Embed Size (px)
Citation preview
51. Magnituds directament
proporcionals
2. Raons i proporcions
3. Percentatges
4. Descomptes i augments
5. Interès simple
Sovint, els mitjans de comunicació ens informen de l’IPC i de la infl ació.
L’IPC és l’índex de preus al consum i ens mostra, en forma de percentatge, quin augment mitjà han experimentat els preus durant un període de temps. Les administracions públiques informen de l’IPC mensual. Si se sumen els valors de l’IPC dels dotze mesos de l’any, s’obté el que s’anomena infl ació anual.
Vegem-ho amb uns quants exemples:
•Si l’IPC del darrer mes ha estat del 0,4 %, vol dir que, de mitjana, durant el mes passat els preus han augmentat 0,4 € per cada 100 €.
•Si la infl ació de l’any passat va ser del 3,8 %, vol dir que un article que fa un any es podia comprar per 100 € ara costa 103,8 €.
Proporcionalitat numèrica. Percentatges
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 106 16/12/11 10:46
Proporcionalitat numèrica. Percentatges
oBJectius
• Identifi car raons i proporcions.•Efectuar càlculs amb magnituds directament proporcionals. •Relacionar un percentatge amb una raó de denominador 100.•Aplicar els conceptes de percentatge i proporcionalitat al càlcul de descomptesi augments.
•Practicar càlculs d’interès simple.
QÜestions
• Expressa en forma de nombre decimal les
fraccions:
4—5
, 9—2
, 3
——100
, 358——100
.
•Divideix 31,25 entre 1,25, i 0,25 entre 0,01.
•Troba el valor de n en cada cas:
3—4
de 36 = n 3—7
de n = 27 n de 15 = 5
•Calcula mentalment el valor de t que falta en
cadascuna de les operacions següents:
48 · t = 96 0,013 : t = 13
t : 100 = 12,89 0,05 · 0,1 = t
•Si 0,5 kg de cireres costen 1,10 €, quant
costen 2 kg?
I 1—4
de kg?
comPetències BÀsiQues
A banda de la competència matemàtica, en
aquesta unitat treballaràs també les competèn-
cies següents:
6. La competència d’autonomia i iniciativa per-
sonal.
7. La competència en el coneixement i la inter-
acció amb el món físic.
8. La competència social i ciutadana.
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 107 16/12/11 10:46
108
5 ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
1. magnituds directament proporcionals
A la unitat 3 d’aquest llibre has estudiat el concepte de magnitud. Recorda que s’anomenen magnituds les propietats dels cossos que es poden mesurar.
Sovint, els diferents valors que poden prendre les mesures es poden relacionar entre si. Fixa’t en l’exemple següent:
Has de comprar 3 kg de taronges. Saps que 1 kg d’aquesta fruita costa 2,10 €. Per tant, hauràs de pagar 6,30 € per la compra.
És clar que les magnituds nombre de quilograms de taronges comprades i euros a pagar per comprar-les estan relacionades, perquè si comprem més taronges, pa-garem més euros.
Escrivim alguns dels parells de valors que es relacionen en aquest exemple:
kg de taronges comprats euros a pagar
1 kg → 2,10 €
2 kg → 4,20 €
3 kg → 6,30 €
4 kg → 8,40 €
5 kg → 10,50 €
6 kg → 12,60 €
... → ...
A cada nombre de quilograms de taronges comprats li correspon un nombre de-terminat d’euros a pagar. Es tracta de dos valors que s’anomenen correspo-nents.
Concretem una mica més el tipus de relació que hi ha entre aquestes dues magni-tuds: fixa’t que si comprem el doble de quilograms, paguem el doble d’euros; si en comprem la tercera part, paguem també la tercera part, i així successivament.
Observa què passa en cada parell de valors corresponents si dividim els euros pagats entre el nombre de quilograms comprats:
12,60 : 6 = 2,1010,50 : 5 = 2,10 8,40 : 4 = 2,106,30 : 3 = 2,10 4,20 : 2 = 2,102,10 : 1 = 2,10
El quocient de totes aquestes divisions és el mateix i coincideix amb el preu d’1 kg de taronges, és a dir, 2,10 €.
També podem indicar les divisions efectuades de la manera següent:
12,60 €6 kg
= 10,50 €5 kg
= 8,40 €4 kg
= 6,30 €3 kg
= 4,20 €2 kg
= 2,10 €1 kg
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 108 16/12/11 10:46
5ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
109
La darrera expressió indica l’import que cal pagar per 1 kg de taronges. Per aquest motiu, el preu de compra de les taronges se sol representar així: 2,10 €/kg. Proba-blement l’has vist escrit d’aquesta manera en alguna botiga.
Els valors corresponents d’una relació que s’estableix entre dues magnituds que es comporten com les de l’exemple es diu que són directament pro-porcionals. El quocient entre els valors corresponents és constant i s’anomena constant de proporcionalitat.
En l’exemple que hem treballat, la constant de proporcionalitat és 2,10.
activitats resoltes
1. Fixa’t novament en els parells de valors corresponents de les magnituds de l’exemple anterior. Com són, entre si, els quocients de les divisions entre el nombre de quilograms comprats i el preu pagat per cada compra? Quin signi-� cat té el quocient obtingut?
Indiquem, com si fossin fraccions, les divisions que hem d’efectuar, i calculem en cada cas el quocient aproximat a les centèsimes:
6 kg
12,60 € ≃ 0,48 kg/€
5 kg10,50 €
≃ 0,48 kg/€
4 kg
8,40 € ≃ 0,48 kg/€
3 kg6,30 €
≃ 0,48 kg/€
2 kg
4,20 € ≃ 0,48 kg/€
1 kg2,10 €
≃ 0,48 kg/€
Els quocients de les divisions anteriors són iguals. Podem escriure la sèrie de divi-sions indicades següent:
6 kg12,60 €
= 5 kg
10,50 € =
4 kg8,40 €
= 3 kg
6,30 € =
2 kg4,20 €
= 1 kg
2,10 € =
0,48 kg1 €
Aquest quocient, 0,48 kg/€, representa el nombre de quilograms de taronges que podem comprar amb un euro.
