· 5 Rezultat : C. Zadatak 066 (Vlado, gimnazija) Na zemljopisnoj karti udaljenost dvaju mjesta iznosi 15 cm, a stvarna udaljenost tih mjesta je 120 km. Koliko je mjerilo karte?

1

Zadatak 061 (Ljilja, srednja škola)

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2Ako je 2 : 3 4 : 3 , onda je : jednako :a b b a b a⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

A. 0.2 B. 0.5 C. 2 D. 5

Rješenje 061 Ponovimo!

Ako su a i b brojevi, kažemo da je količnik a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.

( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k,

tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 : 3 4 : 3 2 3 3 4 6 12a b b a a a b b a b⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

/ :2 2 2 2

6 2 .61 2a b a b⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅

Sada je:

( )dijelimo

2omjer sa

12 2 2 2: : 2 1 : 2 0.5.

2bb a b b= ⋅ = = = =

Odgovor je pod B.

Vježba 061

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2Ako je 2 : 3 4 : 3 , onda je : jednako :a b b a a b⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

A. 0.2 B. 0.5 C. 2 D. 5

Rezultat: C.

Zadatak 062 (Vedran, srednja škola)

Tri su radnika pristali da ih se za obavljeni posao plati zajedno 75 forina, koje će meñu sobom

razdijeliti tako da svaki dobije u skladu s brojem zadataka koje je obavio. Prvi je radio 15 dana i

obavio po 20 zadataka na dan, drugi je radio 10 dana po 36 zadataka, a treći 12 dana po 70 zadataka. Koliko je koji zaradio?


Složeni račun diobe koristimo kada su dijelovi veličine koju treba podijeliti razmjerni s više veličina.

Ako neku veličinu dijelimo na dijelove x1, x2, x3, ... , xn upravo razmjerno s dvjema veličinama

zadanim nizovima brojeva a1, a2, a3, ... , an i b1, b2, b3, ... , bn, tada je:

, , , ... , ,1 1 1 2 2 2 3 3 3

x k a b x k a b x k a b x k a bn n n= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

gdje je k koeficijent razmjernosti.

Označimo slovima x1, x2 i x3 zarade prvog, drugog i trećeg djelatnika. Tada je

75.1 2 3

x x x+ + =

Budući da su veličine upravo razmjerne (više dana rada – veća zarada, više obavljenih zadataka – veća

zarada), slijedi da je:

• prvi djelatnik zaradio

15 20 3001 1

x k x k= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

2

• drugi djelatnik zaradio

10 36 3602 2

x k x k= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

• treći djelatnik zaradio

12 70 840 .3 3

x k x k= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Tada je

300 360 840 1500 .1 2 3 1 2 3

x x x k k k x x x k+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ + + = ⋅

Računamo koeficijent razmjernosti k.

metoda/: 1500

komparaci

15001 2 3

1500 75 1500 7575

1 2j

3e

x x x kk k

x x x

+ + = ⋅⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

+ + =

7575 1.

1500 201500k k k⇒ = ⇒ = ⇒ =

Zarade djelatnika iznose:

Prvi djelatnik 1

300 151 120

x x= ⋅ ⇒ =

Drugi djelatnik 1

360 182 220

x x= ⋅ ⇒ =

Treći djelatnik 1

840 423 320

x x= ⋅ ⇒ =

Provjera: 75

Vježba 062 Tri su radnika pristali da ih se za obavljeni posao plati zajedno 75 forina, koje će meñu sobom

razdijeliti tako da svaki dobije u skladu s brojem zadataka koje je obavio. Prvi je radio 30 dana i

obavio po 10 zadataka na dan, drugi je radio 20 dana po 18 zadataka, a treći 24 dana po 35 zadataka. Koliko je koji zaradio?

Rezultat: 15, 18, 42.

Zadatak 063 (Goga, srednja škola)

Pješak prijeñe 70 m u minuti, a ptica trkačica 70 km na sat. Kako se odnose njihove brzine?

. 1 : 1 . 1 : 4 . 3 : 50 . 4 : 75A B C D


1 11 1000 1 1 60 min 1 min, , .

1000 60

a

a dbkm m m km h hc b c

d

⋅= ⇒ = = ⇒ = =

⋅



( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=

1.inačica

1000 100070 : 70 70 : 70 70 : 70

min min 6 min min0 min 60

m

h

mm km m m= ⋅ = ⋅ =

3

1000 5070 : 70 70 : 70 70 : 70

60 3

proširujemo omjer1000

360 razlomkom

70

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = =

3 50 3 3 5070 : 70 : 3 : 50.

70 3

370 70

70 70 3 70= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

Odgovor je pod C.

2.inačica

1

60 60100070 : 70 70 : 70 70 : 70 70 : 70

1min 1000 1000

60

kmkm

m km km km kkm

h h

m

hh hh

h= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

60 3 3 370 : 70 70 : 70 70 : 70 : 70 7 : 70

1000 50

6070

1000 50 5= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

3 5 5 3 57 : 70 : 3 : 5

proširujemo omjer5

7 7055 7 7razlom

0.5m 7k 7o

7

= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

Odgovor je pod C.

Vježba 063 Pješak prijeñe 700 dm u minuti, a ptica trkačica 70 km za 60 minuta. Kako se odnose njihove

brzine?

. 1 : 1 . 1 : 4 . 3 : 50 . 4 : 75A B C D

Rezultat: C.

Zadatak 064 (Ninoslav, srednja škola)

Zadana su dva broja tako da se njihova razlika, zbroj i umnožak odnose kao 1 : 7 : 24. Nañi

umnožak brojeva.

Rješenje 064

Neka su a i b traženi brojevi. Tada vrijedi:

( ) ( ) ( ): : 1 : 7 : 24 7 , gdje je faktor razmjernosti ili proporcionalnosti.

24

a b k

a b a b a b a b k k

a b k

− =

− + ⋅ = ⇒ + = ⋅

⋅ = ⋅

Iz prve dvije jednadžbe izračuna se a u ovisnosti od k.

metoda suprotnih/ : 2

koeficij2

en8 2 8 4 .

ata7

a b ka k a k a k

a b k

− =⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅

+ = ⋅

Sada računamo b.

metoda 1/

supstitucije

244 24 4 24 6

4.

