1

Leonardo trac, dipl. ing. Konar energetski transformatori d.o.o.

PRORAUN NAPONA KRATKOG SPOJA TRANSFORMATORA METODOM KONANIH ELEMENATA

SAETAK Sa sveprisutnom tenjom za skraivanjem vremena projektiranja i izrade transformatora i

smanjivanja njegovih dimenzija, sve je vea potreba za modeliranjem i simuliranjem transformatora pomou raunala. U ovom lanku opisana je metodologija prorauna napona kratkog spoja energetskih transformatora te metoda konanih elemenata. Za proraun je koriten programski paket Ansoft Maxwell. Usporeen je 2D i 3D model s rezultatima mjerenja za transformator 200MVA. Na osnovu usporedbe dana je preporuka za modeliranje.

Kljune rijei: energetski transformator, napon kratkog spoja, metoda konanih elemenata

FINITE ELEMENT CALCULATION OF SHORT-CIRCUIT VOLTAGE

ABSTRACT In production of power transformers, there is an increased tendency of cutting down projecting

and manufacturing time as well as shrinking transformers dimensions. This process is increasing the need for computer modeling and simulation of transformers. Article describes methods for short-circuit voltage calculation and the finite element method. Calculations and finite method analysis are made with software package Ansoft Maxwell. 2D and 3D models of 200MVA transformer are compared with the experimental results and based on those conclusions it is given a recommendation for modeling.

Key words: power transformer, short-circuit voltage, finite element method

1. UVOD Na tritu energetskih transformatora konkurencija je sve vea. Zahtjev za smanjenjem vremena

izrade transformatora stalno je prisutan. Tenja za profitom, konkurencija i standardi stalno smanjuju dimenzije transformatora, no pri tome ostaje zahtjev za kvalitetom i ugovorenim tehnikim karakteristikama transformatora. S obzirom na karakter proizvodnje energetskih transformatora komadna proizvodnja po narudbi i cijenu proizvoda red veliine 1 000 000 , nemogue je napraviti prototip koji bi sluio za ispitivanje, provjeru projektantskih jednadbi i rjeenja. Iz tog je razloga nuno modeliranje transformatora pomou raunala i simuliranje pojava.

Napon kratkog spoja vana je tehnika karakteristika transformatora. U pravilu, kupac ga tono definira s obzirom na karakteristike svoje energetske mree ili pak transformatora koji e raditi u

2

paralelnom radu. Ugovorom su esto propisane tolerancije i novani penali u sluaju odstupanja od ugovorenih vrijednosti. Sve je to samo razlog vie za provjeru projektnih rjeenja na raunalnom modelu.

Konar energetski transformatori od 2001. godine posjeduje simulacijski paket Ansoft Maxwell kojim se mogu analizirati magnetostatski, elektrostatski, tranzijentni i termiki problemi, utjecaj vrtlonih struja, izmjeninog elektromagnetskog polja i dr. u 2-D i 3-D modelima.

2. NAPON KRATKOG SPOJA Napon kratkog spoja je onaj napon koji e uz kratko spojeni sekundarni namot kroz primarni

namot potjerati nazivnu struju. Najee se izraava kao postotak nazivnog napona:

n k n kk% 2n n

I Z S Zu 100 100U U = = , (1)

gdje su Zk impedancija kratkog spoja, a Sn, In, i Un nazivne vrijednosti snage, struje i napona. Nadalje, djelatna i jalova komponenta napona kratkog spoja raunaju se prema jednadbama:

n kr%n

I Ru 100U= (2)

n k%n

I Xu 100U= , (3)

gdje su Rk i Xk radna i jalova komponenta impedancije kratkog spoja, In nazivna struja. U pokusu kratkog spoja u kojem se uk% odreuje, narinuti napon je puno manji od nazivnog, pa

su i gubici u jezgri puno manji, te se kod ovog pokusa zanemaruju. Amperzavoji primarnog i sekundarnog namota su priblino jednaki i suprotni te je gotovo sav tok u transformatoru rasipni. Napon kratkog spoja i rasipni induktivitet vezani su jednadbom:

