jednofaznirn sistemima . . . . Mj erenje jalove snage u trofaznim sistemima . . . . . . 9.2.6. 9.2.7. Poluizravna mjerenja snage . . . . . . . . . . 9.2.8. Neizravno mjerenje snage . . . . . . . . . . 9.2.9. Mjerenje snage na viSim frekvencijama: a) Termifki vatmetri 373; b ) Mjerenje snage pomoCu osciloskopa 374; c) Mjerenje snage na vrlo visokim frekv encijama 375 . . . Mjerenje otpora . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Mjerenje djelatnog otpora mjerenjem napona i struje (U-I . . . . . . . . . . . . . . . m etoda) 9.3.2. Mjerenje djelatnog otpora svitka velikog induktiviteta . 9.3.3. Po redbene metode mjerenja djelatnog otpora . . . . 9.3.4. Omometri: a ) Omometri s pomifnim svitkom 383; b) Omometri s unakrsnim svicirna 385; c) Digitalni omomet ri 386 . 9.3.5. Mjerila izolacije: a) Mjerila izolacije s induktorom 388; b) Mje rila izolacije s baterijom i mehaniekim pretvarafem 388; c) Mjerila izolacije s baterijorn i tranzistorskim pretvaraf e m 389 . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. 6. Mjerenje izolacije u pogonu . . . . . . . . . 9.3.7. Laboratorijske metode mj erenja vrlo velikih otpora: a ) Mjerenje otpora metodom gubitka napona 390; b) U -I metoda 391; c) Wheatstoneov most 391 . . . . . . . . . 9.3.8. Mjerenje otpora uzemljenja: a ) Mjerenje otpora uzemljenja U-I metodom 392; b) Nippoldova metod a 394; c) Behrendova metoda 394; d) Mjerenje specififnog otpora tla 395 . . . Mj erenje otpora tekucina . . . . . . . . . . . 9.3.9. Mjerenje induktiviteta . . . . . . . . . . . . . 9.4.1. Mjerenje samoinduktiviteta U-1 metodom . . . . . . 9 .4.2. Mosne metode mjerenja induktiviteta: a) Most s promjenljivim induktiviteto m 400; b) Most s dvije klizne iice 400; c) Maxwellov most (Maxwell-Wienov most) 402; d) Owenov most 403; e) Hayov most 404; f ) Andersonov'most 405 . . Mjerenje meduinduktiviteta . . . . . . . . . . . . 9.5.1. Balistifke metode . . . . . . . . . . . . 9.5.2. Metoda opozicije . . . . . . . . . . . . . 9.5.3. Carey-Foste rov most . . . . . . . . . . . . . 9.5.4. Mjerenje meduinduktiviteta pomoCu rnet oda za rnjerenje . . . . . . . . . . . . samoinduktiviteta 9.5.5. Usporedba medu induktiviteta, otpora i frekvencije . . . Mjerenje kapaciteta . . . . . . . . . . . . . . 9.6.1. Mjerenje kapaciteta U-1 metodvm . . . . . . . . 9.6.2. Balistif ke metode mjerenja kapaciteta . . . . . . 9.6.3. Wienov most . . . . . . . . . . . . . . 9.6.4. Scheringov most . . . . . . . . . . . . . 9.6.5. Transformatorsk i mostovi . . . . . . . . . . 9.6:6. Mjerenje kapaciteta elektrolitskih kondenza tora . . . . 9.6.7. Ogawin most . . . . . . . . . . . . . . Mjerenje frekvencije . . . . . . . . . . . . . . 9.7.1. Frekventometal- s jezircima . . . . . . . . . . . 9.7.2. 9.7.3. 9.7.4. 9.7.5. 9.7.6. 9.8.. . . . . . . Frekventometri s kazaljkom Mostovi za rnjerenje frekvencije: a) Ro binsonov most b) Rezonantni most 432; c) Campbellov most 433 . Metode rezonancij e . . . . . . . . . . Poredbene metode mjerenja frekvencije . . . . Digitalni fr ekventometri . . . . . . . . . . . . . . . 431; . . . . Magnetska mjerenja . . . . . . . . . . . . . 9.8.1. Mjerenje magnetskog toka i i ndukcije pomoCu inducimnih napona: a) Mjerenje magnetskog toka balistifkim galva nometrom 437; b) Mjerenje magnetskog toka fluksrnetrom 437; c) Mjerenje magnetsk e indukcije B,, rotirajuCim ili titrajuCim svicima 438; d) Mjerenje izmjenifnih tokova pomoCu induciranih napona 438 . . . . . 9.8.2. Mjerenje magnetske indukci je pomoCu sila na vodife . . 9.8.3. Novije metode mjerenja magnetskih polja: a ) Hallova sohda 441; b) Foersterova sonda 441; c) Otporne magnetske sonde 442; d) Metode nuklearne magnetske rezonancije 444 . . 9.8.4. Dobivanje homogenih magne tskih polja . . . . . . OpCenito o ispitivanju svojstava magnetskih materijala: a) 9.8.5. Odredivanje H na osnovi poznate raspodjele magnetskih napona 446; b) o dredivanje H na osnovi poznatog faktora rnagnetiziranja 448; c) Odredivanje H mj erenjem pada rnagnetskog napona 448; d ) Odredivanje H mjerenjem indukcije B na povrSini uzorka 450 . . . 9.8.6. Ispitivanje svojstava magnetskih materijala ist osmjernom strujom: a) Balistifka metoda s prstenastim uzorkom 450; b) Fahy-Simpl exov permeametar 454; c) Iliovicijev jaram 455; d) Metoda istma 455; e) Stablein -Steinitzov uredaj 456 . . 9.8.7. Ispitivanje svojstava magnetskih materijala iz mjenifnom strujom: a) Vatmetrifka metoda mjerenja gubitaka u ieljezu 460; b) Sni manje dinamifke petlje histereze vektorrnetrom 464; c) Snimanje dinamifke petlje histereze osciloskopom 465 9.9. Z a d a c i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. MJERENJE NEELEKTRICNIH VELICINA ELEKTRICNIM POSTUPCIMA 10.1. Pasivnl mjerni pretvaraCi 4 7 10.1.1. Otporni mjerni pretvarafi . . . . . . . . . . . . 10.1.2. Induktivni mjerni pretvarafi 10.1.3. Kondenzatorski mjerni pretvarati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Aktivni mjerni pretvaraPi 10.2.1. Indukcijski pretvarafi . . . . . . . . . . . 10.2.2. Termoelektrif ni pretvarafi . . . . . . . . . . 1 0.2.3. Piezoelektrifni pretvarafi . . . . . . . . . . 10.3. Odredivanje mjesta k vara u kabelima i vodovirna . . . . . . 10.3.1. Murayeva metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2. Varleyeva metoda . . . . . . . . . . 10. 3.3. Heinzelmannova metoda 10.3.4. Odredivanje rnjesta prekida u kabelu . . . . . . . 10.5.5. Metode reflektiranja impulsa . . . . . . . . . 10.3.6. Metoda stoj nih valova . . . . . . . . . . . 10.3.7. Indukciona metoda . . . . . . . . . . . . 10.4. Z a d a c i . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 472 2 477 478 479 479 481 482 483 484 485 486 487 488 489 489 49011. DALJ'INSKA MJERENJA I MJERNI SUSTAVI . . . . . . . 11.1. Prijenos mjernih po dataka istosmjernom strujom . . . . 11.2. Prijenos mjernih podataka izrnjenienom strujom . . . . . 11.3. Analogni prijenos mjernih podataka impulsima . . . . . 11.4. Digitalni prijenos mjernih podataka . . . . _ . . 11.5. ViSestruko iskorig tenje veza . . . . . . . . . . . 11.6 Mjerni sustavi . . . . . . ' ' _ . . . . _ _ 11.7. Z a d a c i . . . . 12. RJESENJA ZADATAKA 13. LITERATURA UVOD ~ ' . . , . . . . . . . . . ' ~ . . . . , ' ' . . ~ . . ~ " . ' . '~ ~ ' . . . . . 14. DJELOMICNI POPIS OZNAKA UPOTREBLJAVANIH U FORMULAMA 15. KAZALO POJMOVA 16. S KRACENICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . Prirodne-i tehnitke manosti temelje se na podacima dobivenim mjerenjem. Mjerenja omogukavaju provjeru teoretskih izvoda i razmatranja, a testo daju gradivo i za daljnje teoretske razrade. Ona su neophodna i kod make tehniae realizacije, naj prije u toku konsvuiranja pri snimanju karakteristika modela ili prototipa, te k asnije tokom proizvodnje u svrhe kontrole. Isto su tako znabjna mjerenja koja se obavljaju zbog racionalne eksploatacije i provjere ispravnosti raznih tehnitkih uredaja i postrojenja. Sto iapravo znati mjeriti? Znati eksperimentahii putem o drediti pravu vrijednost mjerene veliEine odredenom tatno8b. To odredivanje se s vodi na uspojedimke, pa je stoga potrebno da jedinice redbu izmedu mjerene velil iine i upotwbljavane u mjernoj tehnici budu definirane najvebm mogukom taboSb. U prvirn poliecima mjerne tehniie upotrebljavale su se primitivne jediice kao Sto su palac, lakat, stopa itd., dok se u novije vrijeme definicije jedinica sve vs e oslanjaju na pojave u prirodi koje se odlikuju izvanrednom stalnoSb, a mogu se Sto talinije odrediti i u svako doba reproducirati. Zbog napretka nauke i tehni ke u stalnom su porastu i zahtjevi u pogledu talinosti i mjerne moguhosti, pa se s vremena na vrijeme uvode nove deficije jedinica, koje osiguravaju daljnje pov ebnje tabosti. Danas je u medunarodnoj upotrebi Medunarodni sistem jedinica (Sys tkme International d'UnitCs) s medunarodnom kraticom SI, Eije su osnovne velitin e: duljina, masa, vrijeme, jakost elektriline struje, termodinamitka temperatura , koliEia materije i jakost svjetlosti. Ovdje Cemo pokazati kako su tim sistemom definirane jedinice duljine, mase, vremena i jakosti elektritne struje. 1. Jedi nica duljine METAR (omaka: m) jest duljina jednaka 1650763,73 valnih duljina z r a h j a u vakuumu, koje odgovara prelazu izmedu razina 2pI0 i 5d, atoma kripton a 86. 2. Jedinica mase KILOGRAM (oznaka: kg) predstavljena je masom medunarodne pramjere kilograrria (pohranjene u Medunarodnom birou za mjere i utege). 3. Jedi nica. vremena SEKUNDA (omaka: s) jest trajanje 9 192 63 1 770 perioda vatenja ko je odgovara prijelazu izmedu dviju hiperfinih razina osnovnog stanja atom cezija 133. 