4

a b kk b k k b k b

a k k

⋅ = ⋅⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ =

= ⋅⋅

⋅

Računamo k.

metoda

kom

6 67 6

paracij7 6

6 7 7 6 e6

a b ka k a k

a b k k ka k a k

b

− =− = = +

+ = ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ + = ⋅ − ⇒+ = ⋅ = ⋅ −

=

( )7 6 6 6 12 6 / : 612 2.k k k k k⇒ − ⋅ = − − ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ =−

4

Umnožak brojeva a i b iznosi:

2424 2 48.

2

a b ka b a b

k

⋅ = ⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ =

=

Vježba 064 Zadana su dva broja tako da se njihova razlika, zbroj i umnožak odnose kao 1 : 7 : 24. Nañi

zbroj brojeva.

Rezultat: 14.

Zadatak 065 (Sanchy, gimnazija)

1

Ako je , onda iznosi:3

a a b

a b b

+=

−

1 1. 3 . . 2 .

3 2A B C D

Rješenje 065

Ponovimo!

, , , .1

a c a b a b n a c a d b ca d b c n

b d n n n b d b d

+ ⋅ + ⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ + = = + =

⋅

, , .

a

a d a c b d a b a bb

c b c b d a c n n n

d

⋅ −= = ⇒ = − =

⋅

1.inačica

Iz zadane jednakosti izračunamo, na primjer, nepoznanicu a.

13 / : 23 2 2 .

3 2

a ba a b a a b a b a b a

a b= ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ − = − ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = −

−

Tada je:

1

1 1 1 1 2 12 2 2 21 1 1 1 1 1 .1 2 2 1 2 2

1 1 1

b

b

b b

a b a b a

bb b b b b

− − − −+ − +

= + = + = + = + = + = + = − + = − + = =

Odgovor je pod D.

2.inačica

Zadanu jednakost transformiramo na sljedeći način:

( )13 3 1 3 3 1 2 2 /

31

a a b a b b b b b

a b a a a a a a a

−= ⇒ = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = − ⇒ − = ⇒ − = ⋅ − ⇒

−

12 .

2

b a

a b⇒ = − ⇒ = −

Dalje slijedi:

1 1 1 1 1 1 1 2 11 1 .

2 2 2 1/ 1

2 1 1 2

a a a a a b a b

b b b b b b

+ − + += − ⇒ = − ⇒ + = − + ⇒ + = − + ⇒ = ⇒ =+

Odgovor je pod D.

Vježba 065

1

Ako je , onda iznosi:3

a a b

a b a

+=

−

. 1 . 2 . 1 . 2A B C D− −

5

Rezultat: C.

Zadatak 066 (Vlado, gimnazija)

Na zemljopisnoj karti udaljenost dvaju mjesta iznosi 15 cm, a stvarna udaljenost tih mjesta je

120 km. Koliko je mjerilo karte?

. 1 : 80 000 . 1 : 8 000 . 1 : 800 000 . 1 : 400000A B C D


,1 1000 1 1 .00km m m cm= =



( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=


a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Neka je dano mjerilo M = 1 : x. To znači da 1 cm na karti odgovara x cm u stvarnosti (u prirodi). Tada

je:

1 : 15 : 120 15 120 1 15 120x cm km cm x km cm x km= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒

120 12 000 00015 120 800 000.

15

1/

5 151

km cmcm x km x x x

cm ccm m⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅

Mjerilo je

1 : 800 000.M =

M = 1 : x

Odgovor je pod C.

Vježba 066 Na zemljopisnoj karti udaljenost dvaju mjesta iznosi 7.5 cm, a stvarna udaljenost tih mjesta je 60 km. Koliko je mjerilo karte?

. 1 : 80 000 . 1 : 8 000 . 1 : 800 000 . 1 : 400000A B C D

Rezultat: C.

Zadatak 067 (Matija, gimnazija)

Zvono teško 50 000 funti lijeva se od kovine koja se radi od bakra, kositra i stare kovine od

zvona, koji se miješaju u omjeru (masa) 100 : 25 : 10. Koliko će pojedinih kovina trebati za lijevanje

zvona?


6


a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Ako postoji n jednakih omjera

:1 1

a b k=

:2 2

a b k=

:3 3

a b k=

...

: ,a b kn n =

produženi razmjer je

: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3

a a a a b b b bn n=

Produženi razmjer ima sljedeća svojstva:

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 1 1

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 2 2

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 3 3

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

...

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3

.a a a a b b b b a bn n n n± ± ± ± ± ± ± ± =

1.inačica

Ukupnu težinu zvona 50000 funti podijelit ćemo na težinu bakra A, kositra B i staru kovinu C u

zadanom omjeru. Zato pišemo:

100

: : 100 : 25 : 10 25

50 000 10

5000

metoda

supstitucij

0

e

A k

A B C B k

A B C C k

A B C

= ⋅

= = ⋅⇒ ⇒ ⇒

+ + = = ⋅

+ + =

100 25 10 50 000 135 50000 135 / : 13550000k k k k k⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

50000 10000.

135 27k k⇒ = ⇒ =

Za lijevanje zvona trebat će:

• bakra

10010 000

100 37 037.0410 00027

27

A k

A A funtik

= ⋅

⇒ = ⋅ ⇒ ==

• kositra

2510 000

25 9 259.2610 00027

27

B k

B B funtik

= ⋅

⇒ = ⋅ ⇒ ==

• stare kovine

7

1010 000

10 3703.70 .10 00027

27

C k

C C funtik

= ⋅

⇒ = ⋅ ⇒ ==

2.inačica

Ukupnu težinu zvona 50000 funti podijelit ćemo na težinu bakra A, kositra B i staru kovinu C u

zadanom omjeru. Uporabit ćemo svojstvo produženog razmjera.

