81

5. RÚDFELADATOK

5.1. Síkgörbe rudak Grashof1-féle elmélete

Síkgörbe rúd: a rúd középvonala (S ponti szála) síkgörbe.

Ps

0 0

0 0 0

e

et

n

Jelölések:

A középvonal mentén a pontokat az s ívko-

ordinátával azonosítjuk. Pl. a P pont

A P pontban (P ponthoz tartozó kereszt-

metszetben) helyi koordináta-rendszert ve-

szünk fel: , , .xe e e e

0 - középvonal görbületi sugara alak-

változás előtt,

- középvonal görbületi sugara alak-

változás után.

Előjel: - ha az ívhossz mérésének irányában haladva a görbületi középpont jobbkézre esik,

akkor 00 ,

- ha az ívhossz mérésének irányában haladva a görbületi középpont balkézre esik, ak-

kor 00 .

A rúd terhelése: t nf f t f n vonal mentén (a középvonal mentén) megoszló terhelés.

Egyensúlyi egyenletek síkgörbe rudakra:

,

,

t

0

n

0

TdNf 0

ds

dTNf 0

ds

Az ( )N s rúderő és a ( )T s nyíróerő nem független egymástól.

.hxdMT 0

ds Az hxM

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan össze-

függés van, mint az egyenes rudaknál.

Igénybevételek: a terhelés ismeretében az igénybevételek az értelmezés alapján meghatároz-

hatók.

Megoldandó feladat: - az alakváltozási jellemző(k) meghatározása,

- a rúd keresztmetszetein ébredő feszültség (eloszlás) meghatározása.

5.1.1. Az alakváltozási jellemzők előállítása

Kiinduló feltételezések: - a rúd középvonala terhelés előtt 0 sugarú körív,

- a rúd prizmatikus, továbbá keresztmetszetei az tengelyre szimmet-

rikusak

- a rúd igénybevétele tiszta hajlítás,

- a rúdban egytengelyű feszültségi állapot lép fel.

1 Franz Grashof (1826-1893) német mérnök.

82

A rúd keresztmetszete:

S hxM

x

Alakváltozási feltételezések:

- alakváltozás után a keresztmetszetek síkok maradnak és merőlegesek maradnak a deformá-

lódott középvonalra,

- az alakváltozás során a 0 sugarú, körív alakú középvonal sugarú körívvé görbül az

hxM nyomaték hatására.

e

e

s 0P

0állandó

0

O

Terhelés előtt

s P e

hxM hxM

állandó

e

Terhelés után

A középvonaltól távolságra lévő koncentrikus körív hosszának fajlagos megváltozása:

0 0

0 0

.

A feszültségi állapot egytengelyű:

0 0

E E 1

.

- hiperbola.

Ha hxM 0 , akkor 0 és 0 .

A hiperbola aszimptotái: Ha , akkor ,0

Ha , akkor0

E 1

,

83

Ha , akkor 0

0 0

0 E 1

.

A feszültségeloszlás szemléltetése:

0

1e

hxM

0

max

2e

x S

O

V

5.1.2. A feszültség és az igénybevétel kapcsolata

Feszültségi eredők igénybevételek:

a) Az eredő erő: .

( ) ( )

SF dA e dA 0

A A

max

( )

dA 0

A

általában az O görbületi középpont felé eső szélső szálban (az

ábrán a V pontban) van.

b) Az eredő nyomaték: .

( ) ( )

S hxM R dA e e e dA M e

A A

Skalár egyenletek:

( )

dA 0

A

( )

hxdA M

A

.

ez az egyenlet identikusan (azonosan) teljesül, ha az a kereszt-

metszet szimmetriatengelye,

A -al jelölt egyenletekből és kifejezhető az hxM -szel:

Grashof - formula: .hx hx 0

0 r 0

M M

A I

84

Jelölés a feszültségeloszlás ábráján: hx0

0

M

A

,

( )

20r

0

I dA

A

- a keresztmetszet tengelyére számított redukált másodrendű

nyomaték (általában rI I ).

A 0 görbületi sugár és az hxM hajlító nyomaték előjele:

s

O s

O

0hxM 0hxM 0hxM 0hxM 0 0

0 0

5.1.3. Redukált másodrendű nyomaték

S

a

O

a

d1e

2e

x

0

Értelmezés:

( )

20r

0

I dA

A

.

A hasonló háromszögekből:

0 0

a a

0

0

a a

.

( ) ( )

2 20r

0

I ad a d I

dAA A dA

.

Egy módosított (szaggatott vonallal megraj-

zolt) keresztmetszet x tengelyre számított

I másodrendű nyomatékát kell meghatározni.

A rúd „görbültségének” jellemzése:

max max , ,1 2e e e

max

0

e

hányados a rúd görbültségére jellemző mennyiség.

Ha a max

0

e

hányados kicsi, akkor a rúd nagyon görbült.

Ha a max

0

e

nagy, akkor a rúd enyhén görbült.

5.1.4. A Grashof - elmélet alkalmazhatósága

Ha max

, akkor a formulát és az t használjuk.0r3 4 Grashof I

e

Hamax

, akkor a formulát és az -t használjuk.0r3 4 8 10 Grashof I I

e

85

Hamax

, akkor a görbe rúd egyenes rúdként kezelhe tő: .0 hxM8 10

e I

5.1.5. A középvonal alakváltozási jellemzői

s

O

alakváltozás

s

O

0

0

A középvonal görbületének megváltozása: hx

0 r

M1 1

I E .

A szélső keresztmetszetek egymással bezárt szögének megváltozása:

hx hx0 0 0

r r

M Ml

I E I E , ahol l a rúd középvonalának hossza.

5.1.6. Az eredmények általánosítása

Tapasztalatok szerint a Grashof-féle elmélet akkor is jó közelítésként használható, ha

- a síkgörbe rúd igénybevétele tetszőleges síkbeli igénybevétel: , hxN T M ,

- a középvonal nem körív, de feltételezzük hogy a görbületi sugár csak kismértékben és las-

san változik a rúd középvonala mentén,

- a rúd nem prizmatikus, de feltételezzük hogy a keresztmetszet alakja, vagy geometriai elhe-

lyezkedése csak kismértékben és lassan változik a rúd középvonala mentén.

Közelítő megoldás (szuperpozíció):

Hajlítás: hx hx 0

0 r 0

M M

A I

,

Húzás/nyomás:

egyenes rudakra vonatkozó összefüggés .

Nyírás:

N

A

T S

I a

Erősen görbült rudaknál a húzás/nyomásból és a nyírásból származó feszültségek nem szá-

míthatók az egyenes rudakra érvényes összefüggésekből.

Alakváltozási energia:

86

Rúdszerkezeteknél általában a hajlítási energia domináns: hajlU U .

hx

r

M1U ds

2 I El

.

A szilárdságtan munkatételei (Betti2, Castigliano

3,) ugyanúgy érvényesek, mint egyenes és

törtvonalú tartószerkezeteknél.

5.1.7. Gyakorló feladatok síkgörbe rudakra

5.1.7.1. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása

y

z

R

A

BF

K

Adott: Az A keresztmetszetében befalazott, negyed körív kö-

zépvonalú, kör keresztmetszetű síkgörbe rúd geometriá-

ja és terhelése: R, F, d.

Feladat:

a) Az N N rúderő-, a T T nyíróerő- és az

hx hxM M hajlító nyomatéki függvények meghatározá-

sa, az igénybevételi ábrák megrajzolása a jellemző értékek

megadásával.

b) Az A keresztmetszeten a feszültségeloszlás meghatározása.

Kidolgozás:

a) Az N N rúderő-, a T T nyíróerő- és az h hM M hajlítónyomatéki függ-

vények meghatározása, az igénybevételi ábrák megrajzolása a jellemző értékek megadásá-

val:

A tartót terhelő F erőt a tartó tetszőleges K keresztmetszetének súlypontjába redukáljuk.

Az így kapott vektorkettős skaláris koordinátái a keresett igénybevételek.

Az előjelek az igénybevételek előjel szabályának megfelelően adódnak.

y

z

A

hxMK

F

F

F

cosN N F ,

sinT T F ,

coshx h hxM M M RF .

Ezeknek a függvényeknek az ábrázolásával kapjuk az

igénybevételi ábrákat:

2 Enrico Betti (1823-1892) olasz matematikus és mérnök. 3 Carlo Alberto Castigliano (1847-1884) olasz matematikus és fizikus.

87

Rúderő ábra:

Nyíróerő ábra:

Nyomatéki ábra:

2

TF

2

hM

FR

2

N

F

b) Az A keresztmetszeten a feszültségeloszlás meghatározása:

Az A keresztmetszet igénybevétele: húzás-nyomás és hajlítás.

0

0 0

h h

r

M MN

A A I

, ahol

N F

A A a húzás-nyomásból származó normálfeszültség,

0

0 0

hx hx

r r

M M F R F R R

A I R A I R

a hajlításból származó normálfeszült-

ség.