4. Jedinica jakosti elektribe struje AMPER (oznaka: A) jest jakost one sta lne elektrihe struje koja protjdCi kroz dva m a , paraleha i neizmjerno dugatka vodib zanemarivo malog kruZnog presjeka, u vakuumu, medusobno udaljena jedan nju ma po m e w duljine. metar, uzrokuje izmedu njih silu 2 . Odluke u vezi s Medunarodnim sistemom jedinica donosi Generalna konferencija za mjere i utege, a to je skupStina ovldtenih predstavnika zemalja Elanica Konvenci je o metru, koju jepotpisala veCina zernalja, a medu njima i Jugoslavija.16 UVOD 0 Navedena definicija za jedinicu duljine usvojena je na Jedanaatoj generhoj konfe renciji za mjere i utege, odrZanoj u jesen 1960. godine u ~ a r i z u Definicija . za jedinicu mase usvojena je na T r d o j generalnoj konferenciji za mjere i utege 1901. godine, definicija jedinice vremena na Trinaestoj generalnoj konfere nciji. za mjere i utege 1967. godine, a definicija jedinice jakosti elektritne s vuje na Devetoj generalnoj konferenciji za mjere i utege, 1948. godine. Prije ov ako definiranih jedinica bila je na kongresu u Londonu 1908. godine za potrebe e lektrotehnike internacionalno prihvaCena jedinica jakosti struje nazvana interna cionalni amper (jakost struje koja elektrolititki sekundno izlutuje 1,11800 mg s rebra) i jedinica elektritnog otpora nazvana internacionalni om (otpor kod 0 "C stupca 14,4521 g give svagdje istog presjeka i dugog 106,300 cm). Tako definiran e jedinice jakosti struje i elektritnog otpora ostale su na snazi punih 40 godin a. One se od danainjih medunarodnih (apsolutnih) jedinica ne razlikuju samo po d efiniciji vet i po vrijednosti. Izmedu jedinica prerna starijim internacionalnim odredbama, koje Cemo oznatiti s indeksom 0, i danasnjih medunarodnih jedinica u tvrden je slijedeki odnos: A, = 0,99985 A; V, = 1,00034 V; = 1,00049 Q i Wo = 1, 00019 W. 2 privlaEi pomitni svitak I, a gornji svitak 3 ga odbija. Prije pugtanja struje kroz svitke vaga se tatno uravnoteii, Sto se precizno oEita na skaIi 6, na koju zrcalo 5 baca zraku svjetla. Kada se kroz svitke pusti struja I, da bi se ponovn o postigla ravnoteia vage, potrebno je postaviti na njezin drugi krak dodatni ut eg 4, rnase m. . Tada je na vagi s jednakirn krakovima elektrodinamska sila F iz medu svitaka tatno jednaka teiini dodatnog utega: F=mg. Elektrodinarnsku silu iz rnedu svitaka moierno odrediti promatrajuti energiju W magnetskog polja sva tri svitka, koja iznosi: W= + L, Z2 + M Z2 + f Lp Z2 (0.1) no T u je L, samoinduktivitet nepomitnih svitaka 2 i 3, Lp samoinduktivitet pomiEno g svitka I, a M meduinduktivitet izmedu nepomitnih svitaka i pornitnog svitka I . Energija rnagnetskog polja je konstantna ako kroz svitke tete konstantna struj a, a vaga se nalazi u ravnoteii. Ako se pomiEni svitak I pornakne prema gore (cr tkano na slici) za diferencijal puta ds, promijenit C se energija rnagnetskog po lja zbog e prornjene rneduinduktiviteta M. T a promjena energije magnetskog polj a iznosi: d W = Z2-ds aM as (0.2) Sto smo dobili derivacijorn izraza (0.1) po s, uz pretpostavku da je struja I ko nstantna (L, i L, ne ovise o poloiaju svitka I). Na osnovi zakona o odrianju ene rgije bit C promjena energije d W jednaka utroSku rada Fds, nastalog pornakom po e rniEnog svitka, pa dobivarno: aM F=12(0.3) as Kako je pri ravnoteii vage elektrodinarnska sila F jednaka teiini dodatnog utega(F=me). vriiedi: Slika 0.1. Shematski prikaz Rayleighove strujne vage 0 provodenju medunarodnih zakljutaka u pojedinim zernljama brinu se nacionalne m etroloSke ustanove, koje u svojim laboratorijima vrse potrebna istrdivanja, inje renja i baidarenja. Poznati su: National Physical Laboratory u Engleskoj, Nation al Bureau of Standards u SAD, Bcecolos~brZinaysno-wccneqoaawmcwiii ~ e ~ p o n o m e c w iW iH C T ~ ~m e m Mexqeneesa, Bureau National Scientifique i T et Perm anent des Poids et Mesures u Francuskoj, Physikalisch-Technische Bundesanstalt u Zapadnoj Njematkoj, Deutsches Amf fiir Messwesen und Warenpriifung u Istotnoj N jematkoj itd. U tirn laboratorijima razvijene su brojne metode maksimalne tatnos ti, koje polaze neposredno od definicija jedinica. Tako je za odredivanje jakost i elektritne struje poznata tzv. strujna vaga ili Rayleigba vaga, na kojoj se mj erenje jakosti struje modi na rnjerenje sila izmedu vodita protjecanih strujom. Razumljivo je da se s takvom vagom nije moglo bag doslovce priddavati navedene d efiicije 1 ampera. Neizmjerno dugatak vodit mo2emo samo zamisliti. Ne postoji ni vodir zanemarivo malog presjeka. Stoga je oblik vodita Rayleighove vage prilago den eksperimentalnim mogutnostima. Na jednom kraku imanredno precizne vage (sl. 0.1) zavjeien je svitak I, koji se nalazi izmedu dva nepomitna svitka 2 i 3. Sva tri svitka su tako elektritki wojena u seriju da prilikom prolaska struje I don ji svitak , Vidimo da je prilikom ,,vaganja struje" potrebno poznavati masu m dodatnog utega , ubrzanje g sile teie na mjestu gdje se nalazi vaga i ovisnost ukupnog rneduind uktiviteta M o vertikalnorn razmaku s izrnedu svitaka. BuduCi da strujna vaga sl uii kao prarnjerilo jedne od osnovnih velitina Medunarodnog sisterna jedinica, p otrebno je poznavati m, g i aM/as maksimalnom rnoguCorn taEnoiCu. Stoga se utezi rnase m provjeravaju usporedbom s pramjerama mase, a ubrzanje g sile teie odred uje se pomoCu nekoliko najtatnijih mjernih rnetoda. Postupak odredivanja aM/as d rugatiji je. Njega treba izvanredno tatno prorabnati. Poznato je da rneduindukti vitet M dvaju svitaka u vakuurnu, a praktiEki i u zraku, ovisi o indukcionoj kon stanti p,, te geornetrijskim dimenzijama i udaljenosti svitaka. Indukciona konst anta po neposredno slijedi iz definicije 1 arnpera, jer sila F izmedu dva parale lna vodita duljine I i razmaka d iznosi: Prema definiciji, jakost struje iznosi 1 A kada je d=lm, a - = 2.10-'N/rn, pa 1 nakon uvrgtavanja dobivamo odmah: = 2 Mjerenja u elektrotehnici F 4 x . 10- N / A ~ (0.6) I 1.18 UVOD 0 0 UVOD 19 Preostaje, dakle, da se najvetom moguCom taEnoSCu izmjere dimenzije svitaka i nj ihova udaljenost, te na osnovi tih podataka izrafuna aM/as. Uz izvanredno preciz an i dugotrajan.rad pri mjerenju i izradi svih dijelova, te uz niz posebnih mjer a opreza, od kojih se samo neke razabiru na sl. 0.2, postiiu se danas relativne mjerne nesigurnosti od 3.10-6, (tj. 1 amper se moie odrediti s mjernom nesigurno SCu od j 3 PA). Takva tafnost zadovoljava praktifki sve zahtjeve. Ipak, ona dale ko , zaostaje za relativnim mjernim nesigurnostima koje nastaju pri mjerenju jed inica duljine (4.1 0-9), mase (lo-') i vremena (10- 1 3 ) . I vage. BuduCi da je I Nm = I VAs, dobili bismo jedinicu napona V. SliEno tome, mo gli bismo pretvoriti elektrii-nu radnju W = ZZR t u toplinu, pa bi se iz mjerenj a struje, vremena i stvorene topline dobila jedinica otpora Q. Ipak se ne POstup a tako jer se dobivena mehanifka radnja i toplina ne mogu izmjeriti u vrhunskoj tafnosti. Znatno se veCa tarnost postiie ako se jedinica otpora odredi izravnim postupcima, polazeCi od indukcione konstante po odredene definicijom ampera, pre ma izrazu (0.6). Jednu takvu moguCnost pruiaju rafunski etaloni induktiviteta i meduinduktiviteta. Poznato je da se induktivitet i meduinduktivitet svitaka bez ieljeza mogu izrafunati na temelju njihovih dimenzija, broja zavoja i indukcione konstante po. Posebnim izvedbama svitaka (pogl. 2.3.1 i 2.3.3) i uz najpailjivi je mjerenje njihovih dimenzija moie se njihov induktivitet L i meduinduktivitet M danas odrediti s relativnom mjernom nesigurnoSCu od 2 2 . Kod izmjenifne struj e imaju ovakvi svici jalovi otpor koji je definiran njihovim induktivitetom, odn osno meduinduktivitetom i frekvencijom, Sto omoguCuje odredivanje jedinice otpor a. Kako se frekvencija mote mjeriti vrlo tafno, to se na ovaj nafin, uz primjenu prikladnih mosnih spojeva, odreduje jedinica otpora Q s gotovo jednakom nesigur noSCu kao L i M (pogl. 9.5.5). U novije vrijeme odreduje se jedinica otpora mnog o taEnije pomoCu Thompson-Lampardova rafunskog etalona kapaciteta (pogl. 2.2.1). Da bi se mogao izraEunati njegov kapacitet potrebno je izmjeriti samo jednu jed inu duljinu i poznavati dielek. trifnu konstantu vakuuma E ~Poznato je da izmedu te konstante i konstante ,uo vlada odnos izraien Maxwellovim jednadibama: 1 I ! I gdje je c brzina Sirenja elektromagnetskih valova u vakuumu. Mjerenjem valne dul jine i frekvencije laserskog zraEenja (lit. 0.1 1) mjeri se u najnovije vrijeme brzina c jednakom relativnom mjernom nesigurnoSCu kao i jedinice duljine (4. T o znaEi, da se EO moie danas odrediti s relativnom mjernom nesigurnoSCu od 2.4.10 -9 = 8.10-9, jer ,uo ima po definiciji taEnu vrijednost, a c ulazi s kvadratom u izraz (0.7). Time je omoguteno da se vrlo tafno izrafuna kapacitet Thompson-Lam pardova etalona. Takav etalon ima pri izmjeniEnoj struji jalov otpor koji je def iniran njegovim kapacitetom i frekvencijom, Sto, uz prikladnu mosnu metodu, omog uCuje odredivanje jedinice otpora (pogl. 9.6.7). Ovim postupkom postiie se danasrelativna mjerna nesigurnost od samo 1 . Sto je Eak 30 puta manje od mjerne nes igurnosti strujne vage! Slika 0.2. ~ e r s ~ e k t i v n a skica Rayleighove str ujne vage koju upotrebljava ameriEki ' National Bureau of Standards 1 pomifni svitak; 2 i 3 nepomifni svici; 4 uteg; 5 izvor svjetlosnog snopa; 6 sk ala za ofitavanje ravnoteie v a g e 7 fleksibllne dovodne Zice za privodenje Str ule u pomitni svitak 1 . II uredaj z dodavanje utega; 9 sklopka za mijenjanje smjera A struje. firne s e $uprotno usmjeruje elektrodinamska slla pa zbog toga treba sa 8 dodati. uteg; l o zrafna puhauka; I 1 dovodi rashladne vode; 12 ,temeljl izoli rani protiv vibracija; 13 zid kojlm je odijeljena pmstorija u kojoj s e nalazi u redaj od ' Jedinica napona dobiva se iz odnosaql Q . 