5. PERHITUNGAN NUMERIK · 40 Universitas Kristen Petra 5. PERHITUNGAN NUMERIK Dalam bab ini akan dilakukan perhitungan numerik untuk menguji keakuratan elemen balok Timoshenko berbasis

40 Universitas Kristen Petra

5. PERHITUNGAN NUMERIK

Dalam bab ini akan dilakukan perhitungan numerik untuk menguji

keakuratan elemen balok Timoshenko berbasis Kriging dengan metode Discrete

Shear Gap (DSG) dan Modified Field Matching (MFM) dalam analisis statis,

getaran bebas, dan stabilitas yang akan dibandingkan dengan hasil yang didapatkan

oleh Fried & Kosmatka (1993) dan solusi eksaknya. Adapun dalam bab ini nantinya

akan digunakan berbagai singkatan untuk mempersingkat penulisan pada bab ini.

Untuk balok Timoshenko berbasis Kriging, singkatan yang dipergunakan adalah

demikian: 2 karakter pertama pada singkatan merupakan derajat basis polinomial

yang digunakan, diteruskan dengan jumlah lapisan DOI yang dipergunakan, diikuti

dengan fungsi korelasi yang dipergunakan, dan terakhir diteruskan dengan metode

eliminasi shear locking yang dipergunakan (bila menggunakan). Contoh

penggunaan singkatan ini dapat dilihat pada Tabel 5.1.

Tabel 5.1. Contoh singkatan yang dipergunakan dalam bab ini.

Contoh

Singkatan

Penjelasan

Derajat basis

polinomial

Jumlah

lapisan

DOI

Fungsi

Korelasi

Metode Eliminasi

Shear Locking

P2-2-QS 3 (cubic) 2 Quartic Spline Tidak ada

P1-2-G (DSG) 1 (linear) 2 Gaussian Discrete Shear

Gap

P2-2-QS (DSG) 2 (quadratic) 2 Quartic Spline Discrete Shear

Gap

P3-3-G (MFM) 3 (cubic) 3 Gaussian Modified Field

Matching

P3-3-G (SRI) 3 (cubic) 3 Gaussian Selective Reduced

Integration*

*Metode eliminasi shear locking yang digunakan oleh Syamsoeyadi (2009).

5.1. Analisis Statik

5.1.1. Investigasi Terhadap Jumlah Sampling Point yang Efisien untuk

Integrasi Shape Function pada Metode Discrete Shear Gap

Pada bagian ini akan diteliti jumlah sampling point yang efisien untuk

integrasi numerik metode Discrete Shear Gap untuk mendapatkan matriks BγDSG

http://dewey.petra.ac.id/dgt_directory.php?display=classification

http://digilib.petra.ac.id/help.html

http://www.petra.ac.id


yang diperlukan untuk menggantikan matriks Bγ yang didapatkan dari MEH-K

standar. Untuk pengujian ini digunakan elemen balok Timoshenko dengan E =

1000, b = 2, L = 2, v = 0.3, dan h = 0.0002, yang dibagi menjadi 8 elemen, fungsi

korelasi Quartic Spline, DOI sebanyak tiga lapis, dengan basis polinomial

berderajat tiga. Dalam pengujian ini ditinjau elemen nomor 4, dan ditinjau nilai –

nilai hasil integrasi shape function dalam DOI tersebut dengan 1, 2, dan 3 titik

sampel. Ilustrasi yang lebih jelas dapat dilihat pada Gambar 5.1. Adapun nilai

integrasi yang ditinjau adalah ∫ 𝑁2 𝑑𝑥𝑥3

𝑥2, ∫ 𝑁3 𝑑𝑥

𝑥3

𝑥2, ∫ 𝑁4 𝑑𝑥

𝑥3

𝑥2, ∫ 𝑁5 𝑑𝑥

𝑥3

𝑥2, dan

∫ 𝑁6 𝑑𝑥𝑥3

𝑥2. Hasil integrasi dapat dilihat pada Tabel 5.2.

Tabel 5.2. Hasil integrasi shape function berbagai titik nodal dalam DOI

elemen nomor 4 dengan berbagai jumlah titik contoh.

Integrasi yang

dilakukan

Hasil Integrasi

1 Titik Contoh 2 Titik Contoh 3 Titik Contoh


𝑥2

0.7 0.8 0.8


𝑥2

1.625 1.4167 1.4167


𝑥2

-0.375 -0.25 -0.25


𝑥2

0.125 0.0833 0.0833


𝑥2

-0.125 -0.0833 -0.0833


𝑥2

0.05 0.0333 0.0333

Gambar 5.1. Elemen nomor 4 dengan DOI 3 lapis pada balok Timoshenko dengan

bentang L = 2 m dengan perletakan jepit – jepit.

Dari Tabel 5.2. dapat dilihat bahwa tidak ada perubahan nilai hasil

integrasi antara menggunakan 2 titik contoh dengan 3 titik contoh. Maka agar

integrasi dapat dilakukan dengan efisien cukup digunakan 2 titik contoh saja.


5.1.2. Pengujian Metode Eliminasi Shear Locking

Fenomena shear locking adalah suatu kondisi dimana sebuah balok

menjadi sangat kaku sekali ketika bentangnya semakin panjang atau tingginya

semakin langsing. Pada bagian ini akan diuji 2 metode eliminasi shear locking,

yaitu metode Modified Field Matching dan Discrete Shear Gap seperti yang telah

yang dijelaskan pada bab 3.

Dalam menguji metode Modified Field Matching dan Discrete Shear Gap,

digunakan balok Timoshenko dengan perletakan jepit – jepit. Balok ini dibagi

menjadi 8 elemen. Data – data mengenai balok tersebut :

E = 2000

b = 2

L = 10

v = 0.3

q = 1

L/h bervariasi dari 10, 100, 1000, dan 10000

Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada Gambar 5.2.

Gambar 5.2. Elemen balok dengan bentang L = 2 m dengan perletakan jepit – jepit

Hasil defleksi pada tengah bentang balok dibandingkan dengan solusi

eksak balok Euler-Bernoulli yang dirumuskan dengan :

wt = 𝑞 𝐿4

384 𝐸 𝐼 (5.1)

Perhitungan defleksi tersebut menggunakan teori balok Euler-Bernoulli

karena balok tersebut tipis, maka deformasi geser dapat diabaikan. Hasil

perhitungan juga akan dibandingkan dengan hasil yang diperoleh Syamsoeyadi

(2009) yang menggunakan balok Timoshenko berbasis Kriging dengan metode SRI

(Selective Reduced Integration). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 5.3a


dan Tabel 5.3b. Grafik hasil perhitungan dapat dilihat pada Gambar 5.3a dan

Gambar 5.3b.

Tabel 5.3a. Shear locking pada elemen balok langsing dengan fungsi korelasi

Gaussian

L/h wt

wtengah/wt

P1-2-G

(DSG)

P2-2-G

(DSG)

P3-3-G

(DSG)

P3-3-G

(MFM)

1 7.81E-05 13.23602634 13.2424416 13.2401644 17.21065

5 9.80E-03 1.492266542 1.49203807 1.48979629 5.460288

10 0.0781 1.125260089 1.1248273 1.12259186 5.093089

102 78.125 1.005255898 1.00462987 1.0012466 4.971913

103 78125 1.010215312 0.95670918 1.00098925 4.970702

104 78125000 0.671786564 0.14189934 1.00127547 4.970691

Gambar 5.3a. Shear locking pada elemen balok langsing dengan fungsi korelasi

Gaussian

Tabel 5.3b. Shear locking pada elemen balok langsing dengan fungsi korelasi

Quartic Spline

L/h wt

wtengah/wt

P1-2-QS

(DSG)

P2-2-QS

(DSG)

P3-3-QS

(DSG)

P3-3-QS

(MFM)

1 7.81E-05 13.2042837 13.24143867 13.24084 17.10194

5 9.80E-03 1.488369593 1.491017933 1.49044 5.351542

10 0.0781 1.121916793 1.123753225 1.12324 4.984342

102 78.125 0.959806693 0.994598172 1.00208 4.863166

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1 10 100 1000 10000

w/w

t

L/h

P3-3-G (DSG) P2-2-G (DSG) P1-2-G (DSG)

Solusi Eksak P3-3-G (SRI)


103 78125 0.205938019 0.540482734 1.00140 4.861955

104 78125000 0.002653048 0.011476879 1.00147 4.861943

Gambar 5.3b. Shear locking pada elemen balok langsing dengan fungsi korelasi

Quartic Spline

Hasil dari metode Modified Field Matching yang jauh menyimpang dari

solusi eksak menyimpulkan bahwa metode tersebut tidak dapat dipakai untuk

mengeliminasi shear locking, maka untuk selanjutnya, metode ini tidak disajikan

dalam grafik, dan tidak dipergunakan lagi untuk berbagai analisa lainnya. Untuk

elemen balok dengan fungsi basis linear dan quadratic, yaitu P1-2-G (DSG), P1-2-

QS (DSG), P2-2-G (DSG) dan P2-2-QS (DSG), terlihat bahwa semakin tipis balok

tersebut, defleksi yang terjadi justru semakin mendekati nol. Hal ini

memperlihatkan masih tetap adanya fenomena shear locking, dimana balok

semakin langsing, justru kekakuan balok semakin meningkat. Maka fungsi basis

linear dan quartic tidak dapat mengeliminasi shear locking pada balok

Timoshenko.

Balok Timosheko dengan fungsi basis cubic menghasilkan nilai defleksi

yang berbeda. Terlihat baik pada tabel dan grafik, perbandingan hasil defleksi pada

tengah bentang balok P3-3-G (DSG) dan P3-3-QS (DSG) dengan solusi eksaknya

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1 10 100 1000 10000

w/w

t

L/h

P3-3-QS (DSG) P2-2-QS (DSG) P1-2-QS (DSG)

Solusi Eksak P3-3-QS (SRI)


akan semakin mendekati angka satu. Hal ini berarti shear locking dapat dieliminasi

dengan metode Discrete Shear Gap, namun harus menggunakan fungsi basis cubic.

Untuk melakukan investigasi lebih lanjut mengenai penyebab terjadinya

shear locking pada MEH-K dengan DSG yang menggunakan fungsi basis linear

dan quadratic, maka perlu diselidiki distribusi regangan geser yang dihasilkan

MEH-K dengan DSG dengan fungsi basis linear, quadratic, dan cubic. Penyebaran

regangan geser dalam balok langsing (L/h=104) terlihat pada Gambar 5.4a sampai

Gambar 5.4f. Dari gambar – gambar tersebut, terlihat bahwa hasil regangan geser

yang dihasilkan oleh MEH-K dengan DSG yang menggunakan fungsi basis cubic

bersifat kontinu dan sesuai dengan bentuk gaya geser di sepanjang balok.

Sementara itu terlihat bahwa MEH-K dengan DSG yang menggunakan fungsi basis

linear dan quadratic menghasilkan distribusi yang tidak sesuai dengan distribusi

gaya geser yang semestinya, serta tidak kontinu. Maka ketidakmampuan MEH-K

yang menggunakan fungsi basis linear dan quadratic dengan DSG untuk

mengeliminasi shear locking pada balok langsing disebabkan karena distribusi

regangan gesernya yang tidak baik dan memiliki diskontinuitas dalam elemen

tersebut.