2

2 2nk% r%

n

UL u u100 S

= , (4) gdje su Uk% i Ur% napon kratkog spoja i njegova radna komponenta, a Un i Sn nazivni napon i

snaga. Rasipni induktivitet moe se izraunati iz energije rasipnog magnetskog toka W to je osobito

pogodno za raunanje metodom konanih elemenata:

21W L I2

= (5)

2W

L 2I

= (6)

V

1W B H dV2

= , (7) gdje je L rasipni induktivitet, B i H indukcija i jakost rasipnog magnetskog polja, a I struja

namota.

3

3. METODA KONANIH ELEMENATA

3.1. Openito

Rjeavanje elektromagnetskih problema metodom konanih elemenata ukljuuje nekoliko osnovnih koraka. Prvi korak je crtanje modela koji dimenzijama odgovara fizikom modelu. Model moe biti prikazan u 2D kartezijevom sustavu, u rotacijsko simetrinom odnosno cilindrinom sustavu ili u 3D kartezijevom sustavu.

Drugi korak je definiranje materijala za svaki dio modela. Materijali se definiraju iskljuivo kroz svoje elektrine i magnetske karakteristike (vodljivost, permeabilnost i sl.) jer njihova mehanika i druga svojstva nemaju utjecaja na raspodjelu elektromagnetskog polja u prostoru.

Sljedei korak je definiranje izvora elektrinih i magnetskih polja: elektrini potencijali, naboj, struje ili pak eksplicitno navedeni izvori polja.

Sada je mogue pristupiti rjeavanju problema. Da bi se prikazalo elektrino ili magnetsko polje u raznim podrujima modela, model je podijeljen na velik broj manjih elemenata trokuta u 2D modelu, odnosno tetraedara u 3D modelu. Polje u svakom elementu predstavljeno je zasebnim polinomom. Skup svih trokuta ili tetraedara predstavlja mreu konanih elemenata.

3.2. Ansoft Maxwell Ansoft Maxwell je program za rjeavanje elektromagnetskog polja metodom konanih elemenata.

U programu je mogue modelirati 2D i 3D modele te rjeavati probleme s vremenski promjenjivim magnetskim poljem te elektrostatske i magnetostatske probleme.

Maxwell koristi iterativnu metodu stvaranja mree usitnjavajui mreu na mjestima s najveom grekom. Tako se izbjegava zaguenje kapaciteta raunala, a opet osigurava ciljana tonost rjeenja. Tonost izraunatog polja ovisi o veliini pojedinih elemenata, a tonost cjelokupnog rjeenja ovisi o tonosti polja u svakom pojedinom elementu. to je veliina elementa manja, to je polje ujednaenije unutar njegovih granica. Meutim, generiranja rjeenja polja ukljuuje invertiranje matrice sa priblino onoliko elemenata koliko ima vrhova tetraedara (trokuta) to za mree s velikim brojem elemenata zahtijeva znatnu koliinu memorije i procesne snage.

3.3. Magnetostatski problem Rjeavanje magnetostatskog problema odvija se u dva koraka. U prvom se rauna gustoa struje J u vodiima prema zadanim izvorima istosmjerne struje. Ako

je gustoa struje J eksplicitno zadana, ovaj korak se preskae. Na objektima koji su definirani kao savreni vodii raunaju se povrinske struje jer polje u takve objekte ne prodire. S obzirom da u statinom polju nema gibanja naboja, vrijedi jednadba (8). Kada se u (8) uvrsti (9), dobije se jednadba (10) koja se rjeava u prvom koraku rjeavanja magnetostatskog problema.

div J 0t

= =G

(8)

J E grad= = G G (9) div ( grad ) 0 = , (10)

gdje je J

G gustoa struje, gustoa naboja, specifina vodljivost, a elektrini potencijal.