Les magnituds de l’exercici són directament proporcionals, perquè el quocient entre cada parell de valors corresponents és constant. Fixa’t que si dupliquem, per exemple, el nombre de quilograms de taronges que comprem, cal duplicar també el nombre d’euros a pagar. De la mateixa manera, si només hem de comprar la tercera part de quilograms de taronges, també pagarem la tercera part d’euros. El quocient obtingut, que és 0,48 kg/€, és la constant de propor-cionalitat.
2. Determina si les magnituds edat i pes d’una persona són directament propor-cionals.
Per respondre afi rmativament cal que, en fer les divisions entre les edats succes-sives d’una persona i el pes de la persona en aquella edat, els quocients siguin iguals. És evident que els resultats de les divisions són diferents: només cal que pensis en el pes i en l’edat que tens en aquest moment i en el pes que tindràs quan doblis, per exemple, l’edat. Segur que el pes no serà el doble!
Aquestes dues magnituds no són directament proporcionals. Per això no és possible calcular el pes d’una persona en les seves edats successives.
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 109 16/12/11 10:46
110
5 ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
2. raons i proporcions S’anomena raó una expressió que indica la relació que s’estableix entre dos nom-bres.
Si volem indicar de manera matemàtica que 2 de cada 3 alumnes d’una classe
practiquen esport, podem escriure 23
: la relació entre 2 i 3, en aquest cas alum-
nes, s’indica amb la raó 23
.
Recorda que una fracció representa, entre altres significats, una divisió indi-cada entre dos nombres
naturals: 25
= 0,4.
La relació entre dos nombres es pot expressar mitjançant moltes raons diferents.
La relació entre 2 i 3 també es pot escriure amb la fracció 46
, per exemple. Fixa’t
que és el mateix dir 2 de cada 3 alumnes que 4 de cada 6. D’aquesta manera, po-dem escriure:
23
= 46
Les dues raons que acabem d’escriure són dues fraccions equivalents i formen una proporció.
En una proporció es compleix la propietat fonamental de les fraccions equiva-lents:
2 · 6 = 3 · 4
Els nombres 2, 6, 3 i 4 són els termes de la proporció. El 2 i el 6 són els extrems i el 3 i el 4 són els mitjans. El producte dels extrems és igual al producte dels mit-jans.
La raó ab
és el quocient entre els nombres a i b.
Una proporció és una igualtat entre dues raons, ab
= cd
, on es verifica que el
producte dels extrems és igual al producte dels mitjans: a · d = b · c.
Fixa’t que amb els quatre termes d’una proporció es poden escriure vuit propor- cions diferents, les quals verifiquen sempre la propietat fonamental:
23
= 46
63
= 42
24
= 36
32
= 64
46
= 23
42
= 63
64
= 32
36
= 24
En les vuit proporcions es compleix la igualtat dels productes 2 · 6 = 3 · 4.
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 110 16/12/11 10:46
5ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
111
activitats resoltes
3. Tres barres de pa costen 2,25 €. Quina és la raó que relaciona el nombre de barres de pa comprades i l’import que hem de pagar? Quant costa una barra de pa? Escriu la raó corresponent a la compra de quatre barres de pa. Escriu la proporció entre les dues raons.
La raó que relaciona l’import amb el nombre de barres de pa és 2,25 €
3 barres.
Per trobar el preu d’una barra de pa es divideixen els 2,25 € entre 3:
2,25 : 3 = 0,75
És a dir, 0,75 €/barra. Aquesta expressió ens indica que una barra de pa costa 0,75 €.
Per saber l’import de quatre barres:
0,75 € · 4 = 3 €
La raó corresponent a la compra de quatre barres és: 3 €
4 barres.
2,25 €3 barres
= 3 €
4 barres és la proporció entre les dues raons corresponents a
les compres de tres i quatre barres, perquè entre les dues raons es verifi ca la pro-pietat fonamental:
2,25 · 4 = 3 · 3
4. Si 100 g de patates fregides contenen 38,24 g de greixos, quina quantitat de greixos hi ha en 80 g de patates fregides?
Podem aplicar dos procediments diferents per respondre a la pregunta:
Calculem quina quantitat de greix hi ha en 1 g de patates fregides i multipliquem el resultat per 80. És a dir, fem la reducció a la unitat:
38,24100
· 80 = 0,3824 · 80 = 30,592
És a dir, en 80 g de patates fregides hi ha 30,592 g de greixos.
Escrivim la proporció corresponent a les relacions indicades, representant amb la lletra c el terme que no coneixem:
38,24 g greixos100 g patates fregides
= c
80 g patates fregides
Per trobar el valor de c, només cal que recordis que els termes d’una proporció compleixen la propietat fonamental, és a dir:
38,24 · 80 = 100 · c
Calculem el producte de 38,24 per 80:
3 059,2 = 100 · c
Per trobar el valor de c, cal dividir 3 059,2 entre 100:
c = 3 059,2 : 100 = 30,592
Així hem trobat el terme que faltava en una proporció.
En 80 g de patates fregides hi ha 30,592 g de greixos.
