5-1

5. KRILO U SUBSONICI

5.1 Opće postavke

5.1.1 Oblik i parametri krila

41Λ

b

x

y( )yx0

( )yc

z

yφ

x

rcrc

tc

rα

tα

z

∞V

rt cc λ=

LEΛ

Slika 5-1. Parametri krila

Parametri krila (wing):

• raspon krila (wing span) b

• vitkost (aspect ratio) SbA

2

=

• korijena i vršna tetiva (root and tip cord) tc

• suženje krila (taper ratio) r

t

cc

=λ

• strijela napadnog ruba (leading edge sweep angle) LEΛ

• strijela vezanog vrtloga (sweep angle of bound vortex) 41Λ

• strijela srednje linije (midchord sweep angle) mΛ

• strijela izlaznog ruba (trailing edge sweep angle) TEΛ

• uvijanje krila razlika kutova (twisting angle) rt αα − (na slici negativan)

5-2

• dihedral kut φ

Pored ovih geometrijskih veličina definiraju se i računske veličine. Dajemo odmah jednadžbe

primijenjene na trapezno krilo:

• aerodinamička apscisa napadnog ruba (aerodynamic apses of leading edge)

( ) ( )6

tan1

212 2

00

LEb

Abdyycyx

Sx Λ

⋅++

=⋅= ∫ λλ

• srednja aerodinamička tetiva (aerodynamic midchord)

( )

+

+⋅== ∫ λλ

11

322 22

0

2 rb

Acdyyc

Sc

Napadni kut krila je kut između brzine u beskonačnosti i korijene tetive. Ako krilo nije uvijeno

onda su tetive u svakom presjeku paralelne, pa je napadni kut u presjeku y isti kao u korijenom

presjeku rα . Ako je krilo uvijeno onda je kut uvijanja krila ( )yα∆ kut između tetive u presjeku y i

korijene tetive, a u presjeku y bit će napadni kut ( )yr αα ∆+ .

U općem slučaju profil može biti različit od presjeka do presjeka pa su njegove značajke

( ) ( )yya 00 ,α funkcije od mjesta presjeka.

5.1.2 Aerodinamički koeficijenti krila

Međutim ako profil ili vektor neporemećene brzine nisu isti onda moramo integrirati po razmahu

krila da bi dobili otpor, uzgon i moment koji djeluju na krilo.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫

∫∫

⋅=⋅=

⋅=⋅=

⋅=⋅=

∞=

∞=

∞=

2

0

222

01

2

0

22

01

2

0

22

01

22

22

22

bb

b

bb

b

b

d

b

b

dyycycVdyMM

dyycycVdyLL

dyycycVdyDD

l

l

ρ

ρ

ρ

Vidimo da su nam potrebni aerodinamički koeficijenti profila da bi smo odredili aerodinamičke sile

i moment koji djeluju na krilo.

5-3

5.2 Krilo u nestlačivoj struji zraka

5.2.1 Utjecaj krajeva krila

Prvo ćemo se pozabaviti fizičkom slikom optjecanja konačnog krila. Promatrajmo napadni rub krila

(slika 5-2). Zbog pozitivnog napadnog kuta na donjoj strani krila imamo nad tlak, a na gornjoj pod

tlak. Jasno je da zrak s donje strane koji se nalazi u nad tlaku ima tendenciju da preko rubova krila

dođe na gornju stranu gdje manji tlak. Zato zrak na donjoj strani ima jednu bočnu komponente od

sredine krila prema kraju, a sa gornje strane od kraja prema sredini.

gornja strana

donja strana

napadni rub

napadni rub

izlazni rub

nad tlak

pod tlak

Slika 5-2

Promatrajmo sad izlazni rub. Na izlaznom rubu u svakoj točki s gornje strane zrak ima jednu

komponentu od kraja prema sredini krila i obrnuto s donje strane od sredine prema kraju krila. To

znači da u svakoj točki izlaznog ruba pored izlazne brzine imamo i jedan mali vrtlog koji leži na toj

strujnici (slika 5-2). Ti vrtlozi imaju (gledano u izlazni rub) pozitivan smjer na desnoj polovini i

obrnuto negativan smjer na lijevoj polovini izlaznog ruba. Oni čine vrtložnu plahtu iza krila

(downwash). Od krajeva krila prema sredini poprečna brzina zraka se smanjuje pa su vrtlozi koji

5-4

silaze na izlaznom rubu krila najjači na vrhu krila i slabe po intenzitetu prema sredini krila. Ti

vrltozi djeluju jedan na drugog pa se posle nekog prijeđenog puta iza krila, vrtložne niti s desne

polovice izlaznog ruba udružuju u jedna pozitivni vrtlog, a vrtložne niti s lijeve polovice u jedan

negativni vrtlog. Tako slika optjecanja krila u subsoničnom optjecanju ima oblik kao na slici 5-3.

krilo

vrtložna plahta

vrtlogvrtlog

izlazni rub

Slika 5-3

I u slučaju krila u subsoničnom letu kao i u slučaju krila u supersoničnom letu zbog ovih optjecanja

oko krajeva krila bit će aerodinamički koeficijenti uzgona krila manji od aerodinamičkih

koeficijenata profila, ali će isto tako i aerodinamički koeficijent otpora krila biti manji od

aerodinamičkog koeficijenta profila.

5.2.2 Prandtlov model

U presjeku 0>y oko profila postojat će cirkulacija zraka Γ sa središtem na prvoj četvrtini tetive.

U bliskom presjeku dyy + cirkulacija će biti izmijenjena Γ−Γ d . Iz šnite krila između y i dyy +

na desnoj polovini krila ( 0>y ) izlazi jedna vrtložna nit Γd kada je napadni kut 0>α . Isto tako na

suprotnoj strani krila 0<y ulazi jedna vrtložna nit Γd . Tako vrtlog od lijevog kraja krila raste do

najveće vrijednosti u korijenu krila da bi opet opadao do desnog kraja krila. S lijeve strane utiču

vrtložne niti, a s desne strane ističu, ako je napadni kut pozitivan i suprotno.

5-5

Od presjeka do presjeka cirkulacija se mijenja tj. ona je funkcija presjeka ( )yΓ . Ta

cirkulacija je ista na lijevoj strani ( )y−Γ kao na desnoj strani ( )y+Γ , a mijenja znak ovisno o

napadnom kutu. Kada je napadni kut pozitivan intenzitet glavnog vrtloga (cirkulacija Γ ) je

negativna i obrnuto. Iza krila stvara se površina vrtložnih niti. Svaka vrtložna nit leži na strujnici

koja polazi iz izlaznog ruba krila.

x

∞V

α

ΓΓ Γ−Γ d

y dyy +

z

x

y

( )dyyd Γ′=Γ

Slika 5-4

Intenzitet jedne vrtložne niti koja izlazi iz ruba krila na mjestu y

dyd Γ′=Γ

gdje je ( )yΓ′ gustoća vrtloga. Problem određivanja aerodinamičkih koeficijenata svodi se na

određivanje funkcije ( )yΓ . tj. na određivanje promjene cirkulacije po razmahu krila. U ovom

Prandtlovom modelu imamo jedan vezani vrtlog (bound vortex) na prvoj četvrtini tetive krila, koji

je okomit na brzinu iz beskonačnosti i slobodne vrtloge (free-trailing vortex) ili vrtložne niti koje

polaze od vezanog vrtloga i leže na strujnicama. One čine vrtložni trag krila, ili vrtložnu plahtu.