Gambar 5.4a. Grafik distribusi regangan balok Timoshenko berbasis Kriging

dengan DSG yang memiliki L/h = 104 menggunakan fungsi korelasi

Gaussian, fungsi basis cubic, dan DOI 3 lapis.

Elemen Balok


Gambar 5.4b. Grafik distribusi regangan balok Timoshenko berbasis Kriging


Quartic Spline, fungsi basis cubic, dan DOI 3 lapis.

Gambar 5.4c. Grafik distribusi regangan balok Timoshenko berbasis Kriging


Gaussian, fungsi basis quadratic, dan DOI 2 lapis.

Elemen Balok

Elemen Balok


Gambar 5.4d. Grafik distribusi regangan balok Timoshenko berbasis Kriging


Quartic Spline, fungsi basis quadratic, dan DOI 2 lapis.

Gambar 5.4e. Grafik distribusi regangan balok Timoshenko berbasis Kriging


Gaussian, fungsi basis linear, dan DOI 2 lapis.

Elemen Balok

Elemen Balok


Gambar 5.4f. Grafik distribusi regangan balok Timoshenko berbasis Kriging


Quartic Spline, fungsi basis linear, dan DOI 2 lapis.

Untuk menguji kemampuan metode Discrete Shear Gap dalam

mengeliminasi shear locking, maka perlu metode ini perlu diuji lagi dengan nilai

L/h yang lebih dari 10000. Oleh karena fungsi basis yang memiliki kinerja paling

baik dalam mengeliminasi shear locking adalah fungsi basis cubic, maka untuk

selanjutnya digunakan balok P3-3-G (DSG) dan P3-3-QS (DSG). Nilai L/h yang

digunakan bervariasi dari 1 sampai 1015. Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel

5.4 dan Gambar 5.5.

Terlihat pada gambar dan tabel tersebut, untuk fungsi korelasi Gaussian,

setelah nilai L/h melebihi nilai 107, hasil perbandingan defleksi pada tengah bentang

dengan solusi eksaknya semakin mendekati angka nol. Untuk fungsi korelasi

Quartic Spline, kejadian yang sama terlihat setelah nilai L/h melebihi nilai 108.

Disini terlihat bahwa metode Discrete Shear Gap tidak mampu mengeliminasi

shear locking pada balok dengan L/h lebih dari 108, dimana pada praktiknya, balok

yang terlalu langsing seperti ini jarang ditemukan.

Elemen Balok


Hal yang sama juga terlihat pada hasil yang diperoleh dalam penelitian

yang dilakukan oleh Hughes, Taylor, dan Kanok-Nukulchai (1977). Dalam

penelitian tersebut, digunakan metode Selective Reduced Integration (SRI) yang

telah berhasil mengeliminasi fenomena shear locking pada elemen balok

Timoshenko dan pelat Reissner-Mindlin. Namun terlihat bahwa metode SRI

tersebut tidak dapat mengeliminasi shear locking yang terjadi pada balok dengan

L/h lebih dari 104.

Semakin tinggi nilai L/h mengakibatkan berkurangnya nilai kekakuan

balok. Adapun berkurangnya nilai kekakuan lentur lebih cepat daripada

pengurangan nilai kekakuan geser, oleh karena itu tentu akan ada saat dimana nilai

kekakuan lentur sangat mendekati nol, meskipun memang nilainya tidak akan sama

dengan nol. Oleh karena adanya batasan jumlah angka, yaitu sebanyak 8 angka

dalam proses perhitungan yang dimiliki oleh komputer pada saat itu, maka apabila

kekakuan lentur balok sangat mendekati nol, hingga mencapai angka yang lebih

kecil dari 10-8, maka secara otomatis pembulatan program akan membulatkannya

menjadi nol. Apabila nilai kekakuan lentur menjadi nol, maka yang dominan hanya

kekakuan geser. Dan oleh karena pengurangan nilai kekakuan geser yang lebih

lambat, maka seakan akan balok kembali menjadi lebih kaku, dimana ini

menimbulkan fenomena shear locking. Saat ini, perhitungan dilakukan dengan

menggunakan program Matlab yang memiliki ketelitian hingga 16 angka, oleh

karena itu memperlihatkan hasil yang lebih baik dari metode SRI yang diteliti pada

saat itu.

Tabel 5.4. Pengujian metode DSG dalam mengeliminasi shear locking pada

balok Timoshenko berbasis Kriging.

L/h wt

wtengah / wt

P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)

1 0.000078125 13.24018214 13.24083974

5 0.009765625 1.489814128 1.490439741

10 0.078125 1.122610106 1.12323975

102 78.125 1.001281914 1.00207979

103 78125 1.001002607 1.001402051

104 78125000 1.001275653 1.001466304

105 78125000000 1.001278085 1.001465687

106 7.8125E+13 1.00123368 1.001304608


107 7.8125E+16 1.015264661 1.016648426

108 7.8125E+19 0.710229009 0.957981855

109 7.8125E+22 0.028329882 0.016406741

1010 7.8125E+25 8.11785E-05 0.000176445

1011 7.8125E+28 2.14974E-06 2.37245E-06

1012 7.8125E+31 2.56084E-08 5.23478E-08

1013 7.8125E+34 6.70267E-11 1.29617E-10

1014 7.8125E+37 1.17375E-12 1.09219E-12

1015 7.8125E+40 4.70364E-14 8.84971E-15

Gambar 5.5. Pengujian metode DSG dalam mengeliminasi shear locking pada

balok Timoshenko berbasis Kriging.

5.1.3. Penyelidikan Konvergensi Elemen Balok Timoshenko berbasis Kriging

dengan 4, 8, 16, dan 32 Elemen

Dalam bagian ini, elemen balok Timoshenko berbasis Kriging akan di

analisa dengan 3 jenis beban, dan akan dilihat konvergensi perpindahan, momen,

dan geser balok tersebut seiring meningkatnya jumlah elemen. Balok tersebut

memiliki perletakan jepit di salah satu ujungnya, dan ujung lainnya bebas. Jenis

beban yang akan dibebankan kepada balok tersebut adalah beban terpusat, beban

terbagi rata, dan beban segitiga. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar

5.6. Hasil perhitungan dari balok ini akan dibandingkan dengan solusi eksaknya

dan hasil yang diperoleh Friedman & Kosmatka (1993) dengan jumlah elemen dan

input data yang sama. Balok ini memiliki data – data sebagai berikut:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

1.00E+00 1.00E+02 1.00E+04 1.00E+06 1.00E+08 1.00E+10 1.00E+12 1.00E+14

w/w

t

L/h

P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) Solusi Eksak


E = 1000

b = 2

L = 4

v = 0.3

q = 1

P = 1

h = 0.5

Jumlah elemen maksimal yang digunakan oleh Friedman & Kosmatka

(1993) adalah 16, dan untuk hasilnya diambil dari grafik yang tersedia (bukan

perhitungan numerik).

(c)

Gambar 5.6. Pembebanan yang diberikan kepada elemen balok Timoshenko

berbasis Kriging dengan jenis perletakan jepit bebas. (a) beban

terpusat; (b) beban merata; (c) beban segitiga.

5.1.3.1. Penyelidikan Konvergensi Perpindahan

Pada bagian ini akan dianalisa perpindahan pada ujung bebas balok dengan

4, 8, 16, dan 32 elemen. Menurut Friedman & Kosmatka (1993), solusi eksak untuk

(b)

(a)


perpindahan dengan pembebanan seperti pada Gambar 5.6a, Gambar 5.6b, dan

Gambar 5.6c berturut–turut adalah:

𝑤𝑡 =𝑃𝐿3

3𝐸𝐼{1 +

𝜙

4} (5.2a)

𝑤𝑡 =𝑞0𝐿4

8𝐸𝐼{1 +

𝜙

3} (5.2b)

𝑤𝑡 =𝑃𝐿4

30𝐸𝐼{1 +

5

12𝜙} (5.2c)

dimana nilai 𝜙 didapatkan dengan persamaan:

𝜙 =1

5(12 + 11𝑣) (

ℎ

𝐿)

2

(5.3)

Hasil perhitungan numerik untuk pembebanan terpusat, terbagi rata, dan

segitiga secara berturut-turut ditunjukkan dalam Tabel 5.5a, Tabel 5.5b, dan Tabel

5.5c. Hasil dalam grafik ditunjukkan dalam Gambar 5.7a, Gambar 5.7b, dan

Gambar 5.7c.

Tabel 5.5a. Perbandingan konvergensi perpindahan balok untuk 4, 8, 16 dan 32

elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K dengan

beban terpusat pada ujung balok.

Jumlah

Elemen

Solusi Eksak

(wt)

w/wt

Kriging dengan DSG F&K


4 1.0362 1.000000105 1 1

8 1.0362 1.000000009 1 1

16 1.0362 1.000000001 1 1

32 1.0362 1 1 -

Tabel 5.5b. Perbandingan konvergensi perpindahan balok untuk 4, 8, 16 dan 32


beban terbagi rata

Jumlah

Elemen

Solusi Eksak

(wt)

w/wt



4 1.5605 1.000000139 1 1

8 1.5605 1.000000011 1 1

16 1.5605 1.000000001 1 1

32 1.5605 1 1 -

Tabel 5.5c. Perbandingan konvergensi perpindahan balok untuk 4, 8, 16 dan 32


beban segitiga

Jumlah

Elemen

Solusi Eksak

(wt)

w/wt




4 0.4178 0.999914699 0.999893612 1

8 0.4178 0.99999504 0.999993351 1

16 0.4178 0.999999707 0.999999584 1

32 0.4178 0.999999982 0.999999974 -

Gambar 5.7a. Perbandingan konvergensi perpindahan balok untuk 4, 8, 16, dan 32


beban terpusat.

Gambar 5.7b. Perbandingan konvergensi perpindahan pada ujung bebas balok

untuk 4, 8, 16, dan 32 elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG

dan F&K dengan beban terbagi rata.

0.9999999

1

1

1

1

1

1.0000001

1.0000001

1.0000001

1.0000001

4 8 1 6 3 2

w/w

t

Jumlah Elemen

P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) Solusi Eksak F&K

0.9999999

1

1

1.0000001

1.0000001

1.0000002

4 8 1 6 3 2

w/w

t

Jumlah Elemen



Gambar 5.7c. Perbandingan konvergensi perpindahan pada ujung bebas balok

untuk 4, 8, 16, dan 32 elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG

dan F&K dengan beban segitiga.

Dari tabel-tabel dan grafik-grafik tersebut, terlihat bahwa hasil

perbandingan perpindahan pada elemen balok Timoshenko berbasis Kriging

semakin mendekati solusi eksaknya, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa

nilai perpindahannya bersifat konvergen seiring meningkatnya jumlah elemen

balok yang digunakan. Nilai yang didapatkan sangat mendekati solusi eksaknya,

dan peningkatan konvergensi seiring naiknya jumlah elemen balok tidak begitu

signifikan, sehingga tidak diperlukan jumlah elemen yang banyak untuk

mendapatkan nilai defleksi yang mendekati solusi eksaknya. Dengan menggunakan

4 elemen saja nilai defleksi yang didapatkan sudah sangat mendekati solusi

eksaknya.

