49737192 Slides Robotique Mobile

8/7/2019 49737192 Slides Robotique Mobile

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Robotique mobile

Bernard BAYLE

[email protected]

ENSPS 3A, option ISAV, master IRIV

20102011

Page Web http://eavr.u-strasbg.fr/~bernard
http://eavr.u-strasbg.fr/~bernardhttp://eavr.u-strasbg.fr/~bernardhttp://find/


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Quels robots mobiles ?

Dfinition

Robots mobiles= robots base mobile, par opposition auxrobots manipulateurs.

Classification

Robots marcheurs
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Dfinition


Classification

Robots sous-marins
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Dfinition


Classification

Robots ariens
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Histoire des robots mobiles roues

Historique

Shakey : le premier robot mobile (SRI, 1966-1972)http://www.sri.com/about/timeline/shakey.html
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Historique

Shakey : le premier robot mobile (SRI, 1966-1972)http://www.sri.com/about/timeline/shakey.html
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Historique

Hilare : le premier robot mobile franais (Laas, 1977)http://www.laas.fr/ matthieu/robots/hilare
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Les robots mobiles roues aujourdhui

O sont-ils, que font-ils ?

Peu dapplications industrielles utilisent des robots mobiles.

Chariot filoguid en milieu industriel (FMC Technologies)http://www.fmcsgvs.com/index.htm
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Peu dapplications grand public utilisent des robots mobiles.

Aspirateur automatique Roomba (iRobot)http://www.irobot.com/consumer
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Quelques applications de pointe.

Sojourner sur Marshttp://mars.jpl.nasa.gov/MPF/rover/sojourner.html
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Quelques applications de pointe.

Inspection de ruineshttp://crasar.csee.usf.edu
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Pourquoi tudier les robots roues ?

Presque toujours. . .

Robots mobiles roues : robots ddis la recherche.

Intrt(s) :

beaucoup de problmes encore rsoudrepour atteindre

une navigation robuste dans des espaces non structurs,en particulier en intrieur

augmenter les connaissancesen termes de localisation etde navigation de systmes autonomes

problmes soulevs par le plus simple des robots mobiles roues = sujet dtude part entire et base pour ltudede systmes mobiles plus complexes
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Problmatiques (1)

Problmes en robotique mobile : aspects matriels

Choix :structure mcanique

motorisation, alimentation

architecture informatique du systme de

contrle/commande

Choix classique

Choix de structure souvent effectu parmi un panel de

solutions connues et pour lesquelles les problmes demodlisation, planification et commande sont rsolus.

Choix classique des actionneurs et de lalimentation : moteurs

lectriques courant continu avec ou sans collecteur, alimentspar des convertisseurs de puissance fonctionnant sur batterie.

P bl i (2)
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Problmatiques (2)

Problmes en robotique mobile : aspect logiciel

Gnralement :architectures de contrle-commande des robots mobiles

similaires celles des systmes automatiques ourobotiques plus classiques dans lensemble

nanmoins deux niveaux de spcialisation, propres auxsystmes autonomes :

couche dcisionnelle (planification et gestion desvnements)couche fonctionnelle (gnration en temps-rel descommandes des actionneurs)

Obj tif d
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Objectifs du cours

But du cours

Problmes spcifiques la robotique mobile : outils pour fairevoluer le robot dans son environnement (suivre un cheminconnu, aller dun point un autre, ragir la prsence dunobstacle, etc.).

Mthode

Vue densemble des problmes lis la modlisation, laperception et la navigationdes robots mobiles :

problmatiques

tat de lArt (bibliographie)

problmes ouverts

Obj tif d
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Objectifs du cours

But du cours

Problmes spcifiques la robotique mobile : outils pour fairevoluer le robot dans son environnement (suivre un cheminconnu, aller dun point un autre, ragir la prsence dunobstacle, etc.).

Cadre de ltude

Limitations :

robots mobiles roues chssis non articul voluant sursol plan

problmes associs la gnration de mouvementsautonomes : modlisation, perception, navigation

E l ti
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Evaluation

Evaluation

Etude et prsentation darticles de recherche.

Plan
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Plan

1 Introduction

2 ModlisationDfinitionsRoulement sans glissement et contraintes non holonmesLes grandes classes de robots mobiles et leurs modlesReprsentation dtat et commandabilit

3 PerceptionCapteurs en robotique mobileLocalisationConstruction de carte

4 NavigationProblmatiques et approchesPlanification de cheminExecution du mouvement

Plan
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Plan

1 Introduction




Mise en place des repres
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Mise en place des repres

x

y

O

x

x

y

O

y

R = (O, x, y, z) : repre fixe quelconque, avec z est vertical.R = (O, x, y, z) : repre mobile li au robot.

Vocabulaire (1)
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Vocabulaire (1)

Dfinition

Par analogie avec la manipulation, on appelle posture[Campion 96] du robot le vecteur :

=

x

y

,

o x et y sont respectivement labscisse et lordonne du pointO dans R et langle (x, x).

. . . dfinie sur un espace M de dimension m = 3, comparable lespace oprationnel dun manipulateur plan.

Vocabulaire (2)
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Vocabulaire (2)

Dfinition

La configurationdu robot mobile est connue quand la positionde tous ses points dans un repre donn est connue.

Notion ambige pour les robots mobiles. Dans tous les cas :

q=

q1q2. . .

qn

de n coordonnes appeles coordonnes gnralises.

. . . dfinie sur un espace N de dimension n, appele lespacedes configurations.

Plan
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Plan

1 Introduction




Roulement sans glissement (1)
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Comment roule un robot ?

Mouvement grce la friction au contact entre roue et sol :dans de bonnes conditions, il y a roulement sans glissement

(r.s.g.) de la roue sur le sol.

Hypothses :

contact roue/sol ponctuel

roues sont indformables, de rayon r

En pratique :

contact sur une surface : glissementsroues pleines indformables, plus vrai avec des pneus

imperfections considres ssielles affectent lesperformances (odomtrie)

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z

y

vP

xO

P

Q

x

x

y

Nullit de la vitesse relative roue/sol

vQ = vP +

PQ = 0

N llit d l it l ti / l
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On a vP +

PQ = 0, soit :

N llit de la itesse relati e ro e/sol
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On a vP +

PQ = 0, soit :

xx + yy + (z + (sin x cos y)) (rz) = 0

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On a vP +

PQ = 0, soit :

xx + yy + (z + (sin x cos y)) (rz) = 0(x + r cos )x + (y + r sin )y = 0

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On a vP +

PQ = 0, soit :


do :

x + r cos = 0y + r sin = 0

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On a vP +

PQ = 0, soit :


do :

x + r cos = 0y + r sin = 0

Plan de la roue et plan normal la roue :

xcos + ysin = r

xsin + ycos = 0

Contraintes non holonmes (1)
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( )

Dfinition

Soit un systme de configuration qsoumis des contraintesindpendantes sur les vitesses AT(q)q= 0.