5-6

ΓdΓd

Vezani vrtlog

Vrtložne niti ili slobodni vrtlozi

Slika 5-5

U Prandtlovom modelu promatrano krilo može biti bilo kojeg oblika, ali geometrijsko

mjesto prve četvrtine tetiva mora biti pravac okomit na ravan napadnog kuta. Tako je na slici 5-6

nacrtano eliptično krilo. Ako je krilo eliptično krilo, znači da se veličina tetive mijenja po

eliptičnom zakonu

( )2

21

−=

bycyc r

ali geometrijsko mjesto 41 tetive mora biti okomito na ravan napadnog kuta kao na slici 5-6.

b

x

x

y

4c

4c3

Slika 5-6

U presjeku y , jedna bilo koja nit na mjestu η , stvara brzinu (slika 5):

( ) ( )yd

yddw

−Γ′

=−Γ

=ηπη

ηπ 44.

5-7

y

x

η

∞V

dwηdd Γ′=Γ

Slika 5-7

Od svih vrtložnih niti, ili od vrtložne plahte koju čine te vrtložne niti, u presjeku y pojavit će se

brzina

∫− −

Γ′=

2

241 b

bind y

dwη

ηπ

Ta brzina je okomita na raspon krila i na neporemećenu brzinu. Zbog te dopunske brzine mijenja se

slika optjecanja u presjeku y jer je brzina optjecanja profila zbroj indwV rr+∞ , tj. na brzinu iz

beskonačnosti treba dodati tu "induciranu brzinu" (slika 5-8). Prema teoriji profila α je kut između

neporemećene brzine i tetive profila. Međutim zbog poremećaja w brzina optjecanja profila je

izmijenjena, pa je napadni kut profila u presjeku izmijenjen.

Ako s rα označimo kut između korijene tetive krila i brzine u beskonačnosti, u presjeku y

treba ga povećati za ( )yα∆ zbog uvijanja krila (kut između lokalne tetive i korijenske tetive), a

zatim ga promijeniti za ∞V

warctg . Kako je odnos ∞Vw mali broj bit će taj kut jednostavno:

( )∞

−∆+Vwyr αα .

w cαα ∆+r∞V

∞Vw

∞

−∆+Vw

r αα

Slika 5-8

5-8

Zato u presjeku y profil ima koeficijent uzgona

( ) ( ) ( ) ( )

−−∆+=

∞

yV

ywyyac 00 αααl

gdje su 0a i 0α poznate značajke profila, koje su općenito od presjeka do presjeka različite tj.

( ) ( )yya 00 ,α . To znači da se u tom presjeku stvara aerodinamička sila (po jedinici raspona) okomita

na vektorski zbroj indwV rr+∞ , a po intenzitetu:

−−∆+⋅⋅

∞

∞∞00

2

12

αααρ

VwacV .

S druge strane ta aerodinamička sila (po jedinici raspona) prema teoremu Kutta - Žukovski mora

biti jednaka produktu Γ∞∞Vρ . Izjednačavanjem te dvije veličine dobivamo:

−−∆+⋅=Γ

∞

∞∞∞∞ 00

2

2αααρρ

VwacVV r ,

( )000

22ααα −∆+⋅=

⋅+Γ ∞

racVwac

ili poslije zamjene w u ovisnosti od promjene cirkulacije po razmahu

( ) ( )00

2

2

0

241

2ααα

ηηη

π−∆+⋅

⋅=

−Γ′

⋅⋅

+Γ ∞−∫ r

b

b

acVydac

To je tzv. Prandtlova jednadžba.

5.2.3 Osnovno i dopunsko opterećenje

Uočimo da se ova jednadžba može podijeliti na dvije jednadžbe ako stavimo da je

( ) ( ) ( )yyy ab Γ+Γ=Γ

s tim da )(ybΓ predstavlja opterećenje zbog uvijanja krila i zakrivljenosti profila te zadovoljava

jednadžbu

( ) ( )00

2

2

0

241

2αα

ηηη

π−∆⋅

⋅=

−Γ′

⋅⋅

+Γ ∞−∫

acVydac b

b

bb

a ( )yaΓ predstavlja opterećenje ne uvijenog krila i ne zakrivljenog profila, samo zbog napadnog

kuta (konstantnog po razmahu) te zadovoljava drugu jednadžbu

( )α

ηηη

π⋅

⋅=

−Γ′

⋅⋅

+Γ ∞−∫ 24

12

02

2

0 acVydac b

b

aa

5-9

Upotrijebili smo riječ "opterećenje" zato što iz teoreme Kuta Žukovskog u presjeku y imamo silu po

jedinici raspona (N/m) u presjeku y

Γ= ∞∞VF ρ

Prema tome polu-krilo kao konzola ima kontinuirano aerodinamičko opterećenje koje je

proporcionalno cirkulaciji u presjeku y . Potrebno je cirkulaciju pomnožiti s neporemećenom

brzinom i gustoćom zraka da bi dobili opterećenje. U nekim problemima želimo znati koliki je

aerodinamički koeficijent u nekom presjeku u kome je poznata cirkulacija Γ . Njega određujemo iz

jednadžbe

lccVV ⋅=Γ ∞∞∞∞ 2

2ρρ

Odakle je

∞

Γ=

cVc 2l

5.2.4 Glauertovo rješenje

Rješenje integralne Prandtlove jednadžbe tražimo u obliku Fourierovog reda

∑∞=

=∞=Γ

n

nn nAbV

1sin2 ϑ ,

ϑ

2b

y

ϑπ −

Slika 5-9

5-10

gdje je kut ϑ varijabla određena jednadžbom

ϑcos2by = .

Na desnom kraju krila 0=ϑ , u sredini (korijenu) krila je 2πϑ = , a na lijevom kraju πϑ = . Kad y

raste od lijevog kraja ( od 2b− ) do desnog kraja (do 2b+ ) Glauertova varijabla opada od π do 0.

Jasno je iz fizikalne slike problema da funkcija ( )ϑΓ mora biti parna tj.

( ) ( )ϑπϑ −Γ=Γ

Kako je

( )−

=−=−neparnonzanparnonzan

nnnnnϑϑ

ϑπϑπϑπsinsin

sincoscossinsin

možemo koristiti samo neparne članove reda da bi imali istu cirkulaciju na lijevoj ( ϑπ − ) kao na

desnoj strani krila ( )ϑ . Samo u tom slučaju bit će svi članovi reda isti na desnoj i lijevoj strani krila.

Zato je bolje pisati

∑=

∞=Γm

kk nAbV

1

sin2 ϑ

gdje je 12 −= kn . Npr.