5.1.3.2. Penyelidikan Konvergensi Gaya Momen

Pada bagian ini akan dianalisa gaya momen yang terjadi pada ujung jepit

balok dengan 4, 8, 16, dan 32 elemen. Menurut Friedman & Kosmatka (1993),

solusi eksak untuk gaya momen pada ujung jepit balok dengan pembebanan seperti

pada Gambar 5.6a, Gambar 5.6b, dan Gambar 5.6c berturut–turut adalah:

𝑀 = 𝑃𝐿 (5.4a)

𝑀 =𝑞0

2𝐿2 (5.4b)

0.99984

0.99986

0.99988

0.9999

0.99992

0.99994

0.99996

0.99998

1

1.00002

4 8 1 6 3 2

w/w

t

Jumlah Elemen



𝑀 =𝑞0

6𝐿2 (5.4c)

Hasil perhitungan numerik untuk pembebanan terpusat, terbagi rata, dan

segitiga secara berturut-turut ditunjukkan dalam Tabel 5.6a, Tabel 5.6b, dan Tabel

5.6c. Hasil dalam grafik ditunjukkan dalam Gambar 5.8a, Gambar 5.8b, dan

Gambar 5.8c.

Tabel 5.6a. Perbandingan konvergensi momen balok untuk 4, 8, 16 dan 32



Jumlah

Elemen

Solusi Eksak

(Mt)

M/Mt



4 4 1.000363829 1 1

8 4 1.000134718 1 1

16 4 1.000067678 1 1

32 4 1.000033683 1 -

Tabel 5.6b. Perbandingan konvergensi momen balok untuk 4, 8, 16 dan 32


beban terbagi rata

Jumlah

Elemen

Solusi Eksak

(Mt)

M/Mt



4 8 1.006334184 1.00382487 1

8 8 1.001871615 1.00133733 1

16 8 1.000537879 1.000335247 1

32 8 1.000168463 1.000083844 -

Tabel 5.6c. Perbandingan konvergensi momen balok untuk 4, 8, 16 dan 32


beban segitiga

Jumlah

Elemen

Solusi Eksak

(Mt)

M/Mt



4 2.6667 1.003198262 0.999722502 1

8 2.6667 1.003149829 1.001903888 1

16 2.6667 1.001155651 1.000742754 1

32 2.6667 1.000372153 1.000218694 -


Gambar 5.8a. Perbandingan konvergensi momen pada ujung jepit balok untuk 4, 8,

16, dan 32 elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan F&K

dengan beban terpusat.

Gambar 5.8b. Perbandingan konvergensi momen pada ujung jepit balok untuk 4, 8,


dengan beban terbagi rata.

0.9998

0.9999

1

1.0001

1.0002

1.0003

1.0004

4 8 1 6 3 2

M/M

t

Jumlah Elemen


0.996

0.997

0.998

0.999

1

1.001

1.002

1.003

1.004

1.005

1.006

1.007

4 8 1 6 3 2

M/M

t

Jumlah Elemen



Gambar 5.8c. Perbandingan konvergensi momen pada ujung jepit balok untuk 4, 8,


dengan beban segitiga.

Seperti yang terlihat pada hasil perpindahan, dari tabel-tabel dan grafik-

grafik tersebut terlihat bahwa hasil gaya momen pada ujung jepit pada elemen balok

Timoshenko berbasis Kriging semakin mendekati solusi eksaknya, sehingga dapat

diambil kesimpulan bahwa nilai perpindahannya bersifat konvergen seiring

meningkatnya jumlah elemen balok yang digunakan. Gaya momen yang dihasilkan

sangat mendekati solusi eksaknya, dan peningkatan konvergensi seiring

meningkatnya jumlah elemen tidak begitu signifikan, sehingga cukup digunakan 4

elemen saja untuk mendapatkan hasil yang sangat mendekati solusi eksak.

5.1.3.3. Penyelidikan Konvergensi Gaya Geser

Pada bagian ini akan dianalisa gaya geser yang terjadi pada ujung jepit

balok dengan 4, 8, 16, dan 32 elemen. Menurut Friedman & Kosmatka (1993),

solusi eksak untuk gaya momen pada ujung jepit balok dengan pembebanan seperti

pada Gambar 5.6a, Gambar 5.6b, dan Gambar 5.6c berturut–turut adalah:

𝑄 = 𝑃 (5.5a)

𝑄 = 𝑞0𝐿 (5.5b)

𝑄 =𝑞0

2𝐿 (5.5c)

Perbandingan gaya geser pada ujung jepit dengan solusi eksaknya untuk

pembebanan terpusat, terbagi rata, dan segitiga secara berturut-turut ditunjukkan

0.997

0.998

0.999

1

1.001

1.002

1.003

1.004

4 8 1 6 3 2

M/M

t

Jumlah Elemen



dalam Tabel 5.7a, Tabel 5.7b, dan Tabel 5.7c. Hasil dalam grafik ditunjukkan dalam

Gambar 5.9a, Gambar 5.9b, dan Gambar 5.9c.

Tabel 5.7a. Perbandingan konvergensi gaya geser balok untuk 4, 8, 16 dan 32



Jumlah

Elemen

Solusi Eksak

(Qt)

Q/Qt



4 1 1.001258374 1 1

8 1 1.000217676 1 1

16 1 1.000053045 1 1

32 1 1.000012851 1 -

Tabel 5.7b. Perbandingan konvergensi gaya geser balok untuk 4, 8, 16 dan 32


beban terbagi rata

Jumlah

Elemen

Solusi Eksak

(Qt)

Q/Qt



4 4 1.001008976 1 1

8 4 1.001132701 1.000425206 1

16 4 1.000221655 1.000055793 1

32 4 1.000059698 1.00000698 -

Tabel 5.7c. Perbandingan konvergensi gaya geser balok untuk 4, 8, 16 dan 32


beban segitiga

Jumlah

Elemen

Solusi Eksak

(Qt)

Q/Qt



4 2 1.051971389 1.033967376 1

8 2 1.004150647 1.002097016 1

16 2 1.000534732 1.00021583 1

32 2 1.000118891 1.000027763 -


Gambar 5.9a. Perbandingan konvergensi gaya geser pada ujung jepit balok untuk

4, 8, 16, dan 32 elemen pada interpolasi Kriging dengan DSG dan

F&K dengan beban terpusat.

Gambar 5.9b. Perbandingan konvergensi gaya geser pada ujung jepit balok untuk


F&K dengan beban terbagi rata.

0.9992

0.9994

0.9996

0.9998

1

1.0002

1.0004

1.0006

1.0008

1.001

1.0012

1.0014

4 8 1 6 3 2

Q/Q

t

Jumlah Elemen


0.9994

0.9996

0.9998

1

1.0002

1.0004

1.0006

1.0008

1.001

1.0012

1.0014

4 8 1 6 3 2

Q/Q

t

Jumlah Elemen



Gambar 5.9c. Perbandingan konvergensi gaya geser pada ujung jepit balok untuk


F&K dengan beban segitiga.

Sebagaimana yang terlihat pada hasil perpindahan dan momen, dari tabel-

tabel dan grafik-grafik tersebut terlihat bahwa hasil gaya geser pada ujung jepit pada

elemen balok Timoshenko berbasis Kriging semakin mendekati solusi eksaknya,

sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa nilai perpindahannya bersifat konvergen

seiring meningkatnya jumlah elemen balok yang digunakan. Gaya geser yang

dihasilkan sangat mendekati solusi eksaknya, dan peningkatan konvergensi seiring

meningkatnya jumlah elemen tidak begitu signifikan, sehingga cukup digunakan 4

elemen saja untuk mendapatkan hasil yang sangat mendekati solusi eksak.

5.1.4. Penyelidikan Konvergensi pada Balok yang Sangat Tebal dan Sangat

Tipis.

Dari penyelidikan konvergensi pada Sub-bab 5.1.3. terlihat bahwa untuk

balok dengan ukuran biasa (tidak terlalu tebal dan terlalu tipis), konvergensi elemen

menunjukkan hasil yang konvergen, dan diperlukan cukup 4 elemen saja untuk

memperoleh hasil yang memuaskan. Namun belum tentu hal yang sama akan terjadi

untuk balok yang sangat tebal atau sangat tipis. Dalam bagian ini akan diselidiki

konvergensi perpindahan, momen, dan gaya geser pada balok yang sangat tebal (L/h

= 1) dan sangat tipis (L/h = 104). Balok ini memiliki perletakan jepit bebas dengan

beban segitiga, seperti yang terdapat pada Gambar 5.6c. Data – data balok yang di

0.97

0.98

0.99

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1.06

4 8 1 6 3 2

Q/Q

t

Jumlah Elemen



analisa persis sama seperti pada Sub-bab 5.1.3. Perhitungan menggunakan fungsi

korelasi Gaussian dan Quartic Spline, dengan fungsi basis cubic dan 3 lapis DOI.

Jumlah pembagian elemen yang digunakan adalah sebanyak 4, 8, 16, 32, 64, dan

128 elemen. Hasil perhitungan untuk balok sangat tebal dapat dilihat pada Tabel

5.8a, Tabel 5.8b, dan Tabel 5.8c. Tabel – tabel tersebut diperjelas dengan Gambar

5.10a, Gambar 5.10b, dan Gambar 5.10c. Sedangkan hasil perhitungan untuk balok

sangat tipis dapat dilihat pada Tabel 5.9a, Tabel 5.9b, dan Tabel 5.9c, yang

diperjelas dengan Gambar 5.11a, Gambar 5.11b, dan Gambar 5.11c.

Tabel 5.8a. Perbandingan konvergensi perpindahan pada ujung bebas pada balok

tebal (L/h=1) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi

Kriging dengan DSG.

Jumlah

Elemen Solusi eksak (wt)

w/wt


4 0.00091 0.999952191 0.999952305

8 0.00091 0.999997012 0.999997019

16 0.00091 0.999999813 0.999999814

32 0.00091 0.999999988 0.999999988

64 0.00091 0.999999999 0.999999999

128 0.00091 1 1

Tabel 5.8b. Perbandingan konvergensi momen pada ujung jepit pada balok tebal

(L/h=1) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi

Kriging dengan DSG.

Jumlah


M/Mt


4 0.666667 1.004803579 1.000551129

8 0.666667 1.002949771 1.001924951

16 0.666667 1.000991572 1.000743637

32 0.666667 1.000279022 1.000218737

64 0.666667 1.000073157 1.000058788

128 0.666667 1.000018319 1.00001521

Tabel 5.8c. Perbandingan konvergensi gaya geser pada ujung jepit pada balok

tebal (L/h=1) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi

Kriging dengan DSG.

Jumlah


Q/Qt


4 1 1.004803579 1.000551129

8 1 1.002949771 1.001924951

16 1 1.000991572 1.000743637

32 1 1.000279022 1.000218737


64 1 1.000073157 1.000058788

128 1 1.000018319 1.00001521

Tabel 5.9a. Perbandingan konvergensi perpindahan pada ujung bebas pada balok

tebal (L/h=104) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada

interpolasi Kriging dengan DSG.

