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A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Doppi bipoli propri, impropri, tripolari. Doppi bipoli adinamici lineari inerti (omogenei) etempo invarianti. Rappresentazioni R, G, H, H’, T, T’. Esistenza delle rappresentazioni.Formule di conversione tra le rappresentazioni. Doppi bipoli in serie, in parallelo, inparallelo-serie, in serie-parallelo, in cascata. Reciprocità di un circuito. Condizioni direciprocità di doppi bipoli lineari. Simmetria. Condizioni di simmetria di doppi bipolilineari. Trasformatore ideale. Soluzione di circuiti con grafo non connesso. Soluzione dicircuiti contenenti doppi bipoli.
5. Doppi bipoli adinamici
1
QuadripoloSi consideri un componente a quattro poli. In generale per esso sono specificabili tretensioni e tre correnti rappresentative, identificabili attraverso il grafo a cespuglioassociato al componente.
i1
i2
i3
v14v24
v34
1 2
4 3
0),,,,,(
0),,,,,(
0),,,,,(
3424143213
3424143212
3424143211
vvviiif
vvviiif
vvviiif
Il comportamento del componente è specificabile attraverso un insieme di tre equazionicostitutive che coinvolgono, in generale, le tre tensioni e le tre correnti rappresentative.
2
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Doppio bipolo proprioUn doppio bipolo proprio è un componente a quattro poli la cui struttura interna è taleda creare le condizioni di porta tra due coppie di terminali.
23
14
ii
ii
i2
i3
i1
i4
Per quanto riguarda le equazioni topologiche un doppio bipolo proprio è equivalente adue bipoli distinti. La differenza emerge nelle equazioni costitutive. Per 2 bipoli sonodefinibili due equazioni ciascuna delle quali coinvolge solo la propria corrente e la propriatensione, mentre per il doppio bipolo proprio sono definibili due equazioni checoinvolgono (in generale) le correnti e le tensioni di entrambe le porte.
qualunque sia il circuitoall’interno del quale ilcomponente è inserito
i2i1
v1 v2
0),,,(
0),,,(
21212
21211
vviif
vviif
i2i1
v1 v2
0),(
0),(
222
111
vif
vif
1 2
4 3
3
due bipolidistinti
doppiobipolo
tensioni v12 , v13 e v34 non definibili
i2i1
v1 v2
doppiobipoloproprio
1 2
4 3
tensioni v12 , v13 e v34 definibili
i2i1
v1 v2
doppiobipoloproprio
1 2
4 3
Un doppio bipolo proprio è un componente intrinsecamente diverso dal quadrupolo inquanto esso non stabilisce, intrinsecamente, nessuna connessione tra nodi appartenentia porte distinte. Ciò comporta che le tensioni interporta (v12, v13, v34, e v24 ) non sianodefinibili. Tali tensioni risultano definibili solo se il circuito nel quale il doppio bipolo èinserito è tale da creare una connessione fisica tra nodi appartenenti a due porte distinte.
L’indeterminazione della tensione tra nodi appartenenti a porte distinte di un doppiobipolo proprio ha un chiaro riscontro nel fatto che il grafo del componente risulta nonconnesso
doppio bipolo proprio
i2i1 i2i1
grafo del doppiobipolo proprio 4
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Doppio bipolo improprioUn doppio bipolo improprio è un quadrupolo connesso a due bipoli (o più in generale adue porte proprie) tali da creare le condizioni di porta tra due coppie di terminali
23
14
ii
ii
È evidente che la condizione di porta non è intrinsecamente imposta dal componente,per cui a rigore non è possibile definire un doppio bipolo improprio se non si è specificatoil circuito in cui opera.
per via del circuito nelquale il componente èinserito
v14
v24
v34
0),,,,,(
0),,,,,(
0),,,,,(
342414321
342414321
342414321
vvviiif
vvviiif
vvviiif
c
b
a
Il comportamento del quadrupolo è specificabile attraverso tre equazioni checoinvolgono, in generale, le tre tensioni e le tre correnti rappresentative.
i2
i3
i1
i2i1
v1 v2
1 2
4 3
quadrupolo che operada doppio bipolo improprio
5
Le equazioni costitutive di un doppio bipolo possono essere riformulate sostituendo inesse le condizioni di porta e utilizzando, in alternativa alle tre tensioni v14, v24 e v34, ledue tensioni di porta v1, v2 e la tensione v34
v34
0),,,,,('
0),,,,,('
0),,,,,('
3421221
3421221
3421221
vvviiif
vvviiif
vvviiif
c
b
a
i2i1
v1 v2
v14 = v1
v24 = v2 + v34
v34 = v34
Questi tre vincoli consentono di determinare tre tra le variabili i1, i2, v1, v2 , v34 quandosiano note le altre due. Le tre tensioni v1, v2 , v34 consentono poi di determinare latensione tra qualunque coppia di nodi.
i3i3 = i2
La conoscenza della v34 è indispensabile per valutare la tensione tra nodi appartenenti a dueporte distinte. Nel caso in cui tale informazione non sia di interesse si può rinunciare aconoscere la v34 e rinunciare quindi ad una delle equazioni costitutive. Queste si riduconoallora a due soli vincoli che coinvolgono le sole variabili di porta i1, i2, v1, v2 ,
0),,,(
0),,,(
21212
21211
vviif
vviif
6
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
In pratica considerare un generico quadrupolo come un doppio bipolo, rappresentandoloquindi attraverso due sole equazioni anziché tre, equivale a rinunciare a conoscere latensione che sussiste tra due nodi appartenenti a porte diverse (si noti che tale tensionesarebbe fisicamente definibile in quanto una connessione fisica tra questi nodi esisteinternamente al componente)
È chiaro però che ciò è possibile solo se la terza corrente rappresentativa del quadrupolonon è indipendente dalle altre due, ossia solo se il circuito a cui il quadrupolo è collegato ètale da imporre, impropriamente, la condizioni di porta.
