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reducción de funciones
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Reducción de sistemas 4
INTRODUCCIÓN En este capítulo se presentan dos procedimientos para simplificar sistemas: el método de
Mason y el álgebra de bloques, tanto para sistemas de una entrada y una salida (SISO:
single input single output) como para sistemas multientradas y multisalidas (MIMO: multi
input multi output). La parte final introduce la herramienta de octave, la cual permitirá
representar sistemas en forma de bloques, ya sea como funciones de transferencia o
directamente por medio de ecuaciones diferenciales. Esto servirá para interactuar con
octave con la finalidad de obtener descripciones de sistemas en forma de funciones de
transferencia, o bien, como modelado en espacio de estado (a manera de conjuntos de
ecuaciones diferenciales de primer orden).
Contenido • Diagramas de flujo de señales (reducción por el método de Mason).
• Diagramas de bloques (reducción por álgebra de bloques).
• Sistemas SISO y MIMO.
Uso de octave en la obtención de funciones de transferencia de lazos abiertos y
cerrados.
• Problemas.
• Referencias del capítulo 4.
Objetivos • Representar sistemas mediante diagramas de flujo de señales y diagramas de bloques,
así como mediante simplificación de sistemas.
• Utilizar octave como herramientas en el modelado y la simplificación de sistemas
físicos.
4.1 INTRODUCCIÓN A LA REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS Un sistema de control está compuesto por varios subsistemas, representados en el
dominio por un conjunto interconectado de funciones de transferencia individuales
. Al sistema equivalente se le dará el nombre de función de transferencia resultante o
bien, por su importancia, el de función de transferencia de lazo cerrado .
Para determinar la relación entre entrada(s), sistema(s) y salida(s), es conveniente
representar todo el conjunto en forma de diagrama, lo cual puede ser a manera de
diagramas de flujo de señales (DFS) o de diagrama de bloques (DB).
En principio, tanto el DB como el DFS proporcionan exactamente la misma información
sobre un determinado sistema; la ventaja del DB radica en que provee de manera gráfica
la relación entre variables, subsistemas y salidas; mientras que el DFS permite, por un
lado, dibujar más fácilmente un conjunto de ecuaciones transformadas al dominio s,
además de hacer posible determinar la función de transferencia resultante de lazo
cerrado “en un solo paso” mediante la aplicación del método de Mason.
Los elementos que conforman todo diagrama de bloques son las variables de entrada y
salida que interactúan con el punto de suma, los bloques y los puntos de reparto. Con
respecto al DFS, sólo existen las ramas, que corresponden propiamente a los bloques, y
los nodos que actúan como variables de entrada y de salida, como puntos de suma y como
puntos de reparto. Las figuras 4.1a y 4.1b muestran las equivalencias entre ambos
diagramas.
Figura 1. Relación entre bloque y rama; en el DFS, los nodos indican las variables de entrada y salida.
La figura 4.1a muestra la equivalencia entre bloque y ramas, así como la definición de
variables de entrada y salida por medio de nodos.
La figura 4.1b indica la correspondencia entre punto de suma y punto de reparto del DB,
con respecto a los nodos del DFS. En esta representación es necesario añadir a cada rama
su correspondiente función de transferencia individual G(s); además, se observa que los
nodos efectúan diversas funciones como nodos de entrada y salida, como nodo a manera
de sumador algebraico y como nodo como punto de reparto.
SISTEMAS SISO Y MIMO Una de varias alternativas para clasificar los sistemas de control es con respecto a su
número de entradas y salidas. Cuando un sistema tiene una sola entrada y una sola salida
se denomina sistema SISO (single input single output); cuando posee varias entradas y
varias salidas se llama sistema MIMO (multi input multi output).
Para sistemas SISO, la función de transferencia corresponde a la relación salida
entrada escrita directamente como:
Sin embargo, para sistemas MIMO se requiere introducir subíndices para identificar tanto
al número de salida como al número de entrada con respecto a la posición de la
función de transferencia individual , asociada a una salida y a una entrada
específicas:
donde el subíndice corresponde a la salida bajo consideración y el subíndice designa la
entrada respectiva. Con base en lo anterior, un sistema MIMO tiene la siguiente
estructura en la que se consideran salidas y entradas:
Con esta notación se identifica con claridad la ubicación y la relación de cada función de
transferencia individual con la salida y la entrada respectivas.
Como ejemplo, es la función de transferencia que relaciona la salida 1 con la
entrada 2; relaciona la salida 2 con la entrada 1, etcétera.