Jumlah


w/wt


4 400000005.1 0.999891692 0.999891292

8 400000005.1 0.99999332 0.999992574

16 400000005.1 0.999998725 0.999998049

32 400000005.1 1.000005817 1.000003662

64 400000005.1 1.000027055 0.999990313

128 400000005.1 1.000007077 0.999958386

Tabel 5.9b. Perbandingan konvergensi momen pada ujung jepit pada balok tebal

(L/h=104) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi

Kriging dengan DSG.

Jumlah


M/Mt


4 0.666667 0.958826122 0.955608477

8 0.666667 0.95652936 0.950872217

16 0.666667 0.997675883 0.984985114

32 0.666667 0.999831526 0.999170833

64 0.666667 1.000017771 0.999950712

128 0.666667 1.000004898 0.999974318

Tabel 5.9c. Perbandingan konvergensi gaya geser pada ujung jepit pada balok

tebal (L/h=104) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada

interpolasi Kriging dengan DSG.

Jumlah


Q/Qt


4 1 2.200725108 2.790775862

8 1 40.84067267 2.589350604

16 1 3.701192562 0.614928368

32 1 1.563790243 0.97774681

64 1 1.128582438 1.025897714

128 1 1.033401353 1.015236279


Gambar 5.10a. Perbandingan konvergensi perpindahan pada ujung bebas balok

tebal (L/h = 1) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi

Kriging dengan DSG dengan beban segitiga.

Gambar 5.10b. Perbandingan konvergensi momen pada ujung jepit balok tebal (L/h

= 1) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi Kriging

dengan DSG dengan beban segitiga.

0.99992

0.99993

0.99994

0.99995

0.99996

0.99997

0.99998

0.99999

1

1.00001

4 8 1 6 3 2 6 4 1 2 8

w/w

t

Jumlah Elemen

Solusi Eksak P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG)

0.997

0.998

0.999

1

1.001

1.002

1.003

1.004

1.005

1.006

4 8 1 6 3 2 6 4 1 2 8

M/M

t

Jumlah Elemen



Gambar 5.10c. Perbandingan konvergensi gaya geser pada ujung jepit balok tebal

(L/h = 1) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi


Gambar 5.11a. Perbandingan konvergensi perpindahan pada ujung bebas balok tipis



0.999

0.9995

1

1.0005

1.001

1.0015

1.002

4 8 1 6 3 2 6 4 1 2 8

Q/Q

t

Jumlah Elemen


0.9998

0.99985

0.9999

0.99995

1

1.00005

4 8 1 6 3 2 6 4 1 2 8

w/w

t

Jumlah Elemen



Gambar 5.11b. Perbandingan konvergensi momen pada ujung jepit balok tipis (L/h

= 104) untuk 4, 8, 16, 32, 64, dan 128 elemen pada interpolasi Kriging

dengan DSG dengan beban segitiga.

Gambar 5.11c. Perbandingan konvergensi gaya geser pada ujung jepit balok tipis



Dari hasil perhitungan untuk balok yang sangat tebal, terlihat bahwa baik

konvergensi perpindahan pada ujung bebas, momen, dan gaya geser pada ujung

jepit bersifat konvergen. Selain itu juga dapat dilihat bahwa hanya dengan

menggunakan 4 elemen saja, hasil yang didapatkan sangat dekat sekali dengan

solusi eksaknya. Maka dapat disimpulkan bahwa untuk permasalahan balok yang

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1

1.01

4 8 1 6 3 2 6 4 1 2 8

M/M

t

Jumlah Elemen


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4 8 1 6 3 2 6 4 1 2 8

Q/Q

t

Jumlah Elemen



tebal, cukup menggunakan 4 elemen saja untuk mendapatkan hasil yang mendekati

eksak.

Untuk balok yang sangat tipis, hasil perpindahan pada ujung bebas dan

momen pada ujung jepit memiliki hasil yang konvergen dan mendekati solusi

eksaknya. Namun untuk gaya geser pada ujung jepit balok, tidak terlihat hasil yang

konvergen untuk jumlah pembagian elemen yang sedikit. Gaya geser yang

dihasilkan dengan jumlah elemen kurang dari 32 elemen (fungsi korelasi Quartic

Spline) dan 64 elemen (fungsi korelasi Gaussian) menunjukkan hasil yang cukup

jauh dari solusi eksaknya, terutama untuk fungsi korelasi Gaussian, yang

menghasilkan nilai hingga 40.84 kali lebih besar dari solusi eksaknya. Konvergensi

yang baik baru terlihat untuk jumlah elemen lebih dari 8 elemen. Dari sini juga

dapat disimpulkan bahwa hasil yang mendekati solusi eksak adalah dengan jumlah

pembagian elemen sebanyak 32 elemen untuk fungsi korelasi Quartic Spline, dan

sebanyak 64 elemen untuk fungsi korelasi Gaussian. Dari sini juga terlihat bahwa

hasil yang diperoleh dengan fungsi korelasi Gaussian menunjukkan hasil gaya

geser yang lebih buruk daripada hasil yang didapatkan dari fungsi korelasi Quartic

Spline.

5.2. Analisis Dinamik Getaran Bebas

5.2.1. Investigasi Getaran Bebas dalam Balok Langsing

Dalam bagian ini akan dilakukan analisa getaran bebas terhadap balok

langsing. Perhitungan dilakukan dengan fungsi korelasi Gaussian dan Quartic

Spline, dan fungsi basis cubic, serta 3 lapis DOI. Balok tersebut dianalisa dengan

perletakan sendi – sendi dan jepit – jepit. Adapun data – data balok adalah sebagai

berikut:

L = 10 m

b = 1 m

E = 2 x 109 kg/m2

v = 0.3

ρ = 10 kg/m3

h/L = 0.2 dan 0.001


Dalam melakukan hasil analisa getaran bebas, hanya diperlukan matriks

massa dan matriks kekakuan. Matriks massa didapatkan dari persamaan (3.11),

sedangkan matriks kekakuan diperoleh dari persamaan (3.12). Perhitungan analisa

getaran bebas menggunakan persamaan (3.20). Hasil perhitungan dari analisa

getaran bebas ini berupa frekwensi dan ragam getar dari struktur balok yang

ditinjau. Nilai yang dibandingkan dalam analisa getaran bebas ini adalah nilai

frekwensi struktur. Untuk nilai h/L = 0.2, hasil frekwensinya akan dibandingkan

dengan metode pseudospectral (Lee, 2004), sedangkan untuk nilai h/L = 0.001

(balok tipis), nilai frekwensinya akan dibandingkan dengan solusi eksak untuk teori

balok Euler-Bernoulli yang didapatkan dari tesis Wicaksana (2006). Semua hasil

frekwensi dari analisa getaran bebas pada bagian ini akan dikonversi kedalam

bentuk frekwensi tak berdimensi λ, yang diperoleh dari persamaan:

𝜆 = √𝜔𝐿2√𝑚

𝐸𝐼 (5.6)

di mana ω = frekwensi struktur,

𝐿 = panjang balok,

m = massa jenis balok per satuan panjang,

E = modulus elastisitas balok, dan

I = momen inersia balok.

Dalam analisa ini, digunakan jumlah elemen yang bervariasi dari 4, 8,

16, dan 32 elemen. Hasil analisa ini dibatasi hingga sampai 15 ragam getar saja.

5.2.1.1. Analisa Getaran Bebas pada Perletakan Sendi-Sendi

Dengan data-data balok seperti yang dijelaskan sebelumnya, akan

dibandingkan frekwensi tak berdimensi (λ) dengan solusi yang didapatkan dengan

metode pseudospectral (untuk h/L = 0.2) dan solusi eksak balok Euler-Bernoulli

(untuk h/L = 0.001). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 5.10a, Tabel 5.10b,

Tabel 5.111a, dan Tabel 5.11b. Tabel – tabel ini diperjelas dalam bentuk grafik dan

dapat dilihat pada Gambar 5.12 dan Gambar 5.13.


Tabel 5.10a. Perbandingan parameter frekuensi tanpa dimensi dengan perletakan

sendi-sendi (h/L=0.2) pada balok P3-3-G (DSG).

Mode λ∗

λ λ∗⁄

4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen

1 3.04533 0.99937517 1.000395931 1.00042348 1.000425

2 5.67155 1.00345178 1.000837294 1.001211622 1.001228

3 7.83952 1.1469126 1.001745126 1.001896109 1.001951

4 9.65709 1.35607588 1.007858755 1.002437388 1.002517

5 11.2220 1.20532213 1.024708422 1.003005453 1.002955

6 12.60220 1.16952923 1.039163546 1.003892787 1.003289

7 13.03230 1.24954097 1.016910703 1.00486843 1.004868

8 13.44430 1.26218211 1.004470037 1.00443935 1.004438

9 13.84330 - 1.047450764 1.005477316 1.003554

10 14.43780 - 1.036279769 1.003649314 1.003632

11 14.97660 - 1.052198739 1.008100778 1.003777

12 15.66760 - 1.088792573 1.002977941 1.002912

13 16.02410 - 1.146003054 1.01197256 1.003986

14 16.95840 - 1.171652116 1.0024441 1.002345

15 17.00190 - 1.363215699 1.01706026 1.004195

*(pseudospectral)

Tabel 5.10b. Perbandingan parameter frekuensi tanpa dimensi dengan perletakan

sendi-sendi (h/L=0.2) pada balok P3-3-QS (DSG).

Mode λ∗

λ λ∗⁄


1 3.04533 1.000554 1.000362 1.00042 1.000425

2 5.67155 1.005727 1.00105 1.001175 1.001225

3 7.83952 1.150281 1.002885 1.001814 1.00194

4 9.65709 1.356076 1.008774 1.002366 1.002494

5 11.2220 1.203884 1.025108 1.003037 1.002916

6 12.60220 1.167238 1.039164 1.004074 1.003236

7 13.03230 1.246491 1.019031 1.004868 1.004868

8 13.44430 1.252631 1.004506 1.004443 1.004438

9 13.84330 - 1.0473 1.005734 1.003494

10 14.43780 - 1.036489 1.003687 1.003635

11 14.97660 - 1.051165 1.008168 1.00372

12 15.66760 - 1.088056 1.003075 1.002924

13 16.02410 - 1.14518 1.01142 1.003945

14 16.95840 - 1.165458 1.002582 1.00237

15 17.00190 - 1.34791 1.015565 1.004183


sendi-sendi (h/L=0.001) pada balok P3-3-G (DSG).

Mode λeksak

(teori balok tipis)

λ/λeksak 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen

1 3.141593 0.998789 1.000079 0.999998388 0.999999

2 6.283185 1.127394 1.005249 1.000000884 0.999995

3 9.424778 1.364519 1.154551 0.999971568 0.999987

4 12.566371 86.36038 1.275865 1.00032215 0.999973

5 15.707963 144.9649 1.702703 1.006910456 0.999951

6 18.849556 138.9502 3.104056 1.044349808 0.999916

7 21.991149 119.3115 5.768963 1.143732776 0.999877

8 25.132741 106.5825 54.80652 1.265646032 0.999897

9 28.274334 - 60.21909 1.422114679 1.000172

10 31.415927 - 75.65371 1.721229148 1.001153

11 34.557519 - 74.61816 2.20011835 1.003706

12 37.699112 - 69.47509 2.844577746 1.009372

13 40.840704 - 64.13294 3.667710326 1.020751

14 43.982297 - 59.55263 4.699985918 1.041754

15 47.12389 - 56.04193 5.868294881 1.076873



sendi-sendi (h/L=0.001) pada balok P3-3-QS (DSG).

