1

MEHANIKA FLUIDA Četiri osnovna stanja materije su: čvrsto, tečno, gasovito stanje i plazma1) kao četvrti oblik postojanja materije. Osnovna razlika između prva tri agregatna stanja leži u tipovima međumolekularnih sila. Kod gasova se molekuli kreću nezavisno jedni od drugih, dok se kod tečnosti javljaju nešto jače sile. I gasovi i tečnosti zauzimaju oblik posude u kojoj se nalaze, sa tom razlikom da gasovi ispunjavaju i celu zapreminu posude. Jednim imenom nazivaju se fluidi. Za razliku od njih, kod čvrstih tela molekuli mogu samo da vibriraju oko svojih ravnotežnih položaja jer su sile među molekulima mnogo većeg intenziteta (kubna rešetka). Podsetnih osnovnih pojmova potrebnih za definisanje zakona mehanike fluida: Gustina predstavlja masu po jedinici zapremine nekog tela. Jedinica kg/m3. Tela menjaju zapreminu sa promenom temperature što dovodi do promene gustine. Vazduh na primer, (smeša najvećim delom azota: 78% i kiseonika: 21%) ima gustinu 1,29 kg/m3 na 0º i 1,20 kg/m3 na 20ºC. Gustina vode iznosi 1000 kg/m3 na 4ºC. Stišljivost fluida Stišljivost je već obrađivana kod elastičnosti. Ukratko, stišljivost se odnosi na smanjenje zapremine fluida pod dejstvom spoljašnjih sila i opisana je zapreminskim modulom stišljivosti B, jedinica paskal (Pa). Za razliku od gasova, tečnosti su praktično nestišljive. Pritisak se definiše kao sila koja deluje normalno na neku jediničnu površinu.

Jedinica pritiska u SI sistemu je paskal (Pa=N/m2). Pored paskala upotrebljavaju se i druge jedinice za pritisak kao što su bar (105 Pa), 1atm (101325 Pa), itd. Dejstvo sile paralelne površini ne stvara pritisak na datu površinu. (Pogledati sliku).

Pritisak čvrstih tela, tečnosti i gasova

Čvrsta tela, tečnosti i gasovi stvaraju različite pritiske. Čvrsta tela svojom težinom deluju na podlogu ispod sebe čime stvaraju pritisak, što znači da pritisak čvrstih tela zavisi od njihove težine (broja molekula a ne i njihovog kretanja). Međutim, čvrsta tela iste mase mogu stvarati različite pritiske u zavisnosti od veličine dodirne površine između njih i podloge na kojoj se nalaze. Npr. pucanje leda ispod nas možemo zaustaviti tako što ćemo leći na led čime smo povećali dodirnu površinu i samim tim smanjili pritisak kojim delujemo na led. Šta sa gasovima? Da li kod njih pritisak zavisi od njihove težine? Pritisak u zatvorenoj praznoj boci jednak je pritisku u spoljašnjoj atmosferi iako je broj molekula u boci mnogo manji od broja molekula u

1) Plazma se sastoji od atoma, pozitivnih jona i elektrona. Plazma predstavlja dominatno stanje u kome se nalaze zvezde i intergalaktičke oblasti u Univerzumu. Na Zemlji se retko sreće (može se videti u fluorescentnim lampama-“neonke”). Najspektakularniji oblik plazme koji se može videti na Zemlji predstavlja polarna svetlost.

