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18 Unidad 13 | Estadstica unidimensional

13 Estadstica unidimensional

ACTIVIDADES INICIALES

13.I. Un fabricante de bebidas quiere evaluar la calidad de sus productos. Naturalmente, no puedeanalizar todas las botellas que produce por la sencilla razn de que, una vez abiertas, no laspodr comercializar. Propn un mtodo para hacer el control de calidad de las bebidas de estefabricante.

El fabricante debera elegir un nmero de botellas al azar y probarlas.

13.II.Para hacer una encuesta electoral, no se pide la opinin a toda la pob lacin, sino a una parte omuestra de esta que la representa; por ejemplo, de unas 2.000 personas. Qu criteriosutili zaras para seleccionar esta muestra?

La muestra seleccionada debe ser representativa de la poblacin. Es decir, debe compartir lasmismas caractersticas de la poblacin en estudio: grupos de edad, sexo, etc.

Desarrolla tus competencias

13.1. Hemos recogido las notas de Matemticas de la ltima evaluacin de dos grupos,Ay B, de uncurso de 4. de ESO. A cont inuacin se muestran los datos:

a) Construye en cada caso la tabla completa de frecuencias que corresponde.

Frecuencias absolu tas (fi). Frecuencias absolutas acumuladas (Fi).

Frecuencias relat ivas uni tar ias (h i). Frecuencias relativas acumuladas unitarias (Hi).

Frecuencias relat ivas porcentuales. Frecuencias relat ivas acumuladas po rcentuales.

b) Calcula la media aritmtica de cada grupo.

c) Qu grupo te parece que ha sacado mejores notas? Crees que, para respondercorrectamente a esta pregunta, es suficiente conocer las medias aritmticas?

d) Hemos representado la informacin de las tablas en estos dos grficos de sectores:

Estos son los intervalos que se han establecido en los grficos:

Insuficiente = [0, 5) Bien = [6, 7) Sobresaliente = [9, 10]

Suficiente = [5, 6) Notable = [7, 9)

Qu conclus iones puedes extraer?

GRUPO B2 6 6 5 95 5 4 5 64 6 6 4 55 4 3 6 64 3 5 7 65 5 6 4 7

GRUPOA2 4 5 4 107 3 7 9 74 3 2 2 34 3 8 9 95 2 9 7 33 7 2 2 8

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Estadstica unidimensional | Unidad 13 19

e) Te piden que presentes los datos de las dos clases en un mismo grfico. Cmo lo haras?

a)A

Nota fi Fi hi Hi % % ac.

2 6 6 0,20 0,20 20 % 20 %

3 6 12 0,20 0,40 20 % 40 %

4 4 16 0,13 0,53 13,33 % 53,33 %

5 2 18 0,07 0,60 6,67 % 60 %

7 5 23 0,17 0,77 16,67 % 76,67 %

8 2 25 0,07 0,83 6,67 % 83,33 %

9 4 29 0,13 0,97 13,33 % 96,67 %

10 1 30 0,03 1,00 3,33 % 100 %

Total 30

B


2 1 1 0,03 0,03 3,33 % 3,33 %

3 2 3 0,07 0,10 6,67 % 10 %

4 6 9 0,20 0,30 20 % 30 %

5 9 18 0,30 0,60 30 % 60 %

6 9 27 0,30 0,90 30 % 90 %

7 2 29 0,07 0,97 6,67 % 96,67 %

9 1 30 0,03 1,00 3,33 % 100 %Total 30

b) 26 36 44 52 75 82 94 101

5,130

Ax + + + + + + +

= = 21 32 46 59 69 72 91

5,1330

Bx + + + + + +

= =

c) No se pueden extraer conclusiones comparando las notas medias, pues en la clase Ahay notasms extremas que en la clase B.

d) En el grupo Bhay ms aprobados. El grupo es ms homogneo.

e) Se podra utilizar un histograma.

ACTIVIDADES

13.1. En una biblioteca con 13.650 socios hay un 34 % de personas mayores de 65 aos, 3.549menores de 18 aos y el resto con edades entre 18 y 65 aos. Si queremos hacer un sondeoentre 300 socios para la prxima compra de libros, a cuntas personas de cada grupo deedades deberemos incluir?

En la poblacin, de 13.650 individuos, hay 3.549 menores de edad; es decir, el 26 % son menores deedad. Por tanto, la muestra debe estar formada por un 34 % mayores de 65 aos, un 26 % menoresde 18 aos y, el resto, con edades comprendidas entre 18 y 65 aos.

Mayores de 65 aos: 34 % de 300 = 0,34 300 = 102 individuos.

Menores de 18 aos: 26 % de 300 = 78 individuos.

Entre 18 y 65 aos: 300 (102 + 78) = 300 180 = 120 individuos.

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13.2. Indica si se trata de variables estadsticas cualitativas o cuantitativas:

a) Nivel de ruido ambiental, en decibelios, en las cercanas de los aeropuertos europeos amedioda.

b) Edad media con l a que los jvenes dejan de viv ir en casa de sus padres.

c) Deporte preferido por los alumnos de una escuela.

d) Presin arterial de la gente que llega a un determinado centro de jubilados.e) ndice de masa corpo ral de los jvenes murcianos de 16 aos.

a) Cuantitativa b) Cuantitativa c) Cualitativa d) Cuantitativa e) Cuantitativa

13.3.Acti vidad interact iva.

13.4. Queremos estudiar el tiempo de recuperacin de las personas que sufren una determinadaenfermedad tropical, despus de ser sometidas a un tratamiento especfico. Crees quepodramos trabajar con la poblacin entera o tendramos que elegir solo una muestra? Razonatu respuesta.

Se podra trabajar con la poblacin entera porque el nmero de personas que sufren una determinadaenfermedad tropical, despus de ser sometidas a un tratamiento especfico, no sera muy elevado.