Mode λeksak

(teori balok tipis)


1 3.141593 1.00011 1.00006 1 0.999999

2 6.283185 1.127074 1.051806 1.00041 0.999993

3 9.424778 1.378415 1.186629 1.00592 0.999995

4 12.566371 69.81587 1.409348 1.034723 1.000083

5 15.707963 143.5385 1.863805 1.107061 1.000506

6 18.849556 138.9502 2.38723 1.207464 1.001819

7 21.991149 119.1814 3.986904 1.313607 1.005019

8 25.132741 106.2563 36.00019 1.422631 1.011579

9 28.274334 - 60.06622 1.517079 1.023201

10 31.415927 - 73.16994 1.52872 1.041248

11 34.557519 - 74.03986 1.503044 1.066027

12 37.699112 - 69.47509 1.657953 1.096423

13 40.840704 - 64.1356 2.152011 1.130161

14 43.982297 - 59.57113 2.984354 1.164497

15 47.12389 - 55.94547 4.347382 1.196785

Gambar 5.12a. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan

sendi-sendi) pada berbagai macam mode shape dalam balok

Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 4

elemen (h/L=0.2).

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1 2 3 4 5 6 7 8

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE

Solusi Pseudospectral P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)


Gambar 5.12b. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan



elemen (h/L=0.2).

Gambar 5.12c. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan



elemen (h/L=0.2).

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE


0.995

1

1.005

1.01

1.015

1.02

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE



Gambar 5.12d. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan



elemen (h/L=0.2).

Gambar 5.13a. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan



elemen (h/L=0.001).

0.999

1

1.001

1.002

1.003

1.004

1.005

1.006

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE


1

21

41

61

81

101

121

141

161

1 2 3 4 5 6 7 8

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE

Solusi Balok Tipis P3-3-QS (DSG) P3-3-G (DSG)


Gambar 5.13b. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan



elemen (h/L=0.001).

Gambar 5.13c. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan



elemen (h/L=0.001).

1

11

21

31

41

51

61

71

81

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE


1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE



Gambar 5.13d. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan



elemen (h/L=0.001).

Dari hasil perhitungan, terlihat bahwa untuk balok dengan h/L = 0.2,

perbandingan frekwensi tak berdimensi dari balok Timoshenko berbasis Kriging

dengan DSG dan solusi yang didapat dengan metode pseudospectral tidak begitu

jauh. Nilai perbandingan tersebut bervariasi antara 1 hingga 1.35, dimana

perbedaan fungsi korelasi tidak menimbulkan perbedaan yang jauh. Untuk balok

dengan h/L = 0.001, penyimpangan frekwensi tak berdimensi pada mode shape

yang memiliki nilai frekwensi tinggi sangat besar apabila dibagi dengan jumlah

elemen dibawah 32 elemen. Untuk balok dengan jumlah pembagian sebanyak 32

elemen, mulai terlihat nilai yang mendekati solusi balok tipis (balok Euler-

Bernoulli), terlebih lagi pada balok Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG

yang menggunakan fungsi korelasi Gaussian (P3-3-G (DSG)).

5.2.1.2. Analisa Getaran Bebas pada Perletakan Jepit-Jepit

Pada bagian ini akan dilakukan analisa getaran bebas dengan data balok

yang persis sama dengan sebelumnya, namun bedanya disini balok tersebut

memiliki perletakan jepit-jepit. Dalam analisa ini akan dibandingkan frekwensi tak

berdimensi (λ) dengan solusi yang didapatkan dengan metode pseudospectral

(untuk h/L = 0.2) dan solusi eksak balok Euler-Bernoulli (untuk h/L = 0.001). Hasil

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE



perhitungan dapat dilihat pada Tabel 5.12a, Tabel 5.12b, Tabel 5.13a, dan Tabel

5.13b. Tabel – tabel ini diperjelas dalam bentuk grafik dan dapat dilihat pada

Gambar 5.14 dan Gambar 5.15.


jepit-jepit (h/L=0.2) pada balok P3-3-G (DSG).

Mode λ∗

λ λ∗⁄


1 4.24201 0.999311 1.001521 1.001595 1.0016

2 6.41876 1.010618 1.001878 1.002259 1.002281

3 8.28532 1.151055 1.002764 1.002773 1.00283

4 9.90372 1.357721 1.008769 1.003022 1.003102

5 11.3847 1.251165 1.021904 1.000167 1.000123

6 12.6402 1.207274 1.045796 1.004049 1.003478

7 13.4567 - 1.010237 1.004447 1.004414

8 13.8101 - 1.045472 1.005226 1.003568

9 14.4806 - 1.038968 1.004003 1.003679

10 14.9383 - 1.050812 1.0074 1.003661

11 15.6996 - 1.076627 1.00389 1.003062

12 16.004 - 1.133145 1.011212 1.003863

13 16.9621 - 1.139077 1.003844 1.002503

14 16.9999 - 1.204373 1.016557 1.004099

15 17.9357 - - 1.019827 1.004352

*(pseudospectral)


jepit-jepit (h/L=0.2) pada balok P3-3-QS (DSG).

Mode λ∗

λ λ∗⁄


1 4.24201 4.258623 4.247792 4.248711 4.248791

2 6.41876 6.511485 6.432378 6.432832 6.433366

3 8.28532 9.543948 8.32325 8.307341 8.308652

4 9.90372 13.44845 10.00655 9.93287 9.934181

5 11.3847 14.17497 11.63813 11.38727 11.38564

6 12.6402 15.17035 13.24045 12.6939 12.68353

7 13.4567 - 13.59627 13.51683 13.51605

8 13.8101 - 14.4463 13.8849 13.85866

9 14.4806 - 15.03741 14.54043 14.53376

10 14.9383 - 15.70352 15.04904 14.99224

11 15.6996 - 16.88127 15.76425 15.74763

12 16.004 - 18.05927 16.17515 16.06523

13 16.9621 - 19.23492 17.0335 17.00475

14 16.9999 - 20.33777 17.25762 17.06938

15 17.9357 - - 18.30047 18.01422


jepit-jepit (h/L=0.001) pada balok P3-3-G (DSG).

Mode λeksak

(teori balok tipis)


1 4.730041 0.99735 1.001231 0.999994 0.999996

2 7.853205 5.146157 1.016558 1.000073 0.999989

3 10.995608 12.22725 1.468243 1.00046 0.999977

4 14.137166 175.1771 2.633541 1.001266 0.999966

5 17.27876 148.6229 4.200349 1.009117 0.999969

6 20.420352 129.462 6.266098 1.062225 1.000001

7 23.561945 - 8.943709 1.239714 1.000074

8 26.703538 - 83.80068 1.571316 1.00021

9 29.84513 - 82.06894 2.020987 1.000522


10 32.986723 - 76.2804 2.561619 1.001403

11 36.128316 - 71.60603 3.188076 1.003835

12 39.269908 - 66.69741 3.918625 1.009834

13 42.411501 - 61.93159 4.797951 1.022957

14 45.553093 - 57.66881 5.807221 1.0486

15 48.694686 - - 6.39758 1.093419


jepit-jepit (h/L=0.001) pada balok P3-3-QS (DSG).

Mode λeksak

(teori balok tipis)


1 4.730041 1.004368 1.001186 1.00004 0.999995

2 7.853205 4.223198 1.177453 1.001702 0.999986

3 10.995608 12.23607 1.76946 1.013319 1.000009

4 14.137166 173.2836 2.222043 1.058864 1.000212

5 17.27876 147.5479 2.774436 1.168851 1.000968

6 20.420352 129.1803 4.024152 1.332061 1.002996

7 23.561945 - 8.917109 1.492316 1.007435

8 26.703538 - 76.5291 1.604856 1.015804

9 29.84513 - 80.45329 1.601288 1.029791

10 32.986723 - 75.63969 1.573059 1.050769

11 36.128316 - 71.27617 1.762281 1.079133

12 39.269908 - 66.70722 2.209109 1.113775

13 42.411501 - 61.91154 2.944308 1.152086

14 45.553093 - 57.64571 4.229206 1.190521

15 48.694686 - - 6.336096 1.225263

Gambar 5.14a. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-

jepit) pada berbagai macam mode shape dalam balok Timoshenko

berbasis Kriging dengan DSG yang dibagi menjadi 4 elemen

(h/L=0.2).

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1 2 3 4 5 6

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE



Gambar 5.14b. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-



(h/L=0.2).

Gambar 5.14c. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-



(h/L=0.2).

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE


0.995

1

1.005

1.01

1.015

1.02

1.025

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE



Gambar 5.14d. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-



(h/L=0.2).

Gambar 5.15a. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-



(h/L=0.001).

0.999

1

1.001

1.002

1.003

1.004

1.005

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE


1

21

41

61

81

101

121

141

161

181

201

1 2 3 4 5 6

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE



Gambar 5.15b. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-



(h/L=0.001).

Gambar 5.15c. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-



(h/L=0.001).

1

11

21

31

41

51

61

71

81

91

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE


1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE



Gambar 5.15d. Perbandingan frekuensi getar bebas tanpa dimensi (perletakan jepit-



(h/L=0.001).

Terlihat dari hasil perhitungan bahwa untuk balok dengan h/L = 0.2,

perbandingan frekwensi tak berdimensi dari balok Timoshenko berbasis Kriging

dengan DSG dan solusi yang didapat dengan metode pseudospectral tidak begitu

jauh. Nilai perbandingan tersebut bervariasi antara 1 hingga 1.36, dan adanya

perbedaan fungsi korelasi tidak menimbulkan perbedaan yang jauh. Untuk balok

dengan h/L = 0.001, penyimpangan frekwensi tak berdimensi pada mode shape

yang memiliki nilai frekwensi tinggi sangat jauh sekali apabila dibagi dengan

jumlah elemen dibawah 32 elemen. Untuk balok dengan jumlah pembagian

sebanyak 32 elemen, mulai terlihat nilai yang mendekati solusi balok tipis (balok

Euler-Bernoulli), terlebih lagi pada balok Timoshenko berbasis Kriging dengan

DSG yang menggunakan fungsi korelasi Gaussian (P3-3-G (DSG)).

5.2.2. Investigasi Terhadap Konvergensi Ragam Getar Pada Analisis

Getaran Bebas dengan Menggunakan 4, 8, 16, dan 32 Elemen.