SFp =

VV

BSF

pΔ

−==

Vm

=ρ

F

S

SFp =

F

S

0=pS

Fp θcos=

SF

θsinF

θcosF θ

2

atmosferi, a samim tim i njihova težina je mnogo manja. Dolazi se do zaključka da pritisak gasova nije posledica njihove težine kao što je to slučaj sa čvrstim telima. Kod gasova presudnu ulogu igra kretanje njihovih molekula. Usled haotičnog kretanja molekuli gasova udaraju u zidove posude u kojoj su zatvoreni, predaju svoju količinu kretanja zidovima posude čime stvaraju pritisak. Pritisak usled njihove težine je zanemarljiv u odnosu na pritisak usled njihovog haotičnog kretanja. Kod tečnosti, kao i kod čvrstih tela, pritisak je posledica njihove težine sa jednom razlikom – pritisak se u čvrstim telima ne prenosi u svim pravcima, kao što je to slučaj kod gasova i tečnosti. Tečnosti deluju i na zidove posude u kojoj se nalaze i za razliku od gasova kod kojih je pritisak jednak u svakoj tački posude u kojoj su zatvoreni, pritisak u tečnostima raste sa porastom njihove dubine (vertikalnog rastojaja od slobodne površine tečnosti), zbog čega se brane na rekama prave sa širom osnovom na dnu nego pri vrhu kako bi, između ostalog, izdržale veće pritiske na većim dubinama. Mehanika fluida se deli na hidrostatiku (proučava fluide u mirovanju) i hidrodinamiku (proučava fluide u kretanju).

HIDROSTATIKA Pritisak u tečnostima – hidrostatički pritisak Fluidi u mirovanju uvek deluju normalnom silom na zidove suda u kome se nalaze. Zidovi suda deluju na fluide silom istog intenziteta i pravca a suprotnog smera. Ako bi ova sila imala komponentu paralelnu površini, fluidi bi se kretali u pravcu ove komponente sile, tj. više ne bi bili u mirovanju. Posmatra se tečnost gustine ρt zatvorena u posudi, kao na slici. Uzima se na dubini h stub tečnosti površine S i visine Δh. Ako je pritisak sa gornje strane površine stuba p onda je pritisak sa donje strane p+Δp. Na gornju površinu stuba tečnosti deluje vertikalno naniže sila 1F

r, a na donju površinu tečnosti deluje vertikalno

naviše sila 2Fr

. Dodatno, masa tečnosti unutar cilindra iznosi Δm zbog čega na donju površinu tečnosti deluje i težina izdvojenog stuba tečnosti vertikalno naniže: S obzirom na to da fluid miruje, rezultantna sila mora biti jednaka nuli: Ako 0→Δh gornju jednačinu prepisujemo u diferencijalnom obliku hgp t dd ρ= . Integracijom u odgovarajućim granicama koje se definišu na sledeći način – na površini tečnosti (h = 0) deluje atmosferski pritisak pritisak2) p0, a na dubini h je pritisak p,

dobija se za pritisak tečnosti na nekoj dubini h konačan izraz:

p = p0+ρgh. Potrebno je skrenuti pažnju da pri izvođenju poslednje relacije nije uzeto u razmatranje delovanje bočnih komponenti, jer se bočne (u horizontalnom pravcu) sile međusobno poništavaju – suprotnih su smerova. Hidrostatički paradoks. Na osnovu poslednje relacije direktno sledi zaključak da je ukupni pritisak u tri različite posude na istoj dubini h jednak - ne zavisi od oblika posude, zapremine vode (težina stubova tečnosti), niti od površine

2) Prilikom rešavanja zadataka ne sme da se zaboravi atmosferski pritisak na otvorenim površinama tečnosti.

SppFhgSpSVgpSmgpSF tt

)(2

1

Δ+=

Δ+=+=Δ+= ρρ

hgphgSpSSppFFF ttrez Δ=Δ⇒Δ+−Δ+=−= ρρ )()(12

∫∫ =h

t

p

p

hgp0

dd0

ρ

p0

h

S Δh

1Fr

2Fr

3

suda. Kako je to moguće? Pogledati srednji sud. Tečnost deluje normalnom silom na zidove suda. Silom istog intenziteta i pravca ali suprotnog smera i zidovi suda deluju na tečnost. Ako bi tu silu razdvojili na horizontalnu i vertikalnu komponentu, horizontalne komponente bi se poništavale (suprotnih su smerova), a ostalo bi samo dejstvo vertikalnih komponenti koje su u ovom slučaju orijentisane vertikalno naviše pa praktično eliminišu težinu tečnosti u tom delu. Na taj način samo težina vertikalnog stuba tečnosti iznad posmatranog preseka utiče na pritisak. Paskalov zakon i hidraulične mašine Na osnovu poslednje relacije se izvodi još jedan važan zakon. Naime, ukoliko bi došlo do promene vrednosti atmosferskog pritiska, ta promena bi se odrazila u istom iznosu i na pritisak na bilo kom nivou u tečnosti. Odavde se zaključuje da se pritisak kroz tečnosti prenosi podjednako u svim pravcima - Paskalov zakon:

pritisak se kroz tečnosti prenosi podjednako u svim pravcima.