Para sistemas con una sola entrada y salidas, las ecuaciones son:
mientras que para un sistema con entradas y una sola salida son:
EJEMPLO 4.1
Ejemplo:
Para el siguiente conjunto de ecuaciones en el dominio , obtenga su correspondiente DFS
y DB.
donde:
R1(s) y R2(s) son entradas iniciales.
X1(s) y X2(s) son salidas y/o entradas intermedias. Y(s) es la salida final. Solución:
Los DFS pueden representarse de múltiples formas; sin embargo, es conveniente
uniformizar tal representación: el flujo de información siempre se considerará de
izquierda a derecha, pero habrá que comenzar por la(s) entrada(s) inicial(es); a
continuación se indicarán las variables intermedias y finalmente la(s) salida(s) final(es).
El DFS del conjunto de ecuaciones (1) se muestra en la figura 4.2a.
Figura 2. DFS del conjunto de ecuaciones (1).
Para graficar ecuaciones en su respectivo diagrama de flujo de señales, por ejemplo:
hay que tomar en cuenta varias consideraciones: el miembro izquierdo de cada ecuación
representa una salida y cada término del miembro derecho es una suma de elementos,
compuesto cada uno de ellos por una combinación de entrada función de transferencia.
La representación del miembro derecho se lleva a cabo
por etapas: una entrada específica se considera diferente de cero, y las entradas
restantes, en este caso , se igualan a cero, de manera que la entrada , por la
función de transferencia individual , produce parte de la salida .Una vez
representado el primer término, se procede a graficar el siguiente factor, para lo que
habrá que considerar ahora a la entrada como diferente de cero, mientras que la
entrada se hace igual a cero, con lo cual el producto de la entrada por la
correspondiente función de transferencia individual produce la parte
restante de la salida . Lo anterior se ilustra en la figura 4.2b.
Al proceder de manera análoga con las ecuaciones restantes, se completa el respectivo
DFS. Para enfatizar al nodo de salida , se suele agregar otro nodo unido por
medio de una función de transferencia unitaria, que no altera en nada el valor de la
variable .
La representación en diagrama de bloques del conjunto de ecuaciones (1) se presenta en
la figura 4.2c.
REDUCCIÓN ÁLGEBRA DE BLOQUES Para llevar a cabo la reducción a un solo bloque de un determinado diagrama de bloques,
es necesario aplicar lo que se conoce como álgebra de bloques, esto es, hay que reducir
paso a paso el diagrama original hasta llegar a un único bloque equivalente denominado
función de transferencia de lazo cerrado
A continuación se listan algunas de las reglas del álgebra de bloques.
1. Cambio de puntos de suma
2. Movimiento del punto de suma
3. Movimiento de punto de reparto y generación de doble punto de suma
4. Bloques en paralelo
5. Bloques en serie
6. Movimiento del bloque fuera del punto de suma
7. Movimiento del bloque a la derecha del punto de suma
8. Inserción del bloque hacia el punto de reparto
9. Extracción del bloque fuera de un punto de reparto.
10. Extracción de bloque de configuración en paralelo.
11. Configuración típica de un sistema con retroalimentación negativa y su función de
transferencia de lazo cerrado (figura 4.3).
Probablemente la configuración de un sistema retroalimentado sea la más importante,
por su aplicación a los sistemas de control de lazo cerrado. Salvo la simplificación de la
configuración en turno, las anteriores reducciones, por sí solas, son obvias para obtener la
representación equivalente en bloques.
Con respecto a la figura 4.3, se definirán las siguientes variables y funciones de
transferencia individuales y .
Figura 3. Configuración de un sistema con retroalimentación negativa y su función de transferencia equivalente de
lazo cerrado T(s).
La interpretación de la figura 4.3 es la siguiente. El punto de suma compara la variable
detectada con la entrada de referencia , de lo que se obtiene una señal de error
[idealmente tal señal debe ser cero, lo que indica que la salida o el
comportamiento real del sistema es igual a la referencia o comportamiento
deseado].
El error actúa sobre la función de transferencia de trayectoria directa lo que
produce la respuesta del sistema. La salida es detectada por un sensor,
denominado función de transferencia de retroalimentación , cuya respuesta es
enviada al comparador.
Al sustituir (b) en (a):
(c) en (d):
y al reordenar la ecuación (e):
Toda función de transferencia representa la relación salida/entrada:
La ecuación anterior supone una simplificación de la configuración original. Por su
importancia, al número se le da el nombre especial de función de transferencia de
lazo cerrado, la cual está representada por .
En el caso de que la salida se retroalimentara directamente hacia el comparador,
según se observa en la figura 4.4, se trataría de un sistema con retroalimentación unitaria,
esto es, , cuya correspondiente función de transferencia de lazo cerrado es :
Figura 4. Sistema de control con retroalimentación unitaria.