Az A keresztmetszetben 0hx hM M FR , 0 0R , 2 2

d d .

A redukált másodrendű nyomaték: 20

( )

rI dA

A

.

A feszültségeloszlás:

hM

d

5.1.7.2. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, terhelhetősége

Adott: Az A keresztmetszetében befalazott, negyed körív középvonalú tartó geometriája és

terhelése. A tartó 2 darab L 40.60.5 szelvényű idomacél, melynek keresztmetszetét az

alábbi ábra szemlélteti kétféle elrendezésben. 300mmR , 400MPaF , 2tn ,

2kNF .

88

y

z

R

A

BF

19,6

60maxe

maxe

S S

a) eset b) eset

Feladat: a) A maximális redukált feszültség meghatározása mindkét esetben, 2kNF terhe-

lés mellett.

b) Az 1maxF , illetve az

2maxF maximális terhelőerő meghatározása mindkét esetben,

2tn biztonsági tényező figyelembe vételével.

Kidolgozás:

Szabály síkgörbe

rudak számításánál: 0 max/ 4e Grashof-formula és

rI alkalmazása.

0 max4 / 10e , Grashof-formula és I alkalmazása.

0 max10 / e az egyenes rúdra vonatkozó összefüggések.

Ebben az esetben: 0

max max

3007,43

40,4

R

e e

Grashof-formula;

42 34,4 cmxI I (MSz 329).

A veszélyes keresztmetszet az A keresztmetszet, az A keresztmetszet igénybevételei:

2 kNN F , 0T , 600 NmhM FR (ld. előző feladat).

a) eset:

hM

B

C

.h hM MN R F R F R F R R F R

A R A I R A R A I R I R

3

8

600 30019,6 10 32,09 MPa.

34,4 10 319,6B

B

F R RB

I R

3

8

600 30040,4 10 81,49 MPa.

34,4 10 259,6C

C

F R RC

I R

89

max 81,49 MPared C .

1max

max

F

t red

F

F n

1max

max

4002 4,91 kN

2 81,49

F

t red

F Fn

.

b) eset:

hM

B

C

3

8

600 30040,4 10 62,1 MPa.

34,4 10 340,4B

B

F R RB

I R

3

8

600 30019,6 10 36,58 MPa.

34,4 10 280,4C

C

F R RC

I R

max 62,1 MPared s B .

2max

max

F

t red

F

F n

2max

max

4002 6,44 kN

2 62,1

F

t red

F Fn

.

Megjegyzés:

A kétféle elrendezést összehasonlítva egyértelműen a b) eset a kedvezőbb, mert ugyanolyan

önsúly és biztonsági tényező mellett a b) változat szerinti rúd terhelhetősége az a) változathoz

képest: 2max

1max

6,441,31

4,91

F

F -szeres.

5.1.7.3. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, redukált másodrendű nyo-

maték

R

F

A

B

0M

b

aPQ

S

Adott: Az R sugarú, negyed körív középvonalú, téglalap

keresztmetszetű prizmatikus rúd, melyet az A ke-

resztmetszetben F erővel és 0M nyomatékú erő-

párral terhelünk. A B keresztmetszet mereven befo-

gott.

32 mmR , 24 mma , 6 mmb , 3kNF .

Feladat: a) A B keresztmetszet tengelyre számított redI

másodrendű nyomatékának meghatározása.

b) A B keresztmetszet S , P és Q pontjaiban ébredő normál feszültség meghatározása, ha

0 0M .

90

c) 0M értékének meghatározása úgy, hogy a B keresztmetszet P és Q pontjában a redukált

feszültségek megegyezzenek.

Kidolgozás:

a) A B keresztmetszet tengelyre számított redI másodrendű nyomatékának meghatározása:

202 2 20 0 0

0

0 0 02

2ln 1

2

a

r

aA

a

I dA b d abaa

,

Az adatokat behelyettesítve: 2 232 32 1224 6 32 ln 1 7561 mm

24 32 12rI

.

A fentihez hasonló integrandusz primitív függvényét nem mindig kapjuk meg zárt alakban.

Ez esetben az integranduszt sorba kell fejteni és ezután hatványfüggvények összegeként

kell integrálni:

2 3

2 20 0 0 0 ...2! 3!

f f f f f

.

Az 0

0

f

függvény n-ik deriváltja az 0 helyen: 00 !

nnf n

.

A negyedrendű közelítés esetén:

2 3 42 22 20

2 3 4

0 0 0 0 0

2 2

1

a a

r

a a

I b d b d

3 5 73 4 5 6 7 2

2 3 4 2 4

0 0 0 0 0 02

1 1 12

3 4 5 6 7 3 2 5 2 7 2

a

a

a a ab b

3 5 7 4

2 4

1 1 112 12 12 12 7553,78 mm

3 5 32 7 32

.

b) A B keresztmetszet S , P és Q pontjaiban ébredő normál feszültség meghatározása, ha

3kNF és 0 0M :

Szabály síkgörbe rudak számításánál:

0 max/ 4e Grashof-formula és rI alkalmazása.

0 max4 / 10e , Grashof-formula és I alkalmazása.

0 max10 / e az egyenes rúdra vonatkozó összefüggések.

Ebben az esetben: 0

max max

3007,43

40,4

R

e e

Grashof-formula, rI használatával.

91

Az előjel-konvenció szerint a rúderő pozitív, a nyomaték pozitív, a görbületi sugár negatív: 33 10 NN F , 96 NmhM F R ,

0 32 mm .

A Grashof-formulából:

9

0

0

0,4063 10

( ) 0,032

h h

r r

M MN FR R

A AR I I R

.

hM

Feszültségek az

S pontban: 0S ,

P pontban: 0,012 243,78 MPa ,

Q pontban: 0,012 110,81 MPa ,

c) 0M értékének meghatározása úgy, hogy a B keresztmetszet P és Q pontjában a redukált

feszültségek megegyezzenek:

Az előjel-konvenció szerint a rúderő pozitív, a nyomatéki igénybevétel pozitív, a görbületi

sugár negatív: 33 10 NN F , 0hM F R M , 0 32 mm .

A Grashof-formula: 0 0 0

0 ( )

h h

r r

M M M FR MN R

A AR I AR I R

.

A normál feszültségnek meg kell egyeznie a keresztmetszet P és Q pontjaiban, vagyis a

0,012 0,012

egyenlet megoldását keressük:

0 0 0 0

( ) ( )Q P

r Q r P

M FR M M FR MR R

AR I R AR I R

0 0 ,Q P

Q P

F R M F R MR R

A fenti egyenlőség csak akkor teljesül, ha 0 0.F R M

0 0F R M 0 96 Nm.M F R

Ebben az esetben a keresztmetszet igénybevétele húzás-nyomás, ami homogén feszültség-

eloszlást hoz létre.

Megjegyzés:

92

Bevezetve az 0

2x

a

változót, az

rI redukált másodrendű nyomaték és az I másodrendű

nyomaték rI

I hányadosát a fenti

02 00

0

2ln 1

2

r

a

I abaa

összefüggés felhasználásával

ábrázolhatjuk:

Ez a függvény a síkgörbe rudak számítására használt szabályt magyarázza:

Például, ha 0

max

4e

, akkor az 1,04rI

I , ami azt jelenti, hogy az

rI csak 4%-kal különbözik

az I -től. Tehát ebben az esetben az rI redukált nyomaték helyett jó közelítéssel az egyenes

rudaknál értelmezett I másodrendű nyomatékot használjuk. Kevésbé görbült rudak esetén

( 0 max4 / e ) tehát nem szükséges a redukált nyomaték kiszámítása.

5.1.7.4. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása

y

0M

0

2

M

R

0

2

M

R

A

B

C z

Rs

Adott: Az R sugarú, félkörív középvonalú, kör

kereszt-metszetű tartó, melyet az A

pontban 0M nyomatékú erőpárral terhe-

lünk.

0 400NmM , 60 mmR ,

250 MPameg .

Feladat:

a) Az igénybevételi függvények meghatározása, az igénybevételi ábrák megrajzolása és a

veszélyes keresztmetszetek meghatározása.

b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján.

93

c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-féle összefüggéssel. Amennyi-

ben a tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a maxred meg feltétel nem tel-

jesül.

Kidolgozás:

a) Az igénybevételi függvények meghatározása, az igénybevételi ábrák megrajzolása és a

veszélyes keresztmetszetek meghatározása:

s

T

N hM

0M

2R

Előjelszabály: 0 0; 0hM

0 cos2

MN

R ,

0 sin2

MT

R ,

0 cos ,2

h

MM R R

R

0 1 cos .2

h

MM

Veszélyes keresztmetszet: C.

N

ABC

T

hM

s

s

s

0

2

M

R

0

2

M

R

0M

0

2

M

R

s

b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján:

z zz

0hM

hxz z z

x

MN

A I .

