EJEMPLO 7.1

Dos barcos salen simultáneamente de un puerto, uno viaja hacia el Sur a una velocidad de30 km/h y el otro hacia el Este a una velocidad de 40 km/h. Despuéss de 2 horas ¿cuáll es la velocidad de separaciónn de los dos barcos?

Página 3-4 Razones de cambio relacionadas.

Ejemplo similar planteado:

Dos ómnibus de larga distancia salen al mismo horario desde la terminal principal de Buenos Aires. Uno se dirige hacia la provincia de Mendoza a una velocidad de 80 km/h y el otro hacia la provincia de Rio Negro a una velocidad de 100 km/h. Despues de 4 horas, ¿Cuál es la velocidad de separación de los dos vehículos?

¿Qué es lo que pide el problema?. Se pide calcular la velocidad a la que se están separando los vehículos después de 4 horas de haber partido desde la terminal de Buenos Aires. Si se considera que z(t) es la distancia que separa a los barcos en cierto instante t, entonces lo que se desea es calcular la rapidez con que cambia ( razón de cambio de ) la distancia z(t) al paso del tiempo. Esto pide calcular la derivada cuando el tiempo transcurrido es de 2 horas. Antes de iniciar su desplazamiento

Considerando al punto T como el origen de nuestro sistema de referencia y a los micros A y B desplazándose a movimientos rectos a velocidad constante.

Si X(t) es la velocidad recorrida en t horas por el micro M que se desplaza hacia Mendoza entonces

X(t)=VM.t=(80km/h)(t h)=80 t km

Si Y(t) es la velocidad recorrida en t horas por el micro R que se desplaza hacia Rio Negro entonces

Y(t)=VR.t=(100km/h)(t h)=100 t kmPor el teorema de Pitágoras la distancia Z que separa a los 2 ómnibus cumple con:

z (t )2=x ( t )2+ y (t )2¿ (80 t )2+ (100 t )2=6400 t 2+10000 t 2=16400 t2

z (t )=√16400 t 2z (t )=128.06 t km

La distancia z(t) es la función lineal z (t )=128.06 t por lo que su derivada es dzdt

=128.06, que es

una función constante. En cualquier instante t>0, los micros se separan a una velocidad constante z´(t)=128.06 km/h.Despues de 2 horas , z´(2)=128.06 km/h