L’indeterminazione della tensione tra nodi appartenenti a porte distinte di un doppiobipolo improprio ha riscontro nel fatto che il grafo associato al componente risulta nonconnesso
quadrupolo che operada doppio bipolo improprio
i2i1
i2i1
grafo del quadrupolo che operada doppio bipolo improprio
i2i1 grafo delquadrupolo genericoi3
7
Doppio bipolo tripolare
Un tripolo è un componente a tre terminali e come tale è rappresentabile attraverso duetensioni e due correnti (identificabili attraverso il grafo a cespuglio)
i11 2
3
i2v13 v12
0),,,(
0),,,(
2313212
2313211
vviif
vviif
Il comportamento del tripolo è specificabile attraverso due equazioni costitutive checoinvolgono, in generale, le due correnti e le due tensioni rappresentative
8
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Il doppio bipolo così ottenuto prende il nome di doppio bipolo tripolare ed è definito dalledue relazioni costitutive del tripolo da cui deriva
0),,,(
0),,,(
2313212
2313211
vviif
vviif
Si noti che per il doppio bipolo tripolare i terminali (e i nodi) di uscita delle due porte nonsono in realtà distinti. Pertanto la tensione tra nodi appartenenti a porte distinte risultasempre determinabile. Ciò trova riscontro nel fatto che il grafo del tripolo è connesso.
0),,,(
0),,,(
21212
21211
vviif
vviif
i2i1
i2i1 i1+i2
v1
1
4
i2i1
i2i1
i1+i2
v2
1
v1
2
3
i2i1
v12
1
v13
i1+i2
2
3
2
3
Un tripolo è concepibile come un doppio bipolo proprio i cui terminali di uscita siano postiin comune. Se si immagina infatti di sdoppiare il terminale di uscita di un tripolo in dueterminali distinti si ottiene un componente quadripolare per il quale sussistono le duecondizioni di porta. Alle due porte sono associate due tensioni che coincidono con letensioni rappresentative del tripolo
v1 = v13
v2 = v23
9
Doppi bipoli adinamici lineari, inerti e tempo invariantiNel seguito si introducono i doppi bipoli adinamici (detti anche doppi bipoli resistivi)ossia doppi bipoli caratterizzati da una relazione costituiva che non coinvolge le derivatedelle correnti o delle tensioni rappresentative. Non sarà fatta nessuna distinzione sullanatura del doppio bipolo (proprio, improprio, tripolare)
i1
0),,,(
0),,,(
21212
21211
vviif
vviifv1
i2
v2
Appartengono alla categoria dei doppi bipoli lineari, inerti e tempoinvarianti anche lequattro sorgenti pilotate introdotte a suo tempo.
Restringeremo per il momento la nostra attenzione ai doppi bipoli lineari, inerti (o omogenei )e tempoinvarianti, ossia caratterizzati da relazioni costitutive lineari, a coefficienti costanti eprive di termini impressivi (i.e. omogenee) che in generale possono essere espresse come
0
0
222121222121
212111212111
vhvhihih
vhvhihihvvii
vvii
0vHiH vi
Questa forma delle relazioni costitutive è detta rappresentazione implicita del doppiobipolo
10
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
La rappresentazione implicita del doppio bipolo coinvolge quattro variabili (le 2 correnti ele 2 tensioni caratteristiche). Si definisce rappresentazione esplicita (o semplicementerappresentazione) del doppio bipolo una versione delle equazioni costitutive in cui duevariabili sono espresse esplicitamente in funzione delle altre due. Sono possibili le seirappresentazione seguenti
variabiliindipendenti
variabilidipendenti
in corrente(mediante matrice R ) i1 , i2 v1 , v2
in tensione(mediante matrice G ) v1 , v2 i1 , i2
ibrida diretta(mediante matrice H ) i1 , v2 v1 , i2
ibrida inversa(mediante matrice H’ ) v1 , i2 i1 , v2
trasmissione diretta(mediante matrice T ) -i2 , v2 i1 , v1
trasmissione inversa(mediante matrice T’ ) -i1 , v1 i2 , v2
Un doppio bipolo può, in generale, non ammettere alcune delle rappresentazioni 11
Rappresentazione in corrente
i1
v1
i2
v2
2221212
2121111
irirv
irirv iRv
R matrice di resistenza,
v2
i1
v101
111
2
i
i
vr
01
221
2
i
i
vr
v2
i2
v102
222
1
i
i
vr
02
112
1
i
i
vr
resistenza diingresso a vuoto,
resistenza ditrasferimento a vuoto,
12
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
2221212
2121111
irirv
irirv Ra
Rb Rc
Raia
i1
v1
Rb Rc
v2ib ic
Si vuole determinare a titolo di esempio la rappresentazione in corrente del doppio bipolo difigura
1
1
1
iRR
Ri
iRR
Ri
ii
cb
bc
cb
cb
a
12
11
iRR
RRiRv
iRR
RRRiRiRv
cb
bccc
cb
cbabbaa
1a condizione: i1 imposta e i2 = 0
;;01
221
01
111
22cb
bc
icb
cba
iRR
RR
i
vr
RR
RRR
i
vr
13
i22
2
0
iRR
Ri
iRR
Ri
i
cb
bc
cb
cb
a
22
21
iRR
RRiRv
iRR
RRiRiRv
cb
bccc
cb
cbbbaa
Rav1
Rb Rc
ib icia
2a condizione: i2 imposta e i1 = 0
v2
;;02
112
02
222
11cb
cb
icb
cb
iRR
RR
i
vr
RR
RR
i
vr
14
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Rappresentazione in tensione
i1
v1
i2
v2
2221212
2121111
vgvgi
vgvgi vGi
G matrice di conduttanza, S
i1
v101
111
2
v
v
ig
01
221
2
v
v
ig
02
222
1
v
v
ig
02
112
1
v
v
ig
+i2
i1 i2
v2
+
conduttanza di ingressoin corto circuito, S
conduttanza di trasferimentoin corto circuito , S
15
Rappresentazione ibrida diretta
i1
v1
i2
v2
2221212
2121111