Sil nest pas possible dintgrer lune de ces contraintes, elle

est dite non intgrableou non holonme.

Contraintes non holonmes : certains mouvements instantansinterdits.

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( )

Thorme de Frobnius

Soit un systme de configuration q, de dimension n, tq.AT(q)q= 0 et B(q) de rang plein m, orthogonale A(q).

Soit lalgbre de Lie Lie{b1(q) b2(q) . . .bm(q) . . .bp(q)}, dedimension p, avec m p n.

Alors, n p contraintes sont intgrables.

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( )

Thorme de Frobnius




Crochet de Lie

Crochet de Lie de bi(q) et bj(q) :

[bi(q),bj(q)] =bj

qbi

bi

qbj.

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Thorme de Frobnius




Algbre de Lie

Algbre engendre par les colonnes et les crochets successifs

forms partir de ces colonnes, condition quils augmententla dimension de lalgbre.

Cas de la roue
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Cas de la roue

xsin + ycos = 0

xcos + ysin = r

Cas de la roue
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xsin + ycos = 0

xcos + ysin = r

AT(q)q= 0, avec A(q) =

sin cos cos sin

0 00 r

Cas de la roue
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xsin + ycos = 0

xcos + ysin = r

AT(q)q= 0, avec A(q) =

sin cos cos sin

0 00 r

et :

AT

(q)B(q) = 0, avec B(q) =

cos 0sin 0

0 1 1

r 0

Crochets de Lie successifs pour la roue
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p

A partir de b1(q) et b2(q) :

b1(q),b2(q) =

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b3 = b1(q),b2(q) = (sin cos 0 0)T

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b3 = b1(q),b2(q) = (sin cos 0 0)Tb1(q),

b1(q),b2(q)

=

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42/255


b3 = b1(q),b2(q) = (sin cos 0 0)Tb1(q),

b1(q),b2(q)

= 0

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b3 = b1(q),b2(q) = (sin cos 0 0)Tb1(q),

b1(q),b2(q)

= 0

b2(q),b1(q),b2(q)

=

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b3 = b1(q),b2(q) = (sin cos 0 0)Tb1(q),

b1(q),b2(q)

= 0

b4 =b2(q),

b1(q),b2(q)

= (cos sin 0 0)T

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b3 = b1(q),b2(q) = (sin cos 0 0)Tb1(q),

b1(q),b2(q)

= 0

b4 =b2(q),

b1(q),b2(q)

= (cos sin 0 0)T

Lie{b1 b2 b3 b4} est une algbre de Lie de dimension 4,

gale celle de q.

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b3 = b1(q),b2(q) = (sin cos 0 0)Tb1(q),

b1(q),b2(q)

= 0

b4 =b2(q),

b1(q),b2(q)

= (cos sin 0 0)T

Lie{b1 b2 b3 b4} est une algbre de Lie de dimension 4,

gale celle de q.

Comme n = 4 et p = 4, il nexiste pas de contrainte intgrable :les deux contraintes sont non holonmes.

Plan
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1 Introduction




Les diffrentes roues
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Roues

Combinaison choix+disposition des roues : mode delocomotion propre.

Types de roues :

les roues fixes: axe de rotation de direction constante

les roues centres orientables: axe dorientation passepar le centre de la roue

les roues dcentres orientables(roues folles) : axedorientation ne passe pas par le centre de la roue

Les diffrentes roues
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Roues

Combinaison choix+disposition des roues : mode delocomotion propre.

(b) Roues dcentres orientables

axe de rotation

axe dorientation

(a) Roues fixes (axe dorientation fixe)et roues centres orientables

Disposition des roues et cinmatique
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Disposition et blocage

Pour un ensemble de roues donn, toute disposition ne conduitpas une solution viable. Un mauvais choix peut limiter lamobilit du robot ou occasionner dventuels blocages.

Centre instantan de rotation

Disposition de roues viable : existence pour toutes les roues

dun unique point de vitesse nulle autour duquel tourne le robot

de faon instantane : le centre instantan de rotation(CIR).

Disposition des roues et cinmatique
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Disposition et blocage

Pour un ensemble de roues donn, toute disposition ne conduitpas une solution viable. Un mauvais choix peut limiter lamobilit du robot ou occasionner dventuels blocages.

Centre instantan de rotation

Points de vitesse nulle sur laxe de rotation des roues : le point

dintersection des axes de rotation des diffrentes roues doit

tre unique (limitation du nombre de solutions viables).

Robots mobiles de type unicycle : description (1)
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Description

Unicycle : robot actionn par deux roues indpendantes etpossdant ventuellement un certain nombre de roues follesassurant sa stabilit.

O

x

x

yO

y

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Hilare, LAAS-CNRS, Toulouse, 1977 [Giralt 84]

Entranement batteries au plomb 24V, 2 servomoteurs DCCalculateur 4 processeurs Intel 80286, modem srie radio 9600 bauds

Capteurs odomtrie, 16 capteurs US, un tlmtre laser

Dimensions (L l h) : 80 cm 80 cm 60 cmPoids 400 kg (charge admissible : . . .)

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Pioneer P3-DX, ActiveMedia Robotics, 2004 [ActivMedia 04]

Entranement batteries 252 Wh, 2 servomoteurs DC

Calculateur micro-contrleur Hitachi HS-8, I/O Bus, 2 ports srie

Capteurs odomtrie, 8 capteurs US en faade +

options : bumpers, tlmtre laser, gyroscope, etc.Autonomie 24 30 h

Vitesse maximum 1, 6 m/sDimensions (L l h) : 44 cm 38 22 cm

Poids 9 kg (charge admissible : 23 kg)

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Khepera II, K-team, EPFL, Lausanne, 2002 [K-team 02],

Entranement secteur ou accus NiMH, 2 servomoteurs DC

Calculateur processeur Motorola 68331 @25 MHz, 512 Ko RAM, 512 Ko Flashcommunication port srie 115 Kbauds (9600 bauds radio)3 entres analogiques 0 4.3 V, 8 bits

Capteurs 8 capteurs IR de luminosit et de proximit (100 mm de porte)

Autonomie 1 h en fonctionnement continu

Vitesse maximum 1 m/s, minimum 0,02 m/sDimensions (D h) : 7 cm 3 cm

Poids 80 g (charge admissible : 250 g)
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Robots mobiles de type unicycle : cinmatique (2)


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Choix du vecteur de commande : quivalence entre vitesses

( d

, g

)

(v, ) avec v vitesse longitudinale du robot (en O)et vitesse de rotation (autour de O) :

v =vd + vg

2=

r( g d)

2

=r(

d+

g)

2L

Robots mobiles de type tricycle : description
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Description

Tricycle : robot constitu de deux roues fixes de mme axe etdune roue centre orientable place sur laxe longitudinal du

robot.