Méretezés csak hajlításra: z meg .

hxmeg

x

M

K

3

32

hxmeg

M

d

5

33

32 32 4 1025,4 mm

3,14 250

hx

meg

Md

.

c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel.

94

Amennyiben a tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a

max 250MPared meg feltétel nem teljesül.

Ellenőrzés: görbe rúd húzási és hajlítási igénybevétellel.

0

0 0

,hx hx

r

M MN

A A I

ahol az előjelszabály értelmében: hxM és

0 .

0 0M

S

R

P

Q

O

2 2225,4 3,1416

507mm4 4

dA

5

0 4 103,333 kN

2 2 60

MN

R

33336,56 MPa

507húz

N

A

3

00

400 1013,151 MPa

( ) 507 60

M

A R

,

0 0 6,56 MPahúz .

max

2 1204,73

25,4

R R

e d 0 max4 / 10e : Grashof-formula,

r xI I .

4 4425,4 3,1416

432 mm64 64

x

dI I

.

0 6,56MPaS ,

5

3

4 10 606,56 12,7 212,11 MPa

20,4 10 60 12,7P

,

5

3

4 10 606,56 12,7 309,29 MPa

20,4 10 60 12,7Q

.

309,3MPa 250MPamegQ , a tartó szilárdságtani szempontból nem felel meg!

A tartó átmérőjét növelni kell! Az átmérő értékét lépcsőzetesen növelve és újra elvégezve

a c) pontban leírt számításokat, 28 mmd esetén érjük el a kívánt feltételt.

5.1.7.5. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, méretezése

y

AyF CyF

A

B

C z

Rs

K

F

AzF

Adott:

Az R sugarú, félkörív középvonalú, kör kereszt-

metszetű tartó, melyet a B pontban F erővel

terhelünk.

7kNF , 60 mmR , 250 MPameg .

Feladat:

95

a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi

függvények meghatározása.

b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján.

c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a

tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a max 250MPared meg feltétel

nem teljesül.

Kidolgozás:

a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi

függvények meghatározása:

A támasztó erőrendszer meghatározása: 0zF AzF F ,

0aM 2

Cy

FF ,

0cM 2

Ay

FF .

Igénybevételek:

hM

cosR A

T N

e

e

Igénybevételek az AB szakaszon:

cos sin2

FN F ,

sin cos2

FT F ,

1 cos sin2

h

FRM FR .

Igénybevételek a BC szakaszon:

cos2

FN ,

sin2

FT ,

1 cos2

h

FRM .

Igénybevételi ábrák

A s

T

hM

F

B C

s

s

s

N

2F2

2F

K

F

2F

2FR

Veszélyes keresztmetszet:

K keresztmetszet, ahol a rúderő és a hajlító nyoma-

ték abszolút értéke is maximális. A nyíróerőnek,

ami a nyomaték deriváltja, itt zérushelye van:

sin cos 02

FT F tg 2

63,43K

b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján. A veszélyes

keresztmetszet a K keresztmetszet ( 63,43K ), ahol az igénybevételek:

96

( ) cos63,43 sin63,43 3500 0,4473 7000 0,8944 7826 N2

FN K F ,

( ) sin63,43 cos63,43 02

FT K F ,

( ) 1 cos63,43 sin63,43 210 1 0,4473 420 0,8944 259,6 Nm2

h

FRM K FR

.

x z zz

0hxM

d

hxz z z

x

MN

A I

7826 NN 259,6 NmhxM .

Méretezés csak hajlításra: z meg .

hx

meg

x

M

K

3

32

hx

meg

M

d

33

6

32 32 259,622 mm

3,14 250 10

hx

meg

Md

.

c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a

tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a max 250MPared meg feltétel

nem teljesül:

Ellenőrzés: görbe rúd és húzás+hajlítás.

,h h

r

M MN R

A AR I R

ahol 7826 NN , 259,6 NmhM , 0R .

0 0M

S

R

P

Q

O

2 2222 3,1416

380mm4 4

dA

,

782620,6 MPa

380húz

N

A ,

0 6

259,611,4 MPa

380 10 0,06

hM

AR

,

0 0 9,2 MPahúz .

max

2 1205,45

22

R R

e d 0 max4 / 10e Grashof-formula, r xI I .

97

4 4422 3,1416

11 499 mm64 64

x

dI I

.

Feszültségek a bejelölt pontokban:

0 9,2MPaS ,

6 3

12

259,6 609,2 10 11 10 200,66 MPa

11499 10 60 11P

,

6 3

12

259,6 609,2 10 11 10 313,28 MPa

11499 10 60 11Q

.

313,3MPa 250MPaz megQ , a tartó szilárdságtani szempontból nem felel meg!

A tartó átmérőjét növelni kell! Az átmérő értékét lépcsőzetesen növelve és újra elvégezve

a c) pontban leírt számításokat, 24 mmd esetén érjük el a kívánt feltételt.

5.1.7.6. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, méretezése

y

0

2

M

R

A

B

C z

Rs

K

0M

0

2

M

R

Adott:

Az R sugarú, félkörív középvonalú, kör kereszt-

metszetű tartó, melyet a B pontban 0M nyomatékú

erőpárral terhelünk.

0 400NmM , 60 mmR , 290 MPameg .

Feladat:

a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi

függvények meghatározása.

b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján.

c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a

tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a max 290MPared meg feltétel

nem teljesül.

Kidolgozás:

a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi

függvények meghatározása:

0M

2R

N

T

hM

0 cos2

MN

R , 0 sin

2

MT

R ,

Hajlítónyomaték az AB szakaszon:

0 0cos cos 12 2

h

M MM R R

R .

Hajlítónyomaték a BC szakaszon: 0 1 cos2

h

MM .

98

Igénybevételi ábrák:

N

A B C

T

hM

s

s

s

0

2

M

R

0

2

M

0

2

M

R

0

2

M

0

2

M

R

s

b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján:

Méretezés a B keresztmetszetben.

x z zz

0hxM

d

hxz z

x

M

I .

Méretezés csak hajlításra: z meg .

hxmeg

x

M

K

3

32

hxmeg

M

d

5

33

32 32 2 1019,15 mm

3,14 290

hx

meg

Md

.

c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a

tartó nem felelne meg, az átmérő növelése addig, amíg a max 290MPared meg feltétel

nem teljesül:

Ellenőrzés: görbe rúd és hajlítás a B keresztmetszetben. Az ellenőrzést a méretezés

eredményénél nagyobb átmérőre végezzük el. 20 mmd .

Grashof formula:

99

0

0 0

,hx hx

r

M MN

A A I

Az előjelszabály értelmében:

0 R .

0 0M

S

R

P

Q

O

2 2220 3,1416

314mm4 4

dA

0N , 0húz

N

A .

00 6

0

20010,6 MPa

2 314 10 0,06

hxM M

A AR

,

0 0 10,6 MPahúz .

max

2 1206

20

R R

e d 0 max4 / 10e Grashof-formula, r xI I .

4 4420 3,1416

7854 mm64 64

x

dI I

.

Feszültségek a bejelölt pontokban:

0 10,6MPaS ,

12

200 6010,6 0,01 228,9 MPa

7854 10 60 10P

,

12

200 6010,6 ( 0,01) 295 MPa

7854 10 60 10Q

.

295MPa 290MPared megQ .

A tartó szilárdságtani szempontból nem felel meg!

A tartó átmérőjét növelni kell! Az átmérő értékét lépcsőzetesen növelve és újra elvégezve

a c) pontban leírt számításokat, 21 mmd esetén érjük el a kívánt feltételt.

5.1.7.7. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, méretezése

y

0M

0

2

M

R

0

2

M

R

A

B

C z

R

x b

a

Adott:

Az R sugarú, félkörív középvonalú, téglalap ke-

resztmetszetű tartó, melyet a B pontban

0 300NmM nyomatékú erőpárral terhelünk.

50 mmR , 2b a , 210 MPameg .

100

Feladat:

a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi

függvények meghatározása.

b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján.

c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a

tartó nem felelne meg, az átmérő növelése addig, amíg a max 210MPared meg feltétel

nem teljesül.

Kidolgozás:

a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi

függvények meghatározása:

Igénybevételek:

hM

cosR A

T N

e

e

Rúderő és nyíróerő:

0 cos2

MN

R , 0 sin

2

MT

R .

Hajlítónyomaték az AB szakaszon:

0 0cos 1 cos2 2

h

M MM R R

R .

Hajlítónyomaték a BC szakaszon:

0 1 cos2

h

MM .

Veszélyes keresztmetszet: B.

Igénybevételi ábrák:

N

T

hM

s

s

s

0

2

M

R

0

2

M

R

0

2

M

0

2

M

R

0

2

M

/ 2

A B C s

b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján:

x 0hxM z

Méretezés a B keresztmetszetben.

hxz

x

M

I .