Bakar

• 50000 , : : 100 : 25 : 10.A B C A B C+ + = =

( ) ( ): 100 25 10 : 100 50 000 : 135 : 100 135 5000 000A B C A A A+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ : 135135 5 000 000 37037.04 .A A funti⇒ ⋅ = ⇒ =

Kositar

• 50 000 , : : 100 : 25 : 10.A B C A B C+ + = =

( ) ( ): 100 25 10 : 25 50 000 : 135 : 25 135 1250 000A B C B B B+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ : 135135 1250000 9259.26 .B B funti⇒ ⋅ = ⇒ =

Stara kovina

• 50000 , : : 100 : 25 : 10.A B C A B C+ + = =

( ) ( ): 100 25 10 : 10 50 000 : 135 : 10 135 500 000A B C C C C+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ : 135135 500 000 3703.70 .C C funti⇒ ⋅ = ⇒ =

Ili

( ) ( ) ( )50 000 37 037.04 9 259.26 50 000 46296.30 3703.70 .C A B C A B funti= + + − + = − + = − =

= bakar : kositar : stara kovina

Vježba 067 Zvono teško 50 000 funti lijeva se od kovine koja se radi od bakra, kositra i stare kovine od

zvona, koji se miješaju u omjeru (masa) 5 : 4 : 1. Koliko će pojedinih kovina trebati za lijevanje

zvona?

Rezultat: 25 000 funti bakra, 20 000 funti kositra, 5 000 funti stare kovine.

Zadatak 068 (Matija, gimnazija)

U nekoj vojnoj utvrdi služi 12 tribuna, 26 protribuna, 50 centuriona i 32 procenturiona koji

meñu sobom imaju raspodijeliti 1810 zlatnika plijena i to tako da ako tribun dobije 10, protribun

dobije 8, centurion 6, a procenturion 3. Koliko će zlatnika koji dobiti?


Složenim računom diobe služimo se kada su dijelovi veličine koju treba podijeliti razmjerni s

više veličina. Kada neku veličinu trebamo podijeliti na dijelove x1, x2, x3, ... , xn upravo razmjerno s

dvjema veličinama zadanim nizovima brojeva: a1, a2, a3, ... , an i b1, b2, b3, ... , bn, tada je:

, , , ... , ,1 1 1 2 2 2 3 3 3

x k a b x k a b x k a b x k a bn n n= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

gdje je k koeficijent razmjernosti (proporcionalnosti).

Plijen od 1810 zlatnika treba podijeliti na četiri dijela, tako da 12 tribuna dobije A zlatnika,

26 protribuna B zlatnika, 50 centuriona C zlatnika i 32 procenturiona D zlatnika.

Plijen treba razdijeliti na skupine upravno razmjerno broju ljudi i upravno razmjerno broju primljenih

zlatnika.

Budući da je A zarada 12 tribuna, B zarada 26 protribuna, C zarada 50 centuriona i D zarada 32

procenturiona vrijedi:

1810.A B C D+ + + =

Slijedi da je zarada:

8

• 12 tribuna i ako svaki dobije 10 zlatnika

12 10 120A k A k= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

• 26 protribuna i ako svaki dobije 8 zlatnika

26 8 208B k B k= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

• 50 centuriona i ako svaki dobije 6 zlatnika

50 6 300C k C k= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

• 32 procenturiona i ako svaki dobije 3 zlatnika

32 3 96 .D k D k= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅


1810 120 208 300 96 1810 724 1810A B C D k k k k k+ + + = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ :7 724 241810 2.5.k k⇒ ⋅ = ⇒ =

Podjela plijena je sljedeća:

[ ]

tribuni 120 120 2.5 300

protribuni 208 208 2.5 520.

centurioni 300 300 2.5 750

procenturioni 96 96

2.5

2.5 240

A k A A

B k B B

C k C C

D k D D

k

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅

=

=

Od ukupnog broja zlatnika dobit će:

• tribun

30025 zlatnika

12 12

A= =

• protribun

52020 zlatnika

26 26

B= =

• centurion

75015 zlatnika

50 50

C= =

• procenturion

2407.5 zlatnika.

32 32

D= =

? ?

Vježba 068 U nekoj vojnoj utvrdi služi 6 tribuna, 13 protribuna, 25 centuriona i 16 procenturiona koji

meñu sobom imaju raspodijeliti 1810 zlatnika plijena i to tako da ako tribun dobije 20, protribun

dobije 16, centurion 12, a procenturion 6. Koliko će zlatnika koji dobiti?

Rezultat: Tribun 50, protribun 40, centurion 30 i procenturion 15 zlatnika.

Zadatak 069 (Marina, strukovna škola)

Jedna je obitelj za potrošnju 33 m3 plina platila 80.32 kn. Koliko će iznositi račun za potrošnju

127 m3 plina?

. 309.11 . 416.64 . 521.78 . 632.44A kn B kn C kn D kn



9


( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=


a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Jednostavno pravilo trojno je postupak kojim se iz tri poznata člana razmjera odreñuje četvrti član.

Neka su varijable a i b upravno razmjerne (proporcionalne) (rast jedne uzrokuje rast druge i obrnuto;

pad jedne uzrokuje pad druge i obrnuto). Neka je b2 nepoznata veličina. Upamtimo shemu:

a1 .......................... b1

a2 .......................... b2

Budući da su veličine razmjerne strelice se postavljaju u istom smjeru i u pravilu krećemo od

nepoznate veličine. Postavimo razmjer u skladu sa smjerom strelica (počinje se od početka strelica, a

završava s krajem strelice)

1 2: : .1 2 1 1 1 2 1 1

/ :2 2

12 2 1 2

b ab a a a b a a bb b b a ba

a

⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

1.inačica

Ako je 33 m3 plina plaćeno 80.32 kn, onda 1 m

3 plina košta

80.32.

33kn

Za 127 m3 plina platit će se

80.32 127 80.32 127 80.32127 309.11 .

33 1 33 33kn kn kn kn

⋅⋅ = ⋅ = =

Odgovor je pod A.

2.inačica

Ako je 33 m3 plina plaćeno 80.32 kn, onda se za 1 kn može kupiti

33 3

80.32m

plina.

Neka je x iznos kojim ćemo platiti 127 m3 plina. Iz linearne jednadžbe dobije se:

80.32/

33

33 33 80.32 127 80.32127 127 127

80.31 80.32 33 1 33x x x x⋅⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

127 80.32309.11 .

33x x kn

⋅⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod A.

3.inačica

Postavimo tablicu:

33 m3 .......................... 80.32 kn

127 m3 .......................... x

Strelice su postavljene u istom smjeru jer za više plina platit ćemo više kuna (veličine su razmjerne).