Dengan menggunakan data – data balok yang sama persis dengan sub bab

sebelumnya, akan dilakukan analisa getaran bebas dengan jumlah pembagian

elemen sebanyak 4, 8, 16, dan 32 elemen. Seperti pada sub bab sebelumnya, balok

dianalisa dengan jenis perletakan sendi-sendi dan jepit-jepit. Hasil perhitungan dari

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE



subbab sebelumnya telah mencakup perhitungan untuk pembagian elemen

sebanyak 4, 8, 16, dan 32 elemen, telah ditunjukkan dalam Tabel 11, Tabel 12,

Tabel 12, dan Tabel 13. Hasil perbandingan konvergensi frekwensi tak berdimensi

ditunjukkan dalam Gambar 16, Gambar 17, Gambar 18 dan Gambar 19.

5.2.2.1. Konvergensi Ragam Getar Pada Perletakan Sendi-Sendi

Dari Gambar 16 dan Gambar 17, terlihat bahwa semakin banyak jumlah

elemen yang digunakan dalam suatu balok, maka nilai frekwensi tak berdimensi

yang dihasilkan semakin mendekati solusi eksaknya. Oleh karena itu dapat

disimpulkan bahwa nilai frekwensi tak berdimensi tersebut bersifat konvergen.

Seperti yang terlihat pada subbab sebelumnya perbedaan fungsi korelasi tidak

begitu berpengaruh dalam perubahan nilai frekwensi tak berdimensi yang

dihasilkan. Namun untuk mendapatkan nilai frekwensi yang dekat dengan solusi

eksak, jumlah pembagian elemen minimum adalah 16 elemen untuk balok dengan

h/L = 0.2 dan 32 elemen untuk balok dengan h/L = 0.001.

Gambar 5.16a. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan sendi-

sendi) untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-G (DSG)

dengan perbandingan kelangsingan h/L=0.2.

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE

Solusi Pseudospectral 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen


Gambar 5.16b. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan sendi-

sendi) untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-QS (DSG)


Gambar 5.17a. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan sendi-

sendi) untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-G (DSG)


1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE


1

21

41

61

81

101

121

141

161

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE

Solusi Balok Tipis 4 elemen 8 elemen 16 elemen 32 elemen


Gambar 5.17b. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan sendi-

sendi) untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-QS (DSG)


5.2.2.2. Konvergensi Ragam Getar Pada Perletakan Jepit-Jepit

Dari Gambar 5.18 dan Gambar 5.19, dapat dilihat bahwa semakin banyak

jumlah elemen yang digunakan dalam suatu balok, maka nilai frekwensi tak

berdimensi yang dihasilkan semakin mendekati solusi eksaknya. Oleh karena itu

maka nilai frekwensi tak berdimensi tersebut bersifat konvergen. Seperti yang

terlihat pada subbab sebelumnya perbedaan fungsi korelasi tidak begitu

berpengaruh dalam nilai frekwensi tak berdimensi yang dihasilkan. Untuk

mendapatkan nilai frekwensi yang dekat dengan solusi eksak, jumlah pembagian

elemen minimum adalah 16 elemen untuk balok dengan h/L = 0.2 dan 32 elemen

untuk balok dengan h/L = 0.001.

1

21

41

61

81

101

121

141

161

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE



Gambar 5.18a. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan jepit-jepit)

untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-G (DSG) dengan

perbandingan kelangsingan h/L=0.2.

Gambar 5.18b. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan jepit-jepit)

untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-QS (DSG) dengan


1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE


1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE



Gambar 5.19a. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan jepit-jepit)

untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-G (DSG) dengan


Gambar 5.19b. Perbandingan konvergensi ragam getar balok (perletakan jepit-jepit)

untuk 4, 8, 16 dan 32 elemen pada balok P3-3-QS (DSG) dengan


5.2.3. Investigasi Analisis Getaran Bebas Pada Elemen Balok Model

Friedman & Kosmatka (1993) Terhadap MEH-K dengan DSG

Pada subbab ini akan dilakukan analisa getaran bebas pada balok

Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG dengan model balok seperti yang

1

21

41

61

81

101

121

141

161

181

201

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE


1

21

41

61

81

101

121

141

161

181

201

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

NO

RM

ALI

ZED

FR

EQU

ENC

Y

MODE SHAPE



terdapat dalam Friedman & Kosmatka (1993). Balok ini memiliki perletakan sendi

– sendi. Data – data balok adalah sebagai berikut:

E = 1

v = 0.3

b = 0.2

h = 0.2

Hasil analisa yang dibandingkan adalah frekwensi getar alami balok (ω).

Frekwensi balok akan dibandingkan dengan solusi eksak frekwensi getar alami

pertama balok Timoshenko (ωi), dimana nilai ωi dihitung menggunakan persamaan:

𝜔𝑖 = (𝜋

𝐿)

2

√𝐸𝐼

𝜌𝐴 (5.7)

Hasil perbandingan ini dapat dilihat pada Tabel 5.14 dan diperjelas dengan

Gambar 5.20a, Gambar 5.20b, dan Gambar 5.20c.

Tabel 5.14. Perbandingan frekuensi getar alami antara interpolasi Kriging dengan

model elemen balok Friedman & Kosmatka pada balok tebal (h/L =

0.2) dengan 4, 8, dan 20 elemen.

Mode Shape

Solusi

Eksak

(𝜔𝑇/𝜔𝑖)

(𝜔/𝜔𝑇)

4 elemen 8 elemen 20 elemen

F&K P3-3-G

(DSG)

P3-3-QS

(DSG) F&K

P3-3-G

(DSG)

P3-3-QS

(DSG) F&K

P3-3-G

(DSG)

P3-3-QS

(DSG)

1 0.9404 1.0024 0.9980 1.0003 1.0006 1.0000 0.9999 1.0001 1.000057 1.000054

2 3.2672 1.0281 1.0044 1.0090 1.0067 0.9992 0.9996 1.001 0.999974 0.999939

3 6.2514 1.0952 1.3103 1.3180 1.0241 0.9996 1.0019 1.0038 0.999948 0.999845

4 9.497 1.5101 1.8297 1.8297 1.055 1.0107 1.0125 1.0088 0.999902 0.999737

5 12.8357 1.4682 1.4442 1.4408 1.0985 1.0438 1.0446 1.0161 0.999902 0.999738

6 16.1981 1.2714 1.3588 1.3535 1.1371 1.0727 1.0727 1.0258 1.000081 1.000016


Gambar 5.20a. Perbandingan frekuensi getar alami antara interpolasi Kriging

dengan model elemen balok Friedman & Kosmatka pada balok tebal

(h/L = 0.2) dengan 4 elemen.

Gambar 5.20b. Perbandingan frekuensi getar alami antara interpolasi Kriging



1.0000

1.1000

1.2000

1.3000

1.4000

1.5000

1.6000

1.7000

1.8000

1.9000

1 2 3 4 5 6

ω/ω

T

MODE SHAPE

P3-3-G (DSG) P3-3-QS (DSG) F&K

0.9800

1.0000

1.0200

1.0400

1.0600

1.0800

1.1000

1.1200

1.1400

1.1600

1 2 3 4 5 6

ω/ω

T

MODE SHAPE



Gambar 5.20c. Perbandingan frekuensi getar alami antara interpolasi Kriging



Dari Tabel dan Grafik tersebut, dapat dilihat bahwa untuk pembagian

jumlah elemen sedikit (4 elemen), hasil yang didapatkan oleh Fried & Kostmatka

menunjukkan hasil yang lebih baik daripada hasil balok Timoshenko berbasis

Kriging dengan DSG. Namun untuk jumlah pembagian 8 dan 20 elemen, terlihat

bahwa hasil balok Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG menunjukkan hasil

yang lebih baik daripada hasil yang diperoleh Fried & Kosmatka. Hasil yang

ditunjukkan oleh balok Timoshenko berbasis Kriging juga konvergen seiring

bertambahnya jumlah pembagian elemen balok.

5.2.4. Variasi Bentuk Ragam Getar Balok Timoshenko Berbasis Kriging

dengan DSG

Variasi bentuk ragam getar balok Timoshenko berbasis Kriging dengan

DSG dapat dilihat pada Lampiran 1 dan Lampiran 2. Pada Lampiran 1, balok yang

digunakan memiliki perletakan sendi-sendi, sedangkan pada Lampiran 2, balok

yang digunakan memiliki perletakan jepit-jepit. Masing – masing balok dibagi

menjadi 32 elemen, dan menggunakan 2 macam ketebalan yaitu balok tebal (h/L =

0.2) dan balok tipis (h/L = 0.001). Fungsi basis yang digunakan adalah fungsi basis

0.995000

1.000000

1.005000

1.010000

1.015000

1.020000

1.025000

1.030000

1 2 3 4 5 6

ω/ω

T

MODE SHAPE



cubic dengan 3 lapis DOI. Fungsi korelasi yang digunakan adalah fungsi korelasi

Gaussian. Bentuk ragam getar yang ditampilkan dibatasi sampai 15 ragam getar

saja.

5.3. Analisis Stabilitas

5.3.1. Investigasi Terhadap Jumlah Sampling Point yang Efisien untuk

Integrasi Shape Function dalam Membentuk Matriks Kekakuan Geometris

Pada bagian ini akan diteliti jumlah sampling point yang efisien untuk

integrasi Shape Function dalam membentuk matriks kekakuan geometris, yang

didapatkan dari Persamaan (3.13). Balok yang digunakan dalam analisis ini

memiliki perletakan sendi-sendi, dan dibagi menjadi 4 elemen. Ilustrasi mengenai

balok ini dapat dilihat pada Gambar 5.21. Adapun data-data mengenai balok ini

adalah sebagai berikut:

L = 10 m

b = 1 m

h = 10 m

E = 2 x 109 kg/m2

v = 0.3

Hasil yang didapatkan adalah berupa gaya tekan kritis (Pcr) yang

didapatkan dari persamaan (3.16). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 5.15

dan Gambar 22. Dalam tabel dan gambar tersebut, terlihat bahwa baik dengan

menggunakan fungsi korelasi Gaussian ataupun Quartic Spline, nilai Pcr yang

dihasilkan tidak mengalami perubahan nilai apabila digunakan jumlah sampling

point diatas 3 titik. Maka untuk seterusnya, digunakan jumlah sampling point

sebanyak 3 titik.

Gambar 5.21. Balok Timoshenko dengan perletakan sendi – sendi yang dibagi

menjadi 4 elemen.


Tabel 5.15. Gaya tekan kritis (Pcr) yang dihasilkan berbagai jumlah sampling

point.

Jumlah Sampling Point Pcr


1 4.71E+09 4.70E+09

2 3.67E+09 3.95E+09

3 3.65E+09 3.91E+09

4 3.65E+09 3.91E+09

Gambar 5.22. Gaya tekan kritis (Pcr) yang dihasilkan berbagai jumlah sampling

point.

5.3.2. Investigasi Konvergensi Gaya Tekan Kritis Pada Balok Timoshenko

berbasis Kriging

Pada bagian ini akan dilakukan analisa konvergensi gaya tekan kritis (Pcr)

dengan berbagai jumlah elemen. Balok yang dianalisa memiliki data - data balok

seperti pada subbab 5.3.1, kecuali tinggi balok yang berbeda dalam bagian ini.