( )K++++=Γ ∞ ϑϑϑϑ 7sin5sin3sinsin2 4321 AAAAbV

U smjenu za glavni vrtlog uveli smo faktor ∞bV2 koji daje dimenziju cirkulacije, tako da su

koeficijenti kA bez dimenzija. Da bi razlikovali vrijednost Glauertove promjenljive ϑ na mjestu y

na kome promatramo induciranu brzinu, od vrijednosti na mjestu niti, Glauertovu promjenljivu za

η označit ćemo sa ϕ . S tim oznakama u jednadžbi

( ) ∫− −

Γ=

2

241 b

b ydyw

ηπ

bit će poslije zamjene promjenljivih ( ∑=

∞=Γm

kk dnnAbVd

1

cos2 ϑϑ )

∑ ∫∑ ∫=

∞

=∞ −

−=−

=m

kk

m

k

k dnnAVdnbnAbVw

1 01

0

coscoscos

coscoscos

22

41 π

π ϑϕϕϕ

πϑϕϕϕ

π

Kako je

πϑϑϕ

ϑϕϕπ

sinsin

coscoscos

0

ndn=

−∫

dobivamo izraz za induciranu brzinu od cijele plahte vrtložnih niti

5-11

∑=

∞−=m

kk

nnAVw1 sin

sinϑϑ

Znak - govori da je inducirana brzina suprotnog smjera od z osi, a njen smjer smo već uzeli u obzir

u integralnoj jednadžbi. Poslije zamjene dobivene vrijednosti za induciranu brzinu u integralnu

jednadžbu

( )000

22ααα −∆+⋅=

⋅+Γ ∞ acVwac

dobivamo:

( )001

0

1 2sinsin

2sin2 ααα

ϑϑϑ −∆+⋅=⋅

⋅+ ∞

=∞

=∞ ∑∑ acVnnAVacnAbV

m

kk

m

kk

ili

( )00

1

0

2sinsin

2sin2 ααα

ϑϑϑ −∆+=⋅

+∑

=

acAnacnnb k

m

k

12 −= kn .

Ova jednadžba se rješava u općem slučaju numerički. Izaberu se m presjeka. Svakom presjeku j

odgovara set poznatih vrijednosti jϑ jjjjj ac ααϑ ∆,,,, 00 za koji možemo napisati gornju

jednadžbu:

( )jjjj

k

m

k j

jjj

acA

nacnnb 0

0

1

0

2sinsin

2sin2 ααα

ϑϑ

ϑ −∆+=⋅

+∑

=

Kada napišemo tu jednadžbu za svaki presjek mj ,,2,1 K= dobit ćemo m takvih jednadžba iz kojih

možemo odrediti m konstanti mAAA ,,, 21 K . S poznatim konstantama bit će funkcija ( )ϑΓ na

primjer za četiri presjeka na polukrilu ( 4=m ):

( )ϑϑϑϑ 7sin5sin3sinsin2 4321 AAAAbV

+++=Γ

∞

.

Obično se uzima 4=m ili 5=m , jer je Fourierov red jako konvergentan.

5.2.5 Bazno i dopunsko opterećenje

Te jednadžbe

( )jjrjj

k

m

k j

jjjj

acA

nacnnb 0

0

1

0

2sinsin

2sin2 ααα

ϑϑ

ϑ −∆+=⋅

+∑

=

možemo rješavati takve kakve su, ili možemo problem razbiti na dva dijela:

5-12

• prvo, tražimo tzv. bazno opterećenje zbog uvijenog krila i zakrivljenog profila kad nema

napadnog kuta korijenske tetive, a zadane su nam funkcije: uvijanje krila ( )yα∆ i

zakrivljenost profila ( )y0α .

( )jjjj

baznok

m

k j

jjjj

acA

nacnnb 0

0

1

0

2sinsin

2sin2 αα

ϑϑ

ϑ −∆=⋅

+∑

=

S tim koeficijentima bmbb AAA K,, 21 određujemo baznu cirkulaciju

∑=

∞=Γm

kkbbazno nAbV

1

sin2 ϑ ,

( 12 −= kn ), a ona određuje specifično bazno opterećenje po razmahu

baznob V

dydF

Γ= ∞∞ρ

Tako dobivamo opterećenje krila kada je napadni kut krila jednak nuli. Ako nema uvijanja

krila, niti zakrivljenosti profila, onda nema ni baznog opterećenja krila.

• drugo, za dopunsko opterećenje zbog napadnog kuta krila α :

rjj

kd

m

k j

jjjj

acA

nacnnb α

ϑϑ

ϑ ⋅=⋅

+∑

= 2sinsin

2sin2 0

1

0

Kako se napadni kut ne mijenja po rasponu, svi koeficijenti reda su proporcionalni

napadnom kutu rkdkd AA α⋅=

2sinsin

2sin2 0

1

0 jjkd

m

k j

jjjj

acA

nacnnb =⋅

+∑

= ϑϑ

ϑ

pa će i cirkulacija biti proporcionalna napadnom kutu kao i specifično opterećenje.

rdr

d

m

kkddopunsko nAbV ααϑ α

α

Γ=⋅

Γ

=Γ ∑=

∞

444 3444 21 1

sin2

Konačno je ukupno specifično opterećenje

( ) ( )αρρρ αdbdopunskobazno VVVdydF

Γ+Γ⋅=Γ+Γ⋅=Γ= ∞∞∞∞∞∞

5-13

5.2.6 Aerodinamički koeficijenti

∞V α

w

dFdL

dDV

indα

Slika 5-10

Na isječak krila dy djeluje elementarna aerodinamička sila

dyVdF Γ= ∞ρ

koja je prema teoremi Žukovskog okomita na brzinu wVV rrr+= ∞ . Tu elementarnu silu razlažemo na

dvije komponente: dD u pravcu brzine iz beskonačnosti i dL okomito na nju. Intenziteti tih

komponenata bit će:

dywVwdyVdFdD

dyVVVdyVdFdL

indi

ind

Γ=Γ==

Γ=Γ==

∞∞

∞∞∞

∞

ρρα

ρρα

sin

cos

Vidimo da postoji elementarna komponenta otpora kao posljedica promjene pravca brzine

optjecanja u presjeku krila. Taj otpor nazivamo inducirani otpor jer je on induciran vrtložnim

nitima. i zato mu obično dodajemo indeks "i"

Integracijom po rasponu dobivamo

( )

( ) ( )∫

∫

−∞

−∞∞

Γ=

Γ=

2

2

2

2

b

bi

b

b

dyyywD

dyyVL

ρ

ρ

Ako u ove jednadžbe izvršimo smjenu varijable y sa ϑ i istodobno unesemo ovisnost cirkulacije od

ϑ u obliku reda bit će

5-14

∫ ∑∑

∫ ∑

⋅

⋅

⋅=

⋅=

∞=

=

∞=

=∞∞∞

∞=

=∞∞∞

0¸

11

0

1

sin2

sinsin

sin2

sin2

sin2

π

π

ϑϑϑϑϑρ

ϑϑϑρ

dbnAnnAVbVD

dbnAbVVL

n

kk

n

kki

n

kk

Poslije sređivanja

∫ ∑∑

∫∑

⋅

=

⋅=

∞=

=

∞=

=

∞∞

∞=

=

∞∞

π

π

π

ϑϑϑρ

ϑϑϑρ

dnAnnAbV

D

dnAbV

L

n

kk

n

kki

n

kk

11

22

0 1

22

sinsin22

sinsin22

a zatim dijelimo sa referentnom silom SV2

2∞∞ρ da bi dobili aerodinamičke koeficijente

∫ ∑∑

∫∑

⋅

⋅=

⋅⋅=

∞=

=

∞=

=

∞=

=

π

π

ϑϑϑ

ϑϑϑ

0 11

0 1

sinsin2

sinsin2

dnAnnAAC

dnAAC

n

kk

n

kkD

n

kkL

i

Kako je

=≠

=⋅∫ 1210

sinsin0 n

ndn

πϑϑϑ

π

bit će

1AACL ⋅= π

∑∞=

=

⋅=n

kkD nAAC

i1

2π

Ova jednadžba za koeficijent induciranog otpora može se staviti u oblik

+⋅⋅=⋅= ∑∑

=

=

∞=

=

ni

k

kn

kkD A

AnAAnAACi

221

221

1

2 1ππ

πAeCC L

Dp

2

= .