Ox

O

y

x

y

Robots mobiles de type voiture : description
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Description

Voiture : trs similaire celui du tricycle. La diffrence se situeau niveau du train avant, qui comporte deux roues au lieu

dune.

Robots mobiles de type tricycle : cinmatique
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D

Ox

O

y

x

CIR

y

=D

tan

=

v

D tan

Robots mobiles de type voiture : cinmatique
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CIR

braquage diffrentiel

roues avant avec

roue avant du

tricycle quivalent

Braquage diffrentiel (dit dAckerman)

Robots mobiles omnidirectionnels : description
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Description

Robot mobile omnidirectionnel: on peut agir indpendamment

sur les vitesses de translation selon les axes x, y et de rotation,autour de z.

y

y

O

ou roues dcentres orientablesroues sudoises

xO

x

Modles des robots mobiles (1)
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Modle cinmatique en posture

But : relier la drive de la posture et la commande

= C(q)u

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Modle cinmatique en posture de lunicycle

x = vcos

y = vsin

=

soit :

=

cos 0

sin 00 1

v

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Modle cinmatique en configuration

But : relier la drive de la configuration et la commande.

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Modle cinmatique en configuration

But : relier la drive de la configuration et la commande.

Pralable

Savoir dfinir la configuration.

Modlisation cinmatique (en configuration) de lunicycle

Conditions de r.s.g. des deux roues :
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Conditions de r.s.g. des deux roues :
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x + L cos + rd cos = 0

y + L sin + rd sin = 0

x L cos rg cos = 0

y L sin rg sin = 0


Avec q= (x y d g)T :
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1 0 L cos rcos 00 1 L sin rsin 01 0 L cos 0 rcos 0 1 L sin 0 rsin

x

y

dg

= 0

soit :AT(q)q= 0

On constate que AT(q) nest pas de rang plein.


Sans perte dinformation on rcrit les contraintes :
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1 0 L cos rcos 00 1 L sin rsin 01 0 L cos 0 rcos

x

y

dg

= 0


Par ailleurs :( )
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=r( d + g)

2L

qui sintgre en :

=r(d + g)

2L+ 0,

o 0 est la valeur de linitialisation (les angles des roues,gnralement mesurs par des codeurs incrmentaux, tantalors choisis nuls). Cette contrainte intgrable est donc en fait

une contrainte holonme.


On peut donc choisir q= (x y d)T :
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1 0 L cos rcos 0 1 L sin rsin

x

y

d

= 0

et :

B(q) =

cos 0sin 0

0 1

1r Lr


En remarquant, daprs ce qui prcde, que :
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x = vcos

y = vsin

=

d = v

r

L

r

on a :

Modle cinmatique (en configuration)

q= B(q)u,

avec pour vecteur de commande cinmatique u= (v )T. Lamatrice B(q) reprsente donc le modle cinmatique (enconfiguration) du robot mobile.


Aspects pratiques
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Aspects pratiques

Rotation des roues pas toujours utile du point de vue pratique,

tant donn que lon cherche essentiellement contrler laposture du robot.

Modle cinmatique de lunicycle en pratique

d napparat pas dans les quations rgissant la drive de laposture, do le modle simplifi :

x = vcos

y = vsin

=


Pour les robots mobiles de type tricycle on a q= (x y )T etl dl i i d i
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le modle cinmatique rduit, :

x = vcos

y = vsin

=v

Dtan

=

o u= (v )T est le vecteur de commande cinmatique, reprsentant la vitesse dorientation impose la roue

orientable.


Pour les robots mobiles omnidirectionnels, on peut considrer

il t ibl d d di t t l t t l
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quil est possible de commander directement la posture et lemodle cinmatique en posture est donc :

x = u1

y = u2

= u3

o u= (u1 u2 u3)T reprsente le vecteur de commande.

Plan
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1 Introduction




Reprsentation dtat

Variable dtat
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Variable d tat

Avec q= variable dtat du systme. On note x= qpar

habitude.

x= B(x)u,

o B(x) est de dimension n m.

Proprits

Reprsentation associe non linaire, sans drive.
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Commandabilit (1)

Interprtation


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p

Pour quun robot mobile soit utile, il faut en premier lieu

sassurer de sa commandabilit : existence dune loi decommande uamenant le robot dun tat initial un tat finalquelconque.

Commandabilit du linaris

Condition de rang (critre de commandabilit de Kalman) :

Rang(B, AB, . . . , An1B) = n Rang B(x0) = n

jamais remplie car m < n : le linaris nest donc pascommandable.

Commandabilit (2)

Commandabilit dun robot mobile (thorme de Chow)
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( )

On note toujours B(x) = (b1(x) b2(x) . . .bm(x)) la matrice du

modle cinmatique, de dimension n m.Un robot mobile est commandable si les colonnes de B(x) etleurs crochets de Lie successifs forment un ensemble de n

colonnes indpendantes.

Commandabilit de lunicycle

Avec x = (x y d)T, modle cinmatique + crochets :
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Avec x = (x y )T, modle cinmatique (rduit) + crochets :

Le modle cinmatique de lunicycle est donc


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cos

sin 0

1r

, 0

01

Lr

, sin

cos 0

0

, cos

sin 0

0




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cos

sin 0

1r

, 0

01

Lr

, sin

cos 0

0

, cos

sin 0

0


cos sin

0

,

00

1

,

sin cos

0



http://find/


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cos

sin 0

1r

, 0

01

Lr

, sin

cos 0

0

, cos

sin 0

0


cos sin

0

,

00

1

,

sin cos

0

Le modle cinmatique de lunicycle est donc commandable.

Plan

1 Introduction
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Perception : gnralits

Dfinition
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Perception en robotique = capacit du systme recueillir,

traiter et mettre en forme des informations utiles au robot pouragir et ragir dans le monde qui lentoure.

Particularits de la robotique mobile :

environnement non structur

redondance dinformation : nombreux capteurs

choix des capteurs

utilisation des donnes
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Capteurs : exemples (1) [Siegwart 04]


89/255

Capteurs : exemples (1bis) [Siegwart 04]
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90/255

http://find/


91/255

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Capteurs

Cadre de ltude

Et d dt ill d t
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Etude dtaille des capteurs =

physique + lectronique + traitement du signal + . . ..

Dans ce cours : uniquement principe de fonctionnementdes

capteurs embarqus pour la navigation dun robot mobile.

Classification des capteurs

Classification choisie

Capteurs proprioceptifs : mesure de ltat du robot lui mme
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Capteurs proprioceptifs: mesure de l tat du robot lui-mme

(position ou vitesse des roues, charge de la batterie, etc.).

Capteurs extroceptifs: mesure de ltat de lenvironnement

(distances robot-environnement, temprature, contact, etc.).

Autre classification [Siegwart 04]

Capteurs passifs: utilisent lnergie de lenvironnement ou durobot.