Paskalov zakon je našao veliku primenu kod hidrauličnih dizalica, presa i hidrauličnih kočnica. Sila primenjena na manjem klipu stvara pritisak koji se prenosi kroz fluid (najčešće ulje) na veći klip. Ako je odnos površina 1:6, sila na drugom klipu je šest puta veća (p2 = 6F/6S = p1). U prvom trenutku može izgledati kao da se odnekuda “stvorila” neka energija. Međutim zakon o održanju energije je univerzalan, tako da izvršeni rad prilikom podizanja većeg klipa mora biti jednak izvršenom radu pri sabijanju manjeg klipa. Ovo znači da pri podizanju većeg klipa za 10cm, manji klip se mora sabiti za 60cm tako da je izvršeni rad = sila x rastojanje, jednak na oba klipa F(0,6) = 6F(0,1). Zbog ovakvog odnosa sile i rastojanja, teška vozila se obično stavljaju na veće klipove i koristi se sabijen vazduh za njihovo podizanje.

Plivanje i Arhimedov zakon Na telo potopljeno u tečnost deluje sila istog pravca a suprotnog smera od gravitacione sile i naziva se sila potiska. Ona je rezultanta svih sila koje deluju na potopljeno telo. Bočne sile se međusobno poništavaju, te ostaje samo dejstvo vertikalnih sila. Na osnovu rečenog sledi da je intenzitet sile potiska jednak

Fp = F2 – F1 F1 = p1 S = (p0 + ρgy)S

F2 = p2 S = [p0 + ρ g (y + h)S]

Na osnovu gore napisanih jednačina dobija se da je sila potiska jednaka:

Fp= ρ g h S = ρ g V

ρ je gustina tečnosti, a V je zapremina cilindra ili zapremina istisnute tečnosti, odakle proizilazi Arhimedov zakon:

Svako telo zaronjeno u tečnost istisne zapreminu tečnosti jednaku sopstvenoj zapremini ili na svako telo potopljeno u tečnost deluje sila potiska brojno jednaka težini telom istisnute tečnosti. Primer: posmatra se cigla dimenzija 10 cm x 20 cm x 50 cm (V = 0,01 m3) čija je težina u vazduhu 1100 N. Koliko će cigla biti teška u vodi? S obzirom na to da cigla istiskuje zapreminu vode V = 0,01 m3, njena težina biće manja za težinu istisnute vode što iznosi

mvodeg = (ρV)vode g = 1000 kg/m3 ⋅ 0,01 m3 ⋅ 10 m/sec2 = 100 N Zaronjena u vodu, cigla je teška 1100 − 100 = 1000 N. Sila potiska ne zavisi od dubine na kojoj je telo zaronjeno, osim u veoma retkim situacijama kada postoji veliki raspon temperatura (temperaturski gradijent) između dve lokacije što dovodi do promene gustine vode.

h

p0

yF1

F2

SS

p

4

Postoje tri moguće opcije: • telo lebdi kada je iste gustine kao i tečnost (težina tela je jednaka sili potiska), • telo tone kada je njegova gustina veća od gustine tečnosti (težina tela je veća od sile potiska), • telo pliva kada je njegova gustina manja od gustine tečnosti (težina tela je manja od sile

potiska). Pri plivanju, telo samo jednim svojim delom izlazi na površinu tečnosti, tako da se uspostavlja ravnoteža između sile potiska i težine tela, pri čemu potisak deluje samo na onaj deo tela koji je u tečnosti. Kako je onda moguće da tela od gvožđa ili aluminijuma plivaju? Njihovo plivanje se omogućava povećanjem zapremine istisnute tečnosti, odnosno povećanjem zapremine tela. Iako će mala gvozdena kockica trenutno potonuti u vodi, veliki brodovi plivaju prilagođavanjem količine istisnute tečnosti. Parče aluminijuma pliva kada se napravi u obliku čamca, dok bi to isto parče aluminijuma potonulo trenutno kada bi se potpopilo u obliku pravougaonika. U ovim primerima se smanjuje gustina tela povećavanjem njegove zapremine. Znači, kod šupljih tela gde je ρtela > ρvode, telo ipak može da pliva ili lebdi ako je zapremina (težina) istisnute tečnosti (vode) veća ili jednaka težini tela.