gdje je tzv. Oswaldov koeficijent

∑∞=

=

+

=k

k

k

AAn

e

2

2

1

1

1

5-15

5.2.7 Eliptično krilo

Razmotrimo slučaj kao na slici 10 eliptičnog neuvijenog krila ( 0=∆α ), konstantnog profila

( 00 iαa konstante). Za pravu elipsu geometrijsko mjesto 41 tetive nije pravac. Zato svaku tetivu

( )yc povučemo na dolje tako da 4c bude na y osi. Takav oblik krila ima strijelu 041 =Λ , a

duljinu tetive c ovisno o mjestu presjeka y ima eliptičnu promjenu:

ϑsin2

12

rr cb

ycc =

−=

( )yc

( )yc y

Slika 5-11

gdje je 0c tetiva u korijenu krila. Na ovo krilo možemo primijeniti Prandtl.Glauertovu teoriju i ono

se može analitički riješiti. Opća jednadžba za slučaj ne uvijenog krila ima oblik

( )00

1

0

2sinsin

2sin2 αα

ϑϑϑ −=⋅

+∑

=

acAnacnnb k

m

k

12 −= kn .

Površina eliptičkog krila je bcS r4π

= , pa je vitkost

rr cb

bcb

SbA

ππ44 22

=== ,

a duljina tetive u presjeku ϑ je ϑsinrcc =

5-16

( )0r0

k1k

r0

2caAn

2cannb2 ααϑ

ϑϑϑϑ −=⋅

+∑

=

sinsin

sinsinsin .

Podijelimo jednadžbu sa 2rc

( ) ( ) ϑααϑπ sinsin 00

n

1kk0 anAnaA −=+∑

∞=

=

Da bi ta jednadžba bila točna za sve vrijednosti kuta ϑ mora biti

( ) ( )0010 ααπ −=+ aAaA

032 ===== KK kAAA

ili

( )0

001 aA

aA+−

=π

αα

To znači da je za eliptično krilo cirkulacija po rasponu krila

( )ϑ

παα

sin20

00

aAa

bV+−

=Γ ∞

ili

2

0 21

−Γ=Γ

by

To je eliptični raspored cirkulacije gdje je

( )0

000 2

aAa

bV+−

=Γ ∞ παα

Inducirana brzina u slučaju eliptičkog krila

11 sin

sin AVnnAVwn

kk ∞

∞=

=∞ == ∑ ϑ

ϑ

što znači da je ona jednaka po rasponu, a proporcionalna kutu 0αα − . Konačno iz ove jednadžbe

slijedi da je u slučaju eliptičnog krila∞

=VwA1 , što znači da je 1A jednako promjeni napadnog kuta

u presjeku krila.

Zamjenom vrijednosti koeficijenta za 1A i 02 === mAA L u jednadžbe za aerodinamičke

koeficijente, te poslije sređivanja dobivamo

( )

π

αα

Aa

aCL

0

00

1+

−=

5-17

πACC L

Di

2

=

To znači da je za eliptično krilo Oswaldov koeficijent 1=e .

5.2.8 Program i primjer

Napravili smo program kojim određujemo dopunsko opterećenje trapeznog krila prema

jednadžbama:

2sinsin

2sin2 0

1

0 jjkd

m

k j

jjjj

acA

nacnnb =⋅

+∑

= ϑϑ

ϑ

1ϑ2ϑ

3ϑ

4ϑ

5ϑ

1c 2c 3c 4c 5c

Slika 5-12

gdje smo stavili da je αkk AA −= . Uzmimo pet presjek a za vrijednosti Glauertove varijable ϑ od

2π do 0.

( )142

2−−= jj

ππϑ

Gornju jednadžbu možemo napisati matrično

5-18

=

⋅

5

2

1

5

2

1

555251

252221

151211

B

BB

A

AA

aaa

aaaaaa

K

K

K

K

KK

KKKKK

KKKKK

KK

KK

gdje je

( ) ( )j

jjjjkj

nacnnba

ϑϑ

ϑsin

sin2

sin2 0+=

20j

jj

caB =

Za ovako izabrane vrijednosti bit će za 5=j

0sin0sin

sinsin

5

5 nn=

ϑϑ

Primjenom Lopitalovog pravila taj razlomak ima vrijednost

nnnn=

⋅=

0cos0cos

sinsin

5

5

ϑϑ .

Zato se koeficijent jka za 5=j računa prema jednadžbi

( )2

sin2 02 jjjkj

acnnba += ϑ

Taj program u MATLABu pod imenom Prandtl.m nalazi se na direktoriju disketa. Kao primjer

uzeli smo pravokutno neuvijeno ( ) 0=∆ yα i nezakrivljeno ( ) 00 =yα krilo:

raspon mb 15=

tetiva mc 5.1=

profil ploča π20 =a

Odrediti raspored cirkulacije i opterećenja po razmahu i aerodinamičke koeficijente

Raspored cirkulacije po rasponu dobit ćemo iz jednadžba

( ) ( )∑=

=∞=Γ

mn

njnj nAbV

1

sin2 ϑα

a mi ćemo nacrtati funkciju slika 4-12

( )∑=

=∞

⋅=Γ mn

njn

j nAbV 1

sin2 ϑα

Dobiveni su koefficijenti:

5-19

004.0,0019.0,0065.0,0253.0,1606.0=nA

i izračunava gradijent koeficijenta uzgona αLC i 2αDC prema jednadžbama

04.51 =⋅= AACL πα

878.01

22 =⋅= ∑

∞=

=

n

kkD

AnACi

πα

Slika 5-13

5.3 Metoda noseće linije

Glavni je uvjet primjene Prandlovog modela da geometrijsko mjesto točaka koje se nalaze na prvoj

četvrtini tetive bude pravac okomit na ravna simetrije krila xz. Drugim riječima kažemo da strijela

041 =Λ . Ukoliko iz bilo kojih razloga želimo krilo koje ne ispunjava taj uvjet potrebna nam je

druga metoda. Zato je razvijena tzv. metoda noseće linije ili Weisingerova metoda.