Capteurs actifs : utilisent leur propre nergie (donc perturbent lenvironnement).

Caractristiques des capteurs

Principalement :

tendue de mesure
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te due de esu e

rsolutionlinarit

bande passante/frquence dacquisition

sensibilit

prcision (erreur systmatique, alatoire).

Mesure de la rotation des roues

Moteur + capteur = servomoteur

Configuration habituelle : roue motrice + dispositif de mesure
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Configuration habituelle : roue motrice + dispositif de mesure

de rotation laide dun capteur dispos sur laxe lui-mme.

Capteurs proprioceptifs.

Proprits :

peu diffrents des capteurs habituels en commande daxecodeurs absolus inutiles

grandeur de mesure = vitesse de rotation

rarement mesure directe (gnratrice tachymtrique)

mesure indirecte par codeurs optiques (moindre cot,moindre encombrement, moindre entretien) : comptage

dimpulsions (bruit de quantification aux basses vitesses)

rsolution fine ou synchrorsolveurs [Gangloff 04]

Mesure de position et dorientation (1)

Mesure de la position

Trs peu de capteurs de position absolue dun point dans un
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Trs peu de capteurs de position absolue d un point dans un

repre fixe donn : GPS.

Mesure de lorientation

Davantage de capteurs dorientation dun solide dans un reprefixe donn : gyromtre, compas, etc.

Mesures . . . dextrieur !

Mesures directes de lorientation et de la positionprincipalement en extrieur.


Mesure de la position : le GPS

Global Positioning System (GPS) : applications militaires
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Global Positioning System(GPS) : applications militaires,

actuellement la disposition du grand public.

Emissions synchronises dans le temps perues et recoupes

au niveau du rcepteur par triangulation.

Proprits :

prcision brute de lordre de la quinzaine de mtres

mthode diffrentielle laide de deux rcepteurs :

prcision de lordre du centimtre

positionnement en extrieur

faible prcision, prix lev : des systmes multirobots

mesure des frquences de lordre de 5 Hz : pastemps-rel : recalage de la position


Mesure de lorientation : gyromtres

Gyromtres : capteurs proprioceptifs pour mesurer lorientation
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Gyromtres : capteurs proprioceptifs pour mesurer l orientation

du corps sur lequel ils sont placs par rapport un rfrentielfixe, selon un ou deux axes.

Mcaniques, optiques, structure vibrante, etc.


Mesure de lorientation : gyromtres

Gyromtres : capteurs proprioceptifs pour mesurer lorientation
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100/255

Gyromtres : capteurs proprioceptifs pour mesurer l orientation

du corps sur lequel ils sont placs par rapport un rfrentielfixe, selon un ou deux axes.

Mcaniques, optiques, structure vibrante, etc.

Proprits :gyromtres mcaniques et optiques : performances trssuprieures celles requises en robotique mobile, cot

lev (aronautique et spatial)

structure vibrante : plus grand public :Futaba GY240 : un axe pour le modlisme, 130 $US27 mm 27 mm 20 mm, 25 g.


Mesure de lorientation : compas et boussoles

Compas et boussoles : information dorientation par rapport
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101/255

Compas et boussoles: information d orientation par rapport

une rfrence fixe (nord magntique typiquement).


Mesure de lorientation : compas et boussoles

Compas et boussoles : information dorientation par rapport
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Compas et boussoles: information d orientation par rapport

une rfrence fixe (nord magntique typiquement).

Proprits :

compas lectroniques capables de dtecter le nord

CMP03 : rsolution de 3 4o environ, 32 35 mm, 45$US.

Mesure de proximit et de distance (1)

Tlmtrie : dfinition

Tlmtrie : toute technique de mesure de distance par des
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103/255

q p

procds acoustiques, optiques ou radiolectriques.Capteur = tlmtre :

diffrentes techniques de mesure de distance (mesure dutemps de vol dune onde, triangulation)

diffrentes technologies.

Capteurs actifs et extroceptifs.


Capteurs infrarouges

Capteurs infrarouges: ensemble metteur/rcepteur utilisant
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p g p

des radiations non visibles.

Capteurs infrarouges Sharp GP2 de porte rduite :GP2D120 : 4 30 cm, GP2Y0A02YK : 20 150 cm

20 $US.


Capteurs infrarouges

Capteurs infrarouges: ensemble metteur/rcepteur utilisant
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p g p

des radiations non visibles.

Proprits :

faible porte, mesure trs dgrade au-del de un mtre :

dtecteurs de proximit ou de prsencesensibilit aux conditions extrieures (lumire ambiante,spcularit des surfaces, temprature, pression)

cne de dtection

alternance mission/rception : distance minimale.


Capteurs ultrasonores

Capteurs ultrasonores: utilisent des vibrations sonores non
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106/255

p

perceptibles pour loreille humaine (20 kHz 200 kHz).

Tlmtres ultrasonores Polarod et Migatron
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107/255





108/255


Tlmtres ultrasoniques Airmar AT 120



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Proprits :

distance maximale et distance effective de mesure

adapter la plage de mesuresensibilit la densit de lair (temprature, pression)

cne de dtection

alternance mission/rception : distance minimale

frquence maximale des mesures variable (mesures 1, 5m : toutes les 10 ms, 30 m toute les 200 ms).


Tlmtres laser

Tlmtres laser: mesure du temps de vol dune impulsion
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mise par une diode laser faible puissance.Balayage : direction de mesure modifie par rotation dun

miroir.


Tlmtres laser

Tlmtres laser: mesure du temps de vol dune impulsion
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111/255

mise par une diode laser faible puissance.Balayage : direction de mesure modifie par rotation dun

miroir.

Proprits :

bonne prcision, tlmtres les plus rpandus

bonne rsolution angulaire (0, 25 0, 5 1o)

distance maximale (conseille) de mesure : 30 m

balayage sur 100 180 degrs.
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112/255

Vision par ordinateur

Vision et robotique mobile

Vision par ordinateur : vision traditionnelle, strovision.


113/255

Vision omnidirectionnelle : mesure de la rflexion delenvironnement sur un miroir parabolique.

Dispositif, image brute et reprojection cylindrique [Pajdla 03]



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Image brute, reprojections cylindrique et perspective [Pajdla 03]



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Proprits :

vision panoramique de la scne

dtection temps-rel

difficults technologiques : alignement camra-miroir,rgularit du miroir, gomtrie de capteur rectangulaire

pas constanten dveloppement.

Plan

1 Introduction
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116/255



4 Navigation

Problmatiques et approchesPlanification de cheminExecution du mouvement

Localisation : gnralits

Objet de la localisation

Nombreux dfauts des capteurs et domaines dapplication
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117/255

cibls : tendance multiplier les capteurs.Redondance dinformation : ncessit dune fusion cohrente

d informations de nature diffrente.

Nature des informations

Principalement :

posture absolue ou relative

distance aux corps prsents dans lenvironnement.