Iz razmjera izračuna se koliko će obitelj platiti za 127 m3 plina.

10

80.32 127: 80.32 127 : 33 33 80.32 127 33 80 / :.32 127 309.11 .

333x x x x x kn

⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod A.

Vježba 069 Jedna je obitelj za potrošnju 66 m

3 plina platila 160.64 kn. Koliko će iznositi račun za

potrošnju 127 m3 plina?

. 309.11 . 416.64 . 521.78 . 632.44A kn B kn C kn D kn

Rezultat: A.

Zadatak 070 (Lana, gimnazija)

Broj 2400 podijeli na 3 dijela koji su u omjeru 3 : 5 : 8.


Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina

: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:

a – prvi član omjera,

b – drugi član omjera,

k – vrijednost (količnik) omjera.


( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=


a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅


:1 1

a b k=

:2 2

a b k=

:3 3

a b k=

...

: ,a b kn n =


: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3

a a a a b b b bn n=


( ) ( ) ( ) ( ): : : ... : : : : : : : ... : : , 01 2 3 1 2

.3

a a a a b n b n b n b n nn n= ≠

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 1 1

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 2 2

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 3 3

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

...

11

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3

.a a a a b b b b a bn n n n± ± ± ± ± ± ± ± =

1.inačica

Broj 2400 podijelimo na tri pribrojnika a, b i c koji su u omjeru 3 : 5 : 8. Zato pišemo:

3

: : 3 : 5 : 8 5 metoda

sups2 400 8 tituc

0

e

2

ij

4 0

a k

a b c b k

a b c c k

a b c

= ⋅

= = ⋅⇒ ⇒ ⇒

+ + = = ⋅

+ + =

3 5 8 2 400 16 2 400 16 / : 12 400 150.6k k k k k k⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Pribrojnici su:

• broj a

33 150 450.

150

a ka a

k

= ⋅⇒ = ⋅ ⇒ =

=

• broj b

55 150 750.

150

b kb b

k

= ⋅⇒ = ⋅ ⇒ =

=

• broj c

88 150 1200.

150

c kc c

k

= ⋅⇒ = ⋅ ⇒ =

=

Ili

( ) ( )2 400 2 400 450 750 2 400 1200 1200.c a b= − + = − + = − =

2.inačica

Broj 2400 podijelimo na tri pribrojnika a, b i c koji su u omjeru 3 : 5 : 8. Uporabit ćemo svojstvo

produženog razmjera.

Broj a

• 2 400 , : : 3 : 5 : 8.a b c a b c+ + = =

( ) ( ): 3 5 8 : 3 2 400 : 16 : 3 16 7 200a b c a a a+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ :1 16 7 200 450.6a a⇒ ⋅ = ⇒ =

Broj b

• 2 400 , : : 3 : 5 : 8.a b c a b c+ + = =

( ) ( ): 3 5 8 : 5 2 400 : 16 : 5 16 12 000a b c b b b+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/16 12 00 :0 750.16b b⇒ ⋅ = ⇒ =

Broj c

• 2 400 , : : 3 : 5 : 8.a b c a b c+ + = =

( ) ( ): 3 5 8 : 8 2 400 : 16 : 8 16 19 200a b c c c c+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ :1 16 19 200 120 .6 0c c⇒ ⋅ = ⇒ =

Ili

( ) ( )2 400 2 400 450 750 2 400 1200 1200.c a b= − + = − + = − =

3.inačica

Broj 2400 podijelimo na tri pribrojnika a, b i c koji su u omjeru 3 : 5 : 8.

12

2 400 , : : 3 : 5 : 8a b c a b c+ + = =

( )2 400 : 3 5 8 2 400 : 16 150+ + = =

a b c

3 150 450⋅ =

5 150 750⋅ =

8 150 1200⋅ =

Vježba 070

Broj 4800 podijeli na 3 dijela koji su u omjeru 3 : 5 : 8.

Rezultat: 900, 1500, 2400.

Zadatak 071 (Mala, ugostiteljska škola)

Za izradu ''Coconut kiss'' koktela miješa se kokosovo mlijeko, sok od ananasa, sok naranče i

svježe vrhnje u omjeru 4 : 4 : 4 : 3. Koliko je potrebno uzeti navedenih sastojaka ako želimo napraviti

3 litre koktela?


1 0 .1l dl=

Kada neku veličinu S trebamo podijeliti na dijelove x1, x2, x3, ... , xn razmjerno s veličinom zadanom

nizom brojeva a1, a2, a3, ... , an

( )1 2 3 1 2 3: : : ... : : : : ... :n nx x x x a a a a=

tada je

...1 2 3

1 1

2 2

3 3

........... .

,

.. ..

x x x x Sn

x k a

x k a

x k a

x k an n

+ + + + =

= ⋅

= ⋅

= ⋅

= ⋅

gdje je k koeficijent razmjernosti.

Označimo redom potrebne količine sastojaka.

• x1 – kokosovo mlijeko

• x2 – sok od ananasa

• x3 – sok naranče

• x4 – svježe vrhnje.

Tada je

41

42

: : : 4 : 4 : 4 : 3 .1 2 3 4 4

3

34

x k

x kx x x x

x k

x k

= ⋅

= ⋅= ⇒

= ⋅

= ⋅

Budući da je

3,1 2 3 4

x x x x+ + + =

to je

13

31 2 3 4

41

4 4 4 4 3 3 15 3 15 3 0.2.2

43

3

/: 15

4

x x x x

x k

x k k k k k k k k

x k

x k

+ + + =

= ⋅

= ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

= ⋅

= ⋅

Tražene količine sastojaka su:

41 4 0.2 0.8 8

1 1 14

2 4 0.2 0.8 82 2 2

4 .3 4 0.2 0.8 8

3 3 33

4 3 0.2 0.6 64 4 4

0.2

x kx x l x dl

x kx x l x dl

x kx x l x dl

x kx x l x dl

k

= ⋅= ⋅ = =

= ⋅= ⋅ = =

= ⋅ ⇒ ⇒ ⇒= ⋅ = =

= ⋅= ⋅ = =

=

Vježba 071

Za izradu ''Coconut kiss'' koktela miješa se kokosovo mlijeko, sok od ananasa, sok naranče i

svježe vrhnje u omjeru 4 : 4 : 4 : 3. Koliko je potrebno uzeti navedenih sastojaka ako želimo napraviti

6 litara koktela?