12. Conversión de un sistema con retroalimentación no unitaria a un sistema con
retroalimentación unitaria, figura 4.5.
En muchas ocasiones resulta muy conveniente representar un sistema expresado
originalmente con retroalimentación no unitaria en forma de sistema retroalimentado
unitariamente, como se muestra a continuación (figura 4.5).
Figura 5. Conversión de un sistema con retroalimentación no unitaria a forma unitaria.
Ejemplo:
Utilice álgebra de bloques para reducir a un solo bloque [función de transferencia de lazo
cerrado ] los diagramas de las siguientes figuras.
a) Para este caso, además, obtenga los polos de lazo abierto así como los polos de
lazo cerrado
Figura 6. Configuración típica de un sistema retroalimentado
Solución:
El diagrama de la figura 4.6 corresponde a la configuración típica de un sistema
retroalimentado, por lo que se procederá a definir la función de transferencia de
trayectoria directa G(s), así como la función de transferencia de trayectoria de
retroalimentación H(s); luego se aplicará directamente la ecuación (4.5) para obtener la
reducción del diagrama y, por ende, T(s).
y
Al aplicar la ecuación (4.5) se obtiene la función de transferencia de lazo cerrado
Los polos de lazo abierto Pla (trayectoria directa) son:
>> numg [2];
>> deng [1 4 9 36];
>> Pla roots(deng)
Pla
4.0000
0.0000 3.0000i
0.0000 3.0000i
Los polos de lazo cerrado Plc son:
>> numlc[2];
>> denlc[1 4 11 38];
>> Plcroots(denlc)
Plc
3.7614
0.1193 3.1762i
0.1193 3.1762i
b) Reduzca el diagrama de bloques de la figura 4.7.
Figura 7. Diagrama de bloques
Solución:
El punto de suma asociado a la función de transferencia individual 12, se
reposiciona entre los dos primeros puntos de suma (figura 4.8).
Figura 8. Diagrama de bloques
Los bloques enmarcados (figura 4.8) pueden reducirse a una función de transferencia
parcial mediante la ecuación (4.5):
La figura 4.9 muestra el resultado de sustituir la función de transferencia parcial ,
con lo que nuevamente se puede simplificar la configuración si se utiliza una vez más la
ecuación (4.5):
Figura 9. Diagrama de bloques
La configuración resultante se muestra en la figura 4.10.
Figura 10. Diagrama de bloques equivalentes
Finalmente, la función de transferencia de lazo cerrado T(s) es:
Para concluir el tema relacionado con la reducción de sistemas, es posible decir que el
método de Mason permite obtener la función de transferencia de lazo cerrado en
“un solo paso”; además, para aplicar dicho procedimiento no necesariamente debe
partirse de un DFS, también es posible proceder desde un diagrama de bloques sin tener
que convertirlo a DFS. Por otro lado, la reducción de sistemas mediante álgebra de
bloques supone una aplicación sucesiva de reglas del álgebra de bloques, con el
inconveniente de que hay que redibujar el diagrama resultante cada vez que se haya
aplicado una operación particular.
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA INDIVIDUALES Y DE LAZO CERRADO La relación entre configuraciones de sistemas retroalimentados, ya sea en DB o mediante
DFS, se muestra en la figura 4.11.
Figura 11. Relación entre diagrama de bloques y diagrama de flujo de señales para un sistema retroalimentado.
Con respecto a la ecuación (4.5); se definirán los siguientes términos:
Función de transferencia de lazo cerrado.
Función de transferencia de trayectoria directa.
Función de transferencia de trayectoria de retroalimentación.
0, ecuación característica (contiene los polos de lazo cerrado).
Función de transferencia de lazo abierto.
El número merece los siguientes comentarios. Físicamente, este producto no
tiene ninguna interpretación; sin embargo, matemáticamente, tal expresión llega a ser
muy importante en virtud de su gran similitud con la ecuación característica
.
USO DE OCTAVE EN LA SIMPLIFICACIÓN DE SISTEMAS En esta sección se manipularán bloques con octave para obtener funciones de
transferencia de sistemas SISO y MIMO.