13.5. Invntate un estudio estadstico donde la poblacin sea todo tu centro.

a) Determina la variable y el tipo .

b) Piensa qu caractersticas son las ms relevantes de la poblacin.

c) Selecciona una muestra que sea representativa.

a) Tiempo semanal que dedican los alumnos del centro a ver la televisin. Es una variablecuantitativa continua.

b) Las caractersticas ms relevantes son la edad y el sexo.

c) En la muestra debera un nmero de alumnos de un rango de edad y sexo proporcional a larealidad.

13.6. (TIC) Hemos medido las alturas en centmetros de los estudiantes de un curso.

a) Determina una cantidad adecuada de intervalos y calcula su amplitud .

b) Dibuja el histograma correspondiente.

a) Vamos a agrupar los datos en 6 intervalos. Por tanto, amplitud =183 156

4,5 56

= cm.

b)

160 162 173 183 157 162 157 159163 171 157 171 170 156 156 159

Altura (cm) fi

[156, 161) 8

[161, 166) 3

[166, 171) 1

[171, 176) 2

[181, 186) 1

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13.7. Describe las caractersticas de esta distribucin encontrada en un peridico .

En esta distribucin se estudian los sueldos de un grupo de empleados. Es una variable cuantitativacontinua. Los sueldos estn agrupados en intervalos de amplitud 300. Hay 2 empleados que cobranentre 600 y 900 , 9 que cobran entre 900 y 1.200 , 11 que cobran entre 1.200 y 1.500 , 7 quecobran entre 1.500 y 1.800 , 3 que cobran entre 1.800 y 2.100 , 4 que cobran entre 2.100 y 2.400 y 1 que cobra entre 2.400 y 2.700 .

13.8. (TIC) Hemos recog ido el nmero de calzado de un grupo de personas:

Calcula la media aritmtica, la mediana y la moda o modas. Construye previamente una tablade frecuencias y represntala en un diagrama de barras.

361 373 386 393 403 414 425 433 451 46 140,2

30x

+ + + + + + + + + = = Me = 40 Mo= 38

13.9. * (TIC) Calcula las clases mediana y modal de la tabla del ejercicio resuelto 4.

Clase mediana = [3, 4) Clase modal = [3, 4)

13.10. Puede ser la moda mayor que la media? Y la media mayor que la mediana? Razona tusrespuestas con ejemplos.

Considerar la siguiente distribucin: 0 0 4 4 9 9 9

En esta distribucin se cumple Mo= 9 > 5x = > Me= 4; es decir, la moda es mayor que la media y,la media mayor que la mediana.

37 38 42 45 40 36 38 39 37 4343 38 39 41 42 46 38 41 40 42

38 41 42 38 37 41 43 42 39 40

N. fi Fi hi Hi36 1 1 0,03 0,03

37 3 4 0,10 0,13

38 6 10 0,20 0,3339 3 13 0,10 0,43

40 3 16 0,10 0,53

41 4 20 0,13 0,67

42 5 25 0,17 0,83

43 3 28 0,10 0,93

44 0 28 0 0,93

45 1 29 0,03 0,97

46 1 30 0,03 1

Total 30

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13.11.Act iv idad interac tiva.

13.12.Haz un recuento de los suspensos que han sacado en la ltima evaluacin cada uno de tuscompaeros de clase. Halla la media, la mediana y la moda, y, a partir de estos datos, valora lasituacin.

Respuesta libre.

13.13.(TIC) En una inmobiliaria han hecho un estudio sobre la edad de las personas que hancomprado una casa durante un mes elegido al azar:

a) Calcula los t res cuartil es.

b) Da una interpretacin de los resultados respecto a los datos de este ejercicio .

c) Qu valor tiene el rango in tercuartlico y qu representa?d) Entre qu dos valores se encuentra el 50 % de los datos ms altos?

e) Qu intervalo de edades contiene el 25 % superior de las personas que compran una casa?

a) Q1= 33 Q2= 38 Q3= 40

b) El 25 % de las personas que han comprado un piso son menores de 33 aos. El 50 % de laspersonas que han comprado un piso son menores de 38 aos. El 75 % de las personas que hancomprado un piso son menores de 40 aos.

c) r= Q3 Q1= 40 33 = 7. El 50 % de los valores centrales de las edades estn comprendidos enun intervalo de longitud 7.

d) El 50 % de los datos ms altos se encuentran entre 38 y 44 aos.

e) El 25 % superior de las personas que compraron una casa tienen entre 40 y 44 aos.

13.14. Es posible que las clases a las que pertenecen los tres cuartiles coincidan en unadistr ibucin con los datos agrupados? Razona tu respuesta poniendo un ejemplo.

En esta distribucin los tres cuartiles coinciden en elmismo intervalo: [b, c).

13.15. (TIC) Se ha realizado un experimento en el aula: han hecho un examen de Matemticas queaprobarn exactamente un 25 % de los que se han presentado. Con qu valor mnimo se tieneque poner el aprobado si las calificaciones han sido las sigu ientes?

Q3= 5, pues el primer valor cuya frecuencia absoluta acumulada supera a 18 es 5. Sin embargo, si elaprobado estuviera en un 5 aprobaran el examen 9 personas y esta cifra no representa el 25 % de laclase. Por tanto, no hay ninguna nota mnima que permita aprobar exactamente al 25 % de la clase.

27 30 42 44 40 36 38 34 37 36 32 29

34 38 39 41 42 35 38 39 40 38 29 30

38 41 42 38 37 41 37 33 39 40 32 33

Edad 27 29 30 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 44

fi 1 2 2 2 2 2 1 2 3 6 3 3 3 3 1

Fi 1 3 5 7 9 11 12 14 17 23 26 29 32 35 36

Intervalo [a, b) [b, c) [c, d)

fi 1 3 1

F 1 4 5

6 3 4 3 6 6 2 5

2 2 5 4 3 4 9 1

5 4 1 4 2 5 6 4

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13.16.(TIC) Se ha pedido a un grupo de 50 espectadores que valoren de 1 a 10 la pelcula queacaban de ver. La siguiente tabla muestra los resultados que se han obtenido:

a) Construye la tabla de frecuencias absolutas yabsolutas acumuladas correspondiente.

b) Calcula todos los cuartiles y el rango intercuartlico.

c) Dibuja el diagrama de cajas y bigotes que representelos datos dados.

d) Da una interpretacin del diagrama de cajas y bigotesresultante.

a)

b) Q1= 2 Q2= 3 Q3= 7 r= 7 2 = 5

c)

d) El bigote de la derecha es igual que el de la izquierda, lo que indica que las puntuaciones se

encuentran igual de concentradas en la cuarta parte ms baja de los datos que en la cuarta parte msalta de los datos. Tambin en la caja se puede observar que las notas que se hallan entre el 50 y el75 % de los datos estn bastante ms dispersas que en la parte izquierda de la caja.