vhihi
vhihv
2
1
2
1
v
i
i
vH
H matrice ibrida diretta
01
111
2
v
i
vh
01
221
2
v
i
ih
02
222
1
i
v
ih
02
112
1
i
v
vg
resistenza di ingressoin corto circuito,
guadagno di correntein corto circuito, --
i2
i2
v2
+
i1
v1
conduttanza di ingressoa vuoto, S
guadagno di tensionea vuoto, --
v1
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A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Rappresentazione ibrida inversa
i1
v1
i2
v2
2221212
2121111
''
''
ihvhv
ihvhi
2
1
2
1 'i
v
v
iH
H’ matrice ibrida inversa
01
111
2
'
i
v
ih
01
221
2
'
i
v
vh
02
222
1
'
v
i
vh
02
112
1
'
v
i
ih
i1
v1
+ v2
v2
i2
i1
conduttanza di ingressoa vuoto, S
guadagno di tensionea vuoto, --
resistenza di ingressoin corto circuito,
guadagno di correntein corto circuito, --
17
Rappresentazione di trasmissione direttai1
v1
i2
v2
2222211
2122111
)(
)(
vtiti
vtitv
2
2
1
1
v
i
v
iT
T matrice di trasmissione diretta
01
2
112
1
vv
i
t
Al fine di determinare i coefficienti della matrice T non è possibile adoperare direttamentela definizione perché ciò richiederebbe l’imposizione di entrambe le grandezze alla porta diingresso, il che è impossibile. Ad esempio, per determinare t11 occorrerebbe imporre unagenerica corrente i2 alla seconda porta mediante un generatore e imporre al contempo v2 =0 mediante un collegamento di corto circuito. Per determinare i coefficienti si procede nelmodo seguente
v1 +
i2
01
2
122
1
i
v
v
t
v1 + v2
01
2
212
1
vi
i
t 01
2
222
1
i
i
v
tv2
i2
i1 i1
È consuetudine considerare i2 anziché i2
come variabile rappresentativa
18
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Rappresentazione di trasmissione inversa
i1
v1
i2
v2
1221212
1121112
')('
')('
vtiti
vtitv
1
1
2
2 'v
i
v
iT
T’ matrice di trasmissione diretta
Al fine di determinare i coefficienti della matrice T’ non è possibile adoperare direttamentela definizione perché ciò richiederebbe l’imposizione di entrambe le grandezze alla porta diingresso, il che è impossibile. Ad esempio, per determinare t’11 occorrerebbe imporre unagenerica corrente i1 alla prima porta mediante un generatore e imporre al contempo v1 = 0mediante un collegamento di corto circuito.
Per determinare i coefficienti si procede in modo analogo a quanto esposto per la matrice T.
È consuetudine considerare i1 anziché i1
come variabile rappresentativa
19
Relazione tra le varie rappresentazioni
2
1
2
1
2
1
2
1
v
v
i
i
i
i
v
v
G
R
2
1
2
1
2
1
2
1
'i
v
v
i
v
i
i
v
H
H
1
1
2
2
2
2
1
1
'v
i
v
i
v
i
v
i
T
T
Sussistono le seguenti relazioni tra le matrici R-G, H-H’ e T-T’
Ciascuna rappresentazione impone due relazioni tra le quattro variabili i1 , i2 , v1 , v2
rappresentative del doppio bipolo. Sotto opportune condizioni tali relazioni possonoessere invertite algebricamente e due qualsiasi delle variabili possono essere espressein funzione delle altre due
1 RG 1' HH1' TT
222
122
212
222
121
22
211222111
1i
hi
h
hv
ih
hi
h
hhhhv
2221212
2121111
vhihi
vhihv
2121222
1112121
iihvh
ihvhv
022 hrappr. H rappr. R
20
segnodicambiatiecon '21
'12 tt
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Sotto opportune condizioni sui coefficienti delle matrici è dunque possibile passare daciascuna rappresentazione ad un’altra. Le formule per effettuare le varie trasformazionisono riportate sotto. Le condizioni di fattibilità di ciascuna trasformazione si ottengonodall’analisi dei denominatori che compaiono nelle formule.
21
11
21
2121
22
21
22
21
2121
11
1111
21
11
12
11
2222
21
22
12
22
1121
1222
2221
1211
'
'
'
det'
1
'
'
1
det
'
'det
'
'
'
'
1
1
det
detdet
detdet
t
t
t
tt
t
t
t
t
tt
t
hh
hh
h
h
hh
h
h
h
hgg
gg
rr
rr
T
T
H
H
GG
GGR
12
22
12
1212
11
12
11
12
1212
22
2222
21
22
12
22
1111
21
11
12
11
2221
1211
1121
1222
'
'
'
'det'
1
'
'
1
det
'
1
'
'
'
'
'
'det
det
1
detdet
detdet
t
t
t
tt
t
t
t
t
tt
t
hh
h
h
h
h
hh
hh
h
h
gg
ggrr
rr
T
TH
HRR
RRG
11
21
11
1111
12
22
21
22
2222
12
1121
1222
2221
1211
1111
21
11
12
11
2222
21
22
12
22
'
'
'
'det'
1
'
'
1
det
'det
'
'det
''det
'
'det
'
det
1
1
det
t
t
t
tt
t
t
t
t
tt
t
hh
hh
hh
hh
gg
gg
g
g
rr
rr
r
rT
T
HH
HHG
R
H
21
22
12
22
2222
21
11
12
11
1111
21
2221
1211
1121
1222
2222
21
22
12
22
1111
21
11
12
11
'
'
'
'det'
1
'
'
1
det
''
''
detdet
detdet1
det
det
1
'
t
t
t
tt
t
t
t
t
tt
t
hh
hhhh
hh
gg
gg
g
g
rr
rr
r
rT
T
HH
HH
G
RH
'det
'
'det
''det
'
'det
'
'
'det
'
''
'
'
1
1
det
det
1
1
det
1121
1222
2221
1211
2121
11
21
22
21
2121
22
21
11
21
21
11
21
2121
22
21
22
21
2121
11
TT
TTH
H
G
R
Ttt
tt
tt
tt
hh
hh
h
h
hh
hh
h
h
g
g
g
gg
g
r
r
r
rr
r
2221
1211
1121
1222
1212
11
12
22
12
1212
22
21
11
12
12
22
12
1212
11
12
11
12
1212
22
''
''
det
'
det
'detdet
'
1
'
''
'
'
'det
'det
1
det
1
1
det
'tt
tttt
tt
hh
hh
h
h
hh
hh
h
h
g
g
g
gg
g
r
r
r
rr
r
TT
TT
H
HG
R
T
22
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Un doppio bipolo può non ammettere una data rappresentazione. Ciò si verifica se non èpossibile imporre liberamente le variabili indipendenti relative alla rappresentazione.