Rezultat: 16 dl, 16 dl, 16 dl, 12 dl.

Zadatak 072 (3D, ugostiteljska škola)

Dva se broja odnose kao 2 : 3. Uvećamo li oba za 3 novi se brojevi odnose kao 5 : 7. Koji su

to brojevi?



: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:





a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Kako zapisati da je broj a uvećan za broj n?

14

.a n+

Neka su x i y dva broja koji se odnose kao 2 : 3. Tada je:

: 2 : 3 3 2 3 2 0.x y x y x y= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ =

Uvećamo li oba broja za 3, novi se brojevi odnose kao 5 : 7 pa vrijedi:

( ) ( ) ( ) ( )3 : 3 5 : 7 7 3 5 3 7 21 5 15x y x y x y+ + = ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⇒

7 5 15 21 7 5 6.x y x y⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ ⋅ − ⋅ = −

Iz sustava jednadžbi odrede se brojevi x i y.

( )/ 5metoda suprotnih

/ 2koefici

3 2 03 2 0

7 5 67 5 6 jenata

x yx y

x yx y

⋅ − ⋅ =⋅ − ⋅ =⇒ ⇒ ⇒

⋅ − ⋅ = −⋅ − ⋅ = −

⋅

⋅ −

15 10 012.

14 10 12

x yx

x y

⋅ − ⋅ =⇒ ⇒ =

− ⋅ + ⋅ =

Računamo y.

( )3 2 0

3 12 2 0 36 2 0 2 36 /3 :2 6 212

x yy y y y

x

⋅ − ⋅ =⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒

=−

18.y⇒ =

Vježba 072

Dva se broja odnose kao 1 : 2. Uvećamo li oba za 6 novi se brojevi odnose kao 3 : 5. Koji su

to brojevi?

Rezultat: 12 i 24.

Zadatak 073 (Ivan, grafička škola)

Ako je a : b : c = 2 : 3 : 6 i a + b + c = 55, koliko je b?



: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:





( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=


:1 1

a b k=

:2 2

a b k=

:3 3

a b k=

...

: ,a b kn n =


: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3

a a a a b b b bn n=

Produženi razmjer ima sljedeće svojstvo:

15

( ) ( ) ( ) ( ): : : ... : : : : ... : , 01 2 3 1 2 3

.a a a a b n b n b n b n nn n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≠

Budući da je zadan produženi razmjer, tada vrijedi:

2

: : 2 : 3 : 6 3 , gdje je faktor razmjernosti ili proporcionalnosti.

6

a k

a b c b k k

c k

= ⋅

= ⇒ = ⋅

= ⋅


metoda/ : 11

supstitucij

2

32 3 6 55 11 55 11 55 5.

6

55

e

a k

b kk k k k k k

c k

a b c

= ⋅

= ⋅⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

= ⋅

+ + =

Sada računamo b.

metoda

supstitucij

33 5 15.

5 e

b kb b

k

= ⋅⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ =

=

Vježba 073

Ako je a : b : c = 2 : 3 : 6 i a + b + c = 55, koliko je c?

Rezultat: 30.

Zadatak 074 (Ivana, maturantica)

Zadane su dužine a, b i c. Nañite .b c

xa

⋅=



a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Talesov poučak o proporcionalnosti

Usporedni (paralelni) pravci na krakovima kuta odsijecaju proporcionalne dužine.

Ako usporedni (paralelni) pravci a i b sijeku krak p kuta pVq∠ u točkama A i B, a krak q u točkama

A1 i B1, tada je:

.1 1

1 1

AA VAVA

BB VB VB= =

b

a

q

p

B1A1

B

A

V

16

Uočimo da se zadani izraz može napisati u obliku razmjera (proporcije):

/ : : .ab c b c

x x x a b c a b c xa a

⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =⋅

Konstrukcija dužine x provodi se sljedećim redom.

1. Nacrta se proizvoljan šiljasti kut sa vrhom V.

V

2. Od vrha V na jedan od krakova šiljastog kuta ucrtaju se prva dva člana a i b razmjera.

: : .a b c x=

a

b

B

A

V

Tako se dobiju točke A i B.

3. Od vrha V na drugi krak šiljastog kuta ucrta se treći član c razmjera.

: : .a b c x=

c

a

b

C

B

A

V

Tako se dobije točka C.

4. Točke A i C spoje se pravcem p. Zapamtimo da pravac p mora spajati točke koje odgovaraju

prvom i trećem članu razmjera

: : .a b c x=

17

c

p

a

b

C

B

A

V

5. Usporednica (paralela) sa pravcem p kroz točku B siječe krak VC u točki X.

xc

p

a

b

XC

B

A

V

Tada je:

.

VX xb c

xb caVX

a

=⋅

⇒ =⋅=

Komentar!

Ako su zadane dužine a, b i jedinična dužina 1, tada se na sličan način uporabom Taleova poučka

mogu izračunati sljedeći izrazi:

• 1 : :1

a bx a b x a b x

⋅= ⋅ ⇒ = ⇒ =

• 2

1 : :1

a ax a x a a x a a x

⋅= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

• 1

: 1 : .a a

x x b a xb b

⋅= ⇒ = ⇒ =

Vježba 074

Zadana je dužina a. Nañite 1

.xa

=

Rezultat: Analogno kao u zadatku. Vrijedi: 1 1 1

: 1 1 : .x x a xa a

⋅= ⇒ = ⇒ =

Zadatak 075 (Natalija, srednja škola) Veličina a razmjerna je s veličinom b i obrnuto razmjerna s veličinom c. Koliko puta se

promijeni veličina a ako b poraste tri puta, a c se smanji na četvrtinu?


Kako zapisati da je veličina x n puta veća od veličine y?

18

, , .x x

x n y y nn y

= ⋅ = =

Kako zapisati da je veličina x n puta manja od veličine y?