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 111 16/12/11 10:46
112
5 ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
3. Percentatges Un percentatge és una raó, és a dir, una relació entre dos nombres, el denomina-dor de la qual és 100. Per indicar que ens referim a un percentatge utilitzem el símbol %; per exemple:
5 % → 5100
2,3 % → 2,3100
Els percentatges permeten relacionar dues quantitats de la mateixa manera que una altra quantitat es relaciona amb 100. Per exemple, 12 es relaciona amb 25 de la mateixa manera que 48 es relaciona amb 100. Aquesta relació la podem ex-pressar en forma de proporció utilitzant un percentatge:
1225
= 48100
→ 48 %
Aquestes dues raons formen una proporció, perquè:
12 · 100 = 25 · 48
Moltes informacions que rebem dels mitjans de comunicació s’expressen en for-ma de percentatges. El comerç i les finances utilitzen contínuament aquestes raons de denominador 100. Aprofundim una mica més en aquest concepte, mit-jançant un exemple:
La Marta és una jugadora de bàsquet que té un percentatge d’encert de triples del 40 %. Això significa que de cada 100 triples que llança, n’encistella 40. Si du-rant l’entrenament d’avui té previst fer 35 llançaments des de més enllà de la línia de 6,25 m, quants triples és probable que encistelli?
Podem expressar el 40 % com una raó amb denominador 100 i escriure la propor-ció amb una altra raó de denominador 35:
40100
= a35
, on a representa el nombre probable de triples que encistellarà la Marta
durant l’entrenament.
Podem calcular el valor de a a partir de la igualtat de productes que es verifica en una proporció:
40 · 35 = a · 100
a = 40 · 35100
a = 1 400100
a = 14
A l’entrenament d’avui, la Marta encistellarà, probablement, 14 triples dels 35 que llançarà.
Aquest càlcul es pot plantejar d’una altra manera. Com que un percentatge és una fracció amb denominador 100, es pot calcular directament la fracció d’un nombre, en el nostre cas, el 40 % de 35:
40 % de 35 = 40100
· 35 = 0,4 · 35 = 14
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 112 16/12/11 10:46
5ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
113
activitats resoltes
5. El prospecte que acompanya un xarop per al refre-dat inclou la composició del medicament. Les quan-titats s’hi expressen en percentatges referits al vo-lum total de xarop que hi ha dins l’envàs:
30 % codeïna
20 % mel
10 % llimona
40 % aigua
En el cas que la dosi recomanada per dia sigui de 30 mL, quina quantitat de cada producte es pren?
Per calcular els mil·lilitres de cada producte que es consumeixen en un dia, podem escriure una propor-ció que relacioni cada percentatge amb una altra raó de denominador 30, i buscar el terme que hi manca. Recorda que el que volem conèixer és el volum de cada component que es pot prendre en un dia si la dosi és de 30 mL, i no de 100 mL:
Codeina: 30
100 =
c30
→ c = 30 · 30
100 = 9
Mel: 20
100 =
m30
→ m = 20 · 30
100 = 6
Llimona: 10
100 =
l30
→ l = 10 · 30
100 = 3
Aigua: 40
100 =
a30
→ a = 40 · 30
100 = 12
Amb 30 mL de xarop, es prenen 9 mL de codeïna, 6 mL de mel, 3 mL de llimona i 12 mL d’aigua.
Per trobar el volum que es pren de cada component també es pot calcular la fracció d’un nombre:
30 % de 30 mL →0,3 · 30 mL = 9 mL
20 % de 30 mL →0,2 · 30 mL = 6 mL
10 % de 30 mL →0,1 · 30 mL = 3 mL
40 % de 30 mL →0,4 · 30 mL = 12 mL
En 30 mL de xarop hi ha 9 mL de codeïna, 6 mL de mel, 3 mL de llimona i 12 mL d’aigua.
Observa que la suma dels percentatges és 100:
30 % + 20 % + 10 % + 40 % = 100 %
Fixa’t que la suma de les quantitats dels diferents pro-ductes és 30 mL:
9 mL + 6 mL + 3 mL + 12 mL = 30 mL
6. En una classe de 1r d’ESO hi ha 24 alumnes, 18 dels quals són noies. Quin és el percentatge de nois d’aquest grup?
Calculem primer el percentatge de noies. Es tracta de trobar quantes noies hi hauria en aquest grup si esti-gués format per 100 alumnes i es mantingués la rela-ció entre el nombre de noies i el nombre total d’alumnes.
Escrivim la raó entre el nombre de noies i el nombre
d’alumnes del grup: 1824
.
Tot seguit, busquem una raó amb denominador 100
que formi proporció amb 1824
i calculem el terme que hi manca:
p100
= 1824
p =
18 · 10024
= 75
El percentatge de noies del grup és del 75 %. Per tro-bar el de nois, només cal restar de 100 el percentatge de noies:
100 % – 75 % = 25 %
El percentatge de nois d’aquest grup és del 25 %.
7. Calcula mentalment els percentatges de 36 següents: 10 %, 20 %, 25 %, 50 %.
Escrivim les fraccions amb denominador 100 corres-ponents als percentatges indicats, i les simplifi quem:
10 % →10
100 = 1
10 20 % →
20100
= 15
25 % →25
100 = 1
4 50 % →
50100
= 12
Calculem aquestes fraccions de 36 i observem quines operacions cal efectuar:
110
· 36 = 3,6 Calcular el 10 % d’un nombre és el ma-
teix que dividir-lo entre 10.
15
· 36 = 7,2 Calcular el 20 % d’un nombre és el ma-
teix que dividir-lo entre 5.
14
· 36 = 9 Calcular el 25 % d’un nombre és el mateix
que dividir-lo entre 4.
12
· 36 = 18 Calcular el 50 % d’un nombre és el ma-
teix que dividir-lo entre 2.