Ciò sussiste senz’altro per il caso in esame. La matrice R è dunque calcolabile e risulta
Ra Rc
Rb
Si consideri a titolo di esempio il doppio bipolo di figura. Affinché esista larappresentazione mediante matrice R deve essere possibile calcolare le tensioni che sistabiliscono alle porte quando si impongono ad arbitrio le correnti. Ciò comporta che ilcircuito ottenuto applicando un generatore di corrente su ciascuna porta non deve esserepatologico.
i1 i2
00
0cb
cba RR
RRR
R
Esistenza delle rappresentazioni
23
Si noti che relativamente alla rappresentazione mediante matrice R risulta det(R) = 0 er22 = 0. Dalle formule di conversione da una rappresentazione ad un’altra si deduce quindiche, coerentemente con quanto detto, né la matrice G né la matrice H sono ottenibilidalla matrice R ( sia det(R) che r22 appaiono al denominatore ).
Ra Rc
Rb
Lo stesso doppio bipolo non ammette tuttavia la rappresentazione mediante matrice G.Non è infatti possibile calcolare le correnti che si stabiliscono alle porte quando siimpongono ad arbitrio le tensioni. Ciò accade perché il circuito ottenuto applicando ungeneratore di tensione su ciascuna porta (ed in particolare sulla seconda) risultapatologico. Per la stessa ragione risulta impossibile anche la rappresentazione mediante lamatrice H.
v1
Circuito patologico
Rappresentazione in tensioneimpossibile
+
v2
+
24
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Ra
ia
k ia
Si noti che la non esistenza di alcune rappresentazioni può essere dovuta alla presenza digeneratori pilotati all’interno del doppio bipolo.
Si consideri ad esempio il doppio bipolo di figura. Affinché esista la rappresentazionemediante matrice R il circuito ottenuto applicando un generatore di corrente su ciascunaporta deve essere non patologico.
i1 i2
Non è possibile imporre ad arbitrio entrambe le correnti (il circuito è patologico).Non esiste dunque la rappresentazione R.
k
iiikii aaa
10 1
1
k
ikiki a
11
2
Il doppio bipolo ammette comunque la matriceG che risulterà non invertibile non esistendo R.
0
01
a
a
R
kR
k
G
Dall’analisi delle formule di conversione tra le varie rappresentazioni si deduce che, data la presente matrice G,il doppio bipolo ammette le matrici H e T’ e non ammette le matrici R, H’ e T
25
Determinare la matrice G del doppio bipolo improprio di figura
Esercizio 5.1
Ra
Rb Rd
Rc
Esercizio 5.2Determinare la matrice H del doppio bipolo improprio di figura
Ra
Rb
Rd
Rc
Ra = 1 Rb = 4 Rc = 2 Rd = 1
Ra = 2 Rb = 2 Rc = 4 Rd = 1
26
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Determinare le matrici R e H del doppio bipolo improprio di figura
Esercizio 5.3
Ra Rb
Rc
Esercizio 5.4Determinare le matrici G e H’ del doppio bipolo improprio di figura
k ic
ic
Ra = 1 Rb = 1 Rc = 2 k = 2
Rc
RbiaRa
+
RdRa = 1 Rb = 1 Rc = 2 Rd = 1 k = 2
k ia
27
Determinare le matrici R e H del doppio bipolo proprio di figura
Esercizio 5.5
Ra = 1 Rb = 1 Rc = 1 k1 = 2 k2 = 1
iaRa
+k1 ic
ic
Rb
Rc
k2 ia
28
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Due doppi bipoli si dicono in serie quando sia le porte di ingresso che quelle di uscita sonocollegate in serie. Tale collegamento dà luogo ad un doppio bipolo equivalente la cuimatrice delle resistenze è data dalla somma delle singole matrici
Doppi bipoli in serie
i1a
v1a
i2a
v2a
i1b
v1b
i2b
v2b
v1v2
i1 i2
ba
ba
vvv
vvv
222
111
aaa iRv
ba vvv
ba
ba
iii
iii
222
111
ba iii
bbb iRv Ra
Ra
iRRiRiRv babbaa
i1
v1
i2
v2Ra+Rb
29
Due doppi bipoli si dicono in parallelo quando sia le porte di ingresso che quelle di uscitasono collegate in parallelo. Tale collegamento dà luogo ad un doppio bipolo equivalente lacui matrice delle conduttanze è data dalla somma delle singole matrici
Doppi bipoli in parallelo
i1a
v1a
i1b
v1b
v1
ba
ba
iii
iii
222
111
aaa vGi
ba iii
ba
ba
vvv
vvv
222
111
ba vvv
bbb vGi Ga
Gb
vGGvGvGi babbaa
i1
v1
i2
v2Ga+Gb
i1
i2a
v2a
i2b
v2b
v2
i2
30
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Due doppi bipoli si dicono in serie-parallelo quando le porte di ingresso sono collegate inserie e quelle di uscita sono collegate in parallelo. Tale collegamento dà luogo ad undoppio bipolo equivalente la cui matrice ibrida diretta è data dalla somma delle singolematrici