HIDRODINAMIKA

Hidrodinamika proučava fluide u kretanju. Pri kretanju realnih fluida kroz cevi na njih deluju dve sile: a) zidovi cevi deluju silom trenja na njih i b) unutar fluida postoji viskozna sila (unutrašnje trenje). Usled sile trenja slojevi fluida uz zidove cevi bivaju usporeni, dok se slojevi u centru cevi kreću brže. Usled dejstva ove dve sile dolazi do gubitka energije u fluidu. Realni fluidi su veoma složeni za izučavanje. Posmatraće se samo idealni fluidi čije su karakteristike:

• laminaran (ravnomeran) tok, nema turbulencija. Svaka čestica fluida se kreće po istim putanjama - duž linija koje se zovu strujnice (pri malim brzinama kretanje fluida se može smatrati laminarnim);

• nema viskoznosti (zanemarivanjem viskoznih sila se odbacuje mogućnost razvijanja toplote u fluidu, nema gubitka energije);

• nestišljivost, što znači da nema promene gustine fluida u toku vremena;

• stacionarno strujanje, brzina i pritisak fluida u datoj tački su konstantni tokom vremena. Jednačina kontinuiteta Ukoliko nema uticanja ili isticanja fluida prilikom kretanja, zapremina fluida koja prođe kroz prvi poprečni presek cevi S1 za neko vreme t jednaka je zapremini fluida koja istekne kroz drugi presek cevi S2 za isto vreme. Pošto je gustina ρ = m/V (ili ρV = m ) a kod nestišljivog toka rekli smo da gustina fluida ostaje konstantna, dobija se da u zatvorenom sistemu nema promene mase fluida:

ΔV1 = ΔV2 ρΔV1 = ρΔV2

Δm1 = Δm2

manja brzina

veća brzina

Q

Fp

Δm1 Δm2

l1 l2

S1 S2

5

Prethodna jednačina može da se iskoristi za dobijanje jednačine kontinuitete. Kroz poprečni presek cevi S1 neka masa fluida Δm1 za neko vreme Δt krećući se brzinom v1 pređe dužinu l1. Ista masa fluida za to vreme prođe kroz poprečni presek cevi S2 krećući se brzinom v2 i pređe dužinu l2 .

Δm1 = Δm2 ⇒ ρΔV1 = ρΔV2 S1l1 = S2l2

S1v1Δt = S2v2Δt

S1v1 = S2v2 ili Sv = const. Iz jednačine kontinuiteta zaključuje se da su poprečni preseci cevi i brzine proticanja fluida kroz njih obrnuto srazmerne. To znači da se kroz uži presek fluidi kreću većim brzinama, strujnice su tu bliže jedne drugima i obrnuto. Posmatrajte tečenje vode iz slavine i primetićete kako se mlaz vode postepeno sužava. Brzina isticanja vode se povećava pri padu pa na osnovu jednačine kontinuiteta sledi da poprečni presek mora da se smanji što rezultira u približavanju strujnica. Bernulijeva jednačina Kod idealnih fluida važi zakon održanja energije. Dosledno izvođenje Bernulijeve jednačine (1738) zahteva više kurseve matematike s obzirom na to da se u ovoj oblasti primenjuje posebna grana mehanike – mehanika kontinuuma. Ovde će biti dato pojednostavljeno izvođenje. Kretanje fluida se odvija usled razlike u pritiscima p1 i p2. Prema zakonu održanja energije rad spoljašnjih sila jednak je promeni mehaničke energije sistema