5-20

5.3.1 Princip metode noseće linije (Weissinger)

Ako u Glauertov model ili u model strelastog krila (slika 13) promatramo dva susjedna presjeka

onda na granici između njih izlazi jedna vrtložna nit

ii Γ−Γ=∆Γ +1

Tu jednu nit (slika lijevo) možemo zamisliti kao rezultantu dvaju vrtloga: vrtloga s lijeve strane

granice i vrtloga s desne strane granice. Time smo prekinuli vezani vrtlog na granici. Vrtlog koji

dolazi s lijeve strane iΓ odlazi u beskonačnost, a iz beskonačnosti dolazi 1+Γi i nastavlja se protezati

po jednoj četvrtini tetiva. iΓ koji odlazi u beskonačnost i 1+Γi koji dolazi iz beskonačnosti protežu se

istom putanjom niti ∆Γ (slika 5-14desno).

x

y

iΓjC1+Γi

∆Γ x

y

jC 1+Γi

1+ΓiiΓ

iΓ

Slika 5-14

Ako tako svaku nit promatramo kao rezultantu dva vrtloga onda dobivamo model na slici 5-15.

y

iΓjC

x

Slika 5-15

5-21

Polu-krilo podijelimo na m segmenta kao na slici 14. Svakom segmentu pridružimo jedan Π vrtlog

intenziteta iΓ čiji centralni dio leži na 41 tetiva tog segmenta, a bočni kraci su u pravcu brzine leta

(ili na površini segmenta)

5.3.2 Brzina inducirana П vrtlogom

Postavimo koordinatni sustav tako da je os x u pravcu i smjeru neporemećene brzine, a os y u

pravcu raspona krila. To znači da je ort xnr u pravcu i smjeru neporemećene brzine. Ishodište može

biti u vrhu krila ili u vrhu glavnog vrtloga. Vrtlog bilo kojeg segmenta "i" inducira u bilo kojoj

kontrolnoj točki "j" brzinu ijVr

. Podijelimo П vrtlog na tri djela od beskonačnosti u pravcu

neporemećene brzine do točke A, od A do B i od B do beskonačnosti u pravcu neporemećene brzine

kao na slici 15. Vrtlog Γ je na sva tri djela konstantan. Ort x osi xnr je ort neporemećene brzine

C

A

B

2rr

2hy

x

Bϑ

Slika 5-16

Treći dio od B do beskonačnosti u točki C inducira brzinu (vidi poglavlje o Biot -

Savartovom zakonu) koja je u pravcu i smjeru orta znr (ort vektorskog produkta neporemećene

brzine i vektora BC ).

( )1cos4 2

2 +⋅Γ

= Bz hnV ϑ

πrr

Prema jednadžbama

,sincos

222

22

hnrnrnrrn

zBzx

Bxrrrr

rr

==×=⋅

ϑϑ

bit će

5-22

( )1cos4 22

22 +

⋅Γ×

= Bx

hhrnV ϑ

π

rrr.

Kako je

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222

22

2

2

22

2

22

1cos11

cos1sinsin

cos1cos11cos

rnrrrrhh xBBB

B

B

BBrr⋅−

=−

=−

=−

−=

+ϑϑϑ

ϑϑϑϑ ,

bit će konačno

( )222

22 4 rnrr

rnVx

xrr

rrr

⋅−×Γ

=π

Analogno tome bit inducirana brzina od prvog dijela П vrtloga od beskonačnosti do točke A

( )111

11 4 rnrr

rnVx

xrr

rrr

⋅−×Γ

−=π

gdje je 1r udaljenost točke C od točke A, kao što je 2r udaljenost točke C od točke B. Ona je

suprotnog znaka jer je vrtlog na tom dijelu suprotnog smjera.

Za srednji dio П vrtloga inducirana brzina u točki C iznosi prema Biot-Savartovom zakonu

( )BAz hnV ϑϑ

πcoscos

4 00 −

⋅Γ

−=rr

Označimo vektor ABr =0r , onda je prema slici 17

.

coscos

rrrrn

rhnrrrrrrrrrr

1

21z

00z21

B2020

A1010

rr

rrr

rrr

rr

rr

××

=−

−=×=⋅=⋅

ϑϑ

C

A

B0rr

0h2rr

1rr

BϑAϑ

x

y

Slika 5-17

5-23

Pomoću tih relacija gornju jednadžbu za 0Vr

transformiramo u vektorski oblik

−⋅

×

×Γ=

⋅−

⋅××Γ

=

⋅−

⋅Γ××

=2

2

1

102

1

21

2

20

1

10

001

21

20

20

10

10

01

210 4

14

14 r

rrrr

rrrr

rrr

rrr

rhrrrr

rrrr

rrrr

hrrrrV

rrr

rr

rrrrrr

rr

rrrrrr

rr

rrr

πππ

Iz ove jednadžbe se može eliminirati vektor 0rr . Zamjenom u ovu jednadžbu da je 210 rrr rrr

−=

dobivamo:

( )

( )

( )

( )212121

21

22

21

21

222

21

21

2121222

21

2

2

1

12

1

21

2

2

1

12

1

0

cos1

cos1sin

coscossin1

rrrrrrrr

rrrr

rrrr

rrrrrr

rr

rr

rrrr

rr

rr

rrr

rr

rr

rr

rrrr

rr

r

⋅++

=

++

=

−+

=

+−−=

−⋅

×

−=

−⋅

×

ϑ

ϑϑ

ϑϑϑ

S ovom transformacijom jednadžbu za induciranu brzinu 0Vr

može se staviti u oblik

( ) 21212121

210 4

rrrrrrrr

rrV rrrr

r×

⋅++Γ

=π

Konačno П vrtlog Γ inducira u točki C brzinu wr koja je zbroj triju brzine od tri dijela П vrtloga

( )( )( )

( ) ( )222

2

212121

2121

111

1

444 rnrrrn

rrrrrrrrrr

rnrrrnw

x

x

x

xrr

rr

rr

rr

rr

rrr

⋅−×Γ

+⋅+×+Γ

+⋅−

×Γ−=

πππ

Tako je inducirana brzina proporcionalna intenzitetu П vrtloga

Γ⋅= Bwrr

gdje je vektor

( )( )( )

( ) ( )

⋅−

×+

⋅+×+

+⋅−

×−=

222

2

212121

2121

111

1

41

rnrrrn

rrrrrrrrrr

rnrrrnB

x

x

x

xrr

rr

rr

rr

rr

rrr

π

Podsjetimo se da su u ovoj jednadžbi vektori: CAr =1r i CBr =2

r . U prilogu je napravljena funkcija

u MATLABu pivrtlog.m koja izračunava vektor Br

. Ulazni podatci za tu funkciju su koordinate

točaka A, B, C, a u funkciji je stavljeno da je ort trećeg dijela П vrtloga u pravcu i smjeru x osi.

5.3.3 Određivanje intenziteta П vrtloga Γ1 , Γ2 , ... , Γm

Optjecanje krila zamjenjujemo sa m П vrtloga mΓΓΓ ,,, 21 K , ali njihovi intenziteti su još nepoznati.

Da bi ih odredili trebaju nam m rubnih uvjeta.

5-24

• Planarno krilo sa simetričnim profilom

Ako je oblik krila ravanski, tj. sve tetive leže u jednoj ravni kažemo da je krilo planarno .