13.17.La tabla resume los das que se conectan a internet dos grupos de adolescentes en un mes.Representa los diagramas de cajas correspondientes y compara los resultados de cada grupo.

A B

En ambos casos un bigote de la grfica es ms corto que el otro. Sin embargo, en el grupo Ael bigotems corto es el izquierdo, lo que indica que el nmero de horas se encuentran ms concentradas enla cuarta parte ms baja de los datos y, en el grupo B,el bigote ms corto es el derecho, lo que indicaque el nmero de horas se encuentran ms concentradas en la cuarta parte ms baja de los datos.

Se puede observar, a travs de las cajas, que las horas de conexin que se hallan entre el 50 y el 75% de los datos estn ms dispersas que en la parte izquierda de la caja en el grupo A. En el otrogrupo la caja es simtrica, lo que indica que los datos estn igual de dispersos.

Adems, por la disposicin de las cajas en el grfico, se puede concluir que los adolescentes delgrupoA se conectan, por lo general, menos horas a internet que los del grupo B.

7 1 6 2 2 3 0 1 9 5

0 2 6 3 7 9 7 3 3 6

2 1 4 3 4 3 2 7 2 9

4 2 1 4 0 2 8 1 9 9

4 5 0 5 9 1 2 2 9 8

Nota fi Fi hi Hi0 4 4 0,08 0,081 6 10 0,12 0,22 10 20 0,2 0,43 6 26 0,12 0,524 5 31 0,1 0,625 3 34 0,06 0,686 3 37 0,06 0,74

7 4 41 0,08 0,828 2 43 0,04 0,869 7 50 0,14 1

Q1 Q2 Q3 Xmn. Xmx.GrupoA 8 12 15 4 25

Grupo B 12 15 18 2 22

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13.18.El diagrama de cajas y bigotes muestra los resultados obtenidos por un grupo de estudiantesen una prueba. Escribe toda la informacin que te proporciona el diagrama.

xmn. = 3 xmx. = 9 Q1= 5 Q2= 7 Q3= 8El bigote izquierdo es ms largo que el derecho, lo que indica que los resultados se encuentran msconcentrados en la cuarta parte ms alta de los datos. La caja indica que los resultados que se hallanentre el 50 y el 75 % de los datos estn ms concentrados que en la parte baja.

13.19.(TIC) Se ha organizado un campeonato de tiro con arco. Han partic ipado 50 tiradores, que hanobtenido las siguientes dianas:

Calcula el rango, la varianza y la desviacin.

S2=

130,88

50= 2,6176 S= 2,6176 = 1,62 r= 9 3 = 6

13.20.(TIC) Determina el rango y la desviacin t pica de los datos que muestra la siguiente tabla:

S2=

18,42

19

= 0,969 S= 0,969 = 0,98 r = 3,5 0,5 = 3

13.21.* Calcula la varianza y la desviacin tpica de la distribucin del ejercicio resuelto 11utilizando la frmula de la varianza que aparece en el lateral de la pgina anterior. Obtieneslos mismo s resultados? Por qu crees que ocur re?

2

2 2 21375,65 37,07 1,46100

i ix f

S x

= = =

S= 1,21

Se obtienen los mismos resultados porque ambas frmulas son equivalentes.

13.22.Es posible que la desviacin tpica de una distribucin sea igual a cero? Razona turespuesta.

S que puede ocurrir que la desviacin tpica de una distribucin sea igual a cero; pero solo en unadistribucin en la que todos sus datos tomen el mismo valor.

13.23.Di en cules de los siguientes estudios estadsticos tiene sentido calcular el rango y ladesviacin tpica y en cules no.

a) Gnero de pelculas que ms gus tan a los estud iantes de ESO.

b) Cantidad de veces que los estudiantes de ESO van al cine al mes.

a) No tiene sentido calcular el rango y la desviacin tpica porque se trata de una variable cualitativa.

b) S tiene sentido calcular el rango y la desviacin tpica porque se trata de una variable cuantitativadiscreta.

4 4 5 8 7 6 5 5 5 33 6 8 8 4 6 8 6 9 46 7 7 4 6 7 6 5 8 65 5 5 6 5 6 4 8 8 3

3 7 5 6 4 5 3 6 5 9

Intervalos [0, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4)

fi 3 5 7 4

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13.24.(TIC) Las sigu ientes tablas muestran las puntuaciones obtenidas en dos p ruebas.

a) Halla las medias aritmticas y las desviaciones tpicas de las dos pruebas.

b) Calcula el coeficiente de variacin de cada prueba y determina el conjunto ms disperso.

a) GrupoA

S2=

69,43

14 = 4,959

S= 4,959 = 2,22

Grupo B

S2=

78,93

15= 5,26

S= 2,29

b) CVA=2,22

4,93= 0,45 CVB=

2,290,48

4,73=

La distribucin Btiene mayor coeficiente de variacin y, por tanto, su dispersin es tambin mayor.