1 A = 1 V, pa se moie odrediti s relat ivnom mjernom nesigurnoBCu od 3 . koliko iznosi i nesigurnost strujne vage, jer se utjecaj mjerne nesigurnosti jedinice otpora moie praktiEki zanemariti. . prostorije iz koje s e upravlja SluieCi se strujnom vagom mogli bismo odrediti i sve ostale elektromagnetske jed inice, npr. tako da na prikladan nafin pretvorimo elektriEnu radnju W = I U t u mehanitku radnju. Pri tom bi bilo potrebno mjeriti mehanitku radnju u njutnmetri ma (Nm), vrijeme u sekundama (s) i struju u amperima (A) pomoCu strujne , . Veliki napredak u vrhunskoj metrologiji znaEi otkriCe izmjenifnoga Josephsonova efekta kojim se dobiva napon strogo proporcionalan frekvenciji, dakle velifini k oja se moie vrlo tafno mjeriti. B. D. Josephson je 1962. godine otkrio da izmedu ava vodiEa u supravodljivom stanju, odvojena vrlo tankim slojem izolacije deblj ine .od oko 1 nm, teEe izmjenifna struja frekvencije f ako se na njima odriava n apon U:22 POGRESKE MJERENJA 1. !a I I POGRESK~MJERENJA, I I i I I I I I Osnovni je zadatak mjerne tehnike da odredi pravu vrijednost mjerene velifine u odredenim okolnostima. Medutim, i uz primjenu najtatnijih mjernih metoda i ureda ja opCenito dolazi do stanovitog odstupanja izmedu prave vrijednosti mjerene vel ifine i izmjerene vrijednosti. Jedino su pri tatnijim mjerenjima ta odstupanja m anja, a pri manje tatnim veCa. Razlog tim odstupanjima jesu nesavrienosti mjerne opreme, mjernog postupka, mjernog objekta, te litne pogrdke onoga koji mjeri. T a odstupanja nazivamo apsolutnim pogreSkama mjerenja i razlitito ih definiramo, ovisno o tome da li su to pogrdke pokaznih mjerila ili pogreike mjera. (Podpoka znim mjerilima razumijevamo onu mjernu opremu koju karakterizira skala i znafka u vidu materijalne kazaljke, svjetlosnog znaka, noniusa, meniskusa kapilare itd. , a pomitna je ili znafka ili skala. Mjere predstavljaju onu mjernu opremu koja utjelovljuje odredene pojedinafne vrijednosti neke velifine. T o su npr. utezi r azlifitih masa, kalibri, etaloni otpora, etaloni napona itd.). Kod pokaznih mjer ila apsolutna je pogrdka razlika izmedu vrijednosti ofitane na mjerilu i prave v rijednosti mjerene velifine. Znafi da je pogrdka pozitivna, ako je izmjerena vri jednost veCa od prave vrijednosti. Kod mjera je apsolutna pogreSka razlika izmed u naznafene vrijednosti mjere i njezine prave vrijednosti. T u je pogrdka poziti vna ako je naznafena vrijednost veCa od prave vrijednosti. Pri ocjeni tatnosti m jerenja redovno je interesantna relativna pogreika koja je odnos izmedu apsolutn e pogrdke i prave vrijednosti mjerene velifine. Kod pokaznih mjerila relativna j e pogreJka : izmjerena vrijednost minus prava vrijednost prava vrijednost Na pri mjer, ampermetrom je izmjereno 1,352 A, a prava je vrijednost struje 1,358 A. Ta da je apsolutna pogreSka - 0,006 A, a relativna - 0,006/1,358 = - 0,0044 ili - 0 ,44%. Kod mjera relativna po&eJka iznosi: naznaf ena vkjednost minus prava vrije dnost prava vrijednost Na primjer, na mjernom otporniku je naznafeno da njegov o tpor iznosi 100 a mjerenjem vrlo preciznom metodom ustanovljeno je da mu otpor i znosi 100,15 a. Tada je apsolutna pogrdka tog otpornika - 0,15 Q, odnosno relati vna pogrdka -0,0015 ili 415% (bez zaokruZivanja 0,1498%). ! 1 n,. , . ,. ' . !. i Upotrebljava se joS i pojam korekcija (popravka), Korekcija ima istu apso. lutnu vrijednost kao i pogrdka, ali je suprotnog'predznaka.24 POGRESKE M J E R E N J A I. Razlikujemo tri vrste pogrelaka: grube, sistematske i slutaine. Grube pogreske nastaju nepatnjom ispitivafa, izborom neodgovarajuCeg mjernog pos tupka ili zbog neuohvanja uzroka pogrdke. Nije rijetkost d a se zbog nepainje kr ivo otita otklon instrumenta, narotito na instrumentu s viie skala ili s nepregl edno podijeljenim skalama. Takvi propusti mogu se opCenito izbjeCi pailjivolCu i poznavanjem upotrijebljenog mjernog postupka, pa ih u daljnjim razmatranjima ne Cemo uzimati u obzir. Sistematske pogreike nastaju opkenito zbog nesavrgenosti m jerila, mjera, mjernog postupka, mjernog objekta, te zbog obuhvat2jivih utjecaja okoline i litnih utjecaja ispitivata. Sistematske pogrelke imaju odredenu vrije dnost i odredeni predznak, pa se mogu uzeti u obzir putem korekcije. Ako mjerna vrijednost nije korigirana mjerni je rezultat neispravan, odnosno ima sistematsk u pogrelku. Nastaju i sistematske pogreike tiji iznos nije poznat i stoga se ne mogu obuhvatiti karekcijom, ali je i za njih karakteristitno da imaju jednu stal nu ali nepoznatu vrijednost i stalan ali nepoznat predznak. SluEajne pogreike iz azivaju neobuhvatljive i neizbjeine promjene koje nastaju u mjerilima, mjerarna i mjernom objektu, te neobuhvatliive. promjene utjecaja okoline i ispitivata. Nj ih u pravilu izaziva mnoitvo zasebnih uzroka, koji u -svakom pojedinom mjerenju razlitito djeluju. Stoga se slutajne pogreike mijenjaju po velitini i predznaku i dovode do rasipanja rezultata, tj. one Eine rezultat ne~prnim. . za mjerenje struje, napona ili snage moie utjecati frekvencija mjerenih velifina , jer re s frekvencijom mijenjaju gubici u ieljezu i bakru instrurnenata, a nast aju i promjene prividnog otpora ugradenih elemenata. Ako je pri tom poznat utjec aj frekvencije na pokazivanje instruwnata, moie se taj utjecaj uzeti u obzir dod atnim mjerenjem frekvencije. Temperatura okoline, te zagrijavanje instrumenta zb og vlastitih gubitaka, nerijetko primjetno utjetu na otklon instrumenta, jer zbo g promjene temperature nastaju promjene magnetskih i elektritnih svojstava ugrad enih elemenata, te promjene elastitnosti opruga i dimenzija mjernog sistema. Na pokazivanje instrumenta mogu utjecati i strana magnetska i elektritna polja, bli zina metalnih, a narotito Leljeznih predmeta, vlainost, zratni pritisak itd. Sis tematske pogreike Eesto izaziva potro5ak prikljuhnih mjernih instrumenata. Prikl jutivanje voltmetra izaziva smanjenje mjerenog napona ako otpor naponskog izvora nije neznatan prema otporu voltmetra, a ukljutivanje ampermetra moie uzrokovati smanjenje struje u mjerenom strujnom krugu zbog otpora ampermetra. I brzina vrt nje malog motora moie se smanjiti zbog povezivanja tahometra itd. Razumljivo je da uvijek moramo nastojati koliko je god moguCe obuhvatiti sistematske pogrdke i uzeti ih u obzir putem korekcije. Da bismo to mogli, potrebno je da dobro pozna jemo teoriju primijenjenih metoda i karakteristike upotrijebljene mjerne opreme, te Sve ostale faktore koji utjetu na raultate mjerenja. Ipak, ponegdje neCe bit i moguCe odrediti velitinu sistematske pogreike, narotito u vezi s utjecajem oko line. Tada treba pokuiati da se barem it0 sigurnije procijeni velitina takvih si stematskih pogrdaka. . 11 SISTEMATSKE .. POGRESKE ' -Kako smo vet naveli, sistematske pogrdke mogu nastati zbog nesavrlenosti mjernog objekta, mjerila, mjera ili mjernog postupka. Ako se kod mjernog objekta ratuna s odredenim dimenzijama, odstupanje od tih dimenzija izaziva sistematsku pogrdk u. Na primjer, pri mjerenju specifitnog elektritnog otpora vodita kruinog presje ka, relativno odstupanje promjera vodita od vrijednosti s kojom se ratuna izaziv a dvosrruko veCe relativno odstupanje mjerne vrijednosti. Nehomogenost mjernog o bjekta moie takoder biti izvor pogrebke. Cesto u takvim prilikama ima smisla sam o srednja vrijednost niza mjerenja izvrienih na razlititirn mjestima objekta. Gu bici u ieljezu jedne plote dinamo-lima, zbog njegove nehomogenosti, ne smiju se odredivati na osnovi mjerenja gubitaka samo jednog malog dijela Btave plote. Sli tno vrijedi i za odredivanje tvrdoCe metalnih predmeta. Mjerila i mjere mogu ima ti stanovitu sistematsku pogrelku zbog nedovoljno tafnog justiranja; u podjelama na skali dolazi do mjestimitnih odstupanja, a i konstanta skale moie biti neisp ravna. Mjerni otpori, kondenzatori, svici, utezi i kalibri odstupaju manje ii vi le od naznatenih vrijednosti. Ta odstupanja su I katkada posljedica procesa star enja. Vrlo testo vrijednost izmjerena mjernim instrumentom ili mjernim ure&jeml) ne ovisi samo o mjerenoj velitini, veC na nju nepoieljno utjetu i drugeifizikal ne velitine, k ~ j e tada nazivamo utjecajnim veli5nama. Ako se o njima ne vodi ratuna, redovno dolazi do sistematskih pogreSaka. Na pokazivanje inarumenata koj i sluie Ako isti ispitivat uzastopce viie puta mjeri jednakom pailjivoih istu konstantnu mjerenu veliEinu s istim instrumentima i pod istim vanjskii utjecajima, dobivat C rezultate koji.Ce ipak medusobno odstupati i rasipati se oko neke vrijede nod ti. Do rasipanja dolazi zbog slutajnih pogrelaka koje nije moguie kontrolirati i uzeti u obzir putern korekcije, jer se mijenjaju po veliEini i predznaku. T o s u pogr&ke koje nastaju pri otitanju otklona kazaljke, pogreSke zbog zratnosti i trenja u leiajima mjernih instrumenata i zbog ostalih slitnih mehanitkih manjkav osti, te pogre5ke zbog promjenljivih otpora kontakta i lumova elektronitkih mjer nih uredaja. I vremenske promjene utjecajnih velitina i razne neodredive