Inducirana brzina u točki C na udaljenosti h bit će h2π

Γ , a kako je intenzitet vrtloga određen

jednadžbom:

2c

4c

c

∞V

α

αsin∞V

cπΓ

Γ

Slika 5-18

αρ

ρ 0

2

2acVV ∞∞

∞∞ =Γ

α0ac2

V∞=Γ

bit će inducirana brzina u točki C

h4Vacw 0

πα∞=

Ako je točka C udaljena od vrtloga π2

a2ch 0= onda je u njoj inducirana brzina α∞=Vw , što znači

da je u točki C na udaljenosti π2

a2ch 0= ispunjen rubni uvjet, jer kad se vektorski zbroji ova

inducirana brzina s neporemećenom brzinom dobiva se rezultanta paralelna tetivi.. Tako

zaključujemo da je kod simetričnog profila rubni uvjet ispunjen na udaljenosti π220ac od noseće

linije, a to znači da kontrolne točke treba postaviti na udaljenosti od napadnog ruba kao na slici 5-

19.

π2240acc

⋅+ .

5-25

U slučaju planarnog krila normale svih segmenata su okomite na ravan krila. Imamo ukupno m П

vrtloga mΓΓΓ ,,, 21 K . Svaki od njih inducira brzinu ijwr u točki jC .

iijij Bw Γ=rr

Tako će svih m iΠ vrtloga inducirati u točki jC ukupnu induciranu brzinu jwr

∑=

Γ=m

iiijj Bw

1

rr

0Λ

SΛ

CΛ

4rc

π220acr

rc

tc

4tc

π220act

C

12

2b

Slika 5-19

Sve inducirane brzine su okomite na ravan krila, pa se ova vektorska jednadžba svodi na skalarnu

jednadžbu

∑=

Γ⋅=m

iiijj Bw

1

Zbroj ukupne inducirane brzine od svih П vrtloga jw u kontrolnoj točki jC i normalna

komponenta brzine iz beskonačnosti αsin∞V , mora biti jednak nuli prema rubnom uvjetu u toj

točki

5-26

α

∞V

jC

ijw

iΓ

Slika 5-20. Planarno krilo

αsin1

∞=

−=Γ∑ VBm

iiij

Takvu jednadžbu možemo napisati za svaku kontrolnu točku, a to znači m jednadžba za m

nepoznatih П vrtloga koje možemo napisati u matričnom obliku gdje je J jedinični stupac:

JB αsin∞−=Γ⋅ V

Iz ove jednadžbe bit će

( )JB 1 ⋅−=Γ −∞ αsinV .

Zgodno je uvesti bezdimenzionalnu cirkulaciju G

( ) ( ) ∞∞

Γ=

Γ=

VbVbG

2sin2α

α

• Uvijeno krilo

U ovom slučaju svaki segment je u drugoj ravnini, ali svaki segment i dalje ima profil jedne ploče

(stepenasto uvijanje). I dalje važi rubni uvjet u kontrolnoj točki. Za razliku od planarnog krila,

svaka kontrolna točka ima svoj ort normale jnr koji je okomit na ravan tog segmenta. Obično je

uvijanje krila proporcionalno razmahu i opada od korene tetive prema vršnoj tetivi, tako da je

napadni kut u presjeku

ykr −=αα

5-27

gdje je 2b

k tr αα −= . Napadni kut krila mjerimo na korenoj tetivi krila duž koje je postavljena x os

kordinatnog sustava

( ) ( )yy ααα ∆+= ∞

gdje je yk ⋅−=∆α .

• Dihedral krilo

Ako imamo i dihedral kut φ bit će komponente orta normale na segment (prema lit. [7])

( ) ( ) [ ] [ ]φαφφαφα coscossincossin100 ⋅∆⋅∆−=⋅⋅∆= Txyj LLn

U pravcu te normale rubni uvjet mora biti zadovoljen

0=⋅+⋅ ∞∑ jm

jij nVnw rrrr

ili

( ) ∞=

⋅−=Γ⋅∑ VnBn j

m

iiijj

rrrr

1

I u ovom slučaju imamo m jednadžba iz kojih možemo odrediti m nepoznatih П vrtloga

mΓΓΓ ,,, 21 K .

• Zakrivljeni profil krila

Kada profil krila ima zakrivljenost onda više nemamo rubni uvjet da je inducirana brzina u točki na

43 tetive jednaka normalnoj komponenti brzine iz beskonačnosti. U tom slučaju treba izvršiti

diksretizaciju i po tetivi (dvostruka podjela krila), da bi mogli svaki segment opet zamijeniti s

pločom i na njoj promatrati П vrtlog na četvrtini njene tetive i kontrolnu točku na 43 njene tetive u

kojoj mora biti ispunjen rubni uvjet. Time prelazimo u tzv. 3D panelne metode.

5.3.4 Aerodinamički koeficijenti krila

Promatramo presjek ds okomit na geometrijsko mjesto 41 tetive. U tom presjeku profil je optjecan

iz beskonačnosti brzinom 41cosΛ∞V . Druga komponenta je okomita na presjek i nema

aerodinamičkog efekta. Prema teoremi Žukovskog u presjeku djeluje elementarna aerodinamička

sila

5-28

41Λdy

ds

x

iDd ′idD

Slika 5-21

( ) dssVdF 41 ⋅ΓΛ= ∞∞ cosρ

koja je okomita na zbroj komponente brzine 41cosΛ∞V i inducirane brzine w u tom presjeku. (slika

22) . U ravnini presjeka razlažemo elementarnu aerodinamičku silu Fdr

na Ld ′r

okomito na

komponentu brzine 41cosΛ∞V i iDd ′r

u pravcu te brzine.

dFdL

iDd ′

w

41cosΛ∞V

Slika 5-22

( ) dsswV

wdFDd

dyVdsVdFLd

i ⋅Γ=Λ

=′

⋅Γ=⋅ΓΛ=≈′

∞∞

∞∞∞∞

ρ

ρρ

41

41

cos

cos

Kako je elementarni uzgon dL okomit na 41cosΛ∞V i na element ds on je paralelan s ravninom

simetrije krila dLLd ≡′ ,

5-29

∫−

∞∞ Γ=2

2

b

b

dyVL ρ

Iz ovih jednadžba bit će koeficijent uzgona

( )( )

∫∫

− ∞∞∞

−∞∞

Γ=

Γ

=2

22

2

2 2

2

b

b

b

bL dy

Vy

SSV

dyyVC

ρ

ρ

Koristimo oznaku 2bV

G⋅Γ

=∞

α za bezdimenzionalni gradijent cirkulacije, a to znači da je

αGVb∞=Γ

2

S tom oznakom bit će

( ) ( )∫∫∫∫ ⋅====

−− ∞

∞

− ∞

1

0

1

1

1

12

2

2 22222 ydGAydGAydbV

GVbb

AdyV

yS

Cb

bL

αα

Γ

U slučaju konačnih razlika bit će m

by 2=∆ , pa je

mbyy 12==

∆∆ . Zato je

m

GAC

m

jj

L

∑== 1

α

Elementarni otpor moramo razložiti na otpor 41cosΛ′= ii DddD u pravcu brzine iz beskonačnosti

∞V i komponentu okomiti na ravan simetrije krila (u pravcu raspona krila) 41sinΛ′iDd . Ova druga

se poništava s istom takom komponentom na drugoj polovici krila.