13.25.Razona si estas afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Cuanto mayor es la media aritmtica, mayor es el coeficiente de variacin.

b) Dos distribuciones con el mismo coeficiente de variacin tienen necesariamente la mismamedia aritmtica.

c) El coeficiente de variacin puede ser igual a 1.

a) Falso. Suponer dos distribuciones, Ay B, con igual desviacin tpica, S, y medias, Ax y Bx , que

cumplen Ax < Bx . Se tiene que A BA B

S SCV CV

x x= > = . Por tanto, a igual desviacin tpica, cuanto

mayor es la media aritmtica, menor es el coeficiente de variacin.

b) Falso. Para que dos distribuciones tengan el mismo coeficiente de variacin es suficiente que la

proporcin entre sus desviaciones tpicas y las medias aritmticas sean iguales. Es decir, A BA B

S S

x x= .

c) Verdadero. Considerar la distribucin 0, 0, 1 y 1. Se tiene que S= 0,5 y x = 0,5. Por tanto, CV= 1.

Notas pruebaA [0, 3) [3, 6) [6, 6)

fi 3 6 5

Notas prueba B [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10)

fi 2 4 4 4 1

Intervalo xi fi fi xi xi x (xi x )2 fi (xi x )

2

[0, 3) 1,5 3 4,50 -3,43 11,76 35,27

[3, 6) 4,5 6 27,00 -0,43 0,18 1,10

[6, 9) 7,5 5 37,50 2,57 6,61 33,06

10 x = 4,93 69,43

Intervalo xi fi fi xi xi x (xi x )2 fi (xi x )

2

[0, 2) 1 2 -3,73 13,94 27,88 -3,73

[2, 4) 3 4 -1,73 3,00 12,02 -1,73

[4, 6) 5 4 0,27 0,07 0,28 0,27

[6, 8) 7 4 2,27 5,14 20,55 2,27

[8, 10) 9 1 4,27 18,20 18,20 4,27

15 x = 4,73 78,93

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13.26.(TIC) Un comerciante quiere comprar una remesa de bombillas, pero duda entre dosfabricantes, A y B, que venden las bombillas al mismo precio. El comerciante prueba seisbombi llas de cada fabricante y obtiene estas duraciones:

FabricanteA

Fabricante B

A cul de los dos fabricantes le conviene ms comprarle las bombil las? Razona tu respuesta.

} 67,19508,33 0,1367,19 508,33A Ax CVS = = == } 133,59491,67 0,27

133,59 491,67B

B

x CVS

= = ==

Como CVA< CVB, la dispersin de la duracin de las bombillas del fabricante Aes menor que las delfabricante B. Conviene ms comprar las bombillas al fabricanteA.

13.27.(TIC) La media de puntos de un jugador de baloncesto en 20 partidos es de 12, y la desviacintpica es de 3.

a) En qu intervalo se encuentran como mnimo el 75 % de sus puntuaciones?

b) Es posib le que en tres partidos haya marcado dos puntos? Y en dos partidos?

a) El intervalo ( x 2S, x + 2S) = (12 2 3, 12 + 2 3) = (6, 18) contiene como mnimo el 75 % desus puntuaciones.

b) El intervalo ( x 3S, x + 3S) = (12 3 3, 12 + 3 3) = (3, 21) contiene como mnimo el 90 % desus puntuaciones. Luego en el 90 % de los 20 partidos ha marcado ms de 3 puntos. Es decir, en 18partidos de los 20 jugados ha marcado ms de 3 puntos. Por lo tanto, es imposible que en trespartidos haya marcado dos puntos. Sin embargo, en dos partidos, s que es posible que hayamarcado dos puntos.

13.28.(TIC) Representa los datos del ejercicio resuelto en un d iagrama de sectores. Usa la tabla defrecuencias para ello y muestra los porcentajes en el grfico. Escribe el resultado de estosproductos.

Introducimos en una hoja de clculo los datos, las frecuencias relativas y calculamos las absolutas.Para representar los datos en un diagrama de sectores, en el men Insertar Grfico, seleccionamos

la opcin Circular. En el rango de datos seleccionamos las celdas de las frecuencias absolutas y enRtulos del eje de categoras (X), de la pestaa serie, seleccionamos las celdas que contienen losdatos. Activamos la casilla porcentaje de la pestaa Rtulo de datos.

Bombillas A1 A2 A3 A4 A5 A6

Horas 400 550 600 450 550 500

Bombillas B1 B2 B3 B4 B5 B6

Horas 650 400 400 700 350 450

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13.29.(TIC) Repite el clculo de la desviacin tpica del ejercicio resuelto en este epgrafe usando lafuncin DESVESTA en vez de DESVESTP. Obtienes el mismo resultado? Por qu crees queocurre esto?

Los resultados obtenidos son diferentes. Segn la funcin DESVESTA la desviacin tpica es 3,3635.Este hecho es debido a que la funcin DESVESTA considera que los datos introducidos son unamuestra de una poblacin y la funcin DESVESTP, asume que los datos seleccionados correspondena una poblacin.

13.30.Acti vidad interact iva.

13.31.(TIC) En una tienda de deportes han preguntado a chicos de entre 13 y 18 aos cuntos d as ala semana practican algn tipo de deporte. Los resultados han sido:

Determina la media, la varianza, la desviacin tpica y el coeficiente de variacin de los datosanteriores. Represntalos en un diagrama de barras y en uno de sectores. Qu conclusionessacas del estudio?

Ayuda: Para fac il itar los clculos, ve resolviendo las frmulas paso a paso po r columnas.

Completamos la tabla de frecuencias utilizando la sintaxis que se seala a continuacin:

Media = C10 Varianza = F10/B10 Desviacin = D13^0,5 Coeficiente = D14/C10

Para representar el diagrama de barras y el de sectores elegimos la opcin Insertar Grfico. Enambos casos en el rango de datos seleccionamos las celdas de las frecuencias absolutas y enRtulos del eje de categoras (X), de la pestaa serie, seleccionamos las celdas que contienen losdatos.