promjen e u okolini mogu izazvati slutajne pogrdke. Pojedinatni rezultati su ovdje dobiv eni pod istim uvjetima, pa ni jedan od njih nema prednost pred drugim. Prema met odi najmanjih kvadrata (Gauss, 1795 g.) .tada je najvjerojatnija vrijednost mjer ene veliEine aritmeciZka sredina pojedinadnih rezultata. Ako je izvrieno n mjere nja i pojedinatni rezultati iznose x,, x2 . . . . x,,, onda je aritmetitka sredi na X pojedinahih rezultata: ' Pod mjernim instrumentom podrazurnijevamo mjerni sistem zajedno s kutistem i e ven) tualno ugradenim priborom. Jedan instrument mote saddavati vise mjernih sis tema. Pokazqo mjerilo, 'ili kraCe mjerilo, je mjerni instrument s Eitavim pribor om, dakle, i s onim koji se moie odijeliti.. Mjerni uredaj je sastavljen od vise mjera i mjerila. Ratunanje aritmetitke sredine premaovom izrazu provodise samo s malim brojem poj edinatnih rezultata, danim jednostavnim brojevima. U ostalim slutajevima jed-26 POGRESKE MJERENJA I. 1.2. SLUCAJNE POGRESKE 27 nostavnije je odrediti aritrnetitku sredinu ako se urnanje pojedinatni rezultati za neku prikladnu velitinu x,: y i j = ui vj (i = 1,2. . . n; j = 1,2. . . k), gdje su ui i vj opCi flanovi nez avisnih skupova u,, u, . . . u, i v,, v, . . . v,. Oznatimo aritrnetifke sredine tih skupova sa ti i G , pa C njihove standardne devijacije iznositi: e + Za pojedinatne rezultate !7,08; 17,09; l7,lO; 17,09; 17,11 i 17,lO dobivamo arit metiEku sredinu: Nije potrebno dokazivati da je aritmetitka sredina j skupa Y jednaka sumi aritme titkih sredina u i 8, odnosno j = ti pa kvadrat standardne devijacije sy iznosi vrlo pribliino : + +, Sto je neki mjerni postupak precizniji, to se medusobno manje razlikuju pojedina Eni rezultati rnjerenja, pa se za ratunsku ocjenu preciznosti nekog mjernog post upka procijenjuje srednja kvadratna pogreSka pojedinahog mjerenja ili tzv. stand ardna devijacija. Ta procjena iznosi : Dalje je: Kako je: Vidimo da se prerna ovom izrazu srednja kvadratna pogreika odreduje na osnovi razlika (xi - E) izmedu pojedinaenih rezultata x, i aritmetitke sredine X umjesto, kako bi to prema definiciji pogreike bilo ispravno, na osnovi razlika izmedu pojedinatnih rnjerenja xi i prave vrijednosti rnjerene velitine. Razlog j e tome taj Sto narn redovno-prava vrijednost mjerene velitine nije poznata. Stog a moiemo samo procijeniti srednju kvadratnu pogrdku na osnovi statistitkih razrn atranja, koja pokazuju da se nepristrana procjena srednje kvadratne pogrdke dobi va ako se u nazivnik izraza (1.3) uvede faktor n- 1 umjesto faktora n. Pri dovol jno velikom n razlikuje se s neznatno od veliEine a, koja je u statistitkoj teor iji poznata kao standardna devijacija osnovnog skupa, a ovdje je srednja kvadrat na pogrdka pojedinaEnog mjerenja dotiEnog rnjernog postupka. Uz viie podataka (n - 1 = n) jednostavnije je procijeniti srednju kvadratnu pogrelku pomoCu slijede Ceg izraza: jer su-sume odstupanja od aritmetitke sredine jednake nuli, dobivamo da kvadrat standardne devijacije sume dvaju skupova iznosi vrlo pribliino: Na slifan' natin moiemo dokazati da kvadrat standardne devijacije sy sume skupov a, Eije su standardne devijacije s,, s,, s, . . ., iznosi: Ovim postupcima proci jenjujerno srednju kvadratnu pogreiku pojedinatnog rnjerenja, no mi kao rezultat mjerenja uzimarno aritmetitku sredinu Z pojedinatnih mjerenja, pa je za mjernu praksu vrlo korisno razmotriti kolika je pogrdka tako dobivene aritmetitke sredi ne. OEito je da bismo, ponavljajuki Eitavo rnjerenje joS jednom, dobiii novih npojedinatnih rezultata, Eija aritmetitka sredina E, ne bi opCenito bila jednalia prethodno dobivenoj aritmetitkoj sredini El. PonavljajuCi Eitavo mjerenje viie puta dobivali bismo redom aritmetiEke sredine X,, X, . . . Em, koje bi se meduso bno razlikovale i rasipale oko neke vrijednosti. PomoCu izraza slitnog izrazu (1 .3) mogli bismo onda procijeniti srednju kvadratnu pogrdku s? aritmetitkih sredi na, odnosno standardnu devijaciju aritmetiEke sredine. Razmotr h o sada kakav od nos vlada izmedu standardne devijacije s pojedinaEnog rnjerenja i standardne dev ijacije s, aritmetitke sredine. Da bisrno to mogli zakljufiti, ustanovimo pretho dno koliko iznosi standardna devijacija s, skupa Y Eiji je opCi Elan KoristeCi se ovim izrazorn rnoiemo odrediti standardnu devijaciju sj; aritmetitk e sredine.E. Prerna (1.1) iznosi aritmetiEka sredina : Kako standardna devijacija pojedinatnog rezultata x,, x, devijacija sumanda 3 , 3 n n . . x, 11 iznosi s, standardna . .. 3 n u izrazu (1.9) iznosi i, su oni n puta jer30 POGRESKE MJERENJA 1. 1.2. SLUCAJNE PoGRESKE 31 T a b l i c a 1.2 Primjer rarunanja s grupnim vrijednostima Granice grupa 199,73 - 199,82 199,83 - 199,92 199,93 -200,02 20403 -20412 200,13 - 200,22 Broj flano va grupe (frekvencija) f 1.2.2. Gaussova ili normalna razdioba Ako pogreike nastaju djelovanjem izvanredno velikog broja slutajnih i medusobno nezavisnih uzroka, od kojih svaki izaziva razlitite ali vrlo male pogregke, onda se.mjerni rezultati rasipaju prema poznatoj Gaussovoj ili normalnoj razdiobi. T i uvjeti, mada strogi po definiciji, praktitki su dovoljno ispunjeni u veCini s luEajeva, pa se mnogi problemi u raznim podrutjima primjene rjeiavaju baS ovom r azdiobom. Poklapanje je opCenito tako dobro, da veC i nevelik broj pojedinatnih rezultata moiemo interpretirati relacijama koje se temelje na toj razdiobi. Norm alna razdioba je definirana funkcijom vjerojatnosti: f 1 3 6 d I I~I WI -3 -2 -1 0 II #it1 2 6 1 gdje su Zo aritmetitka sredina beskonatnog skupa, a a standardna devijacija besk onatnog skupa. Vidimo da je normalna razdioba jednoznatno definirana aritmetitko m sredinom Z,, i standardnom devijacijom a. Krivulja je zvonolika oblika, s tjem enom na pravcu x = Xo i asimptotski se pribliiava osi x (sl. 1.1): VeC smo upozo rili da granice grupa treba talto odabrati da pri svrstavanju rezultata ne bude dvoumljenja u koju grupu spada rezultat. U nagem primjeru odabrane su granice . . . 3 i . . . 2, pa kalto rezultati mjerenja zavriavaju na 0 ili 5, nije sporno u koju grupu treba uvrstiti rezultat. Kako je sredina nuke grupe: x, = (200,03 2 00,12)/2 = 200,075 mm, aritmetitka sredina X pojedinatnih rezultata jest : + 5 = xciCfd + .-= 200,075 + 0,lCf 2 4 20 2 ~ , 0 mm 5 ~ i standardna devijacija: Slika 1.1. Normalna razdioba Slika 1.2. Vjerojatnost P pri normalnoj razdiobi Dakle, X i s odredeni na ovaj natin praktitki se ne razlikuju od onih tatno odre denih u tablici 1.1, a postupak je bitno kraCi, narotito kad je mnogo pojedinatn ih rezultata. Broj Clanova grupa prikazan je u tablici 1.2 s onoliko crtica, kol iko iznosi broj Elanova grupe, Sto je zgodno iz viie razloga. Obitno prije ispun javanja tablice s grupnim vrijednostima raspolaiemo spiskom pojedinatnih rezulta ta, ispisanih onim redom kako su dobiveni tokom mjerenja, tj. rezultati nisu sor tirani po velifini. Tablicu onda ispunjavamo tako da idemo redom po spisku i uno simo crticu u onu grupu u koju rezultat spada. Ako narn spisak pojedinafnih rezu ltata nije potreban, moiemo crtice direktno unositi u tablicu tokom samog mjeren ja. Zbog preglednosti obitno svaki peti rezultat u jednoj grupi unosimo tako da povutemo horizontalnu crticu preko prijaSnje tetiri vertikalne crtice. Ako crtic e uredno unosimo, moiemo na osnovi njihova rasporeda dobiti uvid kako se pojedin atni rezultati rasturaiu. 1 e Vjerojatnost P(,, %,) da C varijabla x primiti neku vrijednost izmedu < x1 i x , dobiva se integriranjem funkcije vjerojatnosti (1.13) u granicama od x1 do x,: Ovaj integral predstavlja zapravo povrginu ispod krivulje vjerojatnosti nad inte rvalom od x, do x, (sl. 1.2). (U prirutnicima matematske statistike mogu se naCi utabliEene vrijednosti ovog integrals za o = 1 i xi = To). Neke karakteristirne vrijednosti ovog integrala prikazane su u tablici 1.3.32 POGRESKE MJERENJA 1. 