Doppi bipoli in serie-parallelo
ba
ba
iii
vvv
222
111
a
aa
a
a
v
i
i
v
2
1
2
1 H
ba
ba
vvv
iii
222
111
Ha
Hb
2
1
2
1
2
1
2
1
v
i
v
i
v
i
i
vba
b
bb
a
aa HHHH
i1
v1
i2
v2Ha+Hb
i2a
v2a
i2b
v2b
v2
i2
i1a
v1a
i1b
v1b
v1
i1
b
ba
b
b
v
i
i
v
2
1
2
1 H
b
b
a
a
v
i
v
i
v
i
2
1
2
1
2
1
b
b
a
a
i
v
i
v
i
v
2
1
2
1
2
1
31
Due doppi bipoli si dicono in parallelo-serie quando le porte di ingresso sono collegate inparallelo e quelle di uscita sono collegate in serie. Tale collegamento dà luogo ad undoppio bipolo equivalente la cui matrice ibrida inversa è data dalla somma delle singolematrici
Doppi bipoli in parallelo-serie
ba
ba
vvv
iii
222
111
a
aa
a
a
i
v
v
i
2
1
2
1 H
ba
ba
iii
vvv
222
111
Ha
Hb
2
1
2
1
2
1
2
1 ''''i
v
i
v
i
v
v
iba
b
bb
a
aa HHHH
i1
v1
i2
v2Ha+Hb
b
bb
b
b
i
v
v
i
2
1
2
1 H
b
b
a
a
i
v
i
v
i
v
2
1
2
1
2
1
b
b
a
a
v
i
v
i
v
i
2
1
2
1
2
1
i1a
v1a
i1b
v1b
v1
i1
i2a
v2a
i2b
v2b
v2
i2
32
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Due doppi bipoli si dicono in cascata quando la porta di ingresso dell’uno è collegata aquella di uscita dell’altro. Tale collegamento dà luogo ad un doppio bipolo equivalente lacui matrice di trasmissione diretta è data dal prodotto delle singole matrici
Doppi bipoli in cascata
i1a
v1a
i2a
v2a
i1b
v1b
i2b
v2bTa Tb
i1
v1
i2
v2Ta Tb
i1
v1
i2
v2
a
aa
a
a
v
i
v
i
2
2
1
1 T
a
a
vv
ii
11
11
b
bb
b
b
v
i
v
i
2
2
1
1 T
ba
ba
vv
ii
12
12
b
b
vv
ii
22
22
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
v
i
v
i
v
i
v
i
v
i
v
iba
b
bba
b
ba
a
aa
a
a TTTTTT
33
In termini generali la reciprocità consiste nella interscambiabilità tra causa ed effetto. Perquanto riguarda i circuiti la reciprocità si estrinseca come segue
Reciprocità
Si consideri un qualsiasi circuito . Si spengano in esso tutti i generatori di tensione e dicorrente indipendenti. Si disponga tra i generici nodi P e Q un generatore di corrente divalore i orientato da P verso Q. A causa di tale generatore tra i generici nodi M e N sistabilirà la tensione v‘NM. Si disponga poi il medesimo generatore tra i generici nodi M e Norientato da M verso N. Come conseguenza tra i nodi P e Q si stabilirà la tensione v'‘QP
In pratica un circuito è reciproco rispetto a due coppie di nodi se scambiando la posizionedi un generatore di corrente e di un voltmetro l’indicazione di quest’ultimo non muta
Il circuito si dice "reciproco rispetto allecoppie di nodi P-Q ed M-N" se è risulta: NMQP vv '''
i
P
Q
M
N v'NM
P
Q
M
N
v''QP
i
34
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
+vg
i'k+
i''hvg
Analogamente, si consideri un qualsiasi circuito e si spengano in esso tutti di generatori ditensione e di corrente indipendenti. Si disponga sul generico ramo h un generatore ditensione di valore vg orientato concordemente con il ramo. A causa di tale generatore nelramo k circolerà la corrente i'k. Si disponga poi il medesimo generatore sul ramo horientandolo concordemente con esso. Come conseguenza nel ramo h circolerà lacorrente i''k.
ram
ok
In pratica un circuito è reciproco rispetto ad un paio di rami se scambiando la posizione diun generatore di tensione e di un amperometro l’indicazione di quest’ultimo non muta
ram
ok
Il circuito si dice "reciprocorispetto ai rami h e k" se risulta: kh ii '''
Se un circuito è reciproco rispetto a qualsiasi paio di coppie di nodi e a qualsiasi paio dirami allora si dice reciproco (senza ulteriori specificazioni) 35
Dalle definizioni introdotte risulta che un circuito composto da un solo bipolo alimentato daun generatore (di tensione o di corrente) è necessariamente reciproco. Ciò si esprime piùsemplicemente dicendo che un bipolo è necessariamente reciproco.
Si consideri ora un circuito composto da un doppio bipolo alimentato alle due porte da duegeneratori. Sulla base della prima definizione introdotta il circuito risulta reciproco se r12 = r21
v'2 = r21 i
i i
v''1 = r12 i
Ciò si esprime più semplicemente dicendo che un doppio bipolo è reciproco se e solo se
v''1 = v'2 r12 = r21
Più in generale è possibile dimostrare che un circuito composto solo da bipoli lineari ènecessariamente reciproco.