Das 0 1 2 3 4 5 6 7

Frecuencia 3 8 6 20 31 17 10 5

A B C D E F

1 Das fi fi xi xi x (xi x )2 fi (xi x )

2

2 0 3 =A2*B2 =A2-$D$12 =D2^2 =B2*E2

10 =SUMA(B2:B9) =SUMA(C2:C9)/B10 =SUMA(F2:F9)

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ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIN Y APLICACIN

13.32.Muestra representativa

Una empresa quiere abrir una tienda de ropa en una localidad. Sin embargo, antes ha decididohacer un estudio de mrquetin para valorar la idoneidad de esta decisin. Dispone de una tablade la poblacin de la localidad, donde se indica el sexo de las personas y si son mayores omenores de edad. El estudio se inicia con una encuesta. Como no es posible abordar latotalidad de la poblacin, deciden elegir una muestra de 200 indiv iduos que sea representativa.

Mayores de edad Menores de edad Totales

Hombres 3.762 2.508 6.270

Mujeres 3.591 1.539 5.130

Totales 7.353 4.047 11.400

a) Qu cantidad de hombres y de mujeres tendra que haber en la muestra? Y de mayores ymenores de edad?

b) Construye en tu cuaderno una tabla de doble entrada como la que se presenta, pero para lamuestra representativa de 200 individuos.

a) Hombres =200 6.270

11.400

= 110 Mujeres =

200 5.130

11.400

= 90

Mayores de edad =200 7.353

11.400

= 129 Menores de edad =

200 4.047

11.400

= 71

b)

Mayores de edad Menores de edad Totales

Hombres 66 44 110

Mujeres 63 27 90Totales 129 71 200

13.33.Tipo de variable estadstica

Indica en cada caso cmo es la variable:

a) Expectativa de vida de los habitantes de un pas.

b) Porcentaje sobre el presupuesto nacional que los gob iernos europeos invierten en salud.

c) Respuestas al referndum sobre la aceptacin o no aceptacin de una nueva ley delParlamento.

d) Grado de conformidad con una ley recientemente aprobada por el Parlamento.e) Renta per cpita de los pases europeos.

f) Estudio sobre el absentismo laboral en nuestro municipio.

a) Cuantitativa discreta

b) Cuantitativa continua

c) Cualitativa

d) Cuantitativa discreta

e) Cuantitativa continua

f) Cuantitativa discreta

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13.34.Un centro de urgencias ha tenido en un mes las consultas diarias que se indican. Agrupa losdatos en cinco intervalos de igual extensin y const ruye la tabla de frecuencias.

13.35.* Frecuencias de los datos. Grficos

Hemos recogido todas las notas del ltimo examen de Matemticas de dos grupos de 4. deESO. Han sido evaluados por dos profesores diferentes: uno utiliza decimales para establecerla nota, mientras que el otro hace siempre aproximaciones enteras.

Estas son las notas obtenidas:

ProfesorA Profesor B

2 3 4 5 5 8 3,2 6,3 3,5 4,6 5,1 1,75 4 2 6 3 4 6,7 4,8 4,3 5,4 2,4 4,34 5 3 5 4 7 3,1 2,6 3,6 2,7 5,8 6,67 2 3 4 6 3 7,9 4,5 3,4 5,3 3,6 7,5

a) Con qu tipo de variables crees que estamos tratando en cada caso?

b) En qu caso agruparas los datos? Raznalo.

c) Construye en cada caso la tabla de frecuencias.

d) Indica en cada caso con qu tipo de diagrama representaras los datos y realzalo.

a) Son variables cuantitativas.

b) Los datos se agruparan en el caso del profesor B porque todas las notas son distintas.

c) y d)

Consultas fi Fi hi Hi[21, 33) 4 4 0,13 0,13

[33, 45) 6 10 0,20 0,33

[45, 57) 8 18 0,27 0,60

[57, 69) 7 25 0,23 0,83

[69, 81) 5 30 0,17 1,00

Total 30

21 34 78 64 37 52 32 24 67 7129 62 77 46 58 43 51 67 53 7453 42 66 49 52 37 64 71 35 52

A fi Fi hi Hi

2 3 3 0,13 0,13

3 5 8 0,21 0,33

4 6 14 0,25 0,58

5 5 19 0,21 0,79

6 2 21 0,08 0,88

7 2 23 0,08 0,96

8 1 24 0,04 1

B fi Fi hi Hi

[1, 2) 1 1 0,04 0,04

[2, 3) 3 4 0,13 0,17

[3, 4) 6 10 0,25 0,42

[4, 5) 5 15 0,21 0,63

[5, 6) 4 19 0,17 0,79

[6, 7) 3 22 0,13 0,92

[7, 8) 2 24 0,08 1

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13.36. (TIC) Lanzamiento de un dado

Hemos lanzado un dado 50 veces y hemos obtenido estos resultados:

3 1 5 4 5 2 1 2 2 34 2 4 1 2 5 1 6 6 25 3 4 5 2 3 1 3 4 22 5 4 2 6 1 3 4 3 6

6 1 5 1 3 6 1 2 2 3

Calcula la media aritmtica, la mediana y la moda de los pun tos ob tenidos.

3,18x = Me= 3 Mo= 2

13.37.(TIC) Datos agrupados

En un curso de 4. de ESO de un insti tuto se han obtenido estas notas en lengua inglesa:

Notas [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10)

fi 18 46 64 33 17

Calcula la media aritmtica, la mediana y la moda.

4,83x = Clase mediana = [4, 6) Clase modal = [4, 6)

13.38. (TIC) Repeticin del experimento

Estadsticamente, lo que interesa es lo que pasa con toda una poblacin, o bien los datos que

recogemos al repetir muchas veces el mismo experimento en condiciones iguales. Lasiguiente tabla muestra las frecuencias obtenidas repitiendo el experimento del lanzamientodel dado 50 veces por 10 personas.

a) Calcula la media aritmtica, la mediana y la moda de cada distribucin de frecuenciascorrespondiente al experimento realizado por cada una de las 10 personas.

b) Compara las medias aritmticas obtenidas en las 10 distribuciones. Qu observas?

c) Comparando las medias resultantes, podras detectar alguna similitud entre las 10distribuciones? Y entre modas?

d) Haz una prediccin de lo que pasara si lanzaras el dado un mi llar de veces.

b) Todas son prximas a 3,5.

c) Las medidas son parecidas. Todas estn entre 3,3 y3,8. Las modas son variables.

d) La media estar entre 3,4 y 3,6. Incluso entre 3,45 y3,55. La moda podr ser cualquier resultado.