1.3 , PODRUCJE POUZDANOSTI 33 T a b l i c a 1.3 Vjerojatnosti pri normalnoj razdiobi Vjerojatnost da se x nala zi Donja i gornja granica unutar granica izvan granica 2, 0,674 IS i i 2,-21~ i 2,-3s i ?,-4u i 2, - IS 2, + 0,674 IS ?,+IS 2,+21~ 5,+31~ X0+4c 0,500 0,6826 0,9545 0,9973 0,99994 = 50% = 68,26% = 95,45% = 99,73% = 99,994% 50% 31,74% 4,55 % 027 % 4006% mjerene veliiiine, uz pretpostavku normalne razdiobe pogreiaka. T e granice nazi .vamo granicama pouzdanosti, a podruEje unutar tih granica podru(7em pouzdanosti (Confidence intervals, Vertrauensbereich - vidi npr. The Reduction and Presenta tion of Experimental Results, BSS 2846: 1957 i DIN 1319: Grundbegriffe der Messt echnik - Januar 1972.). T i pojmovi se sve viSe upotrebljavaju umjesto pojma sre dnje kvadratne pogrdke aritmetiiike sredine (izraz 1.11), koji se jog zadrZao np r. u geodeziji. Pri odredivanju granica i podruEja pouzdanosti katkada nam je po znata standardna devijacija a osnovnog skupa, a katkada nije. Kada na osnovi mno gobrojnih mjerenja, provedenih pod jednakim uvjetima, tak i kroz duie vrijeme, m oZemo dobro procijeniti standardnu devijaciju a, onda granice i podrutje pouzdan osti odredujemo prema tablici 1.4. T a b l i c e 1.4 Odredivanje podruEja pouzdanosti Lad se a mo2e dobro procijeni tl PodruEje pouzdanosti Vidirno da se pri normalnoj razdiobi unutar granica f a nalazi 68,3% rezultata m jerenja, unutar granica f 2 o veC 95,5%, a izvan granica k 3 o nalazi se samo 0, 27% rezultata mjerenja. Unutar granica f 0,674 0 nalazi se polovica rezultata mj erenja, pa se te granice nazivaju vjerojatnom pogrefkom mjerenja i ponegdje se k oriste za oznatavanje preciznosti mjernog postupka. PomoCu normalne razdiobe i o stalih teoretskih razmatranja koja spadaju u podruEje statistitke teorije, rjeiavaju se danas brojni problemi u modernoj industriji. Tako se, narotito u masovno j proizvodnji, sve viie prelazi na statistitku kontrolu kvalitete. Pojedinatno m jerenje svakog komada pri velikim serijama zahtijeva mnogo vremena, a jednolitni postupak smanjuje pailjivost ispitivata. Stoga je mnogo ekonomitnije, a ipak pr uia moguCRost da se odrii kvaliteta na odredenom nivou, ako se ispita samo jedan manji dio cijele kolitine i na osnovi karakteristika utvrdenih na tom dijelu do nese sud o titavoj kolitini. Da bi tako donesen sud bio ispravan, u prvom redu m oraju elementi koje smo izabrali za ispitivanje ito bolje e reprezentirati titav u kolifiu. T o C biti samo onda kad svaki element ima jednaku moguhost da bude i zabran. Obitno se izbor prepuita slutaju, u koju svrhu se koriste posebne tablic e slutajnih brojeva. Daljnji je problem odredivanje kolitine ' elemenata koje Ce mo ispitati. Kolitina otito ovisi o traienoj tatnosti rezultata, o sigurnosti ko jom se ieli donijeti sud i o standardnoj devijaciji veliEine koja se mjeri, pa s e moie lako odrediti uz pomoC statisti&e teorije. Kada smo izabrali elemente za ispitivanje, koje nazivamo uzorkom, izvriit Cemo porrebna mjerenja, te na osnovi podataka mjerenja izratunati kolike su aritmetiaa sredina i standardna devijaci ja mjerene veliEine uzorka. Na osnovi tih podataka moiemo onda s traienom sigurn oSCu donijeti sud u kojirn granicama se nalazi ariunetitka sredina i standardna devijacija cijele koliEine, odnosno koliko u cijeloj kolitini irna elemenata izv an odredenih granica. Granice pouzdanosti donja gornja Ovako definirano podrutje pouzdanosti f jest podmtje unutar kojeg se i vn sa sigurnoSCu P moZe otekivati stvarna vrijednost mierene velitine (f -se stvarna vrijednost praktitki uvijek unutar podrutja pouzdanosti. U %mjernoj t ehnici vekinom nije moguke iz praktitkih razloga provesti mnogo mjerenja, meduti m, u nekim prilikama postoje podaci o titavom nizu mjerenja provedenih kroz du2i vremenski period. Ako je pri tome broj pojedinahih mjerenja bio redom n,, n,, . . .n,, moZe se festo standardna devijacija osnovnog skupa procijeniti prema izr azu: "I + -su donja i gornja granica pouzdanosti). Kod k = 3 ( P = 99,73%) nalazi I; I . ka; 1.3.. P O D R U ~ J EPOUZDANOSTI VeC smo ustanovili da aritmetitka sredina pojedinatnih rezultata mjerenja ne mor a biti jednaka stvarnoj vrijednosti mjerene velitine, tak ako smo i odstranili s ve sistematske pogrdke. Da bi to ona postala, potrebno je izvriiti test0 neprove divo m o g o pojedinatnih mjerenja. Stoga redovno ustanovljavamo samo granice un utar kojih se moie s odabranom statistitkom sigurnoiCu P oEekivati stvarna vrije dnost 2(xli $ ="I 3 - XI)' + x ( X l i - Z' J i-1 + . . .+ 2 (q- I ) + ($ - I) + ... + - 1) (nk 5 nk(xki i= 1 fd' xx k nj (~ji j-1 i=l - gj)' (1.15) n-k Pomoh ovog izraza m o k se dobiti dobra procjena standardne devijacije pod uvjet om da su svi obuhvaCeni pokusi bili prorredeni u jednakim uvjetima. 3 Mierenja u elektrotehnici1.4. MJERNA NESIGURNOST 35 Pri novim, jog neiskusanim mjernim postupcima i pokusima, Pije rasipanje nije po znato, Eesto iz ekonomskih razloga treba procijeniti standardnu devijaciju na os novi malo pojedinabih mjerenja. Tada se podruEje pouzdanosti odreduje na osnovi Studentove t-razdiobe, koja potiPe od W. S. Gosseta (pseudonim ,,Studentcc): ili s relativnim podrutjem pouzdanosti: Pri tome faktor t ovisi o.odabranoj vrijednosti P i broju n pojedinaEnih mjere~j a. U tablici 1.5 dane su vrijednosti za t i t / F z a danas najEeSCe upotrebljav ane vrijednosti statistieke sigurnosti: P = 68,3%, P = 95%, P = 99% i P = 99,73% . Tablica 1.5 Prije statistieke obrade mjernih rezultata vaino je provjeriti jesu li mjerenja obavljena pod jednakim uvjetima i jesu li neovisna jedna od drugih. T o se Eesto zaboravlja i nekritifki se primjenjuju statistieke metode, Ito vetinom dovodi d o neispravnih zakljuPaka. 1.4. MJERNA NESIGURNOST OdredivajuCi podrutja pouzdanosti u prijaSnjem poglavlju pretpostavili smo da su otklonjene sve sistematske pogrdke. No takvi pokusi su dosta rijetki u mjernoj praksi, jer osim poznatih sistematskih pogrdaka, koje se mogu otkloniti korekcij om, Eesto joS postoje i nepoznate sistematske pogreike. Njih ne moiemo obuhvatit i korekcijom, pa zato dolazi do poveCanja mjerne nesigurnosti. Ipak se prema pri likama nepoznate sistematske pogreSke mogu barem grubo procijeniti, pa tada mjem u nesigurnost (u) aritmetitke sredine iz n pojedinatnih mjerenja definiramo pomo Cu podruEja pouzdanosti (izraz 1.16) uveCanog za procijenjenu vrijednost f siste rnatskih ~oereSaka : Zaokruiene vrijednosti za t i t / F p r i razliritiin statistirkim sigurnostima P Vrijednosti za t i t/ Broj pojedinatnih mjerenja n P = 68,3 % t t F 99 % t P=95% t t P t = P = 99.73 % t t/VR (166) 11,1 4,6 3,O 2,3 1,6 1,29 0,77 460 445 431' 0,22 0(2) 3 4 5 6 8 10 20 30 50 100 200 Preko 200 (1,8) 1,32 1,20 1,15 1,11 1,08 1,06 1,03 .1,02 1,OI 1O ,O 1O ,O 1,0 (12,7) (13) 4,3 0,715 3,2 460 2,8 451 0 , 4 5 - 2,6 2,4 0,38 0,34 423 419 0,14 0 ,lO 0,07 0 2,3 2,1 2,05 2,O 2,O 1,97 1,96 (9,O) 2,s 1,6 1,24 I,05 0,84 0,72 047 437 0,28 0,20 0,14 0 (64) 9,9 5,s 4,6 4,O 3,s (45) 5,7 2,9 2,1 1,6 1,24 1,03 0,64 0,50 438 0,26 0,18 0 (235) 19,2 9,2 6,6 5,s 4,s 4,l 3,4 3,3 3,16 3,l 3,04 3,O ' a konaEni rezultat izraiavamo u obliku: xf u ili % (1 f E,), gde je E, = X 3,25 2,9 2,s 2,7 2,6 2,6 I ' Iz tablice 1.5 vidimo da faktor t raste sa smanjenjem broja pojedinatnih mjerenj a n. Uz samo dva mjerenja nije vise moguCe dati statistiEku procjenu. Pri veliko m n ne razlikuie se faktor t od faktora k u tablici 1.4. KonaEni rezultat iz n p ojedinatnih mjerenja iskazuje se ako su otklonjene sistematske pogreike, pomoCu aritmetitke sredine X i podrutja pouzdanosti za odredenu statistitku sigurnest P . PodruEje pouzdanosti daje se ili u jedinicama mjerene veliEine ili u relativni m iznosima. Za primjer naveden u tablici 1.1 ( = 200,05 mm; X s. = 0,15 mm i n = 20) bit C konaEni rezultat uz statistitku sigurnos&P = 95% e . - = 447 prema ta blici 1.5, odnosno f = 0,47 s F Mjerna nesigurnost u moie se smanjiti poveCanjem broja pokusa samo do neke odred ene granice, zbog udjela neodredenih sistematskih pogreiaka. T o praktiEki znaEi da opCenito nema svrhe izvrSiti pretjerano mnogo pokusa. Zbog bolje ocjene nesi gurnosti mjernih rezultata korisno je razlikovati ova dva granitna sluEaja: post upak ponavljanja pokusa i usporedne pokuse. Postupkum ponavljanja pokrcsa jedan ispitivaE odreduje mjernu vrijednost s istim mjernim uredajem, ponavljajuCi poku s n puta. Postupkom ponavljanja veCinom ne moiemo u cijelosti obuhvatiti sistema tske pogrdke. Usporednim pokusima razni ispitivati odreduju mjerenu veliEinu u r aznirn laboratorijima, p+njenjujuCi razne mjerne uredaje iste izvedbe. Ovdje je standardna devijacija opCenlto veCa nego kod postupka ponavljanja pokusa. Razlog tome su pogreike pojedinih uredaja, pogreSke koje unose razni ispitivaEi, te ra zlike u postupku pojedinih laboratorija. T e dodatne pogrdke imaju za pojedine l aboratorije karakter sistematskih pogrdaka, ali ako se statistitki obraduje veCibroj laboratorija koji u tome sudjeluju, one se pojavljuju kao dodatne ,,sluEaj nea pogreSke Ito POveCavaju standardnu devijaciju. Katkada se dio tih dodamih po grdaka, npr. poznate pogrdke mjernih uredaja, mogu eliminirati korekcijom. NajEe ICe to ipak nije moguCe, pa dolazi do spomenutog poveCanja standardne devijacije . Iskustvo pokazuje da je Eesto standardna devijacija usporednih pokusa otprilik e dva puta veCa nego kod postupka ponavljanja pokusa. Prirnjer usporednih pokusa su kruina ispitivanja, pri kojima vise laboratorija redom vrSi usporedna ispiti vanja nekog odredenog mjernog objekta ili mjernog uredaja. uv,POGRESKE MJERENJA 1. 