In altri termini un doppio bipolo è reciproco se e solo se la matrice delle resistenze èsimmetrica
r12 = r21
36
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Sulla base della seconda definizione introdotta il circuito risulta reciproco se
i'2 = g21 v+ i''1 = g12 v
i''1 = i'2 g12 = g21
v+
v
Un doppio bipolo è reciproco se e solo se
Si noti che la prima e la seconda condizione di reciprocità non sono indipendenti l’unadall’altra ma sono tra di loro equivalenti. Dalle formule di conversione tra lerappresentazioni in corrente ed in tensione risulta infatti
21122112
2112 detdetrr
rrgg
RR
In altri termini un doppio bipolo è reciproco se e solo se la matrice delle conduttanze èsimmetrica
g12 = g21
37
In generale, utilizzando le condizioni di reciprocità appena dedotte in termini di parametriR o G e adoperando le formule di conversione tra le varie rappresentazioni è possibileottenere le seguenti condizioni di reciprocità sulla base dei paramenti di ciascunarappresentazione (purché questa esista)
matrice R matrice G matrice H matrice H’ matrice T matrice T’r12 = r21 g12 = g21 h12 = h21 h’12 = h’21 det T = 1 det T’ = 1
È opportuno precisare che proprio la reciprocità dei doppi bipoli è alla base della varietàdelle funzioni che con essi si possono realizzare, in particolare nel trattamento del segnale
38
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Consideriamo ora due generiche coppie di correnti e tensioni di porta tali da soddisfare lerelazioni di definizione di un doppio bipolo lineare (espresse ad esempio attraverso lamatrice R)
'
'
'
'
2
1
2
1
i
i
v
vR
Ci proponiamo di valutare sotto quali condizioni la seguente relazione è soddisfattaindipendentemente dal valore assunto dalle correnti di porta
''
''
''
''
2
1
2
1
i
i
v
vR
'''''''''''' 22112211 iviviviv
L’uguaglianza della somma dei prodotti vi incrociati è dunque soddisfatta se e solo se èsoddisfatta la condizione di reciprocità r12 = r21 e pertanto può essere adoperata comeuna definizione equivalente della reciprocità di un doppio bipolo lineare
Si specifica che in generale, qualunque sia la rappresentazione utilizzata per il doppio bipolo lineare, l’uguaglianzadella somma dei prodotti vi incrociati sussiste (per qualunque valore delle variabili indipendenti) se e solo se èsoddisfatta la condizione di reciprocità espressa attraverso i paramenti della rappresentazione adoperata.L’uguaglianza della somma dei prodotti vi incrociati costituisce dunque una definizione alternativa della reciprocità.39
2121t
ttt
tt
tt
tt
''''''
''''''
''''''
'','''''''
rr
RR
iRiiRi
iRiiiR
viiv
iiiviv
Circuiti equivalenti di doppi bipoli lineari a T e a
i1
v1
i2
v2
Si consideri un doppio bipolo rappresentato mediante la matrice delle resistenze
2221212
2121111
irirv
irirvR
Le equazioni di definizione sono interpretabili attraverso il seguente modello circuitale
+ +v2
i1
v1
i2r11
r21 i1
r22
r12 i2
212221122121122
2112112111
irrirriirv
iirirrv
Le equazioni di definizione possono essere riscritte come
40
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Ciò dà luogo al seguente modello circuitale
+
v2
i1
v1
i2r11 r12
r12
212221122121122
2112112111
irrirriirv
iirirrv
Un doppio bipolo lineare che ammette la matrice R è schematizzabile attraverso uncircuito equivalente costituito da tre resistori collegati a stella (o a T) e da un generatore ditensione pilotato in corrente
r22 r12
(r21 r12 ) i1
Se il doppio bipolo è reciproco allora r12 = r21 e il circuito equivalente si riduce a
Un doppio bipolo lineare reciproco che ammetta la matrice R è equivalente a tre resistoricollegati a stella
v2
i1
v1
i2r11 r12
r12
2122221122
2112112111
irriirv
iirirrv
r22 r12
41
i1
v1
i2
v2
Si consideri un doppio bipolo rappresentato mediante la matrice delle conduttanze
2221212
2121111
vgvgi
vgvgiG
Le equazioni di definizione sono interpretabili attraverso il seguente modello circuitale
i1
v1
g11
Le equazioni di definizione possono essere riscritte come
212221212112212
2112112111
vggvvgvggi
vvgvggi
g12v2
i2
v2
g22
g21v1
42
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Ciò dà luogo al seguente modello circuitale (alternativo ma equivalente al precedente)
Un doppio bipolo lineare che ammette la matrice G è schematizzabile attraverso un circuitoequivalente costituito da tre resistori collegati a triangolo (o a ) e da un generatore dicorrente pilotato in tensione
Se il doppio bipolo è reciproco allora g12 = g21 e il circuito equivalente si riduce a
Un doppio bipolo lineare reciproco che ammetta la matrice G è equivalente a tre resistoricollegati a triangolo
212221212112212
2112112111
vggvvgvggi
vvgvggi
i1
v1 g11+g12
i2
v2
g12
(g21 g12)v1g22+g12
2122212122
2112112111
vggvvgi
vvgvggi
i1
v1 g11+g12
i2
v2
g12
g22+g12
Dato un doppio bipolo lineare reciproco è possibile passare dalla sua rappresentazionemediante tre resistori a stella a quella (equivalente) mediante tre resistori a triangolo eviceversa adoperando le formule di trasformazione precedentemente discusse 43
Un doppio bipolo si dice simmetrico se scambiando la porta 2 con la porta 1 ilcomportamento del circuito nel quale è inserito non muta
Doppi bipoli simmetrici
i1
v1
i2
v2
2
1
2221
1211
2
1
i
i
rr
rr
v
v
i1
v1
i2
v2
Porta
1
Porta
2
Porta
2
Porta
1
2
1
1112
2122
2
1
i
i
rr
rr
v
v
Dalla definizione segue che le condizioni sui parametri raffinché un dipolo sia simmetrico sono
1221
1122
rr
rr
44
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
matrice R matrice G matrice H matrice H’ matrice T matrice T’r11 = r22
r12 = r21
g11 = g22
g12 = g21
det H = 1h12 = h21
det H’ = 1h’12 = h’21
t11 = t22
det T = 1t’11 = t’22
det T’ = 1
Utilizzando le condizioni di simmetria dedotte in termini di parametri R e adoperando leformule di conversione tra le varie rappresentazioni è possibile ottenere le seguenticondizioni di simmetria sulla base dei paramenti di ciascuna rappresentazione (purchéquesta esista)
Dal confronto tra le condizioni di reciprocità e quelle di simmetria si deduce che undoppio bipolo simmetrico è anche reciproco
45
i2 v2i1v1
k : 1
12
21
iki
vkv
2
1
2
1
0
0
v
i
k
k
i
v
k: rapporto di trasformazione (adimensionale)
Trasformatore ideale
Il trasformatore ideale è un doppio bipolo proprio, lineare, reciproco ( h21 = h12 ) e nonsimmetrico
La potenza complessivamente assorbita da un trasformatore ideale è sempre nullapa = v1 i1 + v2 i2 = v1 i1 + ( v1 / k ) ( k i1 ) = v1 i1 v1 i1 = 0
p1 (t) = p2 (t) t
Ciò comporta che la potenza assorbita alla prima porta sia sempre uguale e opposta a quellaassorbita alla seconda. Il trasformatore consente quindi di trasferire integralmente una datapotenza p dalla porta 1 alla porta 2 variandone i paramenti v e i.Nei trasformatori reali in uso nelle reti elettriche, operanti in regime di corrente alternata, il trasferimento dellapotenza tra due avvolgimenti privi di contatto fisico avviene attraverso l’intermediazione di un campo magneticovariabile nel tempo. Tali dispositivi sono schematizzabili con buona approssimazione attraverso il trasformatoreideale. Si noti che trattandosi di un doppio bipolo proprio non esiste alcuna connessione tra la porta 1 la porta 2.