Odomtrie (1)

Principe de lodomtrie

Calcul de la posture par intgration des vitesses :
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118/255

x(t) =

t0

x()d,

y(t) =

t0

y()d,

(t) =

t

0

()

d.

En pratique : intgration discrte sur calculateur.

RemarqueOdomtrie : posture relative du robot, la posture initiale devanttre obtenue par dautres moyens.

Odomtrie (2)Avantages :

simplicit
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119/255

pas de capteur supplmentaire.Inconvnients :

sensibilit vis--vis des paramtres gomtriques(diamtre des roues et longueur de lentraxe)

pour une localisation absolue linitialisation ncessite unautre moyen de localisation.

Odomtrie (3)

Nature des erreurs

Erreurs systmatiques : erreur sur le diamtre des roues par
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120/255

rapport la valeur nominale attendue, diamtres diffrents,erreurs sur la disposition des roues, rsolution des codeurs.

Erreurs non systmatiques : sol non plan ou irrgulier,

glissements divers (dus la nature du sol, une acclrationtrop brutale, un obstacle, un dfaut mcanique, etc.), contact

au sol non ponctuel.

Dfaut majeur

Effet cumulatif trs gnant des erreurs systmatiques.

Odomtrie (4)

Estimation des erreurs

Estimation de lincertitude de lodomtrie par la matrice de
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covariance de bruit associe la posture du robot, trs difficile dterminer (mouvements de translation et de rotationcoupls).

Visualisation : ellipse pour lincertitude en position et pourlincertitude en orientation.

Minimisation des erreurs

Pas possible de prendre en compte les erreurs non

systmatiques.

Identifier et minimiser les erreurs systmatiques, avant de les

prendre en compte.

Tlmtrie (1)

Nature des informations

Gnralement deux informations : angle de gisement (direction
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122/255

de mesure) et distance au corps ayant rflchi londe mise.

Domaine dapplication

Permet de positionner les objets prsents dans la scne parrapport au robot : adapt aux environnements dintrieur,

structurs, comportant des formes rgulires et statiquescomme des murs.
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123/255

Tlmtrie (2)

Choix 2D ou 3D ?

En 2D : certains obstacles mal capts (pieds de table).


124/255

Tlmtrie (2)

Choix 2D ou 3D ?

En 3D : cot prohibitif du tlmtre sinon dispositif orientable.
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125/255

Dispositif de mesures laser tridimensionnelles avec un laser balayage sur une platine

Tlmtrie (3)

Recalage

Connaissance a priori de lenvironnement : possibilit del d l dl
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126/255

recalage des mesures sur le modle :

soit on utilise directement le nuage de points de mesure

soit on extrait des primitives dans ce nuage, typiquementdes segments reprsentant les surfaces planes et des

coins, reprsentant lintersection des segments.
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127/255


128/255


129/255

Tlmtrie (3)


130/255

Recalage de donnes tlmtriques laser sur un modledenvironnement : segments dans la zone de mesure
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131/255


132/255


133/255

Localisation sur balises (2)

d1

d2


134/255

O

x

x

yO

y B1

B21

2

Triangulation 2 balises, avec mesure des angles de gisement

Localisation sur balises (3)

d1

d2
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135/255

Ox

x

y

y B1

B2

B3

d3

O

Triangulation 3 balises sans mesure des angles de gisement

Localisation multicapteur (1)

Gnralits

Processus de localisation classique : combinaison desmesures proprioceptives et extroceptives :

t l ti d l d t i
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136/255

posture relative donne par lodomtrie

posture du robot par rapport lenvironnement :

localisation damers (motifs, balises)localisation externe du robot par des capteurs prsents

dans lenvironnement.

Fusion des donnes

But : combiner les informations capteurs pour obtenir unereprsentation unique et cohrente de la configuration du robot.


Recalage simpleM d l l i l i
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137/255

Recalage simpleMesure de la posture relative presque exclusivement parodomtrie. . .


Recalage simpleM d l t l ti l i t
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138/255

Recalage simpleMesure de la posture relative presque exclusivement parodomtrie. . .

et

obtention de la posture absolue de rfrence par capteursextroceptifs lors de linitialisation ou ponctuellement pour

annuler lerreur accumule par lodomtrie.


Fusion de donnes par moyenne pondre

Utilisation conjointe des mesures proprioceptives o etextroceptive

rde la posture du robot :
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139/255

=2r

2o + 2r

o +2o

2o + 2r

r.

Variance de la mesure ainsi pondre tq 12 =

1

2o +

1

2r.

Consquences :

confiance faible sur la mesure des capteurs extroceptifs (donc varianceassocie importante) : ces mesures affectent peu lestimation de posture

linverse, variance de lodomtrie trop forte : mesures issues des capteursextroceptifs deviendront prpondrantes

variance de lestimation pondre meilleure que celle des mesures spares(heureusement. . .).


Fusion de donnes par filtrage de Kalman

Problme de localisation partir de diffrents capteurs =problme destimation de ltat du systme partirdobservations : filtrage de Kalman
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140/255

d observations : filtrage de Kalman.

Filtrage de Kalman Etendu (FKE)

Modle dtat dun robot mobile non linaire : filtrage deKalman tendu (FKE).

Localisation multicapteur par FKE (1)

Modlisation

Modle dtat dun robot mobile non linaire :

tat x = configuration q (rduite)dl d l ti d lt t dl i ti
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141/255

g q ( )modle dvolution de ltat = modle cinmatique

vecteur de sortie y = ensemble des mesures effectues(dimension gnralement suprieure celle de ltat).

Reprsentation dtat discrte :x(k + 1) = f(x(k),u(k)) + G(k)w(k),

y(k) = h(x(k)) + v(k).

Matrices de covariance des bruits w(k) et v(k) sontrespectivement notes Q(k) et R(k).

Robot de type unicycle : modle discret bruitEtat : x(k) = (x(k) y(k) (k))T.

Modle cinmatique :

x(k + 1) =

x(k) + v(k)T cos (k)y(k) + v(k )T sin (k)

+ G(k)w(k )
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142/255

x(k + 1) = ( ) ( ) ( )y(k) + v(k)T sin (k)

(k) + (k)T

+ G(k)w(k).

Equation de mesure : posture donne par lodomtrie, etdistance un amer situ en (xb yb)T :

y(k) =

(x(k) xb)2 + (y(k) yb)2

x(k)

y(k)(k)

+ v(k).


FKE : linarisation de lquation dtat autour de lestime(fx(k) = fx(x(k)) et hx(k) = hx(x(k|k 1))) puis filtrage deKalman :

Initialisation : x(0|0) = x(0)
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143/255

Initialisation : x(0|0) = x(0).



Etape de prdiction :
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144/255

Etape de prdiction :

x(k + 1|k) = f(x(k|k),u(k)),

P(k + 1|k) = fx(k)P(k|k)Tfx(k) + G(k)Q(k)G

T(k).



