8/20/2019 4._functia_de_gradul_2ghcfghjg[1]

1/3

4. FUNCŢIA DE GRADUL 2

1. Ecuaţia de gradul 2

‚   ax2 ` bx ` c “ 0, a, b, c P R, a ‰ 0 se numeşte  ecuat ̧ie de gradul 2 .‚   ∆ “ b2 ´ 4ac   se numeşte  discriminantul ecuat ̧iei .‚   Numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei de gradul 2 este dat de următoarea clasificare:

∆ ą 0 ðñ   ecuaţia are două rădăcini reale şi distincte:  x1{2 “ ´b ˘? 

∆

2a  ;

∆

“0

ðñ  ecuaţia are două rădăcini reale şi egale:  x1

 “x2

 “ ´b

2a

;

∆ ă 0 ðñ   ecuaţia nu are rădăcini reale.

‚   Rădăcinile x1   şi  x2  ale ecuaţiei de gradul 2 verifică  relat ̧iile lui Viéte :

S  “ x1 ` x2 “ ´ ba

P  “ x1 ¨ x2 “   ca

‚   Formule utile:x21 ` x22 “ px1 ` x2q2 ´ 2x1x2 “ S 2 ´ 2P 

x31 ` x32 “ px1 ` x2q3 ´ 3x1x2 px1 ` x2q “ S 3 ´ 3SP 

‚   Dacă rădăcinile ecuaţiei  ax2 ` bx ` c “ 0, a ‰ 0 sunt  x1   şi  x2,  atunciaX 2 ` bX ` c “ a pX ´ x1q pX ´ x2q

‚   Ecuaţia de gradul 2 ale cărei rădăcini sunt numerele  x1   şi  x2  este

x

2

´ Sx ` P  “ 0,   unde S  “ x1 ` x2   şi P  “ x1 ¨ x2.

2. Definiţia şi forma canonică a funcţiei de gradul 2

‚   f   : R Ñ R, f pxq “ ax2 ` bx ` c, a, b, c P R, a ‰ 0 se numeşte  funct ̧ie de gradul 2 .

‚   Forma canonic˘ a  a funcţiei de gradul 2 este   f pxq “ aˆ

x `   b2a

˙2` ´∆

4a  .

Teorie pentru clasa a IX-a

Algebră: 4. Funcţia de gradul 2

´1´   Profesor Marius Damian, Brăila

8/20/2019 4._functia_de_gradul_2ghcfghjg[1]

2/3

3. Graficul funcţiei de gradul 2

‚   Dacă   a ą 0,  atunci graficul funcţiei de gradul 2 este o parabolă cu vârful ı̂n jos.

‚  Dacă   a

ă0,  atunci graficul funcţiei de gradul 2 este o parabolă cu vârful ı̂n sus.

Observaţii

‚   Numărul punctelor de intersecţie cu axa  Ox:‚   parabola intersectează axa Ox ı̂n două puncte distincte  ðñ   ∆ ą 0;‚   parabola este tangentă axei Ox  ðñ   ∆ “ 0;‚   parabola nu intersectează axa Ox  ðñ   ∆ ă 0.

‚   Vârful  V   al parabolei are coordonatele   xV   “ ´  b

2a , yV   “ ´∆

4a .

‚   Parabola are axă de simetrie, dreapta verticală de ecuaţie   x “ xV  .

4. Intervale de monotonie şi puncte de extrem

Cazul   a ą 0.

x   ´8 ´   b2a

  `8

f pxq`8

Œ Õ`8

´ ∆4a

‚   f  este strict descrescătoare peˆ

´8, ´   b2a

  şi

strict crescătoare pe

„´   b

2a, `8

˙.

‚   f  admite valoarea minimă  yV   “ ´ ∆4a

.

‚   Imaginea funcţiei  f  este Im f  “„´ ∆

4a, `8

˙.

Teorie pentru clasa a IX-a

Algebră: 4. Funcţia de gradul 2

´2´   Profesor Marius Damian, Brăila

8/20/2019 4._functia_de_gradul_2ghcfghjg[1]

3/3

Cazul   a ă 0.

x   ´8 ´   b2a

  `8

f p

xq   Õ

´ ∆4a

Œ´8 ´8

‚   f    este strict crescătoare peˆ

´8, ´   b2a

  şi

strict descrescătoare pe

„´   b

2a, `8

˙.

‚   f  admite valoarea maximă  yV   “ ´ ∆4a

.

‚   Imaginea funcţiei  f  este Im f  “ˆ

´8, ´ ∆4a

.

5. Semnul funcţiei de gradul 2

Cazul   ∆ ą 0.

x   ´8   x1   x2   `8

f pxq   acelaşi semn cu  a   0 semn contrar lui  a   0 acelaşi semn cu  a

Cazul   ∆ “ 0.

x   ´8   x1 “ x2   `8f pxq   acelaşi semn cu  a   0 acelaşi semn cu  a

Cazul   ∆ ă 0.

x   ´8 `8f pxq   acelaşi semn cu  a

Observaţie:

ax2 ` bx ` c ě 0, @x P R  ðñ"

  a ą 0∆ ď 0   ax

2 ` bx ` c ą 0, @x P R  ðñ"

  a ą 0∆ ă 0

ax2 ` bx ` c ď 0, @x P R  ðñ"

  a ă 0∆ ď 0   ax

2 ` bx ` c ă 0, @x P R  ðñ"

  a ă 0∆ ă 0

Teorie pentru clasa a IX-a

Algebră: 4 Functia de gradul 2

´3´   Profesor Marius Damian, Brăila