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EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 DDDDüüüünnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faessler
5. 5. 5. 5. VorlesungVorlesungVorlesungVorlesung EPIEPIEPIEPI
2.f) Scheinkräfte
= Trägheitskräfte in beschleunigten Systemen, z.B. im anfahrenden oder bremsenden Auto oder in der Kurve („Zentrifugalkraft“).In nicht beschleunigten Systemen („Inertialsysteme“) gibt es keine Schein-Kräfte und die Dynamik wird hinreichend durch die Newtonschen Axiomebeschrieben, z.B.
amFrr
⋅= (Newton II).
Aus der Sicht eines mitbeschleunigten Beobachters liest sich diese Gleichung:
0amFtScheinkraf
=⋅−321
rr
In seinem Koordinatensystem ruht die Masse m, weil sich die äußere Kraft
und die Scheinkraft (Trägheitskraft) kompensieren.
(s. 3 folgende Folien)
amr
⋅−Fr
2f) 2f) 2f) 2f) ScheinkrScheinkrScheinkrScheinkrääääftefteftefte
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5. 5. 5. 5. VorlesungVorlesungVorlesungVorlesung EPIEPIEPIEPI
Systeme, in denen die Newton’schen Axiome gelten, heiß en Inertialsysteme
a) Ruhende Beobachterin, mit konstanter Geschwindigkeit fahrender Wagen
Geworfener Ball auf `Wurfparabel’
Geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegte System e sindInertialsysteme (es wird keine Kraft benötigt, das System auf seiner Bahn zu halten)
b) Bewegter Beobachterauf dem fahrendem Wagen
Senkrechter Wurf, identische Dynamik
2f) 2f) 2f) 2f) ScheinkrScheinkrScheinkrScheinkrääääftefteftefte
EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 DDDDüüüünnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faessler
5. 5. 5. 5. VorlesungVorlesungVorlesungVorlesung EPIEPIEPIEPI
In beschleunigte Systemen verhalten sich die Dinge anders ...
Im ruhenden System S (Beobachter außen) bleibt das ruhende Buch in Ruhe (Trägheit)
Beschleunigt der Wagen, rutscht das Buch vom Tisch, ein mitfahrender, mitbeschleunigter Beobachter (S’)misst eine Kraft, die das Buch vom Tisch zu ziehen scheint.
Diese für ihn real erscheinende Kraft (messbar mit der dargestellten Feder) nennen wir Scheinkraft oder Trägheitskraft, Beschleunigte Systeme sind also keine Intertialsysteme.
Fschein
2f) 2f) 2f) 2f) ScheinkrScheinkrScheinkrScheinkrääääftefteftefte
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5. 5. 5. 5. VorlesungVorlesungVorlesungVorlesung EPIEPIEPIEPI
Insbesondere sind rotierende Systeme beschleunigte Systeme ...(Richtungsänderung)
a) Ruhender Beobachter: Das Buch bewegt sich geradlinig (Trägheit).
b) Beschleunigter Beobachter (im Zug, um die Kurve): Muss eine Kraft aufbringen, um das Buch auf die Kreisbahn bringen, für ihn wirkt eine Scheinkraft nach Außen (Zentrifugalkraft).
2f) 2f) 2f) 2f) ScheinkrScheinkrScheinkrScheinkrääääftefteftefte
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Dabei ist T die Umlaufzeit. Die Umlauffrequenz ist f = 1/T , deshalb ist ω= 2π· fDie Geschwindigkeit eines im rotierenden System ruhenden Körpers ist im Laborsystemv = 2 π· r / T = ω· rwobei r der Abstand vom Drehpunkt ist. Mit den so definierten Größen läßt sich mit Hilfe der Differentialrechnungfür Vektoren (s. Herleitung auf nächster Folie) zeigen, daß
FZf = m· r · ω²
= m · v² /r
Ein Spezialfall sind rotierende Systeme. Eine Rotation stellt eine Beschleunigung dar, weil der Geschwindkeitsvektorständig seine Richtung ändert (zur Erinnerung: ). Für einen Beobachter im rotierenden Sys-
tem unterliegen alle Körper mit Masse m zwei Scheinkräften: der Zentrifugalkraft FZf und, wenn sich der Körper im rotierenden System bewegt, zusätzlich der Corioliskraft FC.