101

Méretezés csak hajlításra: z meg .

hxmeg

x

M

K

32

3

hxmeg

M

a 33

6

3 3 15010,2 mm

2 2 210 10

hx

meg

Ma

.

c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a

tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a max 210MPared meg feltétel

nem teljesül:

Ellenőrzés: görbe rúd és hajlítás a B keresztmetszetben. Az ellenőrzést a méretezés

eredményénél nagyobb méretre végezzük el: 11 mma , 22 mmb .

0

0 0

h h

r

M MN

A A I

. Az előjelszabályból:

0 R .

0 0M

S

R

P

Q

O

211 22 242 mmA ab

0N , 0húz

N

A

00

0 2

hM M

A AR

,

0 6

15012,4 MPa

242 10 0,05

.

0 0 12,4 MPahúz .

max

504,55

11

R R

e a 0 max4 / 10e : Grashof-formula, r xI I .

3 3

42 11 22

9761 mm12 12

x

a aI I

.

0 12,4MPaS ,

12

150 5012,4 0,013 171 MPa

9761 10 50 13P

,

12

150 5012,4 ( 0,013) 257,6 MPa

9761 10 50 13Q

.

257,6MPa 210MPared megQ .

A tartó szilárdságtani szempontból nem felel meg!

A tartó méreteit növelni kell! Az a méret értékét lépcsőzetesen növelve és újra elvégezve a

c) pontban leírt számításokat, 12 mma , 24 mmb esetén érjük el a kívánt feltételt.

102

5.2. Prizmatikus rudak szabad csavarása

Szabad csavarás: a rúd (a keresztmetszet) pontjainak z tengely irányú elmozdulását semmi

sem akadályozza ( 0z ).

Gátolt csavarás: a rúd pontjai nem mozdulhatnak el szabadon a z tengely irányában ( 0z ).

A gátolt csavarásnak a vékonyszelvényű rudaknál van jelentősége.

Itt csak a szabad csavarással foglalkozunk.

5.2.1. Egzakt megoldás - a rúd keresztmetszetének alakja tetszőleges.

y

x

y

z

P

S

H

l

P

cM

0AlA

rR R

n

cM

cM

Feltételezések: - q 0 ,

- a H palást terheletlen: ( 0n F n ),

- x y z xy 0 ,

-

( )

z dA 0

A

,

( )

z c zR dA M e

A

.

Dinamikai peremfeltételek: - a H palást terheletlen n 0 .

- az lA -en a rúd igénybevétele csavarás:

( )

z dA 0

A

,

( )

z c zR dA M e

A

.

-az 0A -en az igénybevétel csavarás

ugyanaz, mint az lA -en.

Feszültségi állapot:

0 0, ,

0 0 , ahol, .

0

xzxz xz

yzyz yz

zx zy

x yF

x y

Egyensúlyi egyenletek:

0 0 0,

0 0 0,

xz

yz

z

z

teljesülnek!

0 0.zyzx

x y

103

A 3. egyensúlyi egyenlet teljesülését egy ,U x y feszültségfüggvény bevezetésével érjük el.

A Prandtl4-féle feszültségfüggvény:

,U x y - az ,x y helykoordinátának legalább kétszeresen differenciálható függvénye.

A feszültségek származtatása: zx xz

U

y

, zy yz

U

x

.

Behelyettesítve a 3. egyensúlyi egyenletbe: 2 2

0U U

x y x y

, az egyenlet identikusan teljesül.

A feszültségvektor: z xz x yz z ze e .

.z x y x y z z

U U U Ue e e e e U e

y x x y

U

Az ,U x y -nak még ki kell elégítenie:

- a peremfeltételeket,

- a törvényt , - kompatibilitási egyenletek

- a kompatibilitási egyenletet,

HookeBeltrami Michell

.

A peremfeltételek kielégítése:

- A palást terheletlen: 0n F n ,

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

xz x

n yz y

zx zy zx x zy y

n

n

n n

.

0,zx x zy yn n

0.z n

A paláston a z érintő irányú.

y

x

P

S

n

cM

zt

z

s 0g

Átalakítás: 0.

iránymenti

derivált

z z z

Un U e n U e n U t

st

0 állandó 0g U . Önkényes (célszerű) választás.

- Az 0A és az lA rúdvégeken:

4 Ludwig Prandtl (1875-1953) német fizikus és mérnök.

104

Az eredő erő:

( )

z

l

F dA 0

A

. Bizonyítjuk, hogy az eredő erő nulla.

A feszültségvektorra kapott összefüggést behelyettesítve:

( ) ( )

z z

l l

dA U e dA

A A

.

Átalakítás a Gauss-Osztrogradszkij5-féle integrál átalakítási tétellel:

s

0g

n

t

( )

.

( ) 0

C dA C n ds

gA

A szorzás a szorzások közül bármelyik lehet.

t

z

l

U e dA

A

0 0

U t ds U t ds 0 ,    

g g

z

0

e U n ds

g

mert 0

= állandóg

U és

0

0t ds

g

mindig fennáll.

Az 0F feltétel tehát teljesül, ha keresztmetszet peremgörbéjén az állandóU (előző pe-

remfeltétel).

A keresztmetszet S pontjára számított nyomaték:

( )

S z c z

l

M R dA M e

A

.

Átalakítás:

0

c z z z z

l l

M e R U e dA U R e e R U dA

A A

z z

l l

e R U dA e RU R U dA

A A

2

Gauss-Osztrogradszkij-tétel

z z

l l

e RU dA e R UdA,

A A

mert 00

0

n RU ds 0 , U .g

g

5 Mihail Vasziljevics Osztrogradszkij (1801-1962) orosz matematikus.

105

c

l l

M R U dA 2U dA.

A A

Ugyanis: 1+1=2x y x yR e e xe yex y

.

.

( )

cM 2 U dA

A

A csavaró nyomaték is kiszámítható az U feszültségfüggvényből.

A Beltrami-Michell –féle kompatibilitási egyenletek kielégítése:

, .2 2

I Ixz yz

F F1 10 0

1 x z 1 y z

, , mert .2 2

I II x y z

F F0 0 F 0

x z y z

A csúsztató feszültségeket behelyettesítve:

állandó.

xz

yz

UU 0

y yU

UU 0

x x

A Hooke törvény és a kinematikai egyenletek felhasználásával:

Poisson-féle differenciálegyenlet.U 2G

ahol: G - a csúsztató rugalmassági modulus, - a fajlagos szögelfordulás.

Az elmozdulásmező előállítása:

, ,x

u0 u u y z

x

, ,y

v0 v v x z

y

, .z

w0 w w x y

z

Ha

.xy

u y f z u vf f 0

v x f z y x

,

,xz

xz xz

x yu w df wy x y

z x dz x G

,

2

xz

2

d f0 y 0 f z z

z dz

, ahol állandó (fajlagos szögelfordulás).

106

az előzővel megegyezőgondolatmenetből

yz

v wf z z

z y

.

Elmozdulásmező koordináták:

,

, kielégítik az összes kinematikai feltételt.

, ,

u y z y z

v x z x z

w x y w x y

Az elmozdulásvektor: , , ,

a keresztmetszet a keresztmetszet pontjai tengelyszöggel elfordul irányban is elmozdulnak

z z

z

u x y z z e R w x y e

z

z z - a tetszőleges z helyen levő keresztmetszet szögelfordulása a z=0 keresztmetszethez

képest.

Az eredmények összefoglalása:

Prizmatikus rudak szabad csavarási feladata visszavezethető egy U(x,y) feszültségfüggvény

meghatározására.

U(x,y) – a Prandtl-féle feszültségfüggvény nem tetszőleges.

1) Ki kell elégítenie:

a -féle differenciálegyenletet ésU 2G Poisson

az 0

0Ug

peremfeltételt.

2) Az igénybevétel és a feszültség származtatása a feszültségfüggvényből:

, , .

( )

C z zM 2 U x y dA U e

A

Tisztán geometriai tartalmú feszültségfüggvény bevezetése:

, ,0U x y G U x y . ,0U x y csak a keresztmetszet geometriájától függ.

Az ,0U x y -ra vonatkozó egyenletek:

1) 0U 2 , 00

0.Ug

2) , ,

( )

c 0 cM 2G U x y dA G I

A

ahol ,

( )

c 0I 2 U x y dA

A

a keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatéka.

Az cI tisztán geometriai jellemző, csak a keresztmetszet geometriájától függ.

Az csúsztató feszültség: .z 0 zG U e

107

A fajlagos szögelfordulás: .c

c

M

G I

A szögelfordulás: .cz

c

Mz

G I

A Prandtl-féle membrán analógia:

Az analógia a feszültségfüggvény és a megfeszített és felfújt membrán alakja között áll fenn.

Az analógia alapja: - a differenciál egyenletazonossága.

- a peremfeltétel

x

y

x

0g

0N

0N

2N/mmp

( , )x y

0 N/mmN

A membránt a keresztmetszet alakjának meg-

felelő furatra (lyukra) feszítjük rá.

A keresztmetszet alakja tetszőleges.