Fungsi korelasi yang digunakan adalah fungsi korelasi Gaussian dan Quartic

Spline. Pada bagian ini, analisa mencakup balok Timoshenko berbasis Kriging

dengan DSG maupun tanpa DSG (MEH-K Standar). Fungsi basis yang digunakan

adalah fungsi basis quadratic dan cubic. DOI yang digunakan sebanyak 2 dan 3

lapis. Hasil Pcr yang didapatkan akan dibandingkan dengan solusi eksak yang

didapatkan dari Kosmatka (1995), dimana nilai Pcr tersebut dihitung dengan

persamaan:

𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼

𝐿𝑒𝑓𝑓2 {

1

1+𝜋2𝐸𝐼

𝐿𝑒𝑓𝑓2𝑘𝐺𝐴

} (5.8)

di mana E = frekwensi struktur,

3.50E+09

3.70E+09

3.90E+09

4.10E+09

4.30E+09

4.50E+09

4.70E+09

4.90E+09

1 2 3 4

Gay

a Te

kan

Kri

tis

(Pcr

)

Jumlah Sampling Point

P3-3-G (DSG)

P3-3-QS(DSG)


𝐼 = panjang balok,

Leff = panjang efektif balok (L untuk sendi-sendi, L/2

untuk jepit-jepit),

k = faktor koreksi geser balok,

G = modulus geser balok, dan

A = luas penampang balok.

Dalam analisa ini digunakan balok dengan L/h bervariasi, mulai dari 1, 5,

10, 102, 103, dan 104. Jumlah elemen yang digunakan adalah 2, 4, 8, 16, dan 32

elemen.

5.3.2.1.Konvergensi Gaya Tekan Kritis Pada Perletakan Sendi-Sendi

Dengan data-data balok seperti yang telah diketahui sebelumnya, akan

dilakukan analisa untuk mencari Pcr dari balok tersebut. Hasil analisa dapat dilihat

pada Tabel 5.16a sampai Tabel 5.16f, dan diperjelas dengan Gambar 5.23a sampai

Gambar 5.23f.

Tabel 5.16a. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P2-2-G dan solusi

eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan, dengan

jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.

Jumlah

Elemen

Pcr / Pcr eksak (P2-2-G)

L/h

1 5 10 102 103 104

2 1.05316606 1.192315 1.209445 1.215788 1.215854 1.215854

4 1.00262755 1.041707 1.104069 1.213546 1.215831 1.215854

8 1.00009185 1.001998 1.006836 1.121514 1.214055 1.215836

16 1.00000292 1.00007 1.000266 1.008253 1.125723 1.214249

32 1.00000009 1.000002 1.000009 1.000444 1.008008 1.140121

Tabel 5.16b. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P2-2-QS dan solusi



Jumlah

Elemen

Pcr / Pcr eksak (P2-2-QS)

L/h

1 5 10 102 103 104

2 1.053166 1.192315 1.209445 1.215788 1.215854 1.215854

4 1.00284 1.043727 1.107089 1.213668 1.215832 1.215854

8 1.00011 1.002253 1.007771 1.142083 1.214692 1.215842

16 1.000004 1.000089 1.000336 1.014606 1.17865 1.215402

32 1 1.000004 1.000014 1.000912 1.041185 1.20634


Tabel 5.16c. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-G dan solusi


jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.

Jumlah

Elemen


L/h

1 5 10 102 103 104

4 1.00055615 1.010022 1.034184 1.204924 1.215739 1.215853

8 1.00000378 1.000036 1.000111 1.003083 1.093522 1.21306

16 1.00000003 1 1 1.000021 1.001168 1.066906

32 1 1 1 1 1.000019 1.001765

Tabel 5.16d. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-QS dan solusi



Jumlah

Elemen


L/h

1 5 10 102 103 104

4 1.000666 1.012508 1.041722 1.207196 1.215764 1.215853

8 1.000006 1.000068 1.000213 1.009358 1.173062 1.215323

16 1 1.000001 1.000002 1.00019 1.016856 1.193186

32 1 1 1 1.000003 1.000305 1.026376

Tabel 5.16e. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-G (DSG) dan

solusi eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan,

dengan jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.

Jumlah

Elemen

Pcr / Pcr eksak (P3-3-G (DSG))

L/h

1 5 10 102 103 104

4 0.99815997 0.994145 0.993716 0.99356 0.993559 0.993559

8 0.99996308 0.999882 0.999874 0.999908 1.000289 1.000389

16 0.99999838 0.999995 0.999994 0.999994 0.999998 1.000028

32 0.9999999 1 1 1 1 0.999998

Tabel 5.16f. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-QS (DSG) dan



Jumlah

Elemen

Pcr / Pcr eksak (P3-3-QS (DSG))

L/h

1 5 10 102 103 104

4 0.999564 0.998607 0.998504 0.998467 0.998467 0.998467

8 0.999917 0.999734 0.999715 0.999768 1.00021 1.000258

16 0.999993 0.999978 0.999977 0.999977 1.000004 1.00043

32 1 0.999999 0.999998 0.999998 0.999999 1.000011


Gambar 5.23a. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P2-2-G dan solusi

eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan balok,

dengan jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.

Gambar 5.23b. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P2-2-QS dan

solusi eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan balok,


0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

2 4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

P2-2-G

L/h=1

L/h=5

L/h=10

L/h=100

L/h=1000

L/h=10000

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

2 4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

P2-2-QS

L/h=1

L/h=5

L/h=10

L/h=100

L/h=1000

L/h=10000


Gambar 5.23c. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-G dan solusi

eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan balok,


Gambar 5.23d. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-QS dan



0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

P3-3-G

L/h=1

L/h=5

L/h=10

L/h=100

L/h=1000

L/h=10000

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

P3-3-QS

L/h=1

L/h=5

L/h=10

L/h=100

L/h=1000

L/h=10000


Gambar 5.23e. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-G (DSG) dan



Gambar 5.23f. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-QS (DSG)

dan solusi eksaknya pada balok dengan berbagai macam ketebalan

balok, dengan jumlah pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.

Dari Tabel dan Grafik tersebut, terlihat bahwa hasil Pcr yang didapatkan

bersifat konvergen seiring bertambahnya jumlah elemen yang digunakan. Selain itu

juga terlihat bahwa untuk balok tebal (L/h = 1 dan 5) baik untuk MEH-K Standar

maupun MEH-K dengan DSG menunjukkan hasil yang baik (perbandingan Pcr

yang dihasilkan dengan Pcr eksak sangat mendekati satu). Untuk hasil dari

perhitungan MEH-K standar menggunakan fungsi basis quadratic (P2-2-G dan P2-

0.993

0.994

0.995

0.996

0.997

0.998

0.999

1

1.001

4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

P3-3-G (DSG)

L/h=1

L/h=5

L/h=10

L/h=100

L/h=1000

L/h=10000

0.998

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005

4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

P3-3-QS (DSG)

L/h=1

L/h=5

L/h=10

L/h=100

L/h=1000

L/h=10000


2-QS) ketika nilai L/h mencapai 10 menunjukkan hasil perbandingan Pcr dengan Pcr

eksak yang mencapai lebih dari 1.2, meskipun dengan peningkatan jumlah elemen,

hasilnya konvergen. Untuk hasil perhitungan MEH-K standar dengan fungsi basis

cubic (P3-3-G dan P3-3-QS) juga terlihat hal yang sama saat nilai L/h mencapai

100. Hal ini terjadi karena untuk balok yang tipis, memang terjadi fenomena shear

locking pada MEH-K standar. Namun untuk MEH-K dengan DSG, baik untuk

balok tebal maupun tipis, semua hasil perbandingan Pcr dengan Pcr eksak yang

dihasilkan sangat mendekati satu.

5.3.2.2. Konvergensi Gaya Tekan Kritis Pada Perletakan Jepit-Jepit

Dengan data-data balok seperti yang telah diketahui sebelumnya, akan

dilakukan analisa untuk mencari Pcr dari balok tersebut. Hasil analisa dapat dilihat

pada Tabel 5.17a sampai Tabel 5.17f, dan diperjelas dengan Gambar 5.24a sampai

Gambar 5.24l.

Terlihat dari tabel dan grafik tersebut bahwa hasil Pcr yang didapatkan

bersifat konvergen seiring bertambahnya jumlah elemen yang digunakan. Selain itu

juga terlihat bahwa untuk balok sangat tebal (L/h = 1) baik untuk MEH-K Standar

maupun MEH-K dengan DSG menunjukkan hasil yang baik (perbandingan Pcr

yang dihasilkan dengan Pcr eksak sangat mendekati satu). Hasil perhitungan MEH-

K standar dengan fungsi basis quadratic (P2-2-G dan P2-2-QS) ketika nilai L/h

mencapai 5 menunjukkan hasil Pcr yang hasilkan dengan jumlah pembagian elemen

sedikit sangat jauh dari solusi eksaknya, meskipun dengan peningkatan jumlah

elemen, hasilnya konvergen. Hal yang sama juga terlihat pada hasil perhitungan

MEH-K standar dengan fungsi basis cubic (P3-3-G dan P3-3-QS) saat nilai L/h

lebih dari 100. Ini merupakan akibat dari fenomena shear locking yang terjadi pada

balok tipis pada MEH-K standar. Namun untuk MEH-K dengan DSG, baik untuk

balok tebal maupun tipis, semua hasil perbandingan Pcr dengan Pcr eksak yang

dihasilkan nilainya mendekati satu.

Tabel 5.17a. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P2-2-G dan solusi


jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen. Jumlah

Elemen


L/h


1 5 10 102 103 104

2 1.09933449 3.483362344 10.93344938 994.344938 99335.49 9933450

4 1.01208053 1.277249158 2.077405864 107.272109 10626.59 1062559

8 1.00040168 1.005971017 1.01792252 2.16192877 115.0739 11406.19

16 1.00001194 1.000128856 1.000299434 1.01525476 2.335789 134.1003

32 1.00000035 1.000003219 1.000005785 1.00022279 1.018984 2.853989

Tabel 5.17b. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P2-2-QS dan solusi



Jumlah

Elemen


L/h

1 5 10 102 103 104

2 1.099334 3.483362 10.93345 994.3449 99335.49 9933450

4 1.012734 1.292612 2.137577 113.2293 11222.25 1122124

8 1.000481 1.007569 1.023954 2.819819 181.3192 18031.21

16 1.000018 1.000231 1.00066 1.0498 5.839188 484.6553

32 1.000001 1.00001 1.000028 1.002294 1.226571 23.6398

Tabel 5.17c. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-G dan solusi



Jumlah

Elemen


L/h

1 5 10 102 103 104

4 1.00759779 1.10028286 1.282577999 23.6753792 2262.358 226130.6

8 1.00006623 1.000904164 1.002292489 1.01957206 1.860669 85.80569

16 1.00000059 1.000012428 1.000044822 1.001141 1.010677 1.511177

32 1 1.000000115 1.000000458 1.0000237 1.000401 1.01567

Tabel 5.17d. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-QS dan solusi



Jumlah

Elemen


L/h

1 5 10 102 103 104

4 1.008192 1.115729 1.345132 29.96693 2891.552 289050.1

8 1.000091 1.001168 1.002885 1.056817 5.537273 453.371

16 1.000001 1.000022 1.000074 1.002425 1.115961 10.82168

32 1 1 1.000001 1.000058 1.003405 1.185696

Tabel 5.17e. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-G (DSG) dan



Jumlah

Elemen

Pcr / Pcr eksak (P3-3-G (DSG))