∫∫∫∫ ∞−

∞−

∞−

==⋅=′=2

0

2

2

2

241

2

241' 2coscos

bb

b

b

b

b

bi dywdywdswDdD ΓρΓρΛΓρΛ

Koeficijent induciranog otpora bit će

( )∫∫∫∫

∫∞∞∞

∞

∞∞∞∞∞

∞

===Γ

=Γ

=1

0

1

0

1

02

2

02

2

0

2244

2

2ydG

VwAydG

VwAydb

VGVb

Vw

bAdy

VVw

SSV

dywC

b

b

Dind αααρ

ρ

∑∑= ∞= ∞

==m

jj

jm

jj

jindD G

Vw

mA

mG

Vw

AC11

1 αα

U jednadžbi za inducirani otpor pojavljuje se inducirana brzina. To je inducirana brzina na 41

tetive i ona određuje inducirani kut u presjeku

5-30

∞

=Vwind

indα

U slučaju trapeznog krila kroz tu točku prolaze svi centralni dijelovi od П vrtloga od te polovine

krila na kojoj je točka, što znači da induciranu brzinu stvaraju samo njihovi kraci, a od suprotne

polovine krila kompletni П vrtlozi induciraju brzinu. Zato smo napravili novu rutinu trag.m koja u

točkama na sredini svakog segmenta a na 41 tetive računa induciranu brzinu od krakova П vrtloga.

Ulazni parametri su opet isti: koordinate točaka A i B (vrhovi П vrtloga) i koordinate točke u kojoj

želimo induciranu brzinu. S tom rutinom određujemo vrijednosti inducirane brzine na toj polovici

krila a sa rutinom pivrtlog.m određujemo inducirane brzine od suprotne polovice krila

∑=

Γ⋅=m

iiijj Dw

1

U ovoj jednadžbi ijD je inducirana od krakova jediničnog П vrtloga na polovini krila gdje je

segment "j"segmentu ili od kompletnog jediničnog П vrtloga s druge polovice krila. Dijeljenjem

ove jednadžbe sa brzinom iz beskonačnosti i ako se poslužimo bezdimenzionalnim gradijentom

vrtloga ( ) α∞

Γ=

VbG

2 dobivamo

∑ ∑= =∞∞

=⋅=Γ

⋅=m

ij

m

iiij

iij

j gGDbV

DVw

1 12αα ,

gdje smo uveli oznaku

∑=

=m

iiijj GDbg

12.

Zamijenimo ovaj rezultat u gornju jednadžbu

∑= ∞

=m

jj

jindD G

Vw

mAC

1

α

Dobit ćemo

m

GgA

m

GgAC

m

jjj

m

jjj

indD

∑∑== === 121 α

αα

Zato što je koeficijent induciranog otpora proporcionalan kvadratu napadnog kuta iz bekonačnosti

uvodimo oznaku 2αDC za taj koeficijent proporcionalnosti

22ααDindD CC =

gdje je

5-31

m

GgAC

m

jjj

D

∑=

⋅= 1

2α

5.3.5 Primjer

Zadano je strelasto krilo

mb 10= , mc 2= 1=λ 20 45=Λ

Naći funkciju LC

cl i usporediti izračunate vrijednosti s izmjerenim.

α 0 3.5 6 11.5 17.5 26 36.5 47 64 67.5

LCcl 0.986 1.014 1.05 1.07 1.06 1.06 1.05 1.05 0.808 0.723

Rješenje

U ovom slučaju površina krila je cbS ⋅= . U programu su izračunati koeficijenti po jednadžbama

( )

( ) ∑∫∫∫=∞

∞

∞

∞

∞

∞ ===Γ

Γ

= m

jj

bbL G

Gm

yGd

G

dyV

GVbbc

cVGVb

dyVS

cVCc

1

1

0

2

0

2

0

24

22

4

2

α

α

l

Slika 5-23

5-32

Program je napisan u MATLABu. Zove se Weissinger.m za planarno krilo. Nalazi se u

direktoriju disketa. Za zadane ulazne podatke dobiveni su rezultati

Na slici 2.3-8 prikazana je funkcija

∑=

= m

jj

L G

GmCc

1

l

i izmjeren točke. Izračunati su aerodinamički koeficijenti

618.020.3

2 ==

α

α

D

L

CC

5.4 Utjecaj stlačivosti zraka - teorija malih poremećaja

5.4.1 Parcijalna diferencijalna jednadžba potencijala malih poremećaja brzina

Polazeći od općih jednadžba izentropskog neviskoznog optjecanja zraka kao stlačivog fluida

( )

constp

pgraddtVd

Vdiv

=

−=

=

γρ

ρ

ρr

r0

isto kao za ravansko strujanje možemo izvesti prostornu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu

potencijala poremećene brzina ( )zyx ,,φ .

( ) ( ) ( ) 0222222

2

222

2

222

2

222 =

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂∂

+∂∂

−+∂∂

−+∂∂

−vx

uvxz

wuzy

vwz

awy

avx

au φφφφφφ

wvu ,, su komponente poremećene brzine u polju oko krila, a φ je potencijal optjecanja krila tj.

xu

∂∂

=φ

yv

∂∂

=φ

zw

∂∂

=φ

Ako smo x os postavili u pravcu i smjeru neporemećene brzine ∞V , a sa wvu ˆ,ˆ,ˆ označili poremećaje

komponenata brzine koje je stvorilo optjecanje krila onda su

wwvv

uVu

ˆˆ

ˆ

==

+= ∞

jer prije optjecanja krila nisu postojale druge dvije komponente. Namjesto potencijala poremećene

brzine ( )zyx ,,φ , uvodimo potencijal poremećaja brzina ( )zyx ,,φ̂

5-33

xu

∂∂

=φ̂ˆ

yv

∂∂

=φ̂ˆ

zw

∂∂

=φ̂ˆ

što znači da je potencijal premećene brzine u polju oko krila

xV

x ∂∂

+=∂∂

∞φφ ˆ

yy ∂∂

=∂∂ φφ ˆ

zz ∂∂

=∂∂ φφ ˆ

Zamjenom ovih vrijednosti za potencijal brzine u parcijalnu diferencijalnu jednadžbu potencijala

poremećene brzina φ , te ako pretpostavimo

• da su poremećaji brzina wvu ˆ,ˆ,ˆ male veličine u odnosu na neporemećenu brzinu ∞V i

• da je Ma različit od 1,

poslije zanemarivanja malih veličina drugog i višeg reda dobivamo

( ) 0ˆˆˆ

1 2

2

2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

−zyx

Ma φφφ ,

tzv. lineariziranu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu potencijala poremećaja brzina.

Koeficijent tlaka dobivamo iz linearizirane Eulerove jednadžbe koju smo izveli u poglavlju

4.3.5.

