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Integrales Por Fracciones Simples
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Integrales de funciones de
una variable
APUNTES Y EJERCICIOS
Integrales por Fracciones Simples
Universidad Tecnológica de Chile
SEDE CALAMA
Guía de Apuntes y Ejercicios
Integrales Página 1
INTEGRALES POR FRACCIONES PARCIALES
Método por Fracciones Parciales: Este método nos permitirá integrar cierta clase de
funciones racionales (cociente de polinomios), de la forma
. El método es aplicable a
fracciones racionales (en las cuales el polinomio del numerador tiene grado menor que el
denominador). Si se presenta el caso contrario (en las cuales el polinomio del numerador
tiene grado mayor que el denominador), se efectúa la división de los polinomios para
obtener de esta manera una suma de fracciones más simples a las que llamaremos
fracciones parciales, las cuales son fáciles de integrar.
Caso 1 Factores Lineales Distintos de Q(x): Cuando la factorización del
polinomio Q(x) es de la forma , hacemos
la siguiente descomposición
. Entonces al aplicar
la integral tenemos:
obteniendo integrales más simples.
Ejemplo: Calcular
. Factorizamos , por lo cual la
descomposición en fracciones parciales sería:
. Luego
determinamos el valor de las constante A y B para poder encontrar nuestra integral.
Determinación las constantes: De la expresión a descomponer en fracciones
parciales, se elimina del denominador el factor lineal correspondiente a esta
constante y finalmente se evalúa en el punto donde este factor eliminado se anula.
Es decir:
, evaluando en , resultando
. Análogamente obtenemos
el valor de
.
Una vez determinadas nuestras constantes A y B, las sustituimos en la
descomposición inicial, quedando finalmente la integral definida como:
Caso 2 Factores Lineales Repetidos de Q(x): Cuando la factorización del
polinomio Q(x) es de la forma
,
entonces por cada factor lineal aparecerán tantas fracciones parciales como
multiplicidad tenga este factor,
.
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Ejemplo: Calcular
. Factorizamos , por lo cual la
descomposición en fracciones parciales sería:
. Luego
determinamos el valor de las constante A, B y C para poder encontrar nuestra
integral. Al desarrollar e igualar los polinomios del numerador, obtendremos las
constantes de resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Si
observamos con detalle la igualdad anterior nos daremos cuenta que la constante B
no puede determinarse por el método "corto", pero sí las otras dos, es decir del
sistema de tres por tres ya habremos determinado dos de las incógnitas y de
cualquiera de las ecuaciones en que aparezca B la despejamos. La solución es A=2,
B=-2 y C=7.
Una vez determinadas nuestras constantes A, B y C, las sustituimos en la
descomposición inicial, quedando finalmente la integral definida como:
Caso 3 Factores Cuadráticos Distintos: Cuando la factorización del polinomio Q(x)
aparecen factores cuadráticos de la forma , a cada uno de
estos factores le corresponderá una fracción parcial de la forma
, donde A y B
son constantes reales.
Ejemplo: Calcular
. Factorizamos , con
por lo cual la descomposición en fracciones parciales sería:
. Luego determinamos el valor de las
constante A, B y C para poder encontrar nuestra integral. Al desarrollar e igualar los
polinomios del numerador, obtendremos las constantes de resolver un sistema de
tres ecuaciones con tres incógnitas.
, y la solución es A=1/5, B=-1/5 y
C=13/5
Una vez determinadas nuestras constantes A, B y C, las sustituimos en la
descomposición inicial, quedando finalmente la integral definida como:
Guía de Apuntes y Ejercicios
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Caso 4 Factores Cuadráticos Repetidos: Cuando la factorización del polinomio
Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma , a cada uno
de estos factores le corresponderán una fracciones parciales de la forma
, donde Ak y Bk son constantes reales para k=1, 2, ... , n.
Ejemplo: Calcular
. Factorizamos , con
por lo cual la descomposición en fracciones parciales sería:
. Al desarrollar e igualar los polinomios del numerador, obtendremos
las constantes de resolver un sistema de cuatro ecuaciones con tres
incógnitas.
, y la solución es A=0, B=1, C=0 y D=-1
Una vez determinadas nuestras constantes A, B, C y D las sustituimos en la
descomposición inicial, quedando finalmente la integral definida como:
, donde la primera integral es la
inversa de la tangente y la segunda se resuelve mediante el segundo caso de
sustitución trigonométrica.
EJERCICIOS
Calcular las siguientes integrales indefinidas de la izquierda:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
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9.
10.
11.
12.
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14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