Betrachten wir ein sich gleichförmig drehendes System mit Umlauffrequenz f und führen wir die Winkelgeschwindig-keit ω ein:
vr
dt/vdarr
=
T
2
Zeit
)Bogenmaßim(Winkel
t
π==∆ϕ∆=ω
2f) 2f) 2f) 2f) ScheinkrScheinkrScheinkrScheinkrääääftefteftefte
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rmr
vmamF 2
2
rotationZ ⋅ω⋅=⋅=⋅=
Zentrifugalkraft
Ein rotierende Körper wird durchdie Zentripetalkraft auf der Kreisbahngehalten.
Im rotierenden System erscheint derKörper in Ruhe. Entgegen der Zentripetal-kraft wird die Zentrifugalkraft empfunden.
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πω=2
fUmlauffrequenz: Zahl der Umdrehungen pro Sekunde[f]: [1/s] = 1 Hz (Hertz)
Umlaufzeit (Periode):ωπ== 2
f
1T
2rrtt
v
t
vaa ω⋅=ω⋅⋅
∆ϕ∆=
∆ϕ∆=
∆∆
==r
r
Eine Kreisbewegung mit konst. ωωωω ist eine beschleunigte Bewegung,da zwar der Betrag v= const., sich aber die Richtung von ständig ändert.
Beschleunigung:
r
vrafolgt
r
v 22 =ω⋅==ω
da
→ Zentrifugalkraft FZf = m· r· ω2 = m·r
v2
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Die Corioliskraft zieht bei einem linksdrehenden System nach rechts. Ihre Stärke ist auf der nächsten Folie(ohne Herleitung) für den einfachen Fall eines radial gerichteten Geschwindigkeitsvektors (im rotierendenSystem) angegeben und auf der übernächsten Folie für beliebige Richtung von .
Fazit:Sogenannte Schein- oder Trägheitskräfte sind immer dann (und nur dann) zu berücksichtigen, wenn man Vor-gänge aus der Sicht eines beschleunigten Beobachters beschreiben will.
2f) 2f) 2f) 2f) ScheinkrScheinkrScheinkrScheinkrääääftefteftefte
vr
vr
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Corioliskraft (wirkt auf bewegte Körper in rotierenden Systemen)
a) Ruhender Beob. b) Rotierender Beob.
a) Der Fänger verpasst, da er sich wegdreht
b) Eine Kraft scheint den Ball nach rechts abzulenken, genannt Corioliskraft
ω⋅⋅= vm2Fc
Sie steht senkrecht zur Dreh-achse und zur Geschwindigkeit
2f) 2f) 2f) 2f) ScheinkrScheinkrScheinkrScheinkrääääftefteftefte
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Bei Rotation entgegen Uhrzeigersinn (z.B. Nordhalbkugel der Erde vom Polarstern aus betrachtet): a) Bewegung von außen nach innen: große Anfangstangentialgeschwindigkeit vr = rw
folgt Ablenkung nach rechts.b) Bewegung von innen nach außen: kleine Anfangstangentialgeschwindigkeit
innen gibt: Scheibe dreht sich unter Masse weg:Daraus folgt im bewegten System Ablenkung nach rechts
Bei Umkehr des Drehsinnes:Ablenkung nach links.
Anwendungen und Auswirkungen: Luftbewegung auf ErdePassat, HochdruckgebietMäandern von Flüssen
Für eine beliebige Richtung von muß man das Vektorprodukt von (=Vektorin Richtung der Drehachse vom Betrag ω ) und einführen:
D.h. | | = 2mvωsin(α) mit senkrecht (┴) zu und CFr
CFr
ω⊥CFr
vr
vxm2FC
rrrω−=
vr ω
r
vr
2f) 2f) 2f) 2f) ScheinkrScheinkrScheinkrScheinkrääääftefteftefte
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Corioliskraft auf der Erde, Wolkenwirbel
Luft strömt in ein Tiefdruckgebiet und wird auf Nordhalbkugel nach rechtsabgelenkt, ein Wolkenwirbel entsteht.