Etape destimation :
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146/255

0 1 00 0 1

en notant d(k|k 1) =

(x(k|k 1) xb)2 + (y(k|k 1) yb)2.

Alors :

x(k + 1|k) =

x(k) + v(k)T cos (k)y(k) + v(k)T sin (k)

(k) + (k)T

,

. . . . . . . . .
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147/255

Cartes de lenvironnement : gnralits

Problme

Cartographie de lenvironnement : problme dual de lalocalisation : reprsentation de lenvironnement, en supposant

connue la position du robot.


148/255

Types de cartes

Carte gomtriquede lenvironnement : positions dans unemtrique donne.

Carte topologiquede lenvironnement : associations entre leslieux de lenvironnement.

Cartes gomtriques

Grilles doccupation : carte discrte de lenvironnement

Subdivision de lenvironnement en cellules dont la probabilitdoccupation calcule partir des mesures, du modle du

capteur et de la connaissance de lenvironnement.
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149/255

Cartes gomtriques

Grilles doccupation : carte discrte de lenvironnement

Subdivision de lenvironnement en cellules dont la probabilitdoccupation calcule partir des mesures, du modle du

capteur et de la connaissance de lenvironnement.
http://find/


150/255

Cartes topologiques

Contexte

Cas denvironnements de grande taille : construction dunereprsentation purement gomtrique insuffisante et trop

lourde manipuler.
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151/255

Informations topologiques: typiquement graphe discretreprsentant diffrentes zones et donc diffrentes carteslocales dans lesquelles volue le robot.

Evolution

Dcision dutiliser une nouvelle carte locale : configurationparticulire de lenvironnement (passage, erreur de localisation

importante dans la carte prcdente).

Boucles : remise jour des diffrentes cartes locales.

Localisation et cartographie simultanes (SLAM)

Problme

Localisation et cartographie simultanes(SLAM) : naviguer partir dune position inconnue et dans un environnement
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152/255

pa t d u e pos t o co ue et da s u e o e e t

inconnu en construisant en mme temps une reprsentation delenvironnement et de la posture du robot.

. . .

Plan

1 Introduction

2 Modlisation

DfinitionsRoulement sans glissement et contraintes non holonmes
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153/255

gLes grandes classes de robots mobiles et leurs modlesReprsentation dtat et commandabilit

3PerceptionCapteurs en robotique mobile

LocalisationConstruction de carte

4 Navigation


Plan

1 Introduction

2ModlisationDfinitions

Roulement sans glissement et contraintes non holonmes
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154/255

Roulement sans glissement et contraintes non holonmesLes grandes classes de robots mobiles et leurs modlesReprsentation dtat et commandabilit

3PerceptionCapteurs en robotique mobile

LocalisationConstruction de carte

4 Navigation


Dfinitions

Mouvement

Mouvement: application dfinie en fonction du temps t, reliantun point initial linstant t0 un point final linstant tf.
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155/255

Trajectoire

Trajectoire : support dun mouvement, i. e.courbe paramtre

par une variable s quelconque.

Mouvement sur la trajectoire

Evolution du paramtre s en fonction du temps t.

Problmatique

Navigation

Navigationdun robot mobile : recherche dun mouvement dans

lespace des configurations sans collisions, dune configuration

initiale q0 = q(t0) une configuration finale qf = q(tf).
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156/255

Deux approches :
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157/255

Problmatique

Navigation

Navigationdun robot mobile : recherche dun mouvement dans

lespace des configurations sans collisions, dune configuration

initiale q0 = q(t0) une configuration finale qf = q(tf).


158/255

Deux approches :

planification de trajectoire (ou de mouvement), excutiondu mouvement

combinaison de primitives ractives (dont lenchanementest du ressort dun planificateur de tches).

Planification, excution

Planification directe de mouvement

Mthodes directes de planification dun mouvement : pas de

technique efficace (contraintes dynamiques et vitementdobstacles).
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159/255
http://find/


160/255

Planification, excution

Variante

planification dune trajectoire vitant les obstacles :

q : [0, 1] Cfrees q(s)


161/255

s q(s),

telle que q(0) = q0 et q(1) = qf

excution du mouvement : suivi de la trajectoire derfrence.

Plan

1 Introduction

2 ModlisationDfinitionsRoulement sans glissement et contraintes non holonmesL d l d b t bil t l dl
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162/255

Les grandes classes de robots mobiles et leurs modlesReprsentation dtat et commandabilit



Gnralits

Problme touchant de nombreux domaines

Historiquement : nombreux dveloppements en robotiquemobile (faibles dimensions, problmes analytiques).

Aujourdhui : algorithmes performants + vitesse des

calculateurs : nombre de problmes solvables bien plus grand
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163/255

calculateurs : nombre de problmes solvables bien plus grand,notamment trs nombreux degrs de libert (logistique,animation, bioinformatique, robotique avance).

Planification = matire en soit, la rencontre entre mcanique

et algorithmique.
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164/255


165/255

Espace des configurations

Espace des configurations dun point et dun solide

Espace des configurations = ensemble des configurationsaccessibles (sans collision) :

robot ponctuel : espace libre

robot de taille et de forme quelconque : on peut se


166/255

robot de taille et de forme quelconque : on peut se

ramener au problme de planification dun robot ponctuel.

Dcomposition en cellules (1)

dpart, but et obstacles (pour un robot point)
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167/255


reprsentation discrte de Cfree
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168/255


cration dun graphe reliant les diffrentes composantesadjacentes de lenvironnement
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169/255


identification des cellules dpart et but

recherche dune solution dans le graphe

chemin sans collisions entre cellules.
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170/255


Amlioration

Dcomposition non exacte en cellules rgulires ou non :

prcision au voisinage des obstacles.
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171/255


Amlioration

Dcomposition non exacte en cellules rgulires ou non :

prcision au voisinage des obstacles.
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172/255

Mthode du potentiel (1)
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173/255

Potentiels attractif et rpulsif :

U+ =1

2(q qf)

TK(q qf),

U =

=

i2

1

d(qObsi) 1d0

2, si d(q Obsi) d0

U = 0, sinon.

Mthode du potentiel (2)

Diffre sensiblement des autre mthodes voques dans cettesection (raisonnement pas purement gomtrique) :

simple et compatible temps-rel

mthode non compltepotentiel total = potentiel attractif + potentiels rpulsifs :minima locaux
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174/255

minima locaux

qf

U

U+

tactique de dgagement, fonctions de navigation

Roadmaps (1)

Diagramme de Vorono

Diagramme de Vorono : lignes dgale distance aux obstaclesdans un environnement polygonal plan (navigation au plus loin

des obstacles).
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175/255

Roadmaps (2)

Graphes de visibilit

Graphe de visibilit : graphe capturant la topologie delenvironnement partir des sommets dobstacles polygonaux.

relier dpart et arrive aux sommets visibles des obstacles
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176/255

Roadmaps (2)



reproduire avec les nouveaux nuds
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177/255

Roadmaps (2)



recherche dun chemin dans le graphe.
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178/255

Roadmaps (3)

Mthodes dchantillonnage alatoire

Planificateurs complets trop lents, planificateurs heuristiquestrop peu fiables : mthodes dchantillonnage alatoire=

planificateurs complets en temps infini.