0N - a membrán síkjába eső feszítőerő-

sűrűség,

p - a membrán síkjára merőleges nyomás.

A membrán alakjának differenciálegyenlete: ,

0

p x y

N .

Peremfeltétel: g0

0 .

A differenciálegyenlet és a peremfeltétel is olyan, mint szabad csavarásnál.

Feszültségfüggvény többszörösen összefüggő tartomány esetén:

Peremfeltételek a feszültségfüggvényre:

0,0

gU

= állandó,

11g

U U

= állandó.2

2gU U

Az ábrán látható, hogy a feszültségfüggvény

a keresztmetszet 0g külső peremén zérus, a

1g és 2g belső peremeken pedig állandó. x

x

y

1g

2g

0g

( , )U x y1U

2U

108

5.2.2. Közelítő megoldás

Vékonyszelvényű rudak szabad csavarására közelítő megoldást állítunk elő.

Vékonyszelvényűnek tekintünk egy rúdkeresztmetszetet akkor, ha a szelvény vastagsági mé-

retei lényegesen kisebbek, mint a keresztmetszet jellemző méretei.

a) Nyitott vékony szelvényű rudak

- Vékonyfalú téglalap szelvény

S

x

v

b

cM

y

Közelítő feszültségfüggvény: .2

2vU G x

4

Poisson egyenlet: ,2 2

U U2G

x y

2G 0 2G - teljesül.

Peremfeltételek: teljesül,v

x U 02

nem teljesül.b

y U 02

A peremfeltétel a perem kis szakaszán nem teljesül – közelítés!

Feszültségek: xz

U0

y

, lineáris eloszlás .yz

U2G x

x

Csavarónyomaték: ,

( )

2 32

c

c

v

2v bv

M 2 U dA 2G b x dx G4 3

vAIx

2

.c cM G I

A keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatéka: 3

c

bvI

3 .

Feszültségek a helyettesítés után:c

c

MG

I

, cxz yz

c

M0 2 x

I max .c

c

M

I

- Összetett nyitott vékonyfalú szelvény (a vékony téglalap eredményeinek általánosítása)

S

x

y

s

3b

3v

cM2b

sz

sz

1b

1v

2v

,3

i ic

3b v

I3

i 1

,csz

c

M2

I

.c cM G I

109

- Görbe középvonalú nyitott vékonyfalú szelvény

s

( )v s

.3c

1I v ds

3b

A többi összefüggés változatlan alakú.

b) Zárt vékonyszelvényű szelvényű rudak

x

y

x

S

Os

v

( , )U x y

1U

sz

cM

kA

Közelítő feszültségfüggvény:

, 1UU h

v .

Feltételezzük, hogy az ,U a szelvény

vastagsága mentén lineárisan változik.

Csúsztató feszültség:

állandó1sz

UU

v

.

A feszültségeloszlás a szelvény vastagsága

mentén állandó.

A lineáris U függvény ”lépcsős” közelítése:

( )

.cc k 1 1

kA

MM 2 U dA 2 A U U

2 A

c1sz

k

MU

v 2 A v Bredt

6- formula.

A keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatéka: 2k

c

4 AI

1ds

v

.

kA - a zárt szelvény középvonala által körbezárt felület területe.

6 Rudolf Bredt (1842-1900) német gépészmérnök és matematikus.

110

5.2.3. Gyakorló feladatok szabad csavarásra

5.2.3.1. feladat: Háromszög keresztmetszetű prizmatikus rúd szabad csavarása

a

3

2h a

ScM x

y

Adott:

Az ábrán látható egyenlő oldalú háromszög kereszt-

metszet, melynek igénybevétele szabad csavarás.

A keresztmetszet ,U U x y feszültség függvényét a

következő alakban keressük:

2 23

2

yU y h x G

h

.

Feladat:

a) Annak vizsgálata, hogy a megadott feszültségfüggvény teljesíti-e az előírt peremfeltétele-

ket és a Poisson-egyenletet.

b) A feszültségeloszlás és a feszültségi állapot meghatározása.

c) Az egyensúlyi egyenlet teljesülésének ellenőrzése.

d) A keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatékának kiszámítása.

Kidolgozás:

a) Annak vizsgálata, hogy a megadott feszültségfüggvény teljesíti-e az előírt peremfeltétele-

ket és a Poisson-egyenletet:

A feszültségfüggvénytől megköveteljük, hogy legalább kétszer folytonosan differenciálha-

tó legyen, továbbá a keresztmetszet kontúrgörbéjén azonosan zérus legyen.

A hatványfüggvények akárhányszor folytonosan differenciálhatóak.

Peremfeltételek:

- Az 0y egyenletű oldalélen ( a háromszög alapja):

0y 2 23 0

2

yU y h x G

h

- Az 3y x h egyenletű oldalélen ( a háromszög jobboldali oldala):

3y x h 2

233 3 0

2

x hU x h h x G

h

- Az 3y x h egyenletű oldalélen (a háromszög baloldali oldala):

3y x h 2

233 3 0

2

x hU x h h x G

h

A Poisson-egyenlet: 2U G .

A másodrendű parciális deriváltak kiszámítása:

6 3

2

U xy GG xy

x h h

,

2

2

3U Gy

x h

,

111

3 2 2 2 2 2 22 3 3 4 32 2

U G Gy hy h y x y y hy h x

y y h h

,

2

2 2 2

23 4 3 3 2

2

U G Gy hy h x y h

y y h h

.

A Poisson-egyenlet: 2 2

33 2 2

U U G GU y y h G

x y h h

.

b) A feszültségeloszlás és a feszültségi állapot meghatározása:

2 2 23 4 32

xz

U Gy hy h x

y h

, 3

yz

U Gxy

y h

.

Feszültségeloszlás az x tengely mentén ( 0y ): 2 232

xz

Gh x

h

, 0yz .

Feszültségeloszlás az y tengely mentén ( 0x ): 2 23 42

xz

Gy hy h

h

, 0yz .

Feszültségeloszlás a baloldali oldalél mentén ( 3y x h ):

3 3xz

Gx x h

h

,

33yz

Gx x h

h

.

A csúsztató feszültség vektor:

3

3 3 3z xz x yz y x y

G Ge e x x h e x x h e

h h

.

Az oldalél normálvektorával való skaláris szorzás útján igazolható, hogy a csúsztató fe-

szültség párhuzamos az oldaléllel, vagyis az oldalélre merőleges összetevője nulla:

3

3 3 3 3 0z x y x y

G Gn e e x x h e x x h e

h h

0z .

2

2 2 3 3z z xz yz

Gx x h

h

.

A negatív előjelre azért van szükség, mert a z iránya ellentétes a tengely irányával.

Bevezetve a 23

hx új változót:

2 22 3 3 32 2 22 3 2 3

G h h Gh h

h h

.

Ez ugyanaz a függvény, mint amit az x tengely menti feszültségeloszlásra kaptunk.

A csúsztató feszültség az oldaléleken párhuzamos a szóban forgó oldaléllel, amiből követ-

kezik az, hogy a rúdnak, melynek keresztmetszetét eddig vizsgáltuk, mindhárom oldallap-

ja terheletlen.

Egy n normálisú felület ugyanis akkor terheletlen, ha 0n F n .

112

Prizmatikus rudak csavarása esetén:

0 0

0 0

0

xz

yz

zx zy

F

,

0

x

y

n

n n

.

A szorzást elvégezve a feszültségvektor első két koordinátájára nullát kapunk, a harmadik

koordináta pedig: z zx x zy yn n .

Figyelembe véve a feszültségtenzor szimmetriáját, ez a kifejezés éppen a normálvektor és

a csúsztató feszültség vektor skaláris szorzata, ami akkor nulla, ha a csúsztató feszültség

párhuzamos a keresztmetszet kontúrvonalával.

ScM

x

y

xz

z

xz

y

x

c) Az egyensúlyi egyenlet teljesülésének ellenőrzése:

Egyensúlyi egyenlet: 0F q , ahol:

0 0

0 0

0

xz

yz

xyz

zx zy

F

, 0q .

Skalár egyenletek:

0 0 0,

0 0 0,

0 0.

xz

yz

zyzx

z

z

x y

Mivel z-től nem függ a feszültségtenzor egyik koordinátája sem, a z szerinti parciális deri-

váltak nullával egyenlők. Így az első két egyenlet: azonosság.

A feszültségfüggvény definíciója szerint: xz

U

y

, yz

U

y

.

Behelyettesítve a harmadik egyenletbe: 2 2

0zyzx U U

x y y x x y

, ami mindig teljesül,

ha a feszültségfüggvény legalább kétszer folytonosan differenciálható

d) A keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatékának kiszámítása:

113

32

2 2

0 0

2 4 32

a

x h

c

A x y

yM U dA y h x G dydx

h

Felhasználjuk a feszültségfüggvény szimmetriáját az y tengelyre: U x U x .