A = ΔEM

Ukupan rad spoljašnjih sila iznosi (za smer kretanja fluida kao na slici),

A = A1 + A2 = F1l1 − F2l2 = p1S1l1 − p2S2l2

Promena mehaničke energije sistema je

ΔEM = E2 − E1 = ΔEk + ΔEp

Zakon o održanju energije je:

p1S1l1 − p2S2l2 = (½Δm2v22 − ½Δm1v1

2) + (Δm2gh2 − Δm1gh1)

Krećući se nekom brzinom v1 za neko vreme t, element mase fluida Δm1 prešao je dužinu l1 = v1t. Za isto vreme, element mase fluida Δm2 krećući se brzinom v2 prešao je dužinu l2 = v2t. Isto tako je Δm1 = ρV1 = ρS1l1 = ρS1v1t i Δm2 = ρV2 = ρS2l2 = ρS2v2t. Gornja jednačina postaje:

p1S1 v1t − p2S2 v2t = (½ρS2v2t v22 − ½ρS1v1t v1

2) + (ρS2v2t gh2 − ρS1v1t gh1)

Na osnovu jednačine kontinuiteta je S1 v1 = S2v2 te se konačno posle skraćivanja dobija:

p1 − p2 = (½ρv22 − ½ρv1

2) + (ρgh2 − ρgh1)

Prethodna jednačina se može napisati kao

p1 + ρgh1 + ½ρv12 = p2 + ρgh2 + ½ρv2

2

Dobijeni rezultat predstavlja Bernulijevu jednačinu koja je u stvari samo oblik zakona o održanju energije u fluidu s obzirom na to da se jedinica za pritisak može napisati i kao J/m3.(Pa = N/m2 = Nm/m3 = J/m3). S obzirom na to da su preseci S1 i S2 sasvim proizvoljno izabrani zaključujemo da u svakom preseku strujne cevi mora biti zadovoljeno

p + ρgh + ½ρv2 = const

h1

h2

p1

p2

6

Ako je cev horizontalno postavljena, nema promene potencijalne energije fluida pa se Bernulijeva jednačina svodi na

p1 + ½ρv12 = p2 + ½ρv2

2

što znači da će sa povećanjem pritiska duž cevi doći do smanjenja kinetičke energije fluida i obrnuto. Sa smanjenjem prečnika cevi na osnovu jednačine kontinuiteta mora doći do povećanja brzine fluida a samim tim i do povećanja kinetičke energije, što na osnovu Bernulijeve jednačine dovodi do smanjenja pritiska u cevi. Ovo predstavlja Bernulijev ili Venturijev efekat (Venturijeva cev). Toričelijeva teorema Primena Bernulijeve jednačine uz kombinaciju hidrostatike i hidrodinamike: otvoren, veliki rezervoar pun vode koji ima pri samom dnu slavinu sa jakom malim otvorom u odnosu na prečnik rezervoara. Slavina je okrenuta na gore, tako da pri otvaranju pravi malu fontanu. Kojom brzinom će isticati voda iz rezervoara? Pošto je prečnik cevi jako mali u poređenju sa prečnikom rezervoara, brzina isticanja vode iz slavine v2 biće jako velika u poređenju sa brzinom opadanja vode u rezervoaru v1 tako da nju možemo zanemariti.

h1

h2

v2

h1

v2

h2 < h1, )h- 2g(h v 212 = h2 = 0, 12 2gh v =

p0 + ρgh1 = p0 + ρgh2 + ½ρv2

2

ρgh1 = ρgh2 + ½ρv2

2

v22 = 2g(h1 – h2)

)h- 2g(h v 212 = Poslednji rezultat predstavlja Toričelijevu teoremu.

Ako je h2 = h1, v2 = 0 (nema isticanja, sistem predstavlja spojene sudove). Ako je h2 > h1 i u cev ulijemo nešto vode, uspostaviće se novo ravnotežno stanje (takođe bez

isticanja), pa opet imamo sistem spojenih sudova. Generalno: brzina isticanja (kod idealnih fluida) zavisi samo od visine stuba tečnosti mereno od slobodne površine do izlaznog kraja cevi kroz koju tečnost ističe iz rezervoara.