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 113 16/12/11 10:46
114
5 ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
4. Descomptes i augments Les activitats econòmiques i comercials que duem a terme contínuament ens exigeixen que sapiguem calcular descomptes i augments de quantitats inicials. Sovint, els descomptes i els augments es calculen mitjançant percentatges.
•Un descompte és una quantitat que es resta d’un valor determinat.
Calculem quin serà el valor del nombre 30, per exemple, si se li aplica un des-compte del 15 %:
Calculem el 15 % de 30, que és la quantitat que s’ha de descomptar:
15 % de 30 → 15 · 30100
= 4,5
Restem 4,5 de 30 per trobar el nou valor:
30 – 4,5 = 25,5
El procediment de càlcul d’un descompte és molt senzill, però el podem fer encara una mica més ràpid. Calculem directament el 85 % de 30, perquè si el descompte és del 15 %, el nou valor suposa el 85 % del preu inicial:
100 – 15 = 85
85 % de 30 → 85 · 30100
= 25,5
En realitat, només cal multiplicar 30 per 0,85:
30 · 85100
= 30 · 0,85 = 25,5
•Un augment és una quantitat que s’afegeix a un valor determinat.
Per trobar quina quantitat resulta en augmentar un 16 % el valor de 45, per exemple, calculem primer el percentatge indicat:
16 % de 45 → 16 · 45100
= 7,2
Afegim 7,2 a 45:7,2 € + 45 € = 52,2 €
També podem resoldre el problema plantejant una proporció, perquè el nou valor i 45 s’han de relacionar entre ells de la mateixa manera que 116 amb 100, atès que el valor 100, amb un 16 % d’augment, es converteix en 116. Anome-nem x el valor que volem calcular:
x45
= 116100
Trobem el valor de x, que és el terme que manca en la proporció:
x = 45 · 116100
= 52,2
En realitat, només cal multiplicar 45 per 1,16, és a dir, calcular el 116 % de 45, perquè si l’augment és del 16 %, el nou valor suposa el 116 % del preu inicial:
45 · 116100
= 45 · 1,16 = 52,2
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 114 16/12/11 10:46
5ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
115
activitats resoltes
8. Si unes sabates, abans de l’època de rebaixes, costaven 88 € i el seu preu ac-tual és de 61,6 €, quin percentatge de descompte s’hi ha aplicat?
Hem de trobar una fracció de denominador 100 que formi proporció amb la raó entre el descompte i la quantitat inicial.
Calculem primer el descompte:
88 € – 61,6 € = 26,4 €
Escrivim la proporció:
26,488
= p
100 p =
26,4 · 10088
= 30
El percentatge de descompte que s’ha aplicat a les sabates és el 30 %.
9. S’han pagat 81,4 € per una jaqueta que estava rebaixada un 45 %. Quant costava abans de les rebaixes?
Si el descompte ha estat del 45 %, els 81,4 € que costa actualment la jaqueta corresponen al 55 % del preu inicial. Per tant, si anomenem x la quantitat que volem calcular:
55 % de x → 81,4
55
100 · x = 81,4 →x = 81,4 :
55100
→x = 81,4 · 100
55 = 148
La jaqueta, abans de les rebaixes, costava 148 €.
10. La Judith cobra un sou mensual de 1 220 €. El mes de gener va tenir un aug-ment de sou del 3,5 %. Quant cobrava l’any passat?
Si l’augment va ser del 3,5 %, resulta que per cada 100 € que cobrava abans, ara rep 103,5 €. Escrivim una proporció entre aquestes quantitats i els sous de l’any passat i de l’actual, i calculem el terme que hi falta. Anomenem s el sou de l’any passat:
100103,5
= s
1 220 →s =
100 · 1 220103,5
→s ≃ 1 178,74 €
La Judith, l’any passat, cobrava 1 178,74 €.
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 115 16/12/11 10:46
116
5 ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
5. interès simple El concepte d’interès simple es refereix a les quantitats que s’abonen per uns estalvis o per un préstec en una relació comercial. Aquestes quantitats es calculen a partir d’un percentatge que decideix, normalment, una entitat fi nancera. És el que s’anomenat rèdit.
En general, per calcular els interessos produïts per una quantitat C durant t anys a un rèdit r, cal fer les operacions que s’indiquen en la fórmula se-güent, que s’anomena fórmula de l’interès simple:
i = C · r · t100
exemple
A uns estalvis de 3 500 €, s’hi aplica un rèdit d’augment del 2,8 % anual. Calculem els interessos que generaran aquests estalvis d’aquí a 3 anys:
L’oferta d’un rèdit del 2,8 % anual significa que cada 100 € ingressats es converteixen, cada any, en 102,8 €.
Calculem l’augment anual, és a dir, el 2,8 % de 3 500 €:
2,8 · 3 500
1 00 = 98
Cada any, els estalvis augmenten 98 €. Per calcular l’augment en 3 anys, hem de multiplicar aquesta quantitat per 3:
98 · 3 anys = 294
Observa que les operacions que hem fet es poden resumir en una única expressió. Si anomenem i els interessos generats, podem escriure:
i = 3 500 · 2,8 · 31 00
= 294
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 116 16/12/11 10:46
5ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
117
activitats resoltes
11. Els pares de l’Adrià han demanat un préstec a una entitat � nancera per po-der fer unes obres a casa. La caixa d’estalvis els ha deixat 15 000 €, que hau-ran de retornar d’aquí a 5 anys, amb uns interessos calculats a partir d’un rèdit del 9,4 % anual. Quina quantitat pagaran els pares de l’Adrià en con-cepte d’interessos? Quina quantitat � nal retornaran?