2f) 2f) 2f) 2f) ScheinkrScheinkrScheinkrScheinkrääääftefteftefte
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Arbeit und Energie gehören zu den wichtigsten Begriffen der Physik
Arbeit = Kraft . Weg
θcos|s||F|sFW ⋅⋅=⋅=rrrr
Arbeit ist eine skalare Größe (reine Zahl). Sie wird aus 2 Vektoren berechnet (Skalarprodukt):
[w] = [F] * [s] = 1 Newton * Meter Einheit:
3.Arbeit, 3.Arbeit, 3.Arbeit, 3.Arbeit, EnergieEnergieEnergieEnergie, , , , StStStStößößößößeeee
a) Arbeit
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Merke: Es wird keine Arbeit geleistet, wenn die Richtung der Kraft senkrecht zur Richtung des Weges ist. (Bsp.: Rotationsbewegung -> Mondbewegung um Erde)
Was passiert bei krummlinigen Bewegungen ?
αcos|s||F|sF ⋅⋅=⋅rrrr
s aufsenkrecht Fwenn , 0sFrrrr
=⋅
Die Verschiebung muss in kleine Stücke zerlegt werdenDie Arbeit wird für jedes Stück berechnet und aufsummiert
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Übergang zum Intergral:Zerlegung des Weges in Teilstücke
isr∆ für krumme Bahnen und sich ändernde Kräfte:
iiii
ges sFWWrr
∆⋅Σ=Σ= ∫⇒ sdFrr
LeistungP =
sJ
WWatt[t
W ==∆
∆] = mittlere Leistung im (endlichen) Zeitintervall t∆
dtdW
= momentane Leistung (Differentialquotient)P=
3.Arbeit, 3.Arbeit, 3.Arbeit, 3.Arbeit, EnergieEnergieEnergieEnergie, , , , StStStStößößößößeeee
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b) EnergieIn einem System, an dem Arbeit verrichtet wurde, ist das Vermögengespeichert, selbst wieder Arbeit zu verrichten. Dieses Vermögen nennt man Energie.
Formen von mechanischer Energie:
Potentielle Energie: Epot, durch die Lage eines Punktes in einemKraftfeld gegeben (Bsp.: Hubarbeit im Schwerefeld)
Kinetische Energie: Ekin, durch den Bewegungszustand eines Körpersgegeben, d.h. durch die Geschwindigkeit
3.Arbeit, 3.Arbeit, 3.Arbeit, 3.Arbeit, EnergieEnergieEnergieEnergie, , , , StStStStößößößößeeee
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Potentielle Energie im Schwerefeld:
( ) hgm0coshmgsFWpot ⋅⋅=⋅⋅=⋅= vr
2pot Dx
2
1cos(0)dxxDxdFW ∫ ∫ =⋅⋅=⋅= rr
F ist eine gegen die Schwerkraft gerichteteKraft in Richtung s
Potentielle Energie in einer gespannten Feder:
Die Kraft ändert sich längs des Weges !
xDFvr
⋅=
xDFrr
⋅=
3.Arbeit, 3.Arbeit, 3.Arbeit, 3.Arbeit, EnergieEnergieEnergieEnergie, , , , StStStStößößößößeeee
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Beschleunigungsarbeit, kinetische Energie:
konstante Beschleunigung a
2kin
)(
2kin
)21(s
kin
mv21
W
at21
amW
cos(0)samsFW2
= →
⋅⋅= →
⋅⋅⋅=⋅=
=
=
atv
at
rr
Rotationsenergie, etc.: später
3.Arbeit, 3.Arbeit, 3.Arbeit, 3.Arbeit, EnergieEnergieEnergieEnergie, , , , StStStStößößößößeeee
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Energie-Erhaltungssatz:
Energie kann nur von einer Form in eine andere verwandelt werden,sie kann nicht vernichtet oder erzeugt werden.
Falls Energieverlust durch Reibung oder ähnliche Prozesse vernachlässigt werden kann, gilt für ein abgeschlossenes Systemder Energiesatz der Mechanik:
const.EEE kinpotges =+=
Neben der potentiellen, kinetischen oder elastischen Energie gibtes weitere Formen:Wärmeenergie, elektrische Energie, StrahlungsenergieDer Energie-Erhaltungssatz gilt ganz allgemein für jede Energieform:
Die Summe aller Energien in einem abgeschlossenen System ist konstant
3.Arbeit, 3.Arbeit, 3.Arbeit, 3.Arbeit, EnergieEnergieEnergieEnergie, , , , StStStStößößößößeeee