4 UTICAJNE LINIJE

4.1 Uvod Po tome kako spoljanje sile djeluju na nosae razlikujemo raspodijeljene

sile i raspodijeljene momente, odnosno koncentrine sile i koncentrine

momente.

Optereenje na nosa se moe prenositi direktno i indirektno.

Po vremenu trajanja optereenja razlikujemo stalna optereenja i povremena

optereenja. Stalna optereenja su optereenja od vlastite teine

konstrukcije i njenih nepokretnih dijelova, a povremena optereenja su od

snijega, vjetra, ljudi, vozila, itd.

Povremena optereenja, pored toga to mijenjaju intenzitet, ako mijenjaju i

svoj poloaj po nosau nazivaju se pokretna optereenja.

Pokretno optereenje moe djelovati kao raspodijeljeno i kao sistem

koncentrinih sila.

Vrstu i intenzitet optereenja odreujemo posebnim proraunom koji zovemo

analiza optereenja.

Svaka zemlja ima propise i standarde za optereenja konstukcija.

4.2 Pojam uticajne linije

Uticaje u nosaima usljed pokretnog optereenja odreujemo putem uticajnih

linija.

Kako odrediti uticajnu liniju (uticajnu funkciju) koja opisuje promjenu traenog

uticaja?

Ako na nosa djeluje jednina pokretna sila ona e za svaki svoj poloaj

izazivati uticaj Z na odrenom mjestu.

Vrijednost Z(s,u) je funkcija dviju promjenjivih, s (mjesto uticaja) i u (poloaj

djelovanja jedinine sile).

Ako tu funkciju prikaemo grafiki sa svojim ordinatama dobijamo uticajnu

liniju za uticaj Z na mjestu s.

Uticajne linije su prave ili krive linije koje na zadatom domenu grafo-analitiki

opisuju promjenu uticaja Z na mjestu s, usljed sile intenziteta 1,0 na tom

istom domenu, u pravcu i smjeru jedinine sile.

4.3 Odreivanje vrijednosti uticaja iz uticajnih linija

4.3.1 Sistem koncentrinih sila

Na osnovu principa superpozicije vrijednost uticaja Zs na mjestu s, usljed sile

P koja djeluje u taki u je:

(4.1)

a usljed sistema sila:

(4.2)

Slika 4.1 Uticajna linija, kriva

Kada je uticajna linija prava linija vrijednost ordinate uticajne linije na tom

mjestu je:

(4.3)

, sZ P z s u

1

,

n

s m m

m

Z P z s u

, 1,2... ... m mz s u u tg m n

(4.4)

Slika 4.2 Uticajna linija, prava

Statiki momenat sistema sila u odnosu na neku taku jednak je statikom

momentu rezultante u odnosu na tu istu taku, te se moe pisati:

(4.5)

1

n

s m m

m

Z tg P u

s R

Z Rtg u

Kada je uticajna linija prekidna funkcija, tj. postoji skok tada imamo uticaje

lijevo i desno od sile.

(4.6)

Slika 4.3 Uticajna linija, prekidna

,

,

,

,

s L L

s D D

Z P z s u

Z P z s u

4.3.2 Raspodijeljeno optereenje

Ako je optereenje kontinuirano moe se razdijeliti na diferencijalno male dijelove. Uticaj elementarne sile moe se napisati:

(4.7)

(4.8)

Za p=const.

(4.9)

Slika 4.4 Kontinuirano optereenje

, sdZ p u z s u du

2

1

, u

s

u

Z p u z s u du

2

1

, u

s

u

Z p z s u du p F

Ako je optereenje trougaono moe se napisati:

(4.10)

Slika 4.5 Trougaono optereenje

-statiki momenat elementarne povrine u odnosu

na taku u1 -statiki momenat cijele povrine UL u odnosu

na taku u1 (4.11)

2

1

1

2 1

1

2 1

,

u

s

u

u up u p

u u

pZ u u z s u du

u u

1 , u u z s u du

1sF u u

1

2 1

s

s s

u uZ F F p

u u

Slino se moe napisati za proizvoljno kontinuirano optereenje:

(4.12)

Slika 4.6 Proizvoljno optereenje

(4.13)

(4.14)

2

1

u

s

u

Z tg p u udu

2

1

u

u

R tg p u du

, s R RZ R u tg R z s u

4.3.3 Koncentrini momenat

Za sluaj djelovanja koncentrinog momenta:

Slika 4.7 Koncentrini momenat

(4.15)

(4.16)

,

, ,

z s uMz s u u z s u M

u u

0

, ,lim

s

u

z s u dz s uZ M M M tg

u du

4.4 Dimenzije ordinata uticajnih linija

Ako uticaj Z ima dimenziju [a] onda iz jednaine (4.1) slijedi dimenzija ordinate uticajne linije:

(4.17)

Prema tome ordinate uticajne linije za silu su bez dimenzija, za momenat

imaju jedinicu duine, za pomjeranje [duina/sila], za obrtanje [1/sila]

,

az s u

sila

, 1

,

,

1,

kNz s u

kN

kNmz s u m

kN

mz s u

kN

radz s u

kN kN

4.5 Ekstremne vrijednosti uticaja dobiveni preko uticajnih

linija

4.5.1 Ravnomjerno raspodijeljeno optereenje

Prema duini na kojoj djeluje ravnomjerno raspodijeljeno optereenje

razlikujemo optereenje proizvoljne duine koje se moe prekinuti na

proizvoljnom mjestu i optereenje duine koja se ne prekida.