Calculem primer els interessos del préstec:
i = 15 000 · 9,4 · 5
100 = 7 050
D’aquí a 5 anys, els pares de l’Adrià han d’haver retornat la quantitat inicial pres-tada més els interessos generats:
15 000 € + 7 050 € = 22 050 €
Els interessos del préstec rebut són 7 050 €. La quantitat fi nal que han de retor-nar és de 22 050 €.
12. En Lluís vol comprar mobles per al seu pis nou. Necessita 8 500 €, però no-més en té estalviats 6 000. Una entitat � nancera li ofereix un préstec per a la resta, perquè té una feina amb contracte inde� nit, i li cobra un rèdit del 7 % anual. Per retornar el préstec, en Lluís pagarà una quantitat cada mes durant 4 anys. Quant haurà de pagar cada mes?
Calculem la quantitat que rebrà en Lluís en concepte de préstec i els interessos que haurà d’abonar a l’entitat fi nancera:
8 500 € – 6 000 € = 2 500 €
i = 2 500 · 7 · 4
100 =
70 000100
= 700
En Lluís rebrà un préstec de 2 500 €, pels quals haurà d’abonar 700 € d’interessos, en 4 anys. Repartim el total d’euros que ha de retornar en 12 mensualitats per any, és a dir, en 48 mensualitats:
2 500 € + 700 € = 3 200 €3 200 : 48 ≃ 66,67 €
En Lluís haurà de pagar 66,67 € cada mes, durant 4 anys, per retornar el préstec rebut.
13. Una família va invertir, fa 5 anys, 2 500 € en una operació bancària. Si ara que ha acabat la inversió ha rebut 2 812,5 € del banc, quin ha estat el rèdit anual de l’operació?
Calculem quina és la quantitat que correspon als interessos guanyats en l’operació bancària, mitjançant una resta:
2 812,5 € – 2 500 € = 312,5 €
Considerem l’expressió general per calcular l’interès que suposa la inversió de 2 500 € durant 5 anys. La lletra r representa el percentatge del rèdit que volem calcular:
312,5 = 2 500 · r · 5
100
Efectuem els càlculs:31 250 = 12 500 · r
r = 31 25012 500
r = 2,5
El rèdit de l’operació bancària ha estat del 2,5 % anual.
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 117 16/12/11 10:46
118
5 ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
Proposades
1. Indica si les parelles de magnituds següents de-penen l’una de l’altra i, en cas afi rmatiu, si són di-rectament proporcionals:
a) El temps que dediques a preparar un examen i la puntuació que obtens.
b) El nombre d’euros que pagues a una entitat bancària i el nombre de dòlars que reps per la quantitat d’euros pagada.
c) El temps que trigues per anar de Barcelona a Girona i la velocitat del vehicle que t’hi porta.
d) El nombre de paquets de sucre, tots de la ma-teixa massa, i el pes que suposa la seva càrre-ga.
2. L’Àlex compra 5 paquets de caramels i en paga 6 €. Si n’hagués comprat 3 paquets, quant hauria pagat? El nombre de paquets comprats i els euros pagats són magnituds directament pro-porcionals? Escriu cinc parells diferents de valors corresponents per a aquesta relació entre magni-tuds. Quant costa 1 paquet de caramels com els que ha comprat l’Àlex?
3. El cor d’una persona ha bategat 96 vegades el darrer minut. Quantes vegades ha bategat en 15 segons?
4. Per cuinar un guisat de patates per a 4 persones, calen 1 kg de patates, 150 g de tomàquet ratllat, 1,5 cebes tallades, 100 g de pernil i mig quilogram de costella. Quines quantitats de cada ingredient caldran per fer el guisat per a 10 persones?
5. La Maria ha canviat 650 € en dòlars per anar als Estats Units. Si el canvi d’avui és 1 € = 1,20 S||, quants dòlars ha rebut?
6. Calcula el terme que falta en cadascuna de les proporcions següents:
a) 5
2,3 = 15x
b) x12,6 = 2,3
1,8
7. Si una bombona de butà dura 2 setmanes, quan-tes bombones de butà es gastaran en un any?
8. Per pintar les parets de 5 aules d’una escola, fan falta 4,25 pots de pintura. Quants pots caldran per pintar 9 aules iguals que les anteriors?
9. Escriu quines de les parelles de raons següents formen una proporció, després d’haver compro-vat si verifi quen la propietat fonamental de les proporcions:
a) 34 i 9
13
b) 4,518 i 13,5
64
c) 15 i 6
30
d) 1,23,2 i 1,5
4
10. Escriu vuit proporcions diferents que es deduei-xin de la igualtat 5 · 9 = 15 · 3.
11. Calcula el terme que manca en cada proporció:
a) 37 = 6
a
b) b25 = 48
100
c) 2,6c = 13
20
d) 3,98,5 = 5,07
d
12. Escriu una raó que formi proporció amb 2,60,8 .
N’hi ha més d’una?
13. Un jugador de bàsquet ha encistellat 90 vegades dels 150 llançaments que ha fet. Quina és la raó entre el nombre de cistelles i el nombre de llan-çaments? En cas que continuï amb la mateixa efectivitat, quants encerts pot esperar si llança 100 vegades?
14. Si en una zona de la selva amazònica es perden 420 ha de bosc en 7 dies, quantes hectàrees es perdran en 18 dies? I en un dia?
15. Una moto es desplaça a una velocitat constant de 90 km/h. Quants quilòmetres podrà recórrer si circula durant 3 h?
Activitats
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 118 16/12/11 10:46
5ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
119
16. Per alimentar 15 conills durant 3 dies, es paguen 112,5 €. Calcula el preu que costa alimentar 25 conills durant 7 dies.
17. La Isabel té 350 € estalviats i en vol destinar el 15 % a una ONG. Quants euros donarà? Quants diners li quedaran?
18. El percentatge de possessió de pilota d’un equip en un partit de futbol ha estat del 58 %. Quin per-centatge de possessió de pilota ha tingut l’equip contrari?