Puntuacin 1 2 3 4 5 6fi 9 12 9 7 7 6

Resultados1 2 3 4 5 6

Personas

A 7 7 8 10 8 10B 10 9 6 9 10 6C 6 10 10 7 8 9D 8 9 9 7 10 7E 5 11 10 8 9 7F 6 10 7 8 9 10G 6 12 9 7 6 10H 7 4 13 14 5 7I 15 5 4 10 7 9J 6 10 6 12 6 10

a) A B C D E F G H I J

x 3,7 3,4 3,6 3,5 3,5 3,7 3,5 3,5 3,3 3,6Me 4 3,5 3 3 3 4 3 4 4 4

Mo 46

15

23

5 226

2 4 1 4

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13.39.El siguiente histograma corresponde a una distribucin de frecuencias agrupada:

a) Cul es el po rcentaje de valores menores de 8?

b) A qu clase pertenece cada cuartil?

a) De 28 datos 19 son menores de 8. Es decir, el 67,86 %.b) Q1= [4, 6) Q2= [6, 86) Q3= [8, 10)

13.40.(TIC) La prueba

Se ha hecho una prueba de 20 preguntas a un grupo de 50 estudiantes de 4. de ESO. Lasiguiente tabla muestra el nmero de respuestas correctas que se han dado:

Preguntas cor rectas 9 10 12 13 14 16 17 18Nmero de estudiantes 3 4 1 2 3 4 2 1

a) Calcula los tres cuartiles. Qu representa cada uno de ellos para esta distribucin?

b) Determina el rango intercuartlico. Qu describe?

c) Entre qu dos valores se encuentra el 25 % de los resultados ms altos observados?

d) Cul es el porcentaje de estudiantes que han contestado correctamente 11 preguntas omenos?

e) Qu intervalo contiene el 25 % de estudiantes que han contestado menos preguntascorrectamente?

a) Q1= 10 Q2= 13,5 Q3= 16

Al menos un 25 % han contestado correctamente menos de 11 preguntas. El 50 % han contestado

correctamente menos de 14 preguntas y ms de un 25 % han contestado correctamente ms de 15preguntas.

b) r= 16 10 = 6. Al menos un 50 % han respondido entre 10 y 16 preguntas.

d) Han contestado correctamente 11 preguntas o menos 7 alumnos; es decir, el 35 %.

e) [9, 10]

13.41.Cine

Los siguientes diagramas de cajas corresponden a distribuciones de frecuencias quedescriben la cantidad de veces al ao que van al cine las personas de dos grupos diferentesde edades: el primero corresponde a gente de entre 15 y 29 aos, y el segundo, a gente de

entre 30 y 44 aos.a) En cul de los dos tramos de edadestn ms agrupados los datos?

b) Cunto vale la mediana en el grupo deespectadores de edades comprendidasentre los 15 y los 29 aos?

c) Cunto vale el primer cuartil en elgrupo de espectadores entre 30 y 44 aos?

a) De 15 a 29 aos b) Me= 9 c) Q1= 5

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13.42.Valoracin de un escultor

Se ha valorado la obra de un escultor de 0 a 10. Los resultados se muestran con este diagramade cajas y bigotes.

a) Cul es el rango intercuartlico?

b) Cunto vale la mediana?

c) Cuntas personas han puntuado entre 3,5 y 9 puntos?

d) Rosa dice que la mitad de los encuestados han suspendido al escultor, pero esto no implicaque la media sea inferior a 5. Es posible?

a) r= Q3 Q1= 6 3 = 3

b) Me= 4,75

c) El nmero exacto de personas no se puede afirmar; pero se puede asegurar que el 75 % de losencuestados han puntuado entre 3 y 9.

d) S porque la otra mitad que ha aprobado al escultor puede que hayan puesto notas altas.

13.43. (TIC) Coeficiente de variacin con Excel

Los conjuntos de datos siguientes describen notas de un examen obtenidas por un grupo de60 alumno s de ESO y el nmero de calzado de estos mismos alumnos. Usa Excel y responde.

Notas Nmero de calzado

4 5 6 5 5 6 7 9 3 2 36 40 45 46 39 48 39 47 40 415 4 6 5 3 3 4 4 5 5 38 44 37 38 42 37 45 38 44 376 2 1 3 8 4 3 6 5 6 44 38 41 36 43 41 41 42 40 46

4 6 5 3 4 5 3 4 6 7 41 39 40 42 40 37 41 40 41 376 4 3 6 5 4 4 4 6 3 38 42 36 39 45 43 38 42 43 383 4 4 5 7 6 3 1 2 2 45 40 44 40 37 41 43 39 44 46

a) Qu conjun to de datos es ms homogneo?

b) Calcula para cada distribucin la media aritmtica, la varianza, la desviacin tpica y elcoeficiente de variacin.

c) A partir del coeficiente de variacin, indica cul de los dos conjuntos de datos es msdisperso o, lo que es lo mismo, ms heterogneo y cul de las dos distribuciones dispone deuna media aritmtica ms representativa.

a) A priori no se puede saber cul de las dos distribuciones es ms homognea; necesitaremos

calcular el coeficiente de variacin.

b) 4,48Ax = 2 2,65AS = SA= 1,631,63

0,364,48

ACV = =

40,9Bx = 2 9,18BS = SB= 3,033,03

0,0740,9

BCV = =

c) La distribucin A tiene un coeficiente de variacin mayor y, por tanto, su dispersin tambin esmayor. As pues, Bes ms homognea y su media aritmtica es ms representativa.

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13.44.Identificacin de histogramas

Identifica a cul de los siguientes histogramas corresponde cada grupo.

GrupoA: x = 3,75 y ( ) 1,7S A Grupo B: x = 4,25 y ( ) 2,1S B

a) b)

Razona tu respuesta.