Utilisation de la puissance de calcul et construction pralable

d h d l i d idi
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179/255

dun graphe de lenvironnement : grande rapidit.

Roadmaps (4)

Algorithme PRM

Mthode initiale : probabilistic roadmap(PRM)Les nuds du graphe ne sont pas choisis selon la gomtrie

de lenvironnement et des obstacles, mais par un tiragealatoire dans Cfree.
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180/255

Roadmaps (4)

Algorithme PRM


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181/255

Roadmaps (4)

Algorithme PRM


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182/255

Roadmaps (5)

Algorithme PRM+ visibilit

Ajout au graphe uniquement des points reliant deuxconfigurations non visibles lune par rapport lautre

prcdemment.
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183/255

Cas des systmes non holonmes

Problme

Planification de trajectoire = problme gomtrique.Contraintes non holonmes = problme cinmatique.

Problme difficile combinant planification et commande.
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184/255

Premire possibilit :

planification de trajectoire sans tenir compte des

contraintes cinmatiques

moyennant lexistence de lois de commande locales relierles configurations de cette trajectoire pour calculer une

trajectoire admissible

optimisation : lissage de la trajectoireAlternative : planification avec intgration de contrainte[LaValle 04].

Plan

1 Introduction

2 Modlisation

DfinitionsRoulement sans glissement et contraintes non holonmesLes grandes classes de robots mobiles et leurs modlesReprsentation dtat et commandabilit
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185/255

p

3 Perception

Capteurs en robotique mobileLocalisationConstruction de carte

4 NavigationProblmatiques et approches

Planification de cheminExecution du mouvement

Les diffrents problmes de commande

Dfinitions

Deux tches :

suivi de chemin : calcul de la commande permettant

dasservir la distance dun point du robot une trajectoirede rfrence, la vitesse de dplacement longitudinale tant

donne
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186/255

la stabilisation de mouvement: calcul de la commande du

systme permettant de stabiliser asymptotiquement zrolerreur de suivi par rapport un robot de rfrence.

Hypothses

Problmes de commande par retour dtat.

Etude de lunicycle exclusivement.

Paramtrage

x

ye

xr

yr

r

y
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187/255

O

x

Or

r

O P

b

a

Suivi de chemin (1)

Problmatique

Trouver pour asservir d(P, C) avec v donne.

ye

yr

y
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188/255

x

O

x

P d

b

a

O

C

r

Or

xr

yr

Rr mobile sur C : repre de Frnet

associ labscisse curviligne s.

Suivi de chemin (2)

Existence et unicit de Or

P toujours une distance de C infrieure son rayon decourbure (s) en Or, i. e. |d| < |(s)|, s [0 1] ou :

|dc(s)| < 1, s [0 1]

avec c(s) courbure de C en O
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189/255

avec c(s) courbure de C en Or.

Suivi de chemin (3)

Modlisation dans le repre de Frnet

Modlisation = mouvements de P et R dans Rr et celui de Rrsur C, compltement caractriss par la donne de s, d et e.
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190/255

Suivi de chemin (4)


Calcul de e.

Courbure c(s) de C en Or :

c(s) =dr

ds
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191/255

( )ds

Suivi de chemin (4)


Calcul de e.


c(s) =dr

ds
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192/255

( )ds

et donc :

Suivi de chemin (4)


Calcul de e.


c(s) =dr

ds
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193/255

ds

et donc :

e = r,

Suivi de chemin (4)


Calcul de e.


c(s) =dr

ds
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194/255

ds

et donc :

e = r,

= dr

ds

ds

dt,

Suivi de chemin (4)


Calcul de e.


c(s) =dr

ds
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195/255

ds

et donc :

e = r,

= dr

ds

ds

dt,

soit :e = sc(s).

Suivi de chemin (5)


Calcul de s et d.
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196/255

Suivi de chemin (5)


Calcul de s et d.

Vitesse du point P :
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197/255

Suivi de chemin (5)


Calcul de s et d.

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198/255

vP = vO + OP,

Suivi de chemin (5)


Calcul de s et d.

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199/255

vP = vO + OP,

= vx

+ z (ax

+ by

),

Suivi de chemin (5)


Calcul de s et d.


OP
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200/255

vP = vO + OP,

= vx

+ z (ax

+ by

),= (v b)(cos exr + sin eyr) + a( sin exr + cos eyr),

Suivi de chemin (5)


Calcul de s et d.


OP
http://find/


201/255

vP = vO + OP,

= vx

+ z (ax

+ by

),= (v b)(cos exr + sin eyr) + a( sin exr + cos eyr),

soit :

vP = ((v b) cos e a sin e)xr + ((v b) sin e + a cos e)yr.

Suivi de chemin (6)


Calcul de s et d.

ou :
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202/255

Suivi de chemin (6)


Calcul de s et d.

ou :

vP =d

dt

OP

,
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203/255

Suivi de chemin (6)


Calcul de s et d.

ou :

vP =d

dt

OP

,

d
http://find/


204/255

=d

dt

OOr +

OrP ,

Suivi de chemin (6)


Calcul de s et d.

ou :

vP =d

dt

OP

,

d
http://find/


205/255

=d

dt

OOr +

OrP ,= sxr +

d

dt

dyr

,

Suivi de chemin (6)


Calcul de s et d.

ou :

vP =d

dt

OP

,

d
http://find/


206/255

=d

dt

OOr +

OrP ,= sxr +

d

dt

dyr

,

= sxr + dyr drxr,

Suivi de chemin (6)


Calcul de s et d.

ou :

vP =d

dt

OP

,

d
http://find/


207/255

=d

dt

OOr +

OrP ,= sxr +

d

dt

dyr

,

= sxr + dyr drxr,

soit :vP = s(1 dc(s)) xr + dyr.

Suivi de chemin (7)


Calcul de s et d.

On rcapitule :

vP = ((v b) cos e a sin e)xr + ((v b) sin e + a cos e)yr,

vP = s(1 dc(s))xr + dyr ,
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208/255

P ( ( )) r + yr,
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209/255

Suivi de chemin (7)


Calcul de s et d.

On rcapitule :


vP = s(1 dc(s))xr + dyr,


210/255

soit :

s =(v b) cos e a sin e

1 dc(s),

Suivi de chemin (7)


Calcul de s et d.

On rcapitule :


http://find/


211/255

soit :


1 dc(s),

d = (v b) sin e + a cos e,

Suivi de chemin (7)


Calcul de s et d.