19. El resultat d’un estudi entre joves sobre les activi-tats que realitzen el cap de setmana indica que al 55 % els agrada anar al cinema, al 38 % els agrada fer esport, i a la resta, veure la televisió. Quin per-centatge de joves representa el darrer grup?
20. Troba el valor de la lletra n en cadascun dels ca-sos següents:
a) 24 % de 550 és n
b) 16 % de n és 75
c) n % de 724 és 275,12
d) n % de 1 250 és 500
e) 25 % de 634 és n
f) 20 % de n és 64
21. Si m’han fet el 30 % de descompte en un llibre que costava 16 €, quants diners he pagat?
22. Calcula el percentatge de descompte que s’ha aplicat a un article que abans costava 85 € i que ara costa 68 €.
23. Als avis d’en Manel se’ls va espatllar la rentadora. La factura de la reparació va ser de 135 €, als quals es va afegir el 16 % d’IVA. Quant van haver de pagar els avis d’en Manel?
24. L’entrada per visitar un museu és de 4 €. Als me-nors de 18 anys i als més grans de 65 anys, els fan el 20 % de descompte. Quant costa una entrada rebaixada?
25. Una entrada de cinema costa 6,20 €. El dia de l’espectador, costa 4,96 €. Quin és el percentatge de descompte aplicat?
26. El nombre d’alumnes d’una escola que van apro-var les matemàtiques el curs passat va augmen-tar el 12 % respecte al curs anterior. Si el curs an-terior havien aprovat 625 alumnes, quants ho van fer el curs passat?
27. Calcula mentalment i respon: tinc 100 € i me’n gasto el 40 %. Del que em queda, me’n gasto el 20 %. Quants euros tinc fi nalment?
28. Calcula el 20 % del 45 % de 1 500.
29. En un grup de 16 amics, 6 estudien anglès quan surten de l’escola. Quin és el percentatge de membres del grup que no fan aquesta activitat en sortir de l’escola?
30. Els meus oncles van pagar el 10 % del preu de la seva casa nova quan van signar el contracte de compra. Si aquesta quantitat va ser de 48 000 €, quant els va costar la casa?
31. En unes eleccions a la presidència d’un club es-portiu, han votat 850 socis. Un dels candidats ha rebut 420 vots; un altre, 215, i el tercer, la resta dels vots. Quin percentatge de vots ha rebut cada candidat?
32. Per una camisa que costava 43 €, se’n van pagar 36,12 €. Quin va ser el percentatge de descompte aplicat?
33. En Guillem ha demanat un préstec de 1 200 €, pel qual li cobraran el 6 % anual durant 5 anys. Quants diners haurà de retornar, en total, en aquest temps?
34. Els 370 € que té estalviats la Mercè li donen un rèdit de l’1,5 % anual, durant 5 anys, en una enti-tat fi nancera. La seva germana té estalviats 295 € i aconsegueix un rèdit del 2,2 % anual, durant 4 anys. Quina de les dues germanes rebrà més interessos?
35. Per un préstec de 6 000 €, una caixa d’estalvis co-bra el 8 % anual. Es vol tornar el préstec en 36 mesos. Quina és la quantitat que s’haurà de pagar d’interessos? Quina quantitat total s’haurà de pagar cada mes?
Activitats
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 119 16/12/11 10:46
120
5 ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
reforç
1. Escriu el nom de dues magnituds que siguin di-rectament proporcionals entre si i de dues altres que no ho siguin.
2. Indica si és certa la proporció 1229
= 60144
. Per què?
3. Els 800 kg d’escombraries que es recullen durant una setmana en una comunitat de veïns es com-ponen dels materials següents: 420 kg de matè-ria orgànica, 128 kg de paper i cartró, 110 kg d’envasos, 95 kg de vidre i 47 kg de materials di-versos. Quin percentatge representa cada tipus d’escombraries?
4. Una ciutat que actualment té 425 000 habitants experimenta un ritme de creixement del 0,5 % anual. Quants habitants tindrà l’any vinent? I d’aquí a 2 anys?
5. Si vaig comprar un cotxe per 12 500 € i el vull vendre per 10 200 €, quin percentatge represen-ta la pèrdua de valor del vehicle?
6. Si el cost de l’energia consumida per una bombe-ta en una hora de funcionament és de 0,15 €, calcula quant costarà tenir-la encesa 90 dies, a raó de 7 hores diàries.
7. Per comprar un ordinador, demanes un préstec de 1 200 €. L’has de retornar després d’1 any, mitjançant una quantitat mensual que inclou uns interessos del 7,5 %. Quant pagaràs cada mes?
8. Un paquet de 250 g de galetes té aquesta com-posició de masses: 20 % de fi bra, 70 % de sucres, 6 % de proteïnes i 4 % de greixos. Quants grams hi ha de cada component en el paquet de gale-tes?
9. Si 100 g de sucre proporcionen 387 calories, quantes calories proporcionen els 15 g de sucre que hi ha en un fl am?
10. Calcula els percentatges següents:
a) 15 % de 90
b) 24 % de 120
c) 3 % de 15
d) 2,5 % de 40
11. Calcula el cost de 8 sacs de patates de 35,5 kg cadascun, a raó de 0,85 € el kg.
12. Si el prospecte d’un medicament ens informa que cada 150 g del producte contenen 90 g d’un compost determinat, quants grams d’aquest compost hi haurà en 500 g del producte?
13. Un pagès llaura 2,25 ha cada dia. Quants dies necessita per llaurar 27 ha?
14. Si un cotxe que va a una velocitat constant ha recorregut 200 km en 2 h, quants en recorrerà si circula només 1 h? I si circula 4 h?