Slika 4.8 Uticajna linija

(4.18)

(4.19)

1

,

m

m

m

F z s u du

1 3 2 4

F F F F F F

(4.20)

Ako je optereenje manje duine od nultih taaka ekstremna vrijednost

uticaja odreuje se na slijedei nain:

Slika 4.9 Optereenje u polju

(4.21)

max

min

s

s

Z p F

Z p F

2 1

2 1

, , 0

, ,

sZ p u z s u z s u

z s u z s u

Kada se pokretno optereenje sastoji od niza optereenja uslov (4.21) se pie ovako:

(4.22)

Slika 4.10 Optereenje u vie polja

1 21 1

, ,

n n

m m m m

m m

p z s u p z s u

4.5.2 Pokretan sistem vezanih koncentrinih sila

Kada je uticajna linija krivolinjskog ili poligonalnog oblika ekstremne

vrijednosti odreujemo probanjem. U principu sile se postavljaju iznad

najveih ordinata uticajne linije.

Slika 4.11 Sistem sila nad krivom uticajnom linijom

(4.23)

(4.24)

1

,

n

s m m

m

Z P z s u

1 1

, 0

n n

s m m m m

m m

Z P z s u u P tg

Za mjerodavana poloaj mora biti ispunjen uslov:

(4.25)

Ako je uticajna linija poligonalna onda je poloaj sila koji daje ekstremnu

vrijednost uticaja najlake nai postepenim pomjeranjem sila.

Uslov je isti kao i za krivolinijsku funkciju.

(4.26)

Kada je uticajna linija poligon funkcija se mijenja u skokovima

1

0

n

m m

m

P tg

1

0

n

sm m

m

ZP tg

u

Slika 4.12 Sistem sila nad poligonalnom uticajnom linijom

Posmatrajmo sistem sila na slici 4.12, i neka je

Prirast uticajne funkcije je:

(4.27)

Pri pomjeranju u>0 s lijeva na desno funkcija Zs raste, i obrnuto pri

pmjeranju u

Pri pomjeranju zbir ostaje nepromijenjen sve dok neka sila ne

naie na UL ili ne sie sa UL, kao i ako pree preko tjemena i dobije drugi

ugao.

Kada vrijednost zbira lijevo i desno d neke take ima razliit znak to znai da

je to opasan poloaj sistema sila koji daje ekstremne vrijednosti.

Sila u opasnom poloaju naziva se mjerodavna ili kritina sila, poloaj se

naziva mjerodavni poloaj.

Ako je uticajna linija trougaonog oblika mjerodavan poloaj se odreuje na

slijedei nain:

Slika 4.13 Trougaoni oblik uticajne linije

1

n

m m

m

P tg

1

n

s m m

m

Z u P tg

(4.28)

(4.29)

(4.30)

Ako bi se iskljuila sila Pk onda se moe napisati nejednakost:

1 2 0 L DR tg R tg

1

2

htg

x

htg

x

L D L DR R R R R

x x x x L

1

1

1

1

1

k

m

m

n

m

m k

PxR

LP

x

4.6 Metode odreivanja uticajnih linija kod statiki odreenih nosaa

4.6.1 Statika metoda

Statikom metodom se iznalaenje uticajnih linija svodi na odreevanje

analitikog izraza traene veliine u funkciji poloaja pokretne jedinine sile.

Pri tome se koriste uslovi ravnotee.

(4.35)

Uticajne linije za sile statiki odreenih nosaa su prave linije (linearne

funkcije) du svake krute ploe po kojoj se kree jedinina sila.

Slika 4.15 Uticajna linija

0

0

0

X

Y

M

2 1

1

, ,, ,

Z s u Z s uZ s u Z s u e

4.6.2 Kinematika metoda

Kod kinematske metode odreivanje uticajne linije za neki uticaj na

odgovarajuem mjestu svodi se na formiranje mehanizma od nosaa

uklanjanjem veze koja prenosi traeni uticaj.

Na taj nain dobija se mehanizama sa jednim stepenom slobode kretanja.

U pravcu traenog uticaja aplicira se jedinino generalisano pomjeranje.

Generalisana pomjeranja ostalih taaka mehanizma dobijaju se preko

planova pomaka (kinematika).

(4.36)

Jednaina (4.36) rijeima se moe opisati ovako:

Uticajna linija za traeni statiki uticaj Z kod statiki odreenih nosaa

jednaka je dijagramu pomjeranja mehanizma u pravcu jednine sile, usljed

djelovanja z=-1 na mjestu uklonjene veze.

, Z s u u

4.6.3 Metoda zamjene elemenata

Za nosae druge vrste i sloenije nosae prve vrste pogodno je uticajne linije

odrediti metodom zamjene elemenata.

Poto je optereenje pokretno od jedinine sile to e i koeficijenti Z0 i Yi0 uz

nepoznate biti promjenive linearne funkcije, pa se problem svodi na

rjeavanje sistema linearnih jednaina u kojima su lanovi linearne funkcije.

Prema navedenom jasno je da e oblik uticajnih linija biti poligonalan.