On rcapitule :


http://find/


212/255

soit :


1 dc(s),

d = (v b) sin e + a cos e,

e = sc(s).

Suivi de chemin (8)

Suivi de chemin sans contrle dorientation

On recherche une loi permettant de stabiliser la distance lacourbe de rfrence sans contrle particulier de lorientation.

Hypothse : b = 0 (point P sur laxe).

Alors :d = vsin e + a cos e.
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213/255

La loi :

= vsin eacos e

vcos e

k(d, e)d,

avec k(d, e) 0 tel que k(d, 2 ) = 0 donne :

d = vak(d, e)d.

Suivi de chemin (8)

Suivi de chemin sans contrle dorientation

On recherche une loi permettant de stabiliser la distance lacourbe de rfrence sans contrle particulier de lorientation.

Consquences

d = vak(d, e)d.
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214/255

a, v et k(d, e) > 0 : |d| dcroissante le long de toutetrajectoire.

v de signe constant et suffisamment rgulire : d tend

asymptotiquement vers 0.

Suivi de chemin (9)

Suivi de chemin avec contrle dorientation

. . .stabiliser la distance la trajectoire et lerreur en orientation.

Hypothse : a= b = 0.
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215/255

Suivi de chemin (9)



Hypothse : a= b = 0. Si on pose x1 = s, et u1 = s alors

x1 = u1 :
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216/255

Suivi de chemin (9)




x1 = u1 :

u1 =vcos e

1 dc(s)
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217/255

Suivi de chemin (9)




x1 = u1 :

u1 =vcos e

1 dc(s)

on pose : x d x (1 dc(s)) tan et u x do :
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218/255

on pose : x2 = d, x3 = (1 dc(s)) tan e et u2 = x3 d o :

Suivi de chemin (9)




x1 = u1 :

u1 =vcos e

1 dc(s)

on pose : x = d x = (1 dc(s)) tan et u = x do :
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219/255

on pose : x2 = d, x3 = (1 dc(s)) tan e et u2 = x3 d o :

Nouvelle reprsentation

x1 = u1,

x2 = u1x3,x3 = u2.

Retour dtat v donnreformul : retour dtat u2,

avec u1 dduit de v.

Suivi de chemin (9)

Systme chan

x1 = u1, x2 = u1x3, et x3 = u2.
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220/255

Suivi de chemin (9)

Systme chan

x1 = u1, x2 = u1x3, et x3 = u2.

Retour dtat proportionnel :

u2 = x3 = u1k2x2 |u1|k3x3

k t k d t t t i t t iti l
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221/255

avec k2 et k3 deux constantes strictement positives, alors :

Suivi de chemin (9)

Systme chan

x1 = u1, x2 = u1x3, et x3 = u2.

Retour dtat proportionnel :

u2 = x3 = u1k2x2 |u1|k3x3

avec k et k deux constantes strictement positives alors :
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222/255

avec k2 et k3 deux constantes strictement positives, alors :

x3 + |u1|k3x3 + u21 k2x3 = 0,

si u1 constant quelconque.
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223/255

Suivi de chemin (10)

On peut montrer que pour u1 quelconque et :

x22 (0) +x23 (0)

k2 0 rend le systme asymptotiquement stablesi vr est suffisamment rgulire (borne, drivable et de drive

borne et ne tendant pas vers zro lorsque t tend vers linfini).

Stabilisation de mouvement (7)

Mouvements quelconques avec contrle dorientation

Existence de fonctions transverses lies un groupe dechamps de vecteurs.
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240/255
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241/255


Mouvements quelconques avec contrle dorientation

Existence de fonctions transverses lies un groupe dechamps de vecteurs.

Avec x1 = x, x2 = y, x3 = tan , u1 = vcos et u2 =

cos2 on

obtient :


242/255

x1 = u1,

x2 = u1x3,

x3 = u2.


Vecteur de commande tendu: ue = (u1 u2 )T.
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243/255


Vecteur de commande tendu: ue = (u1 u2 )T.Soit 1 et 2 > 0 :

f() = f, 1()f, 2()f, 3()

= 1 cos

12

4

sin22 sin

.
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244/255


Vecteur de commande tendu: ue = (u1 u2 )T.Soit 1 et 2 > 0 :

f() = f, 1()f, 2()f, 3()

= 1 cos

12

4

sin22 sin

.Avec z= x f(), on a :

z= B(x, ) ue
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245/255

o :

B(x, ) =

1 0 1 sin

x3 0 12

2 cos20 1 2 cos

.


z= B(x, ) ue
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246/255


z= B(x, ) ue

Commande

La commande ue = B(x, )1 Kz, avec K une matrice dfinie

ngative, stabilise le robot mobile en d= 0.
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247/255


z= B(x, ) ue

Commande

La commande ue = B(x, )1 Kz, avec K une matrice dfinie

ngative, stabilise le robot mobile en d= 0.
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248/255

Conclusion

Le systme converge vers z= 0 , mais B(x, ) nest pas

toujours inversible (points singuliers).


Changement de variables plus complexe :

z=

x1 f, 1()

x2 f, 2() x1(x3 f, 3())x3 f, 3()

.
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249/255
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250/255


z= D(x1)B(f(), )ue


251/255


z= D(x1)B(f(), )ue

Commande

La commande ue = B(f(), )1D(x1)

1 Kz stabilise lesystme vers z= 0 avec une convergence exponentielle et converge ainsi exponentiellement vers une constante.
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252/255


z= D(x1)B(f(), )ue

Commande

La commande ue = B(f(), )1D(x1)

1 Kz stabilise lesystme vers z= 0 avec une convergence exponentielle et converge ainsi exponentiellement vers une constante.

Conclusions
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253/255

ConclusionsPas de points singuliers(D(x1) et B(f(), ) toujoursinversibles).

Convergence de x vers 0 ajuste par 1 et 2 (petites valeurs :

manuvres)

ActivMedia.

P3-DX : Worlds Most Popular Intelligent Wheeled Robot,

2004.G. Campion, G. Bastin et B. DAndra-Novel.Structural Properties and Classification of Kinematic and

Dynamic Models of Wheeled Mobile Robots.IEEE Transactions on Robotics and Automation, vol. 12,

no. 1, pages 4762, 1996.

J. Gangloff.

Cours de robotique, 2004.

G Giralt R Chatila et M Vaisset
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G. Giralt, R. Chatila et M. Vaisset.An Integrated Navigation and Motion Control System for

Autonomous Multisensory Mobile Robots.In First International Symposium on Robotics Research,

pages 191214, Cambridge, 1984.

K-team.Khepera II user manual, 2002.

S. M. LaValle.

Planning algorithms.

Published online, 1999-2004.T. Pajdla.Omnidirectional Vision Course.Rapport technique, ICCV 2003, 2003.

R. Siegwart et I. R. Nourbakhsh.Introduction to autonomous mobile robots.MIT press, 2004.
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255/255
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