1.6. POGRESKE FUNKCIJA IZRAVNO MJERENIH VELICINA Pri iskazivanju konafnog rezultata i njegove mjerne nesigurnosti treba oznatiti da li su podaci dobiveni na osnovi postupka ponavljanja ili usporednih pokusa. T ek u posljednjem sluhju ima mjerni rezultat opCenitu vainost. Mjernu nesigurnost mjernog postupka potrebno je razlikovati od mjerne nesieumosti aritmetifke sred ine. Ona sluii za medusobnu usporedbu razlifitih mjernih iostupaka i uredajl, pa ju treba tako definirati da ne ov&i o broju izvrienih pojedinafnih mjerenja, ko ji je od sluhja do slufaja razlitit. Stoga mjernu nesigurnost mjernog postupka i zraiavamo pomoCu jednostruke ili viiestruke vrijednosti standardne devijacije o osnovnog skupa ili dovoljno reprezentativne vrijednosti s. U fizici i geodeziji festo se mjerna nesigurnost mjernog postupka definira pomoCu jednostruke vrijedn osti standardne devijacije o ili s, kako je to veC Gauss uveo (srednja kvadratna pogrdka pojedinafnog mjerenja). Zbog poveCanih zahtjeva na sigurnost u modernoj industriji pojavljuju se zahtjevi za poveianjem na dvostruku vrijednost standar dne devijacije ili Eak na trostruku vrijednost, npr. u industriji mineralnih ulj a. Ipak se u posljednje vrijeme daje sve veCa prednost, narotito u industriji, s tatistiEkoj sigurnosti P = 95% (1,96 o). Korisnik termometra moie se zadovoljiti time da su pogrdke njegovog termometra u nutar + 0,15 "C, a ako ieli tafnije mjeriti, moie uzeti u obzir sistematsku pogr dku. Tada on moie pomoku ovakvog termometra ,,ispravnoMmjeriti unutar mjerne nes igurnosti od 402 "C. Da bi se bolje objasnilo znafenje granica pogrdaka, prikaza na su na sl. 1.3 joi dva primjera. U drugom primjeru je pokazivanje termometra 1 9,85 "C i upravo je na donjoj granici. Granice pogrdaka s~ jog odriane. U treCem primjem pokazivanje termometra iznosi 20,16 "C, te je izvan granica pogrdaka; T akav se termometar ne smije proglasiti ispravnim. + C, 1.5 GRAMCE POGRESAKA Granice pouzdanosti i mjernu nesigurnost treba strogo razlikovati od granica pog reSaka. Granice pogrdaka su, u praktifkoj mjernoj tehnici, ugovorena ili garanti rana najveCa odstupanja na v%e ili manje od prave ili naznafene vrijednosti. Gra nice po&aka mogu biti dane jednostrano (predznak ili -) ili dvostrano ( + ) i ne smiju biti prekorafene, bez obzira na mjernu nesigurnost kojom mjerni rezultat moie biti ustanovljen. Granice pogrdaka omogubvaju nedvosmislenu podjelu mjernih uredaja ili mjernih objekata na ,,ispravnecci ,,neispravneW. Granice pogrdaka o buhvabju, ako nije drugafije ugovoreno, sistematske pogr&ke, te dodama odstupanj a koja nastaju zbog pojava starenja. Da bi se izbjegli nesporazumi pri utvrdivan ju prekorafenja granica pogrdaka, potrebno je da mjerna nesigurnost bude dovoljn o mala; po mogutnosti ne smije biti v& od 115 podrufja danog graflicama pogrdaka . Zbog boljeg razumijevanja navest Cemo primjer. Jedan iivin termometar sa skalo m od 0 do 50 "C ima podjele od 1/10 "C i garantirane granice pogrdaka 415 "C. Pr i baidarenju s etalonskim termometrom u vodenoj kupki na ,,taEnojU temperaturi o d 20,00 "C pokazao je 20,lO "C (sl. 1.3, primjer 1). Prema tome je njegova siste matska pogrdka: D& g m k a o Pram v3'eohod pogre3a.ta Slika l.d.,krimjeri za granice pogregaka imjernu su odriane granice pogreSaka, a u ' t f c 1.6. Gornja gmnica pogreiaka nesigurnost u (u primjeru primjeru 3 nisu) t + Kada se propisuju ili daju podaci o nekom mjernom rezultatu, postupku ili mjerno m uredaju ne prepomfuje se upotreba pojma ,,tahostCC pojmova: mjerna veC nesigur nost i granice pogrdaka. Ako se daju brojrani podaci o mjernoj nesigurnosti, tre ba uz njih navesti izraze: ,,nesiguranU ili ,,mjerna nesigurnost", kako bi se iz bjegle zabune. I pri davanju brojfanih podataka o granicama pogrdaka ne smije se izostaviti izraz ,,granite pogrdakaCC.Iznirnno je to dopuiteno ako time u vezi ne moZe nastati zabuna. "'"''''''''''''''''''''''''''''''''''' POGRESKE FUNKCIJA IZRAVNO MJEREMH VELICINA (SLOZENE POGRESKE) + dakle jog unutar granica pogrdaka. Ako je isto i kod ostalih temperatura, te ako ispitivani termometar zadovoljava i ostale propisane zahtjeve, moie se proglasi ti ispravnim. Mjerna nesigurnost pri ovakvoj izvedbi termometra iznosi rf: 0,02 "C, Sto je 7,5 puta manje od podrufja danog granicama pogrdaka, pa se eventualno prekorab j e granica pogrdaka mo2e sa sigurno5Cu ustanoviti. ' U mjernoj praksi se festo traiena velifina ne dobiva izravnim mjerenjem, vet se do rije dolazi r a b k i m putem na osnovi mjerenja nekih drugih velirina. Pri t ome se redovno postavlja pitanje pogrdke tako dobivenog rezultata. MoguCi su ovi slufajevi: a) Vrijednosti sistemakkih pogrdaka mjerenih velifina su poznate, np r. iz tablica bddarenja. Neka je npr. mjerni rezultat y funkcija mjerenih velifi na xl, x2 . . x,,, tj. y = F (x,, x2 . . . x,). Ako su pri tom sistematske pogrd ke mjerenih velifina: Ax,, Ax, . . . Ax,, onda se sistematska pogrdka Ay moZe od rediti p o m o h totalnog diferencijala funkcije y: . "1.6. POGRESKE FUNKCIJA IZRAVNO MJERENIH VELICINA 79 T u je pretpostavljeno da su pogreike Axi x; < 1. U raf unu pogrdke mjernog rezultata treba pripaziti na predznak pogreiaka Axi. Redovno je ipak jednostavnije u ovakvim prilikama najprije iskorigirati podatke dobivene mjerenjem, a tek ond a pomoh tih podataka izrafunati traieni mjerni rezultat y, koji je tada bez sist ematske pogreike. b) Poznate su standardne. devijacije, odnosno srednje kvadraul e pogreike mjerenih veliEina (pogl. 1.6.1.). c) Poznate su granice pogreiaka mje renih velifina (pogl. 1.6.2). I c) Standardna devijacija zbroja: y = x, + x,. i Ako je npr. x, = x, i s,% = s2%= s,%, dobivamo: Vidimo da je -procentualna stand ardna devijacija sume manja od procentualne standardne devijacije pojedinih suma nada. d) Standardna devijacija razlike: y = x, - x,. 1.6.1. Standardna devijacija funkcije izravno mjerenih velirina Ako se mjerni rezultat y = F (x,, x2 . . . x,) odreduje mjerenjem velifina x,, x , . . . x,, pa se pri tom izmjerene vrijednosti tih velifina rasturaju zbog djel ovanja sluEajnih pogreiaka, onda se u izrazu (1.18) pogreike Ax,, Ax, . . . Ax, mijenjaju od sluEaja do slufaja i po velitinii po predznaku. Stoga pogre3ke Ax,, Ax, . . . Akn moZemo promatrati kao n nezavisnih skupova koji su u izrazu (1.18 ) pomnoieni aF aF faktorima -, - . . . pa prema izrazu (1.8) moiemo odrediti sta nawl ax, ax, dardnu devijaciju sy funkcije y, ako su poznate aandardne devijacije s,, s, veli Eina x,, x, . . . x,: . . . s, Procentualna standardna devijacija razlike moie postati jako velika ako se xl i x, malo razlikuju, pa takva mjerenja treba izbjegavati. Na prirnjer, gubici jedn og nansformatora izmjereni su metodom dvaju vatmetara, te su dobivena oEitanja 1 00 kW i -95 kW, odnosno gubici iznose 5 kW. Ako 'su standardne devijacije ditanj a 0,1%, onda je procenbalna standardna devijacija gubitaka: odnosno :odnosno 27,6 puta veCa od procentualne standardne devijacije oEitanja na jednom vatmetru. Razmotrimo standardne devijacije nekih jednostavnijih funkcija s kojima se EeiCe susreCemo: a) Standardna devijacija produkta : y = x, x,. 1.6.2. Sigurne granice pogreSaka funkcija izravno mjerenih velirina Na prirnjer, pri odredivanju snage istosmjernog potroiafa mjerenjem njegove stru je i napona (P = IU) dobiva se standardna devijacija snage 1,41%, ako su standar dne devijacije izmjerene struje i napona 1%. b) Standardna devijacija kvocijenta : y =3 . r, VeCinom su pri praktifkim mjerenjima poznate samo granice pogreiaka upotrijeblje nih mjernih uredaja, instrurnenata i mjera. Ako se pri tome do trdenog rezultata dolazi rafunski, na osnovi mjerenja nekih drugih velifia, onda granice pogreiak a rezultata moZemo odrediti tako da u totalni diferencijal funkcije (izraz 1.18) uvrstimo umjesto Ax,, Ax,. . .'Ax, poznate granice pogrdaka f GI, G, . . . G, m jerenih veliEina x,, x, . . . x,. Koji predznak treba tada dati granicama mjeren ih velitina? U najnepovoljnijem slutaju mogu se prave vrijednosti mjerenih velit ina nalaziti bilo na donjoj, bilo na gornjoj granici pogrdaka, pa granice pogrei aka funkcije neCe sigurno biti premaSene samo onda ako ih odredimo zbrajanjem ap solutnih vrijednosti parcijalnih diferencijala funkcije. Takve granice nazivamo Jigurnim granicama pogrdaka funkcije i odredujemo ih pomoCu izraza: + + Na primjer, pri odredivanju otpora mjerenjem struje i napona \ R = - bit C e - 1 standardna devijacija otpora 1,41%, ako su standardne devijacije izmjerene struj e i napona 1%. 3 Razmotrimo sigurne granice pogreSaka nekih jednostavnijih funkcija.1.7. PRIKAZIVANJE REZULTATA MJERENJA a) Sigurne granice pogrdaka produkta: y = xl x2. da se umjesto standardnih devijacija uvrhavaju granice pogreiaka pojedinih mjerenih velif ina : Na primjer, snaga istosmjernog potroiata odredena je mjerenjem njegove struje i napona; ako su granice pogrdaka izmjerene struje i napona 2 1%, onda su granice pogrdaka snage f 2% (usporedi s primjerom u pogl. 1.6.la). b) Sigurne granice po grdaka kvocijenta: y =5 xz . Na primjer, otpor jednog otpornika odreden je mjerenjem struje i napona; ako su granice pogreiaka mjerenja struje i napona f 1%, onda su granice pogrdaka otpora 2% (usporedi s primjerom u pogl. 1.6.lb). + c) Sigurne granice pogrdaka zbroja: y = x, + x,. Sto je jedan surnand veti, viie utjetu njegove procentualne granice pogrdaka! d) Sigurne granice pogrdaka razlike: y = x, - x,. Ovako izraEunate granice pogrdaka bit C ipak katkada premaiene, pa zato kod e nj ih moiemo govoriti samo o njihovoj manjoj ili veCoj statistiEkoj sigurnosti. Det aljnija razmatranja pokazuju da statistiEka sigurnost ovih granica iznosi otpril ike 95%, ako je rezultat dobiven na osnovi mjerenja dviju veliEina Eije su stand ardne devijacije dva puta manje od njihovih granica pogrdaka (s, = 0,5 Gl i s, = 0,5 G,). Sigurnost iznasi vet 99% ako su standardne