Így az integrált csak a keresztmetszet jobb felére számítjuk ki és megszorozzuk kettővel:

32

2 2

0 0

4 3 .2

a

x h

c

x y

yM y h x G dydx

h

Először az y szerinti integrálást végezzük el, mert ennek a határozott integrálnak az integ-

rálási tartománya függ az x-től.

33 4 3 2 2

2 2 2 2

0 0

3 2 34 3 2 2

x hx h

y y

y y y yy y h x dy h h x

4 3 2 2 43 13

4 12x hx h x h .

Ezt a kifejezést még integrálni kell x szerint 0-tól 2

a-ig és megszorozni az integranduszból

kiemelt 2G

h

-val:

24 3 2 2 4 4

0

2 3 1 73

4 12 160 3

a

c

GM x hx h x h dx G a

h

Figyelembe véve az c cM I G összefüggést, a csavarási másodrendű nyomaték:

47

160 3cI a .

Megjegyzések:

a) Feszültségfüggvénnyel megoldott csavarási feladatnál az egyensúlyi egyenlet azonnal tel-

jesül, hiszen az csak a vegyes parciális deriváltak egyenlőségét követeli meg, ami legalább

kétszer folytonosan differenciálható függvényeknél mindig teljesül.

b) Felmerül a kérdés, hogy a kapott csavarási másodrendű nyomaték mekkora átmérőjű kör

keresztmetszetű rúd nyomatékával egyezik meg.

4 47

32160 3cI a D

4

71,094

5 3D a a

A belül írható kör átmérője: 3

0,57743

BD a a .

A körülírható kör átmérője: 3

2 1,15483

KD a a .

A kapott eredmény a körülírható kör átmérőjéhez van közelebb.

114

5.2.3.2. feladat: Ellipszis keresztmetszetű prizmatikus rúd szabad csavarása

x

y

ab

B

A

cM

Adott:

Az ábrán látható ellipszis keresztmetszet igénybevé-

tele szabad csavarás.

A keresztmetszet Prandtl-féle feszültség függvényét

a következő alakban keressük: 2 2

2 21

x yU C

a b

.

Feladat:

a) A feszültségfüggvényben szereplő C együttható meghatározása.

b) Az cI csavarási másodrendű nyomaték meghatározása.

c) A feszültség állapot és az elmozdulás állapot meghatározása.

Kidolgozás:

a) A feszültségfüggvényben szereplő C együttható meghatározása:

A feszültségfüggvénnyel szemben három követelményt támasztunk:

legyen legalább kétszer folytonosan differenciálható,

a keresztmetszet kontúrjain értéke legyen zérus (többszörösen összefüggő tartomány

esetén a belső kontúrokon legyen konstans),

teljesüljön rá a 2U G Poisson-egyenlet.

Az első két követelmény teljesül, mert a feszültségfüggvény akárhányszor folytonosan dif-

ferenciálható és a kontúron (az ellipszis pontjain) a feszültségfüggvény értéke nulla.

A 2U G Poisson-egyenlet pedig alkalmas arra, hogy a C együtthatót meghatároz-

zuk:

A másodrendű parciális deriváltak kiszámítása:

2

2U xC

x a

,

2

2 2

2UC

x a

,

2

2U yC

y b

,

2

2 2

2UC

y b

.

Poisson-egyenlet: 2 2

2 2 2 22 2

U U a bU C G

x y a b

2 2

2 2

a bC G

a b

.

b) Az cI csavarási másodrendű nyomaték meghatározása:

2 2

2 22 2 1c

A A

x yM U dA C dA

a b

.

Az integrál kiszámításához változó-transzformációra van szükség:

cosx

a ; sin

y

b 2 2 2 2 21 cos sin 1U C C

A transzformáció Jacobi-determinánsa:

115

2 2

cos sin,cos sin

sin cos,

x x

a ax yab ab ab

y y b b

.

Az integrál kiszámítása:

12 1 2 4

2

0 0 0

2 2 1 2 22 4

c

A

M U dA C ab d d abC ab C

,

3 3

2 2c

a bM G

a b

.

A csavarási másodrendű nyomaték 3 3

2 2c

a bI

a b

.

c) A feszültség állapot és az elmozdulás állapot meghatározása:

2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2 2

xz

yz

U C ay G y

y b a b

U C bx G x

x a a b

A feszültségek eloszlása lineáris.

A keresztmetszet veszélyes pontjának meghatározása:

Mivel normálfeszültség nincs, ezért a veszélyes pontot a csúsztató feszültség abszolút ér-

tékének maximumhelye adja: 2

2 2 2 4 2 4 2

2 2

2z xz yz

Gb x a y

a b

.

Ez a kifejezés az 0x , illetve az 0y pontokban vesz fel lokális szélsőértéket (ekkor

válik nullává a csúsztató feszültség abszolút értékének parciális deriváltja).

Az A pontban: 0xz ; 2

2 2 2 2 2

2 2 2yz

U C b abGx G x b

x a a b a b

.

A B pontban: 0yz ; 2

2 2 2 2 2

2 2 2xz

U C a abGy G y a

y b a b a b

.

Mivel a b , ezért a B pontban fellépő csúsztatófeszültség abszolút értéke nagyobb az A

pontban fellépőnél.

A keresztmetszet veszélyes pontja: B pont.

A csúsztatófeszültség iránytangense: 2

2

yz

xz

b x

a y

. A keresztmetszet kontúrjához (az ellip-

szishez) húzott érintő meredeksége:

2 22 2

22 2

222 2

2

21

2

b bd b x x

dy b xa a

dx dx a ybb x

a

.

116

A csúsztatófeszültség a keresztmetszet kontúrján érintőirányú. Ez azt jelenti (bizonyítás az

előző feladatban), hogy a rúd, melynek keresztmetszetét vizsgáljuk, terheletlen palásttal

rendelkezik.

A feszültségi tenzor:

2

2

2 2

2 2

0 0 0 02

0 0 0 0

0 0

xz

yz

zx zy

a yG

F b xa b

a y b x

.

A Hooke-törvény segítségével meghatározhatjuk az alakváltozási tenzort: 2

2

2 2

2 2

0 0

0 0

0

a y

A b xa b

a y b x

.

Az alakváltozási tenzorból meghatározható az elmozdulásmező:

A főátlóban lévő zérusok miatt:

0 ,u

u u y zx

, 0 ,

vv v x z

y

, 0 ,

ww w x y

z

.

Feltételezve azt, hogy a csavarás során a keresztmetszetek elfordulnak egymáshoz képest,

de a keresztmetszetek alakja (első rendben) nem változik és a súlypontjaik továbbra is a

súlyponti egyenesre esnek:

( , , ) ,z zu x y z ze R w x y e , ahol x yR xe ye .

( , , ) ,x y z

vu

u x y z z ye z xe w x y e .

A geometriai egyenletek: 2

2 2

2,xz

u w a y

z x a b

2

2 2

2yz

v w b x

z y a b

.

Mivel u

yz

és v

xz

, így

2

2 2

2w a yy

x a b

2 2 2

2 2 2 2

21

a b aw y x K y y x K y

a b a b

,

ahol K y az y-nak tetszőleges függvénye.

Hasonlóképpen:

2

2 2

2w b xx

y a b

2 2 2

2 2 2 2

21

b b aw y x L x y x L x

a b a b

,

ahol L x az x-nek tetszőleges függvénye.

Az eredményeket összevetve: L x K y állandó.

Ez az állandó a keresztmetszet pontjainak egyszerű z irányú eltolása, amivel nem foglal-

kozunk.

Így az elmozdulásmező: 2 2

2 2( , , ) x y z

vuw

b au x y z z ye z xe y x e

a b

.

117

5.2.3.3. feladat: Téglalap keresztmetszetű prizmatikus rúd szabad csavarása

b

a

x

y

S

cM

Adott:

Az ábrán látható téglalap keresztmetszetű prizmatukus rúd, melynek

igénybevétele szabad csavarás.

Feladat:

a) A Prandtl-féle feszültségfüggvény közelítő és egzakt előállítása.

b) Az előállított feszültségfüggvények szemléltetése.

c) A keresztmetszet feszültségeloszlásának és veszélyes pontjainak

meghatározása.

d) A feszültségeloszlások szemléltetése.

Kidolgozás:

a) A Prandtl-féle feszültségfüggvény közelítő és egzakt előállítása:

A feszültségfüggvénnyel szemben négy követelményt támasztunk:

legyen legalább kétszer folytonosan differenciálható, így a vegyes parciális deriváltjai

egyenlők, vagyis teljesítik a 0zyzx

x y

egyensúlyi egyenletet,

a keresztmetszet kontúrjain értéke legyen zérus (többszörösen összefüggő tartomány

esetén a kontúrokon legyen konstans), így a kontúr terheletlen,

a belőle származtatott feszültség nyomatékának felületi integrálja egyezzen meg a

csavaró nyomatékkal,

teljesítse a U 2G Poisson-egyenletet (ez a kompatibilitás feltétele).