Reducción de diagramas de bloques en Octave
n1 = …; d1 = …; …;
Definición de las funciones de transferencia de cada bloque. n1 corresponde al numerador del bloque 1 y d1 a su denominador, n2 y d2 para el bloque 2 , etc.
tf Definir las funciones de transferencia necesarias.
append Permite unir los sistemas
q = […….]; Definir interconexión de entradas en bloques.
input = …; Bloque de entrada.
output = …; Bloque de salida.
connect conecta los bloques y define el sistema
Uso de octave para simplificar diagramas de bloques Ejemplo 1
1. Sea un sistema formado por bloques (figura 4.12).
Figura 12. Bloque con realimentación unitaria
2. El sistema es equivalente a:
Figura 13. sistema equivalente
Para obtener la función de transferencia resultante con octave, se escribe el siguiente
código:
>> pkg load control >> n1=[1];d1=[1];n2=[10];d2=[1 5]; >> sys1=tf(n1,d1); >> sys2=tf(n2,d2); >> sys=append(sys1,sys2); >> q=[2 1 -2]; >> input=1; >> output=2; >> syst=connect(sys,q,input,output) warning: tf: converting to minimal stat e-space for MIMO TF interconnections Transfer function 'syst' from input 'u1 ' to output ... 10 y1: ------ s + 15 Continuous-time model. Ejemplo 2
Para obtener la función de transferencia resultante, se escribe el siguiente código:
Figura 14. Diagrama de bloques
El sistema es equivalente a:
Figura 15. Diagrama de Bloques equivalente
Para obtener la función de transferencia resultante, se escribe el siguiente código:
>> sys1=tf([1],[1]); >> sys2=tf([1],[1]); >> sys3=tf([1],[1 1]); >> sys4=tf([1],[1 0]); >> sys5=tf([1],[1]); >> sys6=tf([1],[1 0]); >> sys=append(sys1,sys2,sys3,sys4,sys5,sys6); >> q=[2 1 -6;3 -3 2;4 3 -5;5 4 -6;6 5 -6];>> imput=1; >> imput=1; >> output=6; >> syst=connect(sys,q,input,output) warning: tf: converting to minimal state-space for MIMO TF interconnections Transfer function 'syst' from input 'u1' to output ...
1 y1: --------------------- s^3 + 5 s^2 + 7 s + 3
Continuous-time model.
Uso de Octave para extraer la función de transferencia resultante para sistemas SISO y MIMO ∞ EJEMPLO 4.4
Para el sistema de dos tanques interactuantes que se ilustra en la figura 4.16, donde se
particularizarán las siguientes ecuaciones:
obtenga las funciones de transferencia del sistema de dos entradas y dos salidas, así como
los niveles y . Considere también los siguientes datos:
Figura 16. Sistema de nivel interactuante
Solución:
Con respecto al tanque 1:
Para el tanque 2:
por lo que las ecuaciones a ser representadas en octave y mostradas en el diagrama 4.17
son:
Figura 17. Sistema de nivel interactuante.
Para ejecutar el programa en octave, se deberá escribir el siguiente código desde la
ventana de trabajo: >> sys1=tf([1],[1]);
>> sys2=tf([1],[25 0]);
>> sys3=tf([1],[0.5]);
>> sys4=tf([1],[1]);
>> sys5=tf([1],[55 0]);
>> sys6=tf([1],[0.666]);
>> sys7=tf([1],[0.5]);
>> sys=append(sys1,sys2,sys3,sys4,sys5,sys6,sys7);
>> q=[2 1 7 -3 0;3 2 0 0 0;5 3 4 -6 -7;6 5 0 0 0;7 5 0 0 0];
>> input=[1 4];
>> output=[2 5];
>> syst=connect(sys,q,input,output)
warning: tf: converting to minimal state-space for MIMO TF interconnections
Transfer function 'syst' from input 'u1' to output ...
0.04 s + 0.002547
y1: -------------------------
s^2 + 0.1437 s + 0.002184
0.001455
y2: -------------------------
s^2 + 0.1437 s + 0.002184
Transfer function 'syst' from input 'u2' to output ...
0.001455
y1: -------------------------
s^2 + 0.1437 s + 0.002184
0.01818 s + 0.001455
y2: -------------------------
s^2 + 0.1437 s + 0.002184
Continuous-time model.
Debido a que se tiene un sistema con dos entradas y dos salidas, los correspondientes
niveles y ) quedarán descritos por:
Una vez que se han obtenido las funciones de transferencia ), , y
y ya conocidas las entradas y de acuerdo con las ecuaciones, se puede
verificar fácilmente que los niveles de estado estable son
La figura 4.18 muestra las variaciones de los niveles en los tanques 1 y 2: y .
Figura 18. niveles en los tanques 1 y 2: h1(t ) y h2(t ).
PROBLEMAS 4.1 Indique la diferencia entre función de transferencia de trayectoria directa y
función de transferencia de lazo cerrado .