devijacije dviju mjerenih v eliEina otprilike 2,5 puta manje od njihovih granica pogrdaka, te ako i n je raz dioba por grdaka simetritna s obzirom na granice pogrdaka (lit. 1.8). Napomenimo joi da je raspodjela pogrdaka raznih mjernih uredaja, instrumenata i mjera upot rebljavanih u mjernoj tehnici takva da uz primjenu statistitkih granica pogrdaka postiiemo sigurnost od barem 95%. Upotrebom kvalitetnije mjerne opreme postiZem o sigurnost koja je Eak iznad 99%. Iznimno ne smijemo na ovaj naEin odredivati g ranice pogrdaka ako su pogrdke upotrijebljenih mjernih uredaja medusobno ovisne. Ako se npr. do mjernog x, dolazi pomoCu tri mjerna uredaja s granicama pogrerez ultata y = xl x, iaka G,, G, i G,, 'te ako se uredaji 2 i 3 bddare pomoCu nekog preciznijeg uredaja s granicama pogrdaka Go < G,, G, i njihova pogrdka uzme u ob zir pomoCu popravki, onda su statistitke granice pogrdaka mjernog rezultata: + + +1/-,G;= a n e : G,"= k v m (1.31) S l i h o kao u poglavlju 1.6.ld dobivamo za male razlike velikih brojeva znatne procentualne granice pogrdaka, pa bismo za primjer naveden u tom poglavlju, uz granice pogdaka vatmetara od *0,1%, dobili granice pogrdaka gubitaka: Treba voditi raEuna i o tome da se kod nekih mjernih uredaja, kao Sto su npr. mj erni transformatori, susreCemo s izrazito nesimetritnom raspodjelom pogrdaka unu tar granica pogrdaka. U takvim prilikama preporudjivo je prirnijeniti sigurne gr anice pogrdaka. @PRIKAZIVANJE I IZRAVNAVANJE REZULTATA MJERENJA dakle 39 puta veCe nego Sto su procentualne granice pogrdaka vatmetara. 1.6.3. StatistiEke granice pogreliaka funkcija izravno mjerenih velirina Sigurne granice pogdaka funkcije odredili smo uz vrlo malo vjerojatnu pretpostav ku da C se sve izmjerene vrijednosti nalaziti baS na granici pogrdaka i to e na onoj granici gdje dolazi do zbrajanja apsolutnih iznosa parcijalnih diferencijal a u izrazu (1.18). Sto je veCi broj mjerenih velifina potrebnih za odredivanje r ezultata, to je manja vjerojatnost da C p o g d k a mjernog rezultata dose6 tako i z r a b a t e e granice. Zato smo ove granice i nazvali sigurnirn granicama. Ovako izracunate granice bit C stoga vrlo testo prdiroke, pa se u mjernoj praksi rnnogo upotrebe ljavaju statistiCke granice G," koje se odreduju prema izrazu ( 1.20), s tom razlikom Uz rezultate mjerenja kod kojih je tahost od posebnog znataja, navodimo granice pogrdaka mjerenja, odnosno mjernu nesigurnost, na naEin kako je to objainjeno u poglavljima 1.4 i 1.5. Pri raznim tekuCim mjerenjima Eesto to nije potrebno; zad ovoljavamo se time da rezultat ispiiemo na toliko decimalnih mjesta da pogrdka m jerenja ne bude veCa od jedinice zadnjeg decimalnog mjesta. Na primjer: y = = 20 ,46 A znaEi da pogrdka mjerenja nije veCa od f 401 A. Pri tome treba s brojem 0 postupati kao i s astalirn brojevima, pa npr. y = 20,OO A znaEi da pogrdka mjere nja nije veia od 0,01 A, a y = 20,O A da pogrdka mjerenja nije veCa od f 0,l A. Ako ocij+mo da je pogrdka mjerenja veka od jedinice zadnjeg decimalnog mjesta, i spisujemo zadnju decimalu smanjenu i n d t o ni2e od ostalih decimala (npr. 20,4 ,). Ispisivanje nepotrebnog broja decimalnih mjesta treba i onda' izbjegavati ka da se do konatnog rezultata dolazi tek nakon prerabavanja rezultata dobivenih mj erenjem. +1.7. PRIKAZIVANJE REZULTATA MJERENJA Na primjer: Treba voditi raeuna i o naEinu prikazivanja medusobne ovisnosti mjerenih veliEin a. Na primjer, pri crtanju veliEina koje se malo mijenjaju zgodno je nanijeti sa mo onaj dio u kojem se promjene odvijaju. Slike 1.5 i 1.6 prikazuju bninu vrtnje jednog porednog motora u ovisnosti o momentu opterekenja. Sa sl. 1.6, moguee je lagano oEitanje broja okretaja, a sa sl. 1.5 je to gotovo nernoguCe. Pri tome o ba dijagrama zauzimaju istu povrginu. Pri tome zadnju zadrZanu brojku povisujemo za jedan, ako je prva otpdtena brojka veCa od 5 ili 5. Na p e j e r 48,5 zaokruhjemo na 49. Vrlo Eesto se u mjernoj p raksi provodi mjerenje pojava koje ovise o nekoj promjenljivoj velifii. Tada, zb og veCe preglednosti, prikazujemo grafitki izrnjerene vrijednosti i na dijagramu ih oznabvamo taEkicama, k r u 2 i h a iIi k r k l i h a . Ako zatim te tatke sp ojimo linijom, obitno dobivamo izlomljenu krivulju zbog pogrdaka mjerenja. Kako se najEdCe snimaju kontinuirano promjenljive f i e pojave, vuhmo krivulju izmedu tataka (sl. 1 . 4 ~ v o d d raihma da suma pozitivnih )~ i negativnih odstupanj a susjednii taEaka od krivulje bude jednaka nuli, s l i b o kao Sto je pri odred ivanju aritmetifke sredine suma pozitivnih i negativnih odstupanja bila jednaka nuli. Crtanje krivulje je olak3lano ako je karakter krivulje unaprijed poznat, S to je vrlo Eesto. t momentu optereeenja , 20 30 40 H Nm momentu optereeenja Ako se npr. baidari jedan instrument pomoCu drugog preciznijeg instrumenta, zgod no je nanijeti na os apscisa otklon baidarenog instrumenta, a na os ordinata raz liku izmedu pokazivanja preciznijeg instrumenta i baidarenog instrumenta, tj. ko rekciju (sl. 1.8). T i e dobivamo znatno veCu preglednost nego kad bismo na ordi natu nanijeli otklon preciznijeg instrumenta (sl. 1.7). I~.~~JI 0( 0( (d.~k.)ta) b~ Grafifko prikazivanje medusobno ovisnih rnjernih vrijednosti Kod grafiEkih prika za, gdje dobivena krivulja pokazuje maksirnum ili minimum iIi jako zakrivljenje, treba biti oprezan u interpoliranju, jer su moguke vvelik e pogrdke. T u je potrebno izmjeriti vrijednosti upravo kod maksimuma ili minimu ma. Neispravno je pokugati te vrijednosti odrediti p o m h susjednih taWa, s l u h 5 se interpolacijom kao na sl. 1.4 6. Pri grafiEkom prikazivanju rezultata tr eba voditi raliuna o svrsishodnom izboru mjerila. Prevelikim mjerilom gubise pre glednost, a premalim ne postik dovoljna taEnost ditanja na dijagramu. Pogrdke ot itanja na dijagramu iznose otprilike f 0,l mm, pa je svrsishodno odabrati takvo mjerilo da mjerna nesigurnost u mjerene veliEine prikazane u tom mjerilu iznosi otprilike tri do pet puta *e, odnosno 0,3 - 0,5 mm. (Na primjer, struju koja se mjeri s nesigurndh f 0,l A zgodno je prikazati u mjerilu 1 cm = 2 A). Da bi se v r i j e d n d prikazane na dija'gramu mogle brzo otitati, zgodno je da jedna po djela na dijagramu predstavlja jednostruku, dvostruku ili peterostruku jedinicu mjerene veli8i.e ili njene dekadske umnoSke. 20 40 60 80 1 0 1 0 140 150 0 2 ld.skJl oc Pokazivmje b a i d a ~ m g L?sf~umenfa prikazivanje preciznog i baidarenog instruments Slik@~rikladno prikazivanje pokazi a preciznog i baidarenog instrumenta Pri kvadratitnom odnosu izmedu mjerenih veliEina (y = k x3 zgodno je na apscisi x upotrijebiti hadratitnu skalu, tako da parabola prede u pravac. Time se dobiva veCa preglednost i bolje se mogu vrgiti interpolacije i ekstrapolacije. -44 POGRESKE MJERENJA 1. 1.7. PRIKAZIVANJE REZULTATA MJERENJA 45 Ako npr. felimo prikazati odnos izmedu magnetske indukcije i jakosti magnetskog polja za neki magnetski materijal potevii od vrlo slabih do najvecih polja, onda je jakost magnetskog polja bolje prikazati na logaritamskoj skali (sl. 1.10 ). Prikaz je mnogo pregledniji nego na lineamoj skali (sl. 1.9). Standardne devijacije konstanti a i b, odredenih iz izraza (1.33), iznose: Slika 1.9. Neprikladno prikazivanje krivulje magnetiziranja SHka 1.10. Prikladno prikazivanje krivulje magnetiiiranja Linearnu regresiju mofemo primijeniti i kada izmedu dviju mjerenih veliEina ne v lada linearni odnos. Tada nalazimo pribliine vrijednosti a, i bo konstanti a i b te razvijemo funkciju y =f (x, a, b) u red potencija od Aa = a - a, i Ab = b b,. Uzirnatno u obzir Sam? Elanove pwog reda, pa dobivamo linearnu jednadfbu s k ojom postuparno na vef opisani naEin. Dat Cemo jedan primjer. Mjeri se izbijanje jednog kondenzatora koje se odvija po zakonu u = Ume-*IT, gdje je u napon na ko ndenzatoru u vremenu t , U, napon kondenzatora na poEetku izbijanja, a T= RC je wemenska konstanta. Provedena su dva mjerenja. U prvome (stupci 2 i 3 u tablici 1.6) jedan je ispitivat motrio na otklone voltmetra i pri naponima od 150 V, 140 .V, 120 V, ... davao znak drugom ispitivah da oEita wijeme. U drugom pokusu (stu pci 5 i 6 u tablici 1.6) drugi ispitivaE je nakon 0, 10, 20, ... sekundi davao z nak pwom ispitivafu da oEita napon. Iz podataka mjerenja valja odrediti vremensk u konstantu T, ~ o f e t n inapon U, i standardnudevijaciju s,, sumi s, za oba p okusa, te zakljutiti k'oji je postupak pouzdaniji. Razvojem u red dobivamo : PomoCu raeunskih postupaka koji se temelje na metodi najmanjih kvadrata mogu se mjerni rezultati taEnije i potpunije obraditi nego njihovim grafiEkim prikazivan jem. No takvi postupci zahtijevaju, veC i u jednostavnim primjerima, mnoHtvo r a b s k i h operacija koje je tdko provesti bez upotrebe stolnoga r a h k o g sxr oja,za koji je pofeljno da imamogu6nost programiranja i memoriranja. Postupak je najjednostavniji kad h e d u dviju mjerenih veliEina vlada linearni odnos. Tada za n izmjerenih parova x, i y, odredujemo linearnu funkciju: kod koje je najman ja suma kvadrata odstupanja od izmjerenih wijednosti. Ta funkcija naziva se prav ac regresije, a konstante a i b tog pravca dobivaju se na ovaj natin (lit. 1.1. i 1.2.): [xyl a= u et1'0 - UU = ATTUrn, t To Tablica 1.6. + AU, 6 D r u g o mjerenje VlijemeMjexenje isbijanja kondenzatora 1 3 4 5 1 7 Prvo m j e r e n j e 1 1 1x1 bl b =-]b 1 [x'] gdje su: - - [XI' n n - -[XI n a (1.33) i Napon kondenzatora Vrijeme e l * izmeau izmjerenog 1 Napon kondenzatora izrahatog napona Razlika izmedu izmjerenog i izrahatog napona Srednju kvadratnu pogrdku, odnosno standardnu devijaciju pojedinabog mjerenja s, , mofemo procijeniti iz odstupanja pojedinahih mjerenja y, od vrijednosti i z r a h a t i h p o m o h pravca regresijeYid:1.8. ZADACI 47 x = Umo t/T,2 i b = AU,. Upovijebimo li oznake iz izraza (I .32), dobit Cemo: y = u evTe - Urn,, a = AT, Pretpostavimo da je: Urno 150 V i To = 82 s, = pa uz pomoC izr& od (1.32) do (1. 