46
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
47
Convenzioni sui versi: Il verso delle tensioni e delle correnti da adoperare alle due porte perla definizione del trasfomatore di solito non è indicato esplicitamente. In tal caso sonoindicati dei puntini che consentono di risalire ai versi da adoperare. Alcuni esempi:
k : 1
i2 v2i1v1
k : 1
12
21
iki
vkv
i1v1
i2v2
12
21
iki
vkv
1: k
i1v1
12
21
iki
vkv
k : 1
i2 v2
1: k
i2
v2i1
v1
Se alla porta 2 del trasformatore è collegato un resistore di valore R la porta 1 può esserevista come un resistore di valore k2R
R
12
221 iRkiRkvkv
i1v1
k2R
12
1 iRkv
Analogamente se alla porta 1 del trasformatore è collegato un resistore di valore R la porta2 può essere vista come un resistore di valore R/k2
v2
i2
v1
R
2211
2 ik
R
k
iR
k
vv
i2
v2
R / k2
i1
222 ik
Rv
48
k : 1
k : 1
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
i2
v2i1
v1
gekvkv 21
i1v1
gekv 1
+
eg
+
k eg
i2
v2i1
v1
Se alla porta 2 (porta 1) del trasformatore è collegato un generatore di tensione di valore eg
la porta 1 (porta 2) può essere vista come un generatore di tensione di valore k eg ( eg / k )
k
i
k
ii g 2
1
i1v1
k
ii g1
ig ig / k
Se alla porta 2 (porta 1) del trasformatore è collegato un generatore di corrente di valore ig
la porta 1 (porta 2) può essere vista come un generatore di corrente di valore ig / k (k ig )
49
k : 1
k : 1
i2
v2i1
v1
Sussistono inoltre le seguenti uguaglianze
R
gg ekiRkeiRkvkv 12
221
i1v1
gekiRkv 12
1
+eg
+keg
k2R
i2
v2i1
v1
R
k
i
Rk
v
k
iRv
k
ii gg
2
1221
/
i1v1
k
i
Rk
vi g
2
11
k2Rig ig / k
50
k : 1
k : 1
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
m-porte adinamici lineari, inerti e tempo invariantiTutto quanto esposto fino ad ora relativamente ai doppi bipoli lineari, inerti etempoinvarianti è generalizzabile ai componenti a m-porte
Per gli n-porte lineari e omogenei sono definibili le rappresentazioni in corrente (v = R i),in tensione (i = G v) e ibride
0......
...
0......
0......
22112211
22221212222121
12121111212111
mimm
im
imm
vmm
vm
vm
mim
iim
vm
vv
mim
iim
vm
vv
ihihihvhvhvh
ihihihvhvhvh
ihihihvhvhvh
0iHvH iv
i1
v1
i2
v2
in
vn
rappresentazione implicita
Un n porte è reciproco se e solo se la matrice R e la matrice G sono simmetriche
Utilizzando le rappresentazioni ibride si può affermare che un n porte è reciproco se e solo sehij = hji se hij rappresenta una transresistenza o transconduttanzahij = hji se hij rappresenta un guadagno di tensione o di corrente
51
In presenza di doppi bipoli sia propri che impropri (o in generale di componenti multipolari)si procede in modo del tutto analogo a quanto visto per i circuiti contenenti solo bipoli. Inparticolare per individuare il sistema risolvente è necessario
1. Individuare le R correnti e le R tensioni incognite che si stabiliscono nel circuito2. Individuare le R equazioni topologiche indipendenti ( (N1) LKC e R (N1) LKT )3. Aggiungere alle precedenti R equazioni topologiche le R relazioni costitutive dei
componenti
Soluzione di un circuito contenente doppi bipoli
T i = 0
R correnti di ramo (i)R tensioni di ramo (v)2R incognite
N1 LKC
R (N1) LKT
Req
.
R Rel. costitutive deicomponenti
Req
.
2Req
uazio
ni
incogniteequazioni
L v = 0
f ( i , v ) = 0
Per effettuare senza ambiguità i passaggi (1) e (2) è utile adoperare il grafo del circuito
52
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Si considera a titolo di esempio il circuito difigura costituito da 5 bipoli e da un doppiobipolo improprio (tripolo) interconnessimediante 5 nodi
Si introduce il grafo del circuito. Questo ècostituito da 7 rami afferenti a 5 nodi (R=7,N=5). Si introduce un nome e un verso per lecorrenti. Si assume che i versi delle tensionisiano associati a quelli delle correnti secondo laconvenzione dell’utilizzatore. In questo modo ènecessario indicare esplicitamente le tensionisul disegno. Si introduce quindi unasuddivisione del grafo in albero e coalbero
eg
R1
+
i1
R2
R3
k i1
i1
i2
i3
i5
i4
correnti di albero i2, i4, i6
correnti di coalbero i1, i3, i5, i7
R
i7
i6
53
si introducono le equazioni topologiche
0
0
0
516
34
7132
vvv
vv
vvvv
0
0
0
0
27
65
423
621
ii
ii
iii
iii
si introducono le relazioni costitutive dei componenti
R (N1) LKT
R Rel. cost. comp.