U drugom koraku rauna se statino magnetsko polje H s gustoom struje kao izvorom polja

prema jednadbama:

4

rot H J=G G (11) div B 0=G (12) 0 rB H=

G G, (13)

gdje je H

G jakost magnetskog polja, J

G gustoa struje, B

G magnetska indukcija, a 0 i r

permeabilnost vakuuma i relativna permeabilnost. Energija magnetskog polja rauna se u linearnim materijalima prema (14).

LV

1W B H dV2

= G G (14) gdje je H

G jakost magnetskog polja, a B

G magnetska indukcija.

4. 2D MODEL TRANSFORMATORA ZA PRORAUN NAPONA KRATKOG SPOJA Modelirani autotransformator snage je 200MVA i ima pet namota: visokonaponski (VN) nisko-

naponski (SN), tercijar koji nije opteretiv ve slui za stabilizaciju (NN) te dva regulacijska (FRA i FRB) iji se zavoji dodaju ili oduzimaju visokonaponskom namotu radi promjene napona visokonaponske mree. Simulirano je est radnih poloaja: protjecane su kombinacije namota SN-VN, NN-VN, NN-VNFRA/B i SN-VNFRA/B. Zavoji regulacijskih namota dodaju se zavojima visokonaponskog kada je visokonaponska mrea na viem naponu od nazivnog plus poloaj, a oduzimaju kada je visoko-naponska mrea na naponu niem od nazivnog minus poloaj regulacije.

Rjeenja elektromagnetskih polja 2D modela dobivena su u osam koraka adaptivnog usitnjavanja mree i imaju priblino 42 000 trokuta.

Slika 1: crte 2D modela u cilindrinom koordinatnom sustavu s ucrtanim pomonim linijama 15

NN SN VN

FRA

FRB

z

r

JEZGRA

linija 1

linija 2

linija 3

linija 4

linija 5

5

Tablica I: protjecanja namota za 200MVA (protjecanje NN za 24MVA)

efektivno protjecanje [Az]

kombinacija NN SN VN FRA FRB VN(-)/NN -37333 15017 28825 -3905 -2604 VN(+)/NN -37333 11134 21373 2896 1930 VN(0)/NN -37333 12788 24545 0 0 VN(-)/SN 0 -186288 240622 -32600 -21734 VN(+)/SN 0 -218044 177878 24100 16066 VN(0)/SN 0 -204544 204544 0 0

Nakon dobivanja konvergentnih rjeenja, za svaku kombinaciju protjecanja izraunata je ukupna

energija u prostoru problema prema jednadbi 15. Za rjeavanje takvih problema koristi se Maxwellov field calculator u postprocesoru.

ukr z

W Wdrdz= , (15) gdje je W energija u prostoru. Kad je poznata ukupna energija u prostoru, napon kratkog spoja lako se izrauna prema

jednadbi:

uk uk ukk%f f f f f

2 W 2 f 2 W 200 WuI U I U S

= = = , (16) gdje su Sf, Uf i If fazna snaga, napon i struja, Wuk ukupna energija u prostoru, f frekvencija, a

kruna frekvencija.

Tablica II: snaga, energija u prostoru i napon kratkog spoja za razliite kombinacije protjecanja

S [MVA] Wuk [J] uk [%]

VN(-)/NN 24 375,89 2,95 VN(+)/NN 24 468,68 3,68 VN(0)/NN 24 410,26 3,22 VN(-)/SN 200 10966,75 10,34 VN(+)/SN 200 16606,21 15,65 VN(0)/SN 200 12900,47 12,16

6

Slika 2: z komponenta indukcije Bz[T] za kombinacija protjecanja SN-VN

Slika 3: magnetski tok [Wb] za kombinacija protjecanja SN-VN

7

5. 3D MODEL TRANSFORMATORA ZA PRORAUN NAPONA KRATKOG SPOJA 3D model transformatora razlikuje se od 2D rotacijsko-simetrinog modela u izgledu jarma, dok

su namoti i stup jezgre jednaki. Model je prepolovljen tri puta po tri ravnine simetrije tako da je proraun napravljen s osminom cijelog modela. Crte nacrta, bokocrta i nebocrta prikazana je na slici 8. Protjecanja namota dana su u tablici I.