4.2 Explique la diferencia entre polos de lazo abierto y polos de cerrado.
4.3 Enumere las ventajas de obtener la función de transferencia de lazo cerrado por
el método de Mason, en comparación con el método de reducción de bloques aplicando
el álgebra respectiva. Utilice un sistema representado en forma de diagrama de bloques o
en forma de diagrama de flujo de señales.
4.4 Obtenga y , así como sus respectivos polos y ceros para la configuración
mostrada en la figura 4.19.
Figura 19. Sistema retroalimentado con ganancia ajustable K.
4.5 Para un motor controlado por corriente de armadura (sección 3.4.2b) y según se
muestra en la figura 4.20, obtenga sus respectivas funciones de transferencia y
, de manera que el desplazamiento angular corresponda a:
Figura 20. Motor de CD controlado por corriente de armadura;
4.6 Aplique el método de Mason al sistema de la figura 4.21.
Figura 21. Diagrama de bloques de un determinado sistema.
4.7 Obtenga las funciones de transferencia , , y
correspondientes al DFS de la figura 4.22.
Figura 22. Diagrama de flujo de señales de un sistema de dos entradas y dos salidas.
4.8 Sea un sistema hidráulico formado por dos tanques interactuantes de áreas y
respectivamente, según se muestra en la figura 4.23; obtenga su representación en
diagrama bloques o en diagrama de flujo de señales.
Figura 23. Sistema interactuante formado por dos tanques.
4.9 Con respecto al problema 4.8, obtenga la función de transferencia de lazo cerrado
, ya sea por álgebra de bloques o por el método de Mason.
4.10 Obtenga la representación en diagrama de bloques o en diagrama de flujo de
señales del siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales, que definen un determinado
sistema retroalimentado.
4.11 Represente el diagrama de bloques de la figura 4.24 en su equivalente diagrama de
flujo de señales.
Figura 24. Diagrama de bloques a ser representado como DFS.
4.12 Para la configuración de la figura 4.25, obtenga la función de transferencia de lazo
cerrado utilizando octave.
Figura 25. Diagrama de bloques a ser sintetizado con Octave y LabView.
4.13 La figura4.26 muestra un sistema de lazo cerrado cuyo objetivo es posicionar una
plataforma de masa por conversión de movimiento de rotación a traslación; las
ecuaciones que definen el sistema son:
Figura 26. Sistema en configuración de lazo cerrado para controlar la posición de traslación x(t) de la plataforma de
masa m, donde el motor produce un voltaje
donde es el error como suma algebraica de la referencia y la posición real de la
plataforma de masa y es la constante del potenciómetro.
siendo la ganancia del controlador que, como inicio, se supondrá unitaria.
(ecuación de un motor de CD controlado por corriente de armadura)
(ecuación que relaciona la velocidad angular con la carga)
(relación velocidad angular-posición angular)
(ecuación de conversión de rotación a traslación), donde:
Voltaje de referencia Voltaje de retroalimentación Señal de error: suma algebraica de
Resistencia del circuito de armadura del motor
inductancia del circuito de armadura del motor
corriente de armadura del motor
constante de proporcionalidad debido a la fuerza contraelectromotriz
voltaje de la fuerza contraelectromotriz:
constante que relaciona el torque del motor con la corriente
desplazamiento angular del cilindro de radio velocidad angular suministrada por el motor al cilindro de radio radio del cilindro
momento de inercia del cilindro
fricción entre cilindro y plataforma masa de la plataforma
desplazamiento real de la plataforma constante del potenciómetro de retroalimentación control proporcional de ganancia ajustable, en este caso unitaria Obtenga la representación en bloques del sistema de la figura 4.38.
4.14 Con respecto al problema 4.13, usando octave, obtenga la función de transferencia
de lazo cerrado y la respuesta al escalón unitario de acuerdo con los siguientes datos:
4.15 Por medio de octave, encapsule en un subsistema a los elementos que se muestran
en la figura 4.27; luego, con el subsistema resultante, complete la configuración que se
muestra en la figura 4.26.
Figura 27. Componentes de un sistema a ser encapsulados en un subsistema.
4.16 Obtenga la función de transferencia de lazo cerrado del sistema mostrado en la
figura 4.28. Utilice la aproximación de Padé de tercer grado, donde hay que considerar un
atraso de tiempo de 0.5 segundos.
Figura 28. Sistema con atraso de tiempo.
REFERENCIAS Bishop, R. H., Modern control systems analysis & design using MATLAB & simulink,
Addison-Wesley, 1997.
Dorf, R. C., Modern control systems, Addison-Wesley, 1998.
Kuo, B. C., Sistemas de control automático, Prentice Hall, 1996.