Activitats
36. Quins interessos produiran 5 000 € invertits du-rant 10 anys al 4 % anual?
37. La factura d’un restaurant va ser de 90,25 €, als quals es va aplicar el 7 % d’IVA. Quin va ser l’import fi nal?
38. Calcula quants diners haurem de retornar a un banc que ens ha deixat 1 000 €, al 7,5 % anual, du-rant 4 anys.
39. Quin va ser el percentatge d’IVA aplicat a una factura de 575 €, si l’import fi nal va ser de 609,5 €?
40. El darrer any, els preus van pujar una mitjana del 3,9 %. Quant costava, de mitjana, un article el preu del qual ha augmentat en 4 €?
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 120 16/12/11 10:46
5ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
121
15. Indica si les raons següents formen una proporció:
a) 49 i 2,8
6,3
b) 1,340,9 i 10
9
16. Les notes sobre 10 obtingudes per la Laia i en Bernat a la darrera prova de matemàtiques van ser 7 i 6, respectivament. Escriu, per a cada alum-ne, la raó entre la puntuació obtinguda i el nom-bre màxim de punts que podia obtenir.
17. Escriu el terme que falta en les proporcions se-güents:
a) a2,5 = 6
1,5
b) 12,42,5
= b0,9
18. Indica si les parelles de magnituds següents són directament proporcionals o no:
a) L’hora del dia i la temperatura que marca el termòmetre en aquell moment.
b) Els anys que tens i la teva alçada.
c) El preu que pagues en comprar capses iguals de bombons i el nombre de capses que en compres.
d) El nombre de litres de suc de taronja i el nom-bre d’envasos d’un litre de capacitat que els contenen.
19. En Joan va canviar 10 € per 13 S . Quants dòlars hauria rebut si hagués canviat 25 €?
20. Un comerciant ha venut 150 camises per 4 500 €. Quantes camises com aquestes pot vendre per 2 400 €? Quant costa una camisa?
21. Calcula mentalment el valor de n en les igualtats següents:
a) n % de 25 → 2,5
b) 20 % de 150 → n
c) 8 % de n → 16
22. Si un jugador de bàsquet té un percentatge d’encerts en tirs lliures del 80 %, quants punts es preveu que pot obtenir en un partit, si en llança 15?
23. Els diners invertits en una caixa d’estalvis per en Pere, durant 3 anys, li han donat un interès de 24 €. Si el rèdit al qual els va col·locar era del 2,5 %, quina va ser la quantitat inicial inverti-da?
24. Per la compra de dos parells de mitjons, a 5,5 € cada parell, m’han descomptat el 20 % del total. Quant he pagat?
25. Escriu la constant de proporcionalitat del parell
de raons següent: 2,525 = 9
90 .
26. El temps de possessió de pilota en un partit de futbol per part de l’equip local ha estat del 65 %. Quin percentatge de possessió de pilota ha tin-gut l’equip visitant? Si el partit ha durat 92 mi-nuts, quants minuts ha tingut la pilota cada equip?
27. Per preparar un pastís per a 5 persones, necessi-tes 2 ous, 100 g de farina i 60 g de sucre. Quina quantitat necessites de cada ingredient, si vols fer un pastís per a 10 persones? I per a 6 perso-nes?
28. La raó entre dos nombres és 3,65 . Expressa
aquesta raó en forma de percentatge.
29. Els preus dels productes d’alimentació han aug-mentat el 0,5 % en un mes. Calcula quant costa 1 kg de tomàquets pel qual es pagaven 3,25 € el mes passat.
30. D’aquí a 3 anys, has de tornar un préstec de 500 €, pel qual pagaràs uns interessos correspo-nents al 9,5 % anual. Quina serà la quantitat fi nal que pagaràs?
Activitats
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 121 16/12/11 10:46
122
5 ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
ampliació+
1. La raó entre dues mesures és 125 . Si la mesura
gran és 78, quina és la mesura petita?
2. La longitud del trajecte que recorre un cotxe a una velocitat constant i el temps que inverteix en recórrer-lo són magnituds directament propor-cionals? Si la velocitat constant és de 80 km/h, quina serà la longitud recorreguda en 2 h? I en
6 h? I en 12 h?
3. Calcula el consum mitjà de gasolina (litres per cada 100 km recorreguts) d’un cotxe que per fer 90 km ha gastat 7,5 L de gasolina sense plom.
4. En un peça metàl·lica, el 75 % és crom. Quina és la massa de la peça si té 225 g de crom?
5. Per 14 €, un banc et dóna 105 corones daneses. Quantes corones daneses rebràs per 600 €? Quants euros hauràs de pagar si vols tenir 630 corones daneses?
6. Les rebaixes d’uns grans magatzems suposen l’aplicació del 20 % de descompte durant la pri-mera quinzena. Passat aquest període de temps, s’aplica el 25 % afegit al descompte anterior. Quant costa fi nalment un article que inicialment costava 128 €? Quin percentatge total de des-compte s’ha aplicat?
7. En una empresa es reté el 20 % del sou d’un tre-ballador, en concepte d’IRPF. Si a un treballador li han retingut 322 €, quin és el sou que cobra cada mes?
8. Calcula els diners que es van ingressar en un banc, fa 8 anys, si han produït uns interessos de 224 € a un rèdit del 3,6 % anual.
9. Fa un any el preu de lloguer d’un pis era de 474,50 €. Si actualment és de 526,35 €, quin per-centatge ha augmentat?
10. Si en una població de 350 000 habitants n’hi ha 4 000 que no tenen feina, quin és el percentatge d’aturats?
11. Escriu el nom de tres parells de magnituds que siguin directament proporcionals entre si.
12. Una sonda espacial fa 2 voltes a la Terra cada 125 dies. Quantes voltes farà en 250 dies? I en 1 000 dies? I en 60 h?