, .1

,y x

n x y xn y n

⋅ = = =

Dvije veličine y i x upravno su razmjerne ako je njihov količnik stalan, tj. ako vrijedi:

.y

k y k xx

= ⇒ = ⋅

(ako x poraste n puta i y poraste n puta, ako se x smanji n puta i y se smanji n puta)

Dvije veličine y i x obrnuto su razmjerne ako je njihov umnožak stalan, tj. ako vrijedi:

.k

y x k yx

⋅ = ⇒ =

(ako x poraste n puta tada se y smanji n puta, ako se x smanji n puta tada y poraste n puta)

, , ,

1

1.1

1

1

a

c

a a a aa

n a d a cb c b b bnc b b b ab c b b

d c

a

c cc c

⋅= = = = = = = =

⋅

Budući da je veličina a razmjerna s veličinom b i obrnuto razmjerna s veličinom c vrijedi:

.b

ca =

Iz uvjeta zadatka slijedi:

• da veličina b poraste tri puta

31

b b= ⋅

• da se veličina c smanji na četvrtinu

1.

1 4c c= ⋅

Sada je

3

3 121 1 .1 1 1 11

14 4

bb b b

a a a acc c

c

⋅⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅

Računamo omjer a1 i a.

12 12 12

1 1 1 1 1 12.1

1

b

c

ba a a a

cba a a

c

a

c

b

⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Veličina a poveća se 12 puta.

Vježba 075 Veličina a razmjerna je s veličinom b i obrnuto razmjerna s veličinom c. Koliko puta se promijeni veličina a ako b poraste dva puta, a c se smanji na trećinu?

Rezultat: 6 puta.

Zadatak 076 (Vily, gimnazija) Iva i Matej dijele iznos od 24 464 kn u omjeru 3 : 5. Koliko je kuna Iva dobila manje od Mateja?

. 3262 . 4892.80 . 6116 . 9785.60A kn B kn C kn D kn

19


Ako su a i b brojevi, kažemo da je količnik a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b. Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.

( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=


a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅


:1 1

a b k=

:2 2

a b k=

:3 3

a b k=

...

: ,a b kn n =


: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3

a a a a b b b bn n=


( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 1 1

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 2 2

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 3 3

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

...

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3

.a a a a b b b b a bn n n n± ± ± ± ± ± ± ± =

1, , .

a b a b n a c a cn

n n n b d b d

− ⋅= − = ⋅ =

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Kako se računa od ?a

xb

.a

xb

⋅

Kako zapisati da je broj a za n manji od broja b?

, , .a n b a b n b a n+ = = − − =

1.inačica

Neka je:

• x iznos koji je dobila Iva

• y iznos koji je dobio Matej.

Prema uvjetima zadatka dobije se sustav jednadžbi.

20

metoda1

supstitucije/

24464 2446424 464 24 464

3: 3 : 5

55 3 5 3

5

x y x yx y x y

x y x y x y x y

+ = + =+ = + =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅⋅

/ 53 3

24 464 24 464 3 5 122320 8 1223205 5

y y y y y y y⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ =⋅ ⇒

/ :8 8122320 15 290.y y⇒ ⋅ = ⇒ =

Iznos koji je dobio Matej je 15 290 kn. Iznos koji je dobila Iva je:

24 46415 290 24 464 24 464 15 290 9174 .

15 290

x yx x x kn

y

+ =⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

=

Računamo koliko je Iva dobila manje od Mateja.

15290 9174 6116 .y x kn− = − =

Odgovor je pod C.

2.inačica

Neka je:



Prema uvjetima zadatka slijedi:

metoda

supstitucije

koeficijent proporcionalnos

24 464

24 464 33 5 24 464

: 3 : 5 5

ti

x y

x y x k

k

k kx y y k

+ =

+ = = ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒

=

−

= ⋅

8 24 464 8 24 464 /: 8 3058.k k k⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Računamo iznose Ive i Mateja.

33 3058 9174

5 .5 3058 15 290

3058

x kx x

y ky y

k

= ⋅= ⋅ =

= ⋅ ⇒ ⇒= ⋅ =

=

Svota koju je Iva dobila manje od Mateja iznosi:

15290 9174 6116 .y x kn− = − =

Odgovor je pod C.

3.inačica

Budući da Iva i Matej cjelokupni iznos dijele u omjeru 3 : 5, podijelit ćemo ga na 8 (8 = 3 + 5) jednakih dijelova. Tada će Matej dobiti pet osmina cjelokupnog iznosa, a Iva tri osmine.

• 5

Matej.............. 24 4648

⋅

• 3

Iva .............. 24 4648

⋅


5 3 5 3 5 3 2 124 464 24 464 24 464 24 464 24 4

2

864 24464 24 464

8 8 8 8 8 8 4

−⋅ − ⋅ = ⋅ − = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

24 464 1 244646116 .

1 4 4kn= ⋅ = =

Odgovor je pod C.

21

4.inačica

Neka je:



Ukupnu svotu 24 464 kn podijelit ćemo u omjeru 3 : 5 koliko dobiju Iva i Matej. Uporabit ćemo

svojstvo produženog razmjera.

Iva

• 24 464 , : 3 : 5.x y x y+ = =

( ) ( ): 3 5 : 3 24 464 : 8 : 3 8 3 24 464x y x x x+ + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

8 73392 8 73393 / : 8 9174.x x x⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Matej

• 24 464 , : 3 : 5.x y x y+ = =

( ) ( ): 3 5 : 5 24 464 : 8 : 5 8 24 464 5 8 122320x y y y y y+ + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒

/ :8 8122320 15290.y y⇒ ⋅ = ⇒ =


15290 9174 6116 .y x kn− = − =

Odgovor je pod C.

3 : 5

Vježba 076 Iva i Matej dijele iznos od 24 464 kn u omjeru 6 : 10. Koliko je kuna Iva dobila manje od

Mateja?

. 3262 . 4892.80 . 6116 . 9785.60A kn B kn C kn D kn

Rezultat: C.

Zadatak 077 (ABC, strukovna škola)

Srećko je visok 187 cm. Koliko je to stopa ako 1 stopa iznosi 0.3048 m?

. 4.8271 . 5.6998 . 6.1352 . 7.9413A stopa B stopa C stopa D stopa


1 10 .0m cm=

Ako su a i b brojevi, kažemo da je količnik a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b. Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.

( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=


a : b = k i c : d = k, tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Jednostavno pravilo trojno je postupak kojim se iz tri poznata člana razmjera odreñuje četvrti član. Varijable x i y su upravno razmjerne (povećanje jedne uzrokuje povećanje druge i obrnuto). Neka je

y2 nepoznata veličina. Skiciramo tablicu:

22

x1 ................................. y1

x2 ................................. y2

Kod upravno razmjernih veličina strjelice se postavljaju u istom smjeru. Obično krećemo od nepoznate varijable. Postavljamo razmjer u skladu sa smjerom strjelica.

1 2: :2 1 2 1 2 1 1 2 2 1

1/ .

11

2 21

y xy y x x y x y x y x y x y

xx

⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ =⋅= ⋅

1.inačica

Budući da 1 stopa iznosi 0.3048 m, slijedi:

1 0.3048 1 30.48 .stopa m stopa cm= ⇒ =

Visina Srećka u stopama je

187 : 30.48 6.1352.=

Odgovor je pod C.

2.inačica

Postavimo početni odnos dviju veličina.

30.48 .......................................... 1cm stopa

Svedemo jednu veličinu na jedinicu.

11 ...................................................

30.48cm stopa

Množenjem dolazimo do traženog broja.

1187 ................................................... 187 6.1352

30.48cm stopa stopa⋅ =

Odgovor je pod C.

3.inačica

Neka je x visina Srećka u stopama. Tada vrijedi razmjer:

: 187 1 : 30.48 30.48 187 1x cm stopa cm x cm cm stopa= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

187 130.48 187 1 6.1352 .

30.4

1/

30.48 8cm

cm stopax cm cm stopa x x stopa

cm

⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =⋅

Odgovor je pod C.

4.inačica

Postavimo pravilo trojno.

1 stopa ................................. 30.48 cmx ................................. 187 cm

: 1 187 : 30.48 30.48 1 187x stopa cm cm x cm stopa cm= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

1 18730.48 1 187 6.1352 .

30

1/

30 .4.48 8cm

stopa cmx cm stopa cm x x stopa

cm

⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =⋅

Odgovor je pod C.

Vježba 077 Srećko je visok 180 cm. Koliko je to stopa ako 1 stopa iznosi 0.3048 m?

. 5.6789 . 6.3266 . 5.9055 . 5.9872A stopa B stopa C stopa D stopa

Rezultat: C.

23

Zadatak 078 (Kristina, srednja škola)

U nekom pogonu planira se proizvodnja 315 litara alkoholnog pića. Za proizvodnju tog

pića rabe se četiri vrste alkohola: B1, B2, B3, B4. Tehnološki uvjeti proizvodnje prikazani su u obliku razmjera: B1 : B2 = 3 : 2

B3 : B2 = 2 : 1

B1 : B4 = 5 : 6.

Koliko je litara alkohola svake vrste potrebno imati na zalihama kako bi se ostvarila planirana

proizvodnja alkoholnog pića uz zadane tehnološke uvjete?

Rješenje 078 Ponovimo! Ako su a i b brojevi, kažemo da je količnik a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.


( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=

Produženi omjer je skraćeni način pisanja n jednakih omjera. Ako postoji n jednakih omjera takvih da

je

:1 2 1

a a k=

:2 3 2

a a k=

:3 4 3

a a k=

...

: ,1 1

a a knn n=− −

produženi omjer je

: : : ... :1 2

.3

a a a an


a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d. Za razmjer vrijedi:

: : : .:a b c d b a d c= ⇒ =


:1 1

a b k=

:2 2

a b k=

:3 3

a b k=

...

: ,a b kn n =


: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3

a a a a b b b bn n=


( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 1 1

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 2 2

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 3 3

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

...

24

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3

.a a a a b b b b a bn n n n± ± ± ± ± ± ± ± =

, .1

n a c a cn

b d b d

⋅= ⋅ =

⋅

1.inačica

2: 3 : 2 3 2 3 2 2/ : 3

/

131 2 2 1 2 1

: 2 : 1 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2

: 5 : 6 5 6 5 6 61 4 4 1

4 1

: 54 1

5

B BB B B B B B

B B B B B B B B

B B B B B BB B

= ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅= ⋅

2 2 2

2 1 2 1 2 13 3 3

2 2 2 42 .

3 1 3 1 3 1

metoda

supstit 3 1 3 3ucije

6 6 6

4 1 4 1 4 15 5 5

B B B B B B

B B B B B B

B B B B B B

= ⋅ = ⋅ = ⋅

⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

= ⋅ = ⋅ = ⋅

Računamo B1.

meto2

d4 6

, , 2 4 62 1 3 1 4 13 3 5 3151 1 1 13 3 5

3151 2 3 4

a

supstitucije

B B B B B BB B B B

B B B B

= ⋅ = ⋅ = ⋅⇒ ⇒ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒

+ + + =

2 4 6315 / 15 15 10 20 18 4 725

1 1 1 1 1 1 1 13 3 5B B B B B B B B⇒ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ ⇒

63 4 725 63 4 7 / : 6325 75 .1 1 1

B B B litara⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Računamo B2, B3 i B4.

2 2 2 75 15075

2 1 2 2 23 3 3 1 3 502

4 4 4 75 30010075 33 1 3 3 33 3 3 1 390

46 6 6 75 45075

4 1 4 4 45 5 5 1 5 175 75 75 75

1 1 1 1

B B B B BB litara

B litaraB B B B B

B litara

B B B B BB

B B B B

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ==

== ⋅ = ⋅ = ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

== ⋅ = ⋅ = ⋅ =

= = = =

.

75 litara=

2.inačica

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

: 6 : 5: 3 : 2 : 5 : 6 : 6 : 5 4 11 2 1 4 4 1

: 2 : 1 : 3 : 2 : 3 : 2 : 3 : 23 2 1 2 1 2 1 2

: 2 : 1 : 1 : 2: 5 : 6 : 1 : 23 2 2 31 4 2 3

3 3

5 5

10 10

B BB B B B B B

B B B B B B B B

B B B BB B B B

== = =

= ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⇒ = ⇒

= == =

produž: 18 : 15

4 1eni

razmj: 15 : 10 : : : 18 : 15 : 10 : 20

1 2 4 1 2 3

: 10 : 202 3

er

B B

B B B B B B

B B

=

⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒

=

25

184

151

gdje označava koeficijent razmjernosti.10

2

203

B t

B tt

B t

B t

= ⋅

= ⋅⇒

= ⋅

= ⋅

Iz sustava jednadžbi izračunamo t.