N1 LKC
2R equazioni 2R incognite: R correnti ( i1, i2, i3 , i4, i5 , i6, i7 ) ,R tensioni ( v1, v2, v3 , v4, v5 , v6, v7 )
Il sistema così ottenuto consente di determinare tutte le correnti e tutte le tensioni diinteresse del circuito
7226217
7126116
5
14
333
222
111
irirv
irirv
ev
iki
iRv
iRv
iRv
g
54
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In presenza di doppi bipoli propri (non tripolari o impropri) o più in generale in presenza di m-porte propri il grafo del circuito può risultare non connesso. In tal caso non è possibile, arigore, suddividere il grafo in albero e coalbero al fine di individuare univocamente l’insiememassimale di LKC e LKT indipendenti (non essendo il circuito connesso non è possibile trovareun sottografo connesso che tocchi tutti i nodi)
Soluzione di un circuito non connesso
Si consideri un grafo non connesso avente R rami e N nodi. Sia S il numero dei sottograficonnessi e disgiunti di cui il grafo è costituito. Siano Ni ed Ri il numero di nodi e di rami diciascuno di tali sottografi.
grafo non connessoR = 8, N = 6 , S = 2
Sottografo connesso 1N1 = 4, R1 = 6
Sottografo connesso 2N2 = 2, R2 = 2
i1
i2
i3
i4
i5
i6
i7
i8
N1 + N2 = NR1 + R2 = R 55
Ciascun sottografo connesso è scomponibile in albero e coalbero. Ciò consente di individuareun insieme di LKC e un insieme di LKT indipendenti per ciascuno di essi. Tali insiemi sono tradi loro necessariamente indipendenti essendo relativi a tensioni e a correnti diverse.
N1 1 rami di alberoR1 (N1 1) rami di
coalbero
i1
i2
i3
i4
i5
i6
i7
i8
N2 1 alberoR2 (N2 1) rami di
coalberoi7 + i8 = 0
i2 i1 i3 = 0i4 + i1 i6 = 0i5 i3 i6 = 0
v1 v4 + v2 = 0v3 + v5 + v2 = 0v6 + v5 + v4 = 0
v7 v8 = 0
N1 1 LKC R1 (N1 1) LKT
N2 1 LKC R2 (N2 1) LKT
( N1 + N2 ) 2 R1 + R2 ( N1 + N2 2 )
N 2LKC totali
R (N 2)LKT totali
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SNSNNS
ii
S
ii
11
1
In generale se il circuito possiede un grafo non connesso avente R rami ed N nodi costituito daS sottografi connessi e disgiunti è possibile formulare N S LKC indipendenti e R ( N S)LKT indipendenti, per un totale di R equazioni indipendenti. Per determinarle è sufficienteconsiderare distintamente ciascuna parte connessa di cui il grafo è costituito. Risulta infatti
Numero di LKC indipendenti:
SNRSNRNRS
ii
S
ii
S
iii
111
1Numero di LKT indipendenti:
In pratica le R equazioni topologiche indipendenti sono ottenibili considerando i tagli e lemaglie fondamentali individuabili attraverso lo «pseudo-albero» costituito dall’unionedegli alberi di ciascun sottografo connesso. L’unica differenza tra tale «pseudo-albero» eun albero vero e proprio è che esso non è connesso, ma questo non ha nessuna influenzasulla deduzione delle LKC e LKT.
57
R correnti di ramo (i)R tensioni di ramo (v)2R incognite
N S LKC
R (N S) LKT
Req
.
R Rel. cost.componenti
Req
.
2Req
uazio
ni
incogniteequazioni
Il sistema risolvente di un circuito il cui grafo, avente R rami ed N nodi, è non connesso edè composto da S sottografi connessi e disgiunti o è così costituito.
Il sistema risolvente è composto, in pratica, dall’unione dei sistemi risolventi parzialidefinibili indipendentemente per ciascuna porzione connessa da cui il circuito è formato.
Tali sistemi risolventi parziali non possono essere risolti indipendentemente in quanto lerelazioni costitutive sono tali da introdurre dei vincoli tra correnti e/o tensioniappartenenti a porzioni distinte. 58
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Si consideri a titolo di esempio il seguente circuito
eg
+
R2
i2R3
R4
R1
k2i2
k1
i3
i4i5
i2
i1 i7i6
0
0
0
534
732
61
iii
iii
ii
0
0
0
0
45
243
27
16
vv
vvv
vv
vv
617
716
225
444
333
222
111
iki
vkv
iki
iRv
iRv
iRv
iRev g
R (N2) LKT
N2 LKC
R=7, N=5, S = 2
R rel. cost.
R equazioni topologiche
59
Esercizio 5.6Risolvere il circuito di figura
G
Esercizio 5.7
Risolvere il circuito di figura
60
R1 = 1 R2 = 2 R3 = 2 ig = 2 A
R1 R3
R2
ig
S12
22
G
R1 = 1 R2 = 2 R3 = 2 k1 = 2k2 = 3vg = 38 V
R1
R3R2
+vg
k1 : 1
k2i2i2
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Esercizio 5.8
61
R1 = 1 R2 = 1 R3 = 2 k = 2vg = 18 V
R1
R3R2
+vg
k : 1
Risolvere il circuito di figura
Esercizio 5.9Impostare il sistema risolvente del circuito di figura contenente un doppio bipolo proprio
Esercizio 5.10Impostare il sistema risolvente del circuito di figura contenente un tripolo e un doppiobipolo proprio
G
62
H
R
+vg
R1
R2
R3
ig
R4
R1R2
R3