13. Una motocicleta consumeix 2 L de gasolina cada 100 km, que es paguen a 1,05 € el litre. Quants quilòmetres es poden fer amb la gasolina que es compra per 5,25 €?
14. Un disc compacte que costava 16,45 € es ven a les rebaixes amb el 18 % de descompte. Calcula el cost de 10 discos com aquest durant les rebaixes.
15. En Xavier ha fet una excursió de 20 km en 6,4 h. Quin serà el temps que emprarà per fer-ne una altra de 35 km a la mateixa velocitat?
16. Una màquina fa 225 peces cada minut i una altra en fa 360, també en un minut. Quantes peces fa més, cada hora, la segona màquina que la primera?
17. El consum d’un cotxe és de 7,5 L cada 100 km. Quina és la distància que pot recórrer si al dipòsit hi ha 60 L de gasolina?
18. Quan es penja d’una molla una massa de 8 g, la molla s’allarga 5 cm. Quin serà l’allargament de la mateixa molla quan s’hi pengi una massa de 10 g? I si la massa és d’1 g?
19. Quants anys trigarà a aconseguir uns interessos de 45 €, un capital de 375 € invertit al 4 % anual?
20. Un grup d’actors ha cobrat 2 500 € per actuar 2 h cada dia durant 5 dies. Quant haurien cobrat si haguessin treballat 3 h diàries durant 4 dies?
Activitats
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 122 16/12/11 10:46
5ProPorcionalitat numèrica. Percentatges
123
avaluació
Tria la resposta correcta:
1. El temps de treball que cal per pintar una habita-ció i el nombre de pintors que fan la feina són:a) Magnituds directament proporcionals. b) Magnituds que es relacionen.c) Magnituds que no es relacionen.d) Magnituds que no tenen unitats.
2. Si dues magnituds són directament proporcio-nals, quan el valor de l’una es multiplica per 5:a) El valor corresponent de l’altra es divideix per 5.b) Al valor corresponent de l’altra s’hi suma 5.c) El valor corresponent de l’altra no es modifi ca.d) El valor corresponent de l’altra es multiplica per 5.
3. Si has pagat 40 € per 4 llibres, per 10 llibres pagaràs:a) 400 € b) 44 € c) 100 € d) Una quantitat diferent de les anteriors.
4. Un lot amb 25 caixes d’un medicament costa 112,5 €. Un altre lot, amb 10 caixes del mateix medicament, costa:a) 11,25 € b) 97,5 € c) 102,5 € d) 45 €
5. Si 35 és una raó de dues magnituds directament
proporcionals, la seva constant de proporcionali-tat és:a) 0,6 b) 3 c) 5 d) 35
6. 4a i 1,5
7,5 formen una proporció. Aleshores:
a) a és 7,5. b) a és 10. c) a és 20. d) a és 1,5.
7. En la proporció 72 = b
17,5 es verifi ca que:
a) b · 17,5 és igual a 2 · 7.b) 2 · b és igual a 7 · 17,5.c) No es verifi ca cap igualtat.d) 2 · 17,5 és igual a 7 · b.
8. El valor de x en la proporció x2 = 8
x és:
a) 4 b) 8 c) 2 d) 16
9. El 10 % de 250 és:a) 2,5 b) 10 c) 100 d) 25
10. 13 % és equivalent a:
a) 13100
b) 100
13
c) 13 · 100
d) Cap de les anteriors.
11. Si en unes eleccions per a delegats i delegades de curs han votat 24 dels 30 alumnes del grup, han votat:
a) El 24 % b) El 30 % c) El 54 % d) El 80 %
12. El 75 % d’una quantitat és el mateix que:
a) Les dues terceres parts de la quantitat.b) Les tres quartes parts de la quantitat.c) La cinquena part de la quantitat.d) La setanta-cinquena part de la quantitat.
13. Quan et fan un descompte del 20 % en un article que costa 86 €, pagues:
a) 66 € b) 20 € c) 17,20 € d) 68,80 €
14. Si pagues 24 € per un article que costava 30 €, t’han fet un descompte del:
a) 20 % b) 24 % c) 6 % d) 30 %
15. Si et carreguen el 16 % en concepte d’IVA en una compra de 350 €, el total que has de pagar és:
a) 406 € b) 334 € c) 366 € d) Una quantitat diferent de les anteriors.
16. Has pagat 26,5 € per una compra l’import de la qual abans d’aplicar-hi l’IVA era de 25 €. El per-centatge d’IVA ha estat:
a) 1,5 % b) 10 % c) 6 % d) 25 %
17. Has augmentat en un 20 % el nombre de respos-tes encertades en un qüestionari de ciències de la naturalesa. Si el nombre d’encerts actual és de 18, en el qüestionari anterior vas encertar les se-güents preguntes:
a) 20 b) 2 c) 16 d) 15
18. Si ingresses 100 € en una entitat d’estalvi, al 5% anual, després de 3 anys rebràs:
a) 15 € b) 115 € c) 105 € d) 103 €
19. Per un préstec de 225 €, que has de retornar en 5 anys, has de pagar els interessos corresponents al 8 % anual. L’import d’aquests interessos és:
a) 265 € b) 315 € c) 233 € d) 90 €
20. Els interessos corresponents a 2 anys, per una quantitat invertida al 10 % anual, són 10 €. La quantitat invertida és:
a) 20 € b) 10 € c) 100 € d) 50 €
Activitats
2_Trim_MAT_1E_Un_05.indd 123 16/12/11 10:46