Rjeenja elektromagnetskog polja 3D modela dobivena su u esnaest koraka adaptivnog usitnjavanja mree, a imaju priblino 180 000 tetraedara.

Slika 4: crte 3D modela s ucrtanim pomonim linijama

Za svaku kombinaciju protjecanja izraunata je u postprocesoru ukupna energija prostora

(jednadba 17) te je napon kratkog spoja izraunat prema jednadbi 17. Izraunate vrijednosti prikazane su u tablici III.

ukdx dy dz

W Wdxdydz= , (17) gdje je W energija u prostoru.

Tablica III: snaga, energija u prostoru i napon kratkog spoja za razliite kombinacije protjecanja

S [MVA] Wuk [J] uk [%]

VN(-)/NN 24 366,00 2,87 VN(+)/NN 24 449,42 3,53 VN(0)/NN 24 397,16 3,12 VN(-)/SN 200 10621,13 10,01 VN(+)/SN 200 15788,80 14,88 VN(0)/SN 200 12434,90 11,72

8

Slika 5: z komponenta indukcije B[T] za kombinaciju protjecanja SN-VN0

Slika 6: indukcija B[T] za kombinaciju protjecanja SN-VN0

9

6. USPOREDBA REZULTATA 2D I 3D MODELA S MJERENJIMA Tablica IV pokazuje da 3D model daje tonije rezultate nego 2D. Srednje odstupanje simuliranih

od mjerenih vrijednosti kod 2D modela je: |p|=4,33%, dok je kod 3D modela |p|=1,43%. Ti podaci govore da je 3D proraun pouzdaniji i ima manje rasipanje rezultata. Jo je vanije pogledati apsolutna odstupanja koja kod 2D prorauna mogu prelaziti i 1%.

Tablica IV: usporedba rezultata simulacije 2D i 3D modela s mjerenjima

S [MVA] uk [%] - 2D uk [%] - 3D uk [%] - mjereno (mj-2D)/mj [%] (mj-3D)/mj [%]

VN(-)/NN 24 2,95 2,87 2,92 -1,03 1,71 VN(+)/NN 24 3,68 3,53 3,54 -3,95 0,28 VN(0)/NN 24 3,22 3,12 3,14 -2,55 0,64 VN(-)/SN 200 10,34 10,01 9,70 -6,60 -3,20 VN(+)/SN 200 15,65 14,88 14,53 -7,71 -2,41 VN(0)/SN 200 12,16 11,72 11,68 -4,11 -0,34

7. ZAKLJUAK Usporedbom rezultata simulacije i mjerenja pokazuju da proraun metodom konanih elemenata

moe dati dovoljno tone rezultate za potrebe projektiranja transformatora. Za primjene s manjom zahtijevanom tonou svakako je bolje odluiti se za 2D model. 2D model

je bitno jednostavniji i bri u svim koracima izrade projekta, a rezultati se nalaze u okviru 10% odstupanja od mjerenih vrijednosti. Pored toga, zahtjev za koliinom memorije i procesnom snagom bitno je manji u odnosu na 3D modeliranje.

Kada je potrebna vea tonost prorauna, svakako treba odabrati 3D model koji puno bolje opisuje fizikalni izgled modeliranog objekta, te je stoga i odstupanje od mjerenih vrijednosti gotovo tri puta manje nego kod 2D modela. Srednje postotno odstupanje |p|=1,43% i najvee apsolutno odstupanje 0,35% prihvatljive su vrijednosti, te se 3D model moe sa sigurnou prihvatiti kao projektantski alat.

8. LITERATURA

[1] T. Kelemen: Transformator, Tehnika enciklopedija svezak 13, Zagreb 1997. [2] Ansoft Maxwell 9: Online help, June 2002. [3] Z. Haznadar, . tih: Elektromagnetizam, Zagreb 1997. [4] H. Wang: Finite Element Analysis of Internal Winding Faults in Distribution Transformers, IEEE transactions on power delivery, vol. 16, no. 3, July 2001.