2

222 ˆˆˆˆ2

∞∞

++−−=

Vwvu

VuC p

U teoretskim razmatranjima obično zanemarimo drugi dio na desnoj strani kao malu veličinu višeg

reda, onda je

xVC p ∂

∂−=

∞

φ̂2

međutim u numeričkim proračunima ta zanemarivanje ne treba vršiti jer su poremećaji brzine u

blizini napadnog ruba nezanemarljivi. Kad je određen koeficijent tlaka, koeficijent uzgona i

induciranog otpora stvoreni raporedom tlaka po površini krila određuju se jednadžbama:

∫ ∫∫−−∞

⋅=⋅==2b

2bp

2b

2bL dydxC

S1dyc

S1

SqLC l

∫ ∫∫−−∞∞

⋅−=−==2b

2bp

2b

2bdiDi dydzC

S1dyc

Sq1

SqDC

5-34

5.4.2 Utjecaj stlačivosti

U slučaju tankog krila pod malim napadnim kutom potencijal poremećaja brzina zadovoljava

parcijalnu diferencijalnu jednadžbu

( ) 0ˆˆˆ

1 2

2

2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

− ∞ zyxMa φφφ

i rubni uvjet (slika 24)

ϑϑφφ tantanˆˆ

∞∞ ≈

∂∂

+=∂∂ V

xV

z

Ako u parcijalnoj diferencijalnoj jednadžbi izvršimo smjenu

βxx =1

x

y

y

b0c

0Λ

β0

0Λ

=Λtanarctan

β0c

1x

Slika 5-24. Lijevo - zadani oblik krila, desno - preslikano krilo

a druge dvije varijable zadržimo iste i potencijal poremećaja zadržimo isti, dobit ćemo Laplassovu

diferencijalnu jednadžbu za potencijal ( )zyx ,,ˆ1φ

5-35

0ˆˆˆ2

2

2

2

21

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zyxφφφ

Prilikom ove transformacije x koordinata je pomnožena sa faktorom β1 . Zbog toga u novim

koordinatama krilo ima oblik kao na slici 5-24 - desno (povećane tetive) odnosno profil preslikanog

krila bit će izdužen (manje relativne debljine) kao na slici 5-25. Taj oblik krila zvat ćemo preslikani

oblik krila i preslikani profil krila. Koordinate zyx ,,1 definiraju preslikani prostor, a to znači da

svakoj točki jednog prostora odgovara točka drugog prostora. Te odgovarajuće točke imaju isto y i

z, a apscise su povezane jednadžbom βxx =1 . U odgovarajućim točkama potencijal φ̂ brojno je

isti kao i koordinata z, pa prema tome ista je i derivacija z∂

∂φ̂ (na slici 5-24 lijevo i desno u

odgovarajućim točkama, a na slici 25 gore i dolje u odgovarajućim točkama).

∞V

x

z

∞V

1x

z

ϑ

1θ

Slika

5-25

U preslikanom prostoru potencijal zadovoljava Laplassovu jednadžba, to znači da je u preslikanom

prostoru optjecanje nestlačivo ako je ispunjen i rubni uvjet, tj. ako je z∂

∂φ̂ jednako 1V ϑtan∞ gdje 1ϑ

5-36

kut tangente na gornjoj ili donjoj površini krila. (slika 5-25 dolje). U zadanom prostoru (slika 5-25

gore) imamo ispunjeni rubni uvjet ϑφ tanˆ

∞=∂∂ V

zMeđutim rubni uvjet neće biti ispunjen u

preslikanom prostoru jer je ϑϑ ≠1 . Iz jednadžbe preslikavanja βxx =1 slijedi

ϑββϑ tantan ===dxdz

dxdz u

1

u1 .

Kad ovaj rezultat zamijenimo u ispunjeni rubni uvjet

ϑφ tanˆ

∞=∂∂ V

z

dobivamo

βϑφ 1V

ztanˆ

∞=∂∂

što znači da u preslikanom prostoru nije ispunjen rubni uvjet da je z∂

∂φ̂ jednako 1V ϑtan∞ . Da bi u

preslikanom prostoru profil imao isti nagib tangente, moramo preslikati neki drugi profil iz zadanog

prostora. Taj drugi profil treba imati povećanu debljinu u istom omjeru kao što se duljina tijekom

preslikavanja povećava, tj obije dimenzije β1 puta kao na slici 5-26.

x

x 1x

1x

z

z

z

z

Slika 5-26

Krilo koje ima preslikani oblik a isti profil, nazivamo nulto krilo. Ono je optjecano

nestlačivom strujom zraka u preslikanom prostoru. U odgovarajućim točkama zadanog krila i

5-37

nultog krila imamo isti potencijal φ̂ . Parametre nultog krila označavamo indeksom 1. Sa slike

vidimo da nulto krilo ima vitkost i strijelu koji su u odnosu na vitkost i strijelu zadanog krila:

βAA =1 ( )βΛΛ 0

10tantan =

a profil ima isti, pa je 0a nultog krila isto kao zadanog krila. U odgovarajućim točkama zadanog i

nultog krila, bit će koeficijent tlaka:

zadanog krila xV

C p ∂∂

−=∞

φ̂2

nultog krila 1

1

ˆ2xV

C p ∂∂

−=∞

φ

Zato što su u odgovarajućim točkama potencijali isti, a koordinate βxx =1 bit će

β1p

p

CC =

Već smo rekli da je nulto krilo u nestlačivoj struji zraka pa je nspp CC =1 , ali na krilu koje ima

izmijenjenu vitkost βAA =1 i izmijenjene strijelu ( )βΛΛ 0

10tantan = , a profil isti. Iz jednadžbe za

koeficijent uzgona zadanog krila

( )[ ]∫ ∫−

=2

2

,1 b

bpL dydxyxC

SC

i nultog krila

( )[ ]∫ ∫−

=2b

2b111p

11L dydxyxC

S1C ,

poslije zamjene i prelaska na novu varijablu 1x bit će

( ) ( ) ( )[ ]ββ

βββ

12

2111

1

2

21

11

1

,11,1 Lb

bp

b

b

pL

CdydxyxCS

dyxdyxC

SC =

=

= ∫ ∫∫ ∫

−−

pa je

βα

α1L

L

CC =

gdje je gradijent α1LC određen za nestlačivu struju zraka oko nultog krila koje ima promijenjenu

vitkost βAA =1 i promijenjenu strijelu ( )βΛΛ 0

10tantan = . Analogno tome dobivamo i

5-38

β1Di

DiC

C =

5.5 Strelasto krilo

Za krila bez strijele granica praktične uporabe je kritični Machov broj profila. Međutim strelasta

krila mogu letjeli s brzinom koja je veća od kritičnog Machovog broja profila, pa se zato strelasta

krila široko u uporabi. Objasnimo zašto strijela krila 041 ≠Λ povećava kritičan Machov broj.

Pretpostavimo krilo beskonačnog razmaha i istog profila u svim presjecima. Optjecanje takvog krila

je ravansko. Na slici 26 lijevo imamo krilo bez strijele ( 041 =Λ ). Zamislimo da smo tom krilu dali

brzinu Wr

na desno. Ako zanemarimo trenje, ništa se neće promijeniti u slici optjecanja. To znači da

je ta slika optjecanja ista kao da je krilo u miru optjecano brzinom WUrr

− . A takav slučaj imamo

na slici lijevo gdje je krilo sa strijelom 041 ≠Λ optjecano brzinom ∞Vr

. Tako zaključujemo da je u

slučaju strijelastog krila slika optjecanja određena komponentom brzine nVr

u presjeku okomitom na

glavni vrtlog (GM jedne četvrtine tetiva) i profilom u tom presjeku. U oba slučaj (na lijevoj i

desnoj strani slike 11) Machov broj ∞M je isti, ali dok na lijevoj strani treba biti crMaMa <∞ , na

desnoj strani treba biti crMaMa <Λ∞ 41cos ili

∞V

∞V

∞U

W

W−

41cosΛ= ∞VVn

41Λ

presjek okomitnaglavni vrtlog

Slika 5-27

41cosΛ<∞

crMaMa

To je razlog primjene strelastog krila