CVA= 0,45 CVB= 0,49

La media aritmtica del grupo Aes ms representativa que la del grupo Bporque el coeficiente devariacin es menor. Por tanto el histograma correspondiente al grupo A es el del apartado a, y elhistograma correspondiente al grupo Bes el del apartado b.

13.45.Comparacin de sueldos

De una poblacin Asabemos que la media aritmtica de los sueldos mensuales es de 1.500euros y la desviacin t pica es de 200, mientras que de otra poblacin B la media aritmtica esde 1.850 euros y la desviacin tpica es de 330.

a) La informacin que nos dan, es suficiente para determinar cul de las poblaciones tienems dispersin en sus sueldos mensuales? Razona tu respuesta.

b) Indica, a partir de los coeficientes de variacin, cul de las dos poblaciones tiene una mediaaritmtica ms representativa de s misma, y cul tiene datos con una dispersin mayor.

a) A travs de los datos que nos dan no podemos comparar directamente ambas distribucionesporque las medias de las dos poblaciones son distintas. Para compararlas necesitaremos calcular elcoeficiente de variacin de ambas poblaciones.

b)200

0,131.500

ACV = =

3300,18

1.850B

CV = =

La poblacin Btiene un coeficiente de variacin mayor y, por tanto, su dispersin tambin es mayor.As pues,Aes ms homognea y su media aritmtica es ms representativa.

13.46.Valoraciones de polticos

Se ha valorado a dos polticos y se han obtenido estos resultados:PolticoA: valoracin de 0 a 100. x = 55 yS = 12

Poltico B: valoracin de 0 a 30. x = 18 y S = 2,5

a) Calcula el coeficiente de variacin de cada uno e los estudios .

b) En qu caso las opiniones que se han dado obre los polticos son ms uni formes?

a)12

0,2255

ACV = =

2,50,14

18B

CV = =

b) El coeficiente de variacin correspondiente a la opinin del poltico A es mayor y, por tanto, ladispersin tambin es mayor. As pues, la opinin sobre el poltico Bes ms homognea y su media

aritmtica es ms representativa.

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PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

13.47.(TIC) Cambios de natalidad

Se ha preguntado a un grupo de 20 chicos y chicas el nmero de hermanos que tienen, elnmero de hermanos que tiene su padre y el nmero de hermanos que tiene su madre.

Total hermanos

alumnos 2 2 2 3 4 1 2 1 1 2 3 2 2 5 4 0 3 1 0 4

Total hermanos dela madre

1 2 2 4 5 2 3 1 2 3 4 5 3 5 6 5 2 4 1 0

Total hermanos delpadre

2 4 3 0 4 1 2 2 2 4 7 1 3 7 3 4 0 6 3 0

1. Construye la tabla de frecuencias absolutas y frecuencias absolutas acumuladas de cadavariable.

2. Dibuja el diagrama de barras y el de sectores correspondientes a cada una de las tresvariables.

3. Calcula los tres cuartiles y el rango in tercuartlico de cada variable. Busca el valor mximo yel valor mnimo.

4. Dibuja el diagrama de cajas y bigotes de cada una de las variables. Compralos. Quconclusiones se pueden sacar sobre la evolucin de la natalidad?

5. Calcula la media aritmtica, la varianza, la desviacin tpica y el rango de cada variable.

6. Determina el coeficiente de variacin de cada una. En qu casos es ms representativa lamedia?

7. Cul de las variables t iene una media aritmtica ms representativa? Raznalo.

1.

2.

Alumnos Madre Padre

Hermanos fi Fi Hermanos fi Fi Hermanos fi Fi

0 2 2 0 1 1 0 3 3

1 4 6 1 3 4 1 2 5

2 7 13 2 5 9 2 4 9

3 3 16 3 3 12 3 4 13

4 3 19 4 3 15 4 4 17

5 1 20 5 4 19 5 0 17

6 1 20 6 1 18

7 2 20

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3.

Q1 Q2 Q3 r Mnimo Mximo

Alumnos 1 2 3 2 0 5

Madres 2 3 4,5 2,5 0 6

Padres 1,5 3 4 2,5 0 7

4.

La natalidad ha bajado. Los alumnos tienen menos hermanos de los que tenan sus padres y susmadres.

5.

x S

2

S RAlumnos 2,2 1,76 1,33 5

Madres 3 2,70 1,64 6

Padres 2,9 4,20 2,05 7

6. alumnos1,33

0,602,2

CV = = madres

1,640,55

3CV = = padres

2,050,71

2,9CV = =

7. El coeficiente de variacin correspondiente a las madres es menor y, por tanto, la dispersintambin es menor. As pues, la distribucin del nmero de hermanos de las madres es ms

homognea y su media aritmtica es ms representativa.

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13.48.(TIC) Provincias espaolas

La tabla que hay a continuacin nos muestra la extensin en kilmetros cuadrados de las 50provincias espaolas.

Provincia Superficie Provincia Superficie

lava 3.037 Lleida 12.172Al icante 5.817 Len 15.581

Albacete 14.924 Lugo 9.856Almer a 8.775 Madrid 8.028Astu rias 10.603 Mlaga 7.306

vila 8.048 Murcia 11.314Badajoz 21.766 Navarra 10.391I. Baleares 4.991 Ourense 7.273Barcelona 7.728 Palencia 8.052Burgos 14.292 Las Palmas 4.066Cceres 19.868 Pontevedra 4.495Cdiz 7.440 La Rioja 5.045Cantabria 5.321 Salamanca 12.350Castelln 6.636 Segovia 6.921Ciudad Real 19.813 Sevil la 14.036

Crdoba 13.771 Soria 10.306A Corua 7.950 S. C. Tener ife 3.381Cuenca 17.140 Tarragona 6.303Girona 5.910 Teruel 14.810Granada 12.647 Toledo 15.370Guadalajara 14.214 Valenc ia 10.807Guipzcoa 1.980 Valladolid 8.110Huelva 10.128 Vizcaya 2.217Huesca 15.636 Zamora 10.561Jan 13.496 Zaragoza 17.274

1. Construye la tabla completa de frecuencias correspondiente, con las frecuencias absoluta y

absoluta acumulada, y tambin las f recuencias relativa y relativa acumulada, expresadas tantounitariamente como porcentualmente. Agrupa los datos en seis intervalos.