L/h

1 5 10 102 103 104

4 1.00738211 1.103352006 1.13555461 1.15108998 1.151263 1.151265

8 0.99975629 0.99810104 0.997661805 1.00250727 1.056164 1.068828

16 0.99997554 0.999807058 0.999754251 0.99974165 0.999943 1.00256

32 0.99999885 0.999990901 0.999988404 0.99998728 0.999988 0.999998


Tabel 5.17f. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok P3-3-QS (DSG) dan



Jumlah

Elemen

Pcr / Pcr eksak (P3-3-QS (DSG))

L/h

1 5 10 102 103 104

4 1.008908 1.125357 1.165444 1.184962 1.185181 1.185183

8 0.999646 0.997233 0.996543 1.004254 1.061172 1.066809

16 0.999966 0.999735 0.999662 0.999667 1.002776 1.053156

32 0.999998 0.999982 0.999978 0.999976 0.999988 1.001174

Gambar 5.24a. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko

berbasis Kriging dengan fungsi basis quadratic dan DOI 2 lapis (P2-

2-G dan P2-2-QS) dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 1,


Gambar 5.24b. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko

berbasis Kriging dengan fungsi basis cubic dan DOI 3 lapis dengan

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

2 4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

L/h = 1

P2-2-G

P2-2-QS

0.999

1.001

1.003

1.005

1.007

1.009

1.011

4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

L/h = 1

P3-3-G

P3-3-QS

P3-3-G (DSG)

P3-3-QS (DSG)


dan tanpa DSG (P3-3-G, P3-3-QS, P3-3-G (DSG), P3-3-QS (DSG))

dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 1, dengan jumlah

pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.

Gambar 5.24c. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko




Gambar 5.24d. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko





0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

2 4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

L/h = 5

P2-2-G

P2-2-QS

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

1.14

4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

L/h = 5

P3-3-G

P3-3-QS

P3-3-G (DSG)

P3-3-QS (DSG)


Gambar 5.24e. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko




Gambar 5.24f. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko





1

3

5

7

9

11

13

2 4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

L/h = 10

P2-2-G

P2-2-QS

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

L/h = 10

P3-3-G

P3-3-QS

P3-3-G (DSG)

P3-3-QS (DSG)


Gambar 5.24g. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko




Gambar 5.24h. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko





1

201

401

601

801

1001

1201

2 4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

L/h = 100

P2-2-G

P2-2-QS

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

L/h = 100

P3-3-G

P3-3-QS

P3-3-G (DSG)

P3-3-QS (DSG)


Gambar 5.24i. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko


2-G dan P2-2-QS) dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h =

1000, dengan jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.

Gambar 5.24j. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko





1

20001

40001

60001

80001

100001

120001

2 4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

L/h = 1000

P2-2-G

P2-2-QS

-499

1

501

1001

1501

2001

2501

3001

3501

4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

L/h = 1000

P3-3-G

P3-3-QS

P3-3-G (DSG)

P3-3-QS (DSG)


Gambar 5.24k. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko


2-G dan P2-2-QS) dan solusi eksaknya pada balok dengan L/h =

10000, dengan jumlah pembagian 2, 4, 8, 16, dan 32 elemen.

Gambar 5.24l. Perbandingan gaya tekan kritis (Pcr) antara balok Timoshenko





5.3.3. Variasi Bentuk Ragam Tekuk Balok Timoshenko Berbasis Kriging

dengan DSG

Variasi bentuk ragam tekuk balok Timoshenko berbasis Kriging dengan

DSG dapat dilihat pada Lampiran 3. Balok yang digunakan memiliki perletakan

1

20001

40001

60001

80001

100001

120001

2 4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

L/h = 10000

P2-2-G

P2-2-QS

-49999

1

50001

100001

150001

200001

250001

300001

350001

4 8 1 6 3 2

Pcr

/ P

crek

sak

Jumlah Elemen

L/h = 10000

P3-3-G

P3-3-QS

P3-3-G (DSG)

P3-3-QS (DSG)


sendi-sendi dan jepit-jepit. Masing – masing balok dibagi menjadi 32 elemen, dan

memiliki data penampang dan material yang sama dengan perhitungan pada subbab

5.3.1 dan 5.3.2. Fungsi basis yang digunakan adalah fungsi basis cubic dengan 3

lapis DOI. Fungsi korelasi yang digunakan adalah fungsi korelasi Gaussian.

5.4. Analisis Dinamik Getaran Bebas Dari Balok yang Dibebani Gaya Aksial

5.4.1. Investigasi Konvergensi Frekwensi Getar Alami dari Balok yang

Dibebani Gaya Aksial

Pada bagian ini akan dilakukan analisa getaran bebas terhadap balok

Timoshenko berbasis Kriging yang dibebani gaya aksial. Perhitungan dilakukan

dengan fungsi korelasi Gaussian dan Quartic Spline, fungsi basis quadratic dan

cubic, DOI 3 lapis, dengan maupun tanpa DSG. Balok tersebut dianalisa dengan

perletakan sendi – sendi. Adapun data – data balok adalah sebagai berikut:

L = 10 m

b = 1 m

E = 2 x 109 kg/m2

v = 0.3

ρ = 10 kg/m3

L/h = 10 dan 104

P = 0.1 Pcr (tekan)

Hasil perhitungan dari analisa getaran bebas ini berupa frekwensi dan

ragam getar dari struktur balok yang ditinjau. Nilai yang dibandingkan dalam

analisa getaran bebas ini adalah nilai frekwensi ragam getar pertama struktur. Nilai

frekwensi tersebut akan dibandingkan dengan solusi eksaknya yang didapatkan dari

Kosmatka (1995), yaitu:

𝜔 = 𝜔𝐵𝐸𝐾𝑠𝐾𝑝 (5.9)

di mana ω = frekwensi pertama struktur,

𝜔𝐵𝐸 = frekwensi ragam getar pertama balok Euler-

Bernoulli dari persamaan (5.7),

Ks = modifikasi frekwensi akibat memperhitungkan

deformasi geser dan rotasi inersia, dan

Kp = modifikasi frekwensi akibat adanya gaya aksial


Nilai Ks didapatkan dari persamaan:

𝐾𝑠 = √1+

𝜋2𝐼

𝐴𝐿2(1+𝐸

𝑘𝐺)

1+𝜋2𝐼

𝐴𝐿2(1+𝐸

𝑘𝐺−

𝑃

𝑘𝐺𝐴) (5.10)

di mana I = inersia balok,

A = luas penampang balok,

L = panjang bentang balok,

E = modulus elastisitas balok,

k = faktor koreksi geser penampang balok,

G = modulus geser balok, dan

P = gaya aksial yang bekerja pada balok

Nilai Kp didapatkan dari persamaan:

𝐾𝑝 = √1 −𝑃

𝑃𝑐𝑟 − 𝑚 (5.11)

di mana P = gaya aksial yang bekerja pada balok, dan

𝑃𝑐𝑟 − 𝑚 = gaya tekan kritis dari balok pada ragam tekuk ke m,

Dalam kasus ini diambil ragam tekuk pertama saja

(m=1).

Dalam analisa ini, digunakan jumlah elemen yang bervariasi dari 4, 8, 16,

dan 32 elemen. Hasil perhitungan untuk balok dengan L/h=10 ditunjukkan dalam

Tabel 5.18a, sedangkan untuk balok dengan L/h=104 ditunjukkan dalam Tabel

5.18b. Kedua tabel ini diperjelas dengan Gambar 5.25a dan Gambar 5.25b.

Tabel 5.18a. Perbandingan frekuensi antara balok Timoshenko berbasis Kriging

dan solusi eksaknya dengan L/h=10 dengan jumlah pembagian 4, 8,

16, dan 32 elemen.

Jumlah

Elemen

Perbandingan Frekuensi Pertama

P3-3-G

(DSG)

P3-3-QS

(DSG) P3-3-G P3-3-QS P2-2-G P2-2-QS

4 0.98115403 0.983935418 1.002962 1.007224 1.042315 1.044004

8 0.98372103 0.983636114 0.983849 0.983906 0.987626 0.988144

16 0.98378396 0.983774355 0.983787 0.983788 0.983936 0.983975

32 0.98378679 0.983786146 0.983787 0.983787 0.983792 0.983795


Tabel 5.18b. Perbandingan frekuensi pertama antara balok Timoshenko berbasis

Kriging dan solusi eksaknya dengan L/h=104 dengan jumlah

pembagian 4, 8, 16, dan 32 elemen.

Jumlah

Elemen

Perbandingan Frekuensi Pertama

P3-3-G

(DSG)

P3-3-QS

(DSG) P3-3-G P3-3-QS P2-2-G P2-2-QS

4 0.99722374 1.000138045 1.120811 1.120811 1.120811 1.120811

8 1.00023716 1.000138045 1.119196 1.120504 1.120801 1.120805

16 1.00001629 1.000250675 1.03698 1.107839 1.119867 1.120547

32 1.00000023 1.000005614 1.000982 1.01462 1.077391 1.115273

Gambar 5.25a. Perbandingan frekuensi pertama antara balok Timoshenko berbasis

Kriging dengan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 10, dengan


Gambar 5.25b. Perbandingan frekuensi pertama antara balok Timoshenko berbasis

Kriging dengan solusi eksaknya pada balok dengan L/h = 104, dengan


0.98

0.99

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

4 8 1 6 3 2

No

rmal

ized

Fre

qu

ency

Jumlah Elemen

L/h = 10

P3-3-G (DSG)

P3-3-QS (DSG)

P3-3-G

P3-3-QS

P2-2-G

P2-2-QS

Solusi Eksak

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

1.14

4 8 1 6 3 2

No

rmal

ized

Fre

qu

ency

Jumlah Elemen

L/h = 10000

P3-3-G (DSG)

P3-3-QS (DSG)

P3-3-G

P3-3-QS

P2-2-G

P2-2-QS

Solusi Eksak


Terlihat bahwa hasil untuk balok dengan L/h=10, semua hasil yang

ditunjukkan konvergen seiring semakin banyaknya jumlah pembagian balok.

Semua hasil yang dihasilkan sudah baik dan dekat dengan solusi eksaknya. Namun

terlihat bahwa hasil perbandingan frekwensi konvergen ke nilai 0.9838, bukan ke

nilai 1. Terlihat juga bahwa hasil balok Timoshenko berbasis Kriging dengan DSG

lebih baik daripada tanpa DSG. Untuk balok dengan L/h=104, nilai hasil

perbandingan frekwensi konvergen ke nilai 1. Nilai perbandingan untuk MEH-K

tanpa DSG telah lebih dari 1.1, sedangkan untuk MEH-K dengan DSG masih sangat

dekat dengan solusi eksaknya.

Documents

5. PERHITUNGAN NUMERIK · 40 Universitas Kristen Petra 5. PERHITUNGAN NUMERIK Dalam bab ini akan dilakukan perhitungan numerik untuk menguji keakuratan elemen balok Timoshenko berbasis