A közelítő megoldás előállítása:

A négy oldalél egyenletét nullára redukálva és összeszorozva kapjuk a közelítő feszültség-

függvényt: 2 2

2 2,4 4

a bU x y C x y

.

Ez a kifejezés akárhányszor folytonosan differenciálható, így a vegyes parciális deriváltjai

egyenlők, vagyis teljesíti az egyensúlyi egyenletet.

A függvény zérus értéket vesz fel a keresztmetszetet határoló téglalap minden egyes pont-

ján, így a csúsztató feszültség a kontúrral párhuzamos lesz.

A C együttható meghatározása:

222

4xz

U aC y x

y

, 2

224

yz

U bC x y

x

,

c xz yz

A A

U UM y x dA C y x dA

y x

,

2 2 2 22 2 2 2 3 3

2 2

24 4 18

b a

c

b a

a b CM C y x x y dxdy a b

.

Átrendezve: 3 3

18cC M

a b .

118

A feszültségfüggvény: 2 2

2 2

3 3

18,

4 4c

a bU x y M x y

a b

.

Ez a feszültségfüggvény azonban nem teljesíti a Poisson-egyenletet:

222

4

U bC x y

x

2 22

22

4

U bC y

x

,

222

4

U aC y x

y

2 22

22

4

U aC x

y

,

2 2 2 22 2

2 22 áll.

4 4

U U a bU C y x

x y

Az így kiszámított feszültségállapot és elmozdulás állapot nem az egzakt megoldás.

Az egzakt megoldás előállítása:

A U 2G Poisson-egyenletet homogenizálva a U 0 Laplace-egyenlethez jutunk,

melynek megoldásai például az sinh sin1U x y , sinh cos2U x y ,

cosh sin3U x y és cosh cos4U y x függvények.

Tekintsük az , cosh cos1 2f x y c y c x függvényt.

Ez teljesíti a Laplace-egyenletet, ha 1 2c c , ugyanis

, cosh cos cosh cos ,2 2

2 2

1 2 1 2 1 22 2f x y c y c x c y c x c c f x y

x y

.

Az ,f x y 0 feltétel az a

x2

egyenletű oldalakon akkor teljesül, ha 2c ka

, ahol k

páratlan szám.

A , , ...

, cosh cosk

k 1 3 5

k kg x y C y x

a a

függvény tehát a Laplace-egyenlet megoldá-

sa és a téglalap függőleges oldalai mentén teljesíti a peremfeltételt is. (Ez nem a Laplace-

egyenlet általános megoldása, de bizonyítható, hogy arra nincs is szükség!)

A Poisson-egyenlet egy parciális megoldását már ismerjük a feladat közelítő megoldásá-

ból: ,2

2 ag x y G x

4

.

Az egzakt megoldás esetén a Prandtl-féle feszültség függvényt az alábbi alakban keressük:

, , ...

, cosh cos2

2

k

k 1 3 5

a k kU x y G x C y x

4 a a

.

Ha a kC együtthatókat úgy választjuk, hogy a feszültségfüggvény a téglalap vízszintes ol-

dalai mentén is eltűnjön, akkor mind a négy követelményt sikerül kielégíteni, vagyis az eg-

zakt megoldáshoz jutunk.

A kC együtthatók meghatározása:

119

by

2 esetén

, , ...

, cosh cos2

2

k

k 1 3 5

k

a k b kU x y G x C x 0

4 2a a

D

.

, , ...

cos2

2

k

k 1 3 5

a kG x D x

4 a

.

A kD együtthatók meghatározása:

cos cos

a a

22 22 2

k

a a

2 2

a k kG x x dx D x dx

4 a a

.

A határozott integrálásokat elvégezve: 2k 1

2k 3 3

8aD 1 G

k

Az Prandtl-féle feszültségfüggvény az egzakt megoldás esetén:

, , ...

, cosh coscosh

2 2k 12

23 3

k 1 3 5

a 8a G k kU x y G x 1 y x

4 k kb 2a a a

.

Az együtthatók nevezőjében szereplő 3k miatt a sor gyorsan konvergál.

A nulladik közelítés a peremfeltételt nem teljesítő ,2

0 2aU x y G x

4

közelítő meg-

oldás.

Az első közelítés:

, cosh coscosh

2 21 2

3

a 8a GU x y G x y x

4 b 2a a a

.

b) Az előállított feszültségfüggvények szemléltetése:

Az ábrákon G 1 , a 2 , b 6 , C 1 .

2 2

2 2,4 4

a bU x y C x y

.

Nem elégíti ki a Poisson-egyenletet.

A peremfeltétel mind négy peremen tel-

jesül.

,2

0 2aU x y G x

4

.

A Poisson-egyenletet kielégíti.

Az y tengellyel párhuzamos peremeken a

peremfeltétel teljesül.

Nem teljesíti a peremfeltételt az x tengely-

lyel párhuzamos peremeken.

120

,2

1 2aU x y G x

4

cosh cos

cosh

2

3

8a Gy x

b 2a a a

.

A Poisson-egyenletet kielégíti.

Az y tengellyel párhuzamos peremeken a

peremfeltétel teljesül.

Közelítőleg teljesíti a peremfeltételt az x

tengellyel párhuzamos peremeken („hul-

lámos” a peremen).

c) A keresztmetszet feszültségeloszlásának és veszélyes pontjainak meghatározása:

Közelítő megoldás:

x

y y

xzyz

y

xz

yzx

x

A feszültségfüggvény: 2 2

2 2,4 4

a bU x y C x y

,

22

3 3

36

4xz c

U aM y x

y a b

.

Ez zérus az x tengelyen és lineáris feszültségeloszlás az y ten-

gely mentén: 3

90xz cx M y

ab .

Az y tengellyel párhuzamos egyenesek mentén is lineáris az

eloszlás, de az y tengelytől távolodva egyre kisebb a maximális

feszültség, míg - parabolikus csökkenést követve – a téglalapot

határoló oldalak mentén teljesen eltűnik.

22

3 3

36

4yz c

U bM x y

x a b

.

Ez zérus az y tengelyen és lineáris feszültségeloszlás az x ten-

gely mentén: 3

90yz cy M x

a b

Az x tengellyel párhuzamos egyenesek mentén is lineáris az

eloszlás, de az x tengelytől távolodva egyre kisebb a maximális

feszültség, míg – parabolikus csökkenést követve – a téglalapot

határoló oldalak mentén teljesen eltűnik.

A veszélyes pontok a 2; 0a pontok (az x tengely és a téglalap kontúrjának metszetei),

ahol a feszültség: max 2

9

2yz cM

a b .

Az egzakt megoldás:

, , ...

, cosh coscosh

2 2k 12

23 3

k 1 3 5

a 8a G k kU x y G x 1 y x

4 k kb 2a a a

,

1

22 2

1,3,5...

81 sinh cos

cosh 2

k

xz

k

U a G k ky x

y k kb a a a

,

121

1

22 2

1,3,5...

82 1 cosh sin

cosh 2

k

yz

k

U a G k kG x y x

x k kb a a a

.

A nulladik közelítés visszaadja a peremfeltételt nem teljesítő megoldást.

Az első közelítés:

1

2

8sinh cos

cosh 2xz

a Gy x

b a a a

.

1

2

82 cosh sin

cosh 2yz

U a GG x y x

x b a a a

.

A csavaró nyomaték kiszámítása: c yz xz

A A A

M r dA x dA y dA

cosh sin

cosh

a 2 b 2

2

yz 2

A a 2 b 2

8a Gx dA 2G x x y x dydx

b 2a a a

sinh

cosh

3 3

5

a b 16aG G 2a b 2a

6 b 2a

,

sinh cos

cosh

a 2 b 2

xz 2

A a 2 b 2

8a Gy dA y y x dydx

b 2a a a

cosh sinh

cosh

3

5

16a b bG b 2a

b 2a 2a 2a

.

3 3

c 4

a b 16a bM G

6

.

c cM G I ,3 3

c 4

1 16I a b 0 331 a b

6

; c

3

4

M

1 16Ga b

6

.

1

2 2

4

8sinh cos

1 16cosh 2

6

xz cM y xa a

a b b a

;

1

23

4

82 cosh sin

1 16 cosh 2

6

cyz

MU ax y x

x b a a aa b

A veszélyes pontok a keresztmetszet négy csúcsa, ahol

1

max 2 22

4

81 5,47

1 16

6

c cyz

M M

a ba b

.

d) A feszültségeloszlások szemléltetése:

122

Az ábrákon cM 4 , a 2 , b 6 .

Közelítő megoldás:

2

2

3 3

36

4xz c

U aM y x

y a b

2

2

3 3

36

4yz c

U bM x y

x a b

.

Nem teljesíti a Poisson-egyenletet.

Az egzakt megoldás nulladik közelítése:

0xz 0 , 0 c

yz 3

12Mx

a b .

Nem teljesíti a peremfeltételt.

Az egzakt megoldás első közelítése:

A Poisson-egyenletet teljesíti, a peremfeltételt közelíti.