2. Dibuja los histogramas correspondientes, usando las frecuencias relativas y absolutasacumuladas, respectivamente.

1.


[1.980, 5.278) 8 8 0,16 0,16 16 % 16 %

[5,278, 8,576) 15 23 0,3 0,46 30 % 46 %

[8.576, 11,874) 9 32 0,18 0,64 18 % 64 %

[11,874, 15,172) 10 42 0,2 0,84 20 % 84 %[15,172, 18,470) 5 47 0,1 0,94 10 % 94 %

[18,470, 21,768) 3 50 0,06 1 6 % 100 %2.

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AUTOEVALUACIN

13.1. En un centro escolar se hace un estudio sobre los alumnos de ESO con estas variables:asignaturas suspendidas, tiempo de estudio diario y profesin de la madre. En el centro hay176 alumnos de primero y 128 de segundo.

a) De qu tipo es cada variable?

b) Si elegimos una muestra de 100 estudiantes, cul tendra que ser la proporcin por ciclospara que la muestra fuera representativa?

a) Asignaturas suspendidas: variable cuantitativa discreta

Tiempo de estudio diario: variable cuantitativa continua

Profesin de la madre: variable cualitativa

b) En el centro hay 176 + 128 = 304 alumnos entre primero y segundo.

En la muestra debe haber:

Alumnos de primero:

176 100

57,90 58304

=

Alumnos de segundo:128 100

42,11 42304

=

13.2. Hemos elegido al azar nmeros del 1 al 9. La tabla muestra los resultados:

2 3 5 4 6 7 1 68 5 6 8 4 5 3 64 4 5 3 2 4 9 39 6 4 6 9 5 2 78 2 8 7 5 9 7 1

a) Halla la media aritmtica, la mediana y la moda.

b) Cul es el rango? Y el rango intercuartlico?

c) Dibuja el diagrama de cajas correspondiente.

a)

5,2x = Me= 5 Mo= 4, 5, 6

b) xmax= 9 xmn= 1

Q1= 4 Q3= 7

R= 9 1 = 8 r= 7 4 = 3

c)

Nmero 1 2 3 4 5 6 7 8 9

fi 2 4 4 6 6 6 4 4 4

Fi 2 6 10 16 22 28 32 36 40

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13.3. Observa la tabla de valores que hay a continuacin:

a) Agrupa los datos en seis intervalos.

b) Haz la tabla de frecuencias (absolutas y acumuladas).

c) Dibuja el histograma.

d) Calcula la media aritmtica y la clase modal.

e) Calcula la desviacin tpica.

f) Calcula el coeficiente de variacin.

g) Determina los cuartiles.

h) Dibuja el diagrama de cajas y bigotes.

a) xmax= 93 xmn= 6 Amplitud intervalo =93 6

14, 5 156

=

b)

c)

d) 54,75x = Clase modal = [36, 51), [51, 66), [66, 81)

e) S= 22,19

f) CV=22,19

0,4154,75

=

g) Q1= 43, 5 Q2= 58,5 Q3= 73,5

h)

80 67 53 52 48 41 35 7237 77 52 65 80 27 14 6583 59 63 44 62 41 78 9376 88 47 82 75 18 49 3091 6 32 57 44 16 46 72

Valor Marca de fi Fi hi Hi[6, 21) 13,5 4 4 0,1 0,1

[21, 36) 28,5 4 8 0,1 0,2

[36, 51) 43,5 9 17 0,225 0,425

[51, 66) 58,5 9 26 0,225 0,65

[66, 81) 73,5 9 35 0,225 0,875

[81, 96) 88,5 5 40 0,125 1

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22/23


APRENDE A PENSAR CON MATEMTICAS

Los pentamins

Estos son todos los pentamins, o grupos de cinco cuadrados, que se pueden formar. Dospentamins se consideran idnticos si son simtricos.

El perro octamin

El perro de la figura es un octamin. Se pueden identificar en l hasta seis pentaminsdiferentes. Indica cules son estos pentamins.

En el perro octamin se identifican los pentamins U, T, V, Z, Le Y.

Pentamins triplicados

Cada una de estas figuras se ha obtenido triplicando las medidas de uno de los pentamins.

Con los pentamins ind icados, intenta cubrir toda la superficie de la figura.

L Z S X U P F Y VI V Z L T PW I Y V T Z L U P I X U

El Tpentamin triplicado no se puede cubrir con las piezas indicadas. De las 106 formas en las quese puede cubrir el Tpentamin triplicado, con el resto de piezas, en todas incluye el Ppentamin.

7/26/2019 4esoma a Mu So Esu13 (3)

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Proyecto editorial: Equipo de Educacin Secundaria del Grupo SM

Autora:Ana Mara lvarez, An tonia Aranda, Juan Jess Donai re, Vanesa Fernndez, Mariano Garca, Miguelngel Ingelmo, Pedro Lomas, Marta Marcos, Cristbal Merino, Carol ina Puente, Juan Alber to Torresano,Yolanda A. Zrate

Edicin:Arturo Garca, Rafaela Arvalo

Revisin contenidos solucionario:Jess Garca

Correccin: Javier Lpez

Ilustracin: Flix Anaya, Juan F. Cobos, Ju rado y Rivas, Jose M. Pedrosa, Modesto Arregui, IDEM

Diseo: Pablo Canelas, Alfonso Ruano

Maquetacin: SAFEKAT S. L.

Coordinacin de diseo: Jos Luis Rodrguez

Coordinacin editorial: Josefina Arvalo

Direccin del proyecto:Ada Moya

(*) Una pequea cantidad de ejercicios o apartados han sido marcados porque contienen alguna correccin en suenunciado respecto al que aparece en el libro del alumno.

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