36) izlazi za prvo i drugo mjerenje (indeksi 1 i 2): 5) Od otpornika iste nazime vrijednosti fija je standardna devijadja 0,4% fxba s lotiti serijsku kombinaciju od 10 otpornika Kolika je procentualna standardnrr devijaci ja takve kombinacije? 6) Otpornici od 10 oma imaju standardnu devijaciju 0,2%, a otpornici od 100 oma standardnu devijaciju 2%. Koliku procentualnu standardnu d evijaciju irna paralelna, odnosno serijska kombinacija, takva dva otpornika? 7) Na jednom dijelu motora serijske proizvodnje izvrsen je pokus trajnog rada i izm jereno zagrijavanje. Aritmetifka sredina nadtemperature tih motora iznosila je 6 5 "C, a standardna devijacija 2,5 "C. Koliki fe se procent motora zagrijavati pr eko propisima dopustene granice nadtemperature o 70 "C? d 8) Kondenzatori kapadt eta 1 pF imaju standardnu devijaciju I%, a kondenzatori od 4 2 yF standardnu dev ijaaju 5%. Kolika je procentualna standardna devijacija paralelne i serijske kom binacije takva dva kondenzatora? 9) Vrijednost otpora jednog otpomika odredena j e mjerenjem niegove struje i napona. Kolike su sigurne i statistiEke granice ~og reIakatako odredenog otpora, ako su granice pogreSaka izmjerene struje +_0,2%, a napona +_0,5%. 10) S n a p potroSata poznatog djelatnog otpora R odredena je mj erenjem njegova napona. Kolike su sigurne i statistifke granice pogreBaka tako o dredene snage, ako su granice pogresaka izmjerenog napona c 0,2%, a otpora f 0,1 %. 119 Koliki su gubici agregata, ako njegova primljena snaga iznosi 1436 W, a predana I383 W ? Koliko iznosi procentualna mjerna nesigurnost tako odredenih gu bitaka, ako su sistematske pogreSke vatmetara uzete u obzir, a mjerna nesigurnos t vatmetara iznosi 0,1%? 12) Treba odrediti jalovu snagu nekog jednofaznog potro fab na osnovi mjerenja stmje, napona i djelatne snage. Kolike su sigurne i stati sti&e granice pogreSaka jalove snage kod cos p = = 0; 4 5 ; 0,707 i 0,894, ako s u granice pogrdaka upomjebljenih instrwnenata +_0,5%? Vidimo da se u drugom mjerenju dobivaju manje standardne devijacije. Pri odrediv anju velitina U, i T korisno je poCi od rezultata jednog i drugog mjerenja, no p ri tome treba uzeti u obzir da je teZina drugog mjerenja veCa, pa prema izrazu ( 1.12) dobivamo : Osim na opisani naEin m6gu se eksponencijalne, logaritamske funkcije i M c i j e potencija linearizirati tako da se one logaritrniraju i onda primijene izrazi o d (1.32) do (1.36). U vei izloienom primjeru dobili bismo logaritmiranjem: In y = = - t / T In U,. T u konstante a i b iznose: a = I / T i b = In U,, a mofemo i h onda odrediti porno& izraza (1.33). ( + 1.8. Z a d a c i 1) Wheatstoneovim moitom izvrJeno je pet mjerenja jednog otpora pod istirn okolnostima. Dobivene su vrijednosti: 1483, 1478, 1482, 1485 i 1480 oma. Kolika je najvjerojatnija vrijednost mjerenog otpora, zatim standardna devi jacija s pojedinai-nog mjerenja i standardna devijacija s i aritmetiae sredine? Koliki su aritmetitka sredina x, standardna devijacija s i podmee pouzdanosti ar itmeti&e, sredine kod P = 95% za slijedeCe pojedinafne rezultate mjerenja:2) 3) Kroz duti vremenski period obavljena su u vige navrata mjerenja gubitaka raznih uzoraka transformatorskog lima iste vrsre. Svaki uzorak je izmjeren dva puta ist im mjernim urcdajem i pod jednakim okolnostima. Dobiveni su podaci: 9,53 i 9,46; 931 i 9,35; 9,74 i 9,79; 9,48 i 442; 9,51 i 9,58; 9,58 i 9,53 W. Kolika je mjer na nesigurnost (P= 95%) upotrijebljenog mjernog postupka? Od ukupno 1 O O otpomi ka nazivne vrijednosti 1000 oma izmjeren je uzorak od 200 otporOO nika: Koliko b e ootpomika od ukupne kolitine odstupati od nazivne vrijednosti preko 0,5%, ako Je aritmetiaa sredina uzorka 1001,O oma, a standerdna devijacija uzorka 2,O oma? 4)48 MJERNI OTPORNICI KONDENZATORI SVICI 2. Mjerni otpornici, kondenzatori i svici nalaze najSiru primjenu u elektritnoj mje rnoj tehnici i susreku se u gotovo svim elektricnim mjernim instrumentima i ured ajima, kao predotpori, poredni otpori, zakretaei faze itd. Cesto se na osnovi us poredbe s njima odreduju nepoznati otpori, kapaciteti i induktiviteti. T a h o q mjerenja tada izravno zavisi o tatnosti upotrijebljenih mjernih otpornika, kond enzatora ili svitaka, pa se oni za potrebe najpreciznijih mjerenja izraduju Eak u granicama pogreiaka od 0,001%. Od njih se zahtijeva da ostanu nepromijenjeni m nogo godina, te da budu Sto manje podloini utjecaju temperature okoline, vlage, blizine susjednih predmeta, vanjskih elektriekih i magnetskih polja itd. Posebno se od mjernih otpornika zahtijeva da njihov vlastiti induktivitet, vlastiti kap acitet i kapacitet prema zemlji budu Sto manji, tj. da predstavljaju Sto ,,EiSCi cc djelatni otpor. Time se redovno znatno pojednostavnjuje mjerenje, a naroEito izraEunavanje mjerene velzine. S l i h o se od mjernih kondenzatora i svitaka za htijeva da predstavljaju Sto ,,Eil;Cicckapacitet i induktivitet. + 2.1. MJERNI OTPORNICI @aterijali ra mjerne otpornike Od materijala predvidenih za izradu mjernih otpornika, nardito onih vrlo precizn ih, zahtijevamo da imaju visok specifitni otpor, neznatan temperaturni koeficije nt otpora, npnatan termoelektrieki napon prema bakru, konstantnost kroz desetke godina, te da ne mijenjaju otpor zbog mehaniekih naprezanja Sto nastaju od treSn je i udaraca. Takva svojstva u velikoj mjeri posjeduje manganin, legura bakra i mangana s malim dodatkom nikla, koji je vrlo ran0 uveden u upotrebu , (Edward We ston, 1884 g.). Njegov specifitni otpor iznosi 0,43 Q $ temperaturni koeficijent otpora 0,00001/"C, a termoelektritki napon prema bakru svega 1pv/ OC. Da bi se postigli mali temperaturni koeficijent i vremenska konstantnost, mora se mangani n podvrki posebnoj toplinskoj obradi. Neizolirane iice ?are se otprilike 1 sat u neutralnoj atmosferi, na 400 OC, dok se veC namotani otpornici s izoliranom Zic om drk od 12 sati do 3 dana na temperawi od 140%. Nakon toga prepuStaju se otpor nici joS i prirodnom starenju, koje traje od nekoliko mjeseci do jedne godine. S vojstva sliEna manganinu imaju legure poznate pod nazivom izabelh, novokonstanta n, te legure zlata i kroma, pa se i one upotrebljavaju za izradu najpreciznijih otpornika. 4 Mjerenja u elektrotehnici2.1. MJERNI OTPORNICI 51 &to se primjenjuju i rame legure nikla i kroma (izaom i k m a ) , koje imaju spe cifihi otpar oko 1,3 Qmrn21m, dakle otprilike tri puta veCi od manganina. Osim t oga, njihova je mehanitka hmoCa znatno vda, tako da se iz tih legura izraduju Zi ce Eiji promjer iznosi samo 0,012 m n dok najtanje manganinske Zice r, imaju pro mjer 4 0 2 mm. Zbog toga se Zicama od tih legura mogu izraditi visokoomski otpor nici, koji imaju znamo manje dimenzije nego manganinski. vamo nadomjesnu shemu mjernog otpornika (sl. 2.2), koja se mo2e upotrijebiti sve do vrlo visokih frekvencija. Vlastiti induktivitet i kapacitet mjernog otpornik a izazvat C fazni pomak izmedu njegove struje i napona, pa otpornik neCe prede s tavljati Eisti djelatni otpor, narotito na podrutju visih frekvencija. Razurnlji vo je da nastojimo Sto viSe smanjiti vlastiti induktivitet i kapacitet mjernih o tpornika, no ipak ih ne moZemo potpuno otkloniti. Stoga razmotrimo da li se njih ove vrijednosti mogu tako medusobno uskladiti da mjerni otpornik djeluje kao dje latni otpor, premda posjeduje vlastiti kapacitet i induktivitet. U tu svrhu odre dimo impedanciju Z spoja prema sl. 2.2: Od mjernih otpornika zahtijevamo mali fazni pomak t e je redovno: tg cp w cp, pa iz brojnika izraza (2.1) dobivamo: Slika 2.1. Promjene otpora manganina, izaoma i Vishay-otpomika u ovisnosti o temperaturi (1 ppm = O,OOOlO/o): a,, at i a, manpanin; b izaom; c ish hay-atpornici Slik@ Nadomjesna shema mjernog otpornika gde je r vremenska h t a n t a otpornik a: Promjene otpora manganina i izaoma ovisno o ternperaturi prikazane su na 81. 2.1 . krivuljama a,, a2, as i b. NajtdCe se upotrebljava manganin s promjcnama otpor a prema krivulji a, jer ona ima tjeme na 30 'C, a tolika je obitno radna tempera tura mjernih ureUaja zbog njihova vlastitog zagrijavanja. Takvo podudaranje je p ovoljno jer su u blizini tjemena najmanje promjene otpora. Za najpreciznij mjern e ureUaje, koji se sami vrjo malo zagrijavaju, odabire se manganin s promjenom o tpora prema krivulji a2; a za uredaje koji se znatnije zagrijavaju povoljni