1

2 2

4

8sinh cos

1 16cosh 2

6

xz cM y xa a

a b b a

.

1 ,xz x y

1

23

4

82 cosh sin

1 16 cosh 2

6

cyz

MU ax y x

x b a a aa b

1 ,yz x y

123

5.2.3.4. feladat: Nyitott vékony szelvényű prizmatikus rúd szabad csavarása

S

1v

2v

b

h

2bcM

Adott:

Az ábrán vázolt U50 szelvényű (MSz 326) prizmatikus rúd geo-

metriája és anyaga. A rúd igénybevétele szabad csavarás.

50 mmh , 38 mmb , 1 5 mmv , 2 7 mmv , 150 MPameg .

Feladat:

a) A szelvény cI csavarási másodrendű nyomatékának meghatáro-

zása.

b) A maximális cM csavaró nyomaték meghatározása.

Kidolgozás:

S

1v

2v

1 2b v

2h v

cM

A valóságos szelvényt állandó falvastagságú nyitott szelvény-

nyel modellezzük.

A feladatot erre a modellre oldjuk meg.

a) A szelvény cI csavarási másodrendű nyomatékának meghatározása:

3 312 1 2

1 12

3 3 2c

vI h v v b v

.

3 3 41 1 550 7 5 2 38 7 9909,3 mm

3 3 2cI

.

b) A maximális cM csavaró nyomaték meghatározása:

2csz

c

M

I max max

csz

c

Mv

I .

A veszélyes pontok az U szelvény két szárának belső- és külső felületén vannak, mert

2 1v v .

max

max max 22c

red sz meg

c

MMohr v

I .

max

2

9909,3150 212 342Nmm=212,342 Nm

7

cc meg

IM

v .

5.2.3.5. feladat: Nyitott vékony szelvényű prizmatikus rúd szabad csavarása

Adott:

Az ábrán vázolt nyitott szelvényű prizmatikus rúd geometriája és anyaga. A rúd igénybevéte-

le szabad csavarás.

124

1 200 mma , 2 150 mma ,

3 100 mma , 1 10 mmv ,

2 10 mmv , 3 5 mmv .

1a

2a

2a

1v

2v

3v

cM

S

Feladat:

a) A szelvény cI csavarási másodrendű nyomatéká-

nak meghatározása.

b) A max maximális csúsztató feszültség meghatá-

rozása, ha 120 NmcM .

c) A rúd fajlagos szögelfordulásának meghatáro-

zása, ha 120 NmcM és 48 10 MPaG .

Kidolgozás

a) A szelvény cI csavarási másodrendű nyomatékának meghatározása:

3 3 33 3 3 5 4

1 1 2 2 3 3

1 1 1 200 10 150 10 100 51,208 10 mm

3 3 3 3 3 3cI a v a v a v

.

b) A max maximális csúsztató feszültség meghatározása, ha 120 NmcM :

2

max max 5 12

12010 9,93 MPa

1,208 10 10

csz

c

Mv

I

.

c) A rúd fajlagos szögelfordulásának meghatározása, ha 120 NmcM és 48 10G

MPa:

2

10 5 12

1201,24 10 rad/m

8 10 1,208 10 10

c

c

M

G I

.

5.2.3.6. feladat: Felvágott vékonyfalú cső csavarása

cM

S

y

x

Dd

Adott:

Az ábrán látható felvágott vékonyfalú cső geometriája

és terhelése: 8 NmcM , 40 mmD , 36 mmd ,

1 ml .

Feladat:

a) Annak meghatározása, hogy milyen folyáshatárú

anyag felel meg 1,5n -es biztonsággal.

b) A rúdvégek közötti szögelfordulás meghatározá-

sa, ha 980 10 PaG .

Kidolgozás:

125

a) Annak meghatározása, hogy milyen folyáshatárú anyag felel meg 1,5n -es biztonsággal:

40 3638 mm

2 2k

D dd

,

40 362 mm

2 2

D dv

.

A csavarási másodrendű nyomaték kiszámításához a középkör kerületét használhatjuk,

mert a felvágás csak jelentéktelen mértékben csökkenti a szelvény ívhosszát:

3 3 41 12 38 3,1416 318,3 mm

3 3c kI v d .

A keresztmetszet veszélyes pontjai: a külső- és belső kör valamennyi pontja.

3

max 12

82 10 50,3 MPa

318,3 10

csz

c

Mv

I

.

max

max

max

2 100,6 MPa ( )

3 87,1 MPa ( )red

Mohr

HMH

,

max

max

( ) 1,5 100,6 150,9 MPa

( ) 1,5 87,1 130,7 MPa

red

m

red

n MohrR

n HMH

.

b) A rúdvégek közötti szögelfordulás meghatározása, ha 980 10 PaG :

12 9

8 rad0,314

318,3 10 80 10 m

c

c

M

I G

,

0,314 1 0,314 rad=18c

c

Ml l

I G .

5.2.3.7. feladat: Téglalap keresztmetszetű zárt szelvény csavarása

1v2v

b

a

x

y

2P

1P

S

cM

Adott:

Az ábrán látható téglalap keresztmetszetű zárt szelvény geo-

metriai méretei és terhelése: 200 NmcM , 100 mma ,

200 mmb , 1 10 mmv , 2 5 mmv .

Feladat:

a) A 1P és 2P metszetben ébredő csúsztató feszültségek kiszá-

mítása.

b) A rúdvégek közötti szögelfordulás meghatározása, ha

2 ml , 108 10 PaG .

Kidolgozás:

a) A 1P és 2P metszetben ébredő csúsztató feszültségek kiszámítása:

2

2 1( )( ) 95 190 18050 mmkA a v b v ,

126

5

1

1

2 100,55 MPa

2 2 18050 10

csz

k

MP

A v

,

5

2

2

2 101,1 MPa

2 2 18050 5

csz

k

MP

A v

.

b) A rúdvégek közötti szögelfordulás meghatározása, ha 2 ml , 108 10 PaG :

2 1

1 2

1 2 95 2 1902 2 95

10 5

a v b vds

v v v

,

2 2 66 44 4 18,05 10

13,72 10 m1 95

kc

AI

dsv

.

4

6 10

200 23,6 10 rad = 0,021

13,72 10 8 10

c

c

M l

I G

.

5.2.3.8. feladat: Vékonyfalú cső csavarása

cM

S

y

x

D

d

Adott:

A D külső- és d belső átmérőjű, l hosszúságú acél-

cső, melynek igénybevétele csavarás. 40 mmD ,

30 mmd , 1000 mml , 100 NmcM , 80 GPaG .

Feladat:

a) A sz nyírófeszültségnek, az

cI csavarási másodren-

dű nyomatéknak és a csővégek szögelfordulásá-

nak meghatározása a Bredt-formula felhasználásával

(közelítő megoldás).

b) Az eredmény összehasonlítása az egzakt megoldás-

sal.

Kidolgozás:

a) A sz nyírófeszültségnek, az

cI csavarási másodrendű nyomatéknak és a csővégek

szögelfordulásának meghatározása a Bredt-képlet felhasználásával:

35 mm2

k

D dd

, 5 mm

2

D dv

,

24 29,62 10 m

4

kk

dA

.

10,4 MPa2

csz

k

M

A v .

1 0,035 3,14121,99

0,005

kdds

v v

,

2 2 88 44 4 9,62 10

16,83 10 m1 21,99

kc

AI

dsv

,

3

8 9

100 17,42 10 rad

16,83 10 80 10

c

c

M l

I G

.

s

sz

127

b) Az eredmény összehasonlítása az egzakt megoldással.

Körgyűrű keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka: 4 4

7 41,72 10 m32

p

D dI , c

z

p

M

I ,

max 7

100 0,0211,63 MPa

2 1,72 10

cz

p

M D

I

,

3

7 9

100 17,28 10 rad

1,72 10 80 10

c

p

M l

I G

.

s

sz

A másodrendű nyomatékban fellépő relatív hiba kiszámítása:

22

324

2 44

1 64

2 2

kc

D d

D d D dAI

D d D dds

v

,

3 4 4

2

4 4 2 2

64 32 12

32

c p

p

D d D d D dI I D d

D dI D d

.

Bevezetve a cső relatív falvastagságát jellemző d

kD

viszonyszámot,

2 2

2 2

1 2 2 11

2 2 2 2

c p

p

I I k k k k

I k k

.

Ezt a hányadost ábrázolva:

Ha a cső nem vékonyfalú, a közelítő Bredt-formula pontatlan: ha a belső átmérő csak a fele

a külső átmérőnek ( 0,5k ), akkor a megoldás relatív hibája: 10%.

A diagram kinagyítva:

128

Körülbelül 1 %-ra csökken a relatív hiba, ha a belső átmérő a külső átmérőnek 82%-a. A

Bredt-képlet tehát jó közelítés a műszaki gyakorlatban előforduló vékonyfalú csövek ese-

tén.