15 , 10 , 20 , 181 2 3 4

3151 2 3

metoda

supstitu4

cije

B t B t B t B t

B B B B

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅⇒ ⇒

+ + + =

15 10 20 18 315 63 31 /5 63 315 6 5: .3t t t t t t t⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Računamo B1, B2, B3 i B4.

[ ]

15 15 5 751 1 1

10 10 5 502 2 2

.20 20 5 100

3 3 3

18 18 5 904 4 4

5

B t B B litara

B t B B litara

B t B B litara

B t B B litar

t

a

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =⇒ ⇒ ⇒

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

=

3.inačica

Uporabit ćemo svojstvo produženog razmjera.

• 315 , : : : 15 : 10 : 20 : 18.1 2 3 4 1 2 3 4

B B B B B B B B+ + + = =

( ) ( ): 15 10 20 18 : 15 315 : 63 : 15 63 4 7251 2 3 4 1 1 1

B B B B B B B+ + + + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ : 6363 4 725 75 .1 1

B B litara⇒ ⋅ = ⇒ =

• 315 , : : : 15 : 10 : 20 : 18.1 2 3 4 1 2 3 4

B B B B B B B B+ + + = =

( ) ( ): 15 10 20 18 : 10 315 : 63 : 10 63 31501 2 3 4 2 2 1

B B B B B B B+ + + + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ : 6363 3150 50 .2 2


• 315 , : : : 15 : 10 : 20 : 18.1 2 3 4 1 2 3 4

B B B B B B B B+ + + = =

( ) ( ): 15 10 20 18 : 20 315 : 63 : 20 63 63001 2 3 4 3 3 3

B B B B B B B+ + + + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ : 6363 6300 100 .3 3


• 315 , : : : 15 : 10 : 20 : 18.1 2 3 4 1 2 3 4

B B B B B B B B+ + + = =

( ) ( ): 15 10 20 18 : 18 315 : 63 : 18 63 56701 2 3 4 4 4 4

B B B B B B B+ + + + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ : 6363 5 670 90 .4 4


Vježba 078 U nekom pogonu planira se proizvodnja 315 litara alkoholnog pića. Za proizvodnju tog

pića rabe se četiri vrste alkohola: B1, B2, B3, B4. Tehnološki uvjeti proizvodnje prikazani su u obliku

razmjera:

B1 : B2 = 3 : 2

B2 : B3 = 2 : 1

B4 : B1 = 6 : 5.

Koliko je litara alkohola svake vrste potrebno imati na zalihama kako bi se ostvarila planirana

proizvodnja alkoholnog pića uz zadane tehnološke uvjete?

Rezultat: B1 = 75 l, B2 = 50 l, B3 = 100 l, B4 = 75 l.

26

Zadatak 079 (Domagoj, srednja škola)

Težina nekog objekta obrnuto je proporcionalna kvadratu njegove udaljenosti od središta

Zemlje. Na Zemljinoj površini, što je 6400 km od središta Zemlje, težina astronauta je 824 N. Koliko

je astronaut udaljen od Zemljine površine ako mu je težina 74 N?

. 1918 . 14956 . 82 467 . 447 634A km B km C km D km


1.inačica

Za dvije veličine kažemo da su obrnuto proporcionalne (razmjerne) ako vrijede pravila:

koliko se puta poveća prva veličina, toliko se puta smanji druga veličina

koliko se puta smanji prva veličina, toliko se puta poveća druga veličina.

Precizno definirano:

Za dvije veličine x i y kažemo da su obrnuto proporcionalne (razmjerne) ako je njihov umnožak

(produkt) stalan:

x · y = konstantno.

824 N ............................................. 64002 km

2

74 N ............................................. x2

_______________________________________

2 2 2 274 824 6 400 74 824 / : 76 40 40x x⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

2 2 2824 6 400 824 6

/400 824 6 4002 2

74 74 74x x x

⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

8246 400 21356.

74x x⇒ = ⋅ ⇒ =

Astronaut je od središta Zemlje udaljen 21 356 km, a od površine Zemlje udaljenost iznosi:

212356 6 400 14 956 .d km km d km= − ⇒ =

Odgovor je pod B.

2.inačica

824 N ............................................. 64002 km

2

74 N ............................................. x2

_______________________________________

Strjelicu uvijek vučemo od x2. Postavimo da nepoznanica x

2 bude u donjem redu.

2 2824 N..................................................... 6 400 km

274 N..................................................... x ↑

Prva rečenica je uvjetna, a druga upitna pa kažemo: ''Ako je na 64002 km

2 udaljenosti od središta

Zemlje težina astronauta 824 N, hoće li težina 74 N biti na većoj ili manjoj udaljenosti?''. Odgovor je većoj! Znači da su veličine obrnuto proporcionalne pa druga strjelica mora imati suprotan smjer od

one uz nepoznanicu x2.

2 2824 N..................................................... 6 400

274 N.....................................................

km

x↓ ↑

[u brojnik se piše broj koji je početak strjelice koja nije uz x2, a u nazivnik se piše broj koji je

završetak te strjelice]

824 824 8242 2 2 2/

26 400 6 400 6 400

74 74 74x x x= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

27

8246 400 21356.

74x x⇒ = ⋅ ⇒ =


212356 6 400 14 956 .d km km d km= − ⇒ =

Odgovor je pod B.

3.inačica

Budući da je težina nekog objekta obrnuto proporcionalna kvadratu njegove udaljenosti od središta

Zemlje to se može zapisati pomoću formule

,2

kG

r

=

gdje je k faktor proporcionalnosti.

Tada se iz uvjeta zadatka dobije sustav jednadžbi:

824 , 6 400 , 8241 1 1 2 2 28246 400 podijelimo 6 4001

7474 , , 74 22 2 2 2 2

2

jednadžbe

k k kG N r km G

r

kk kG N r r G

rr r

= = = =

⇒ ⇒ ⇒ = ⇒

= = = =

1

22 2824 824 8246 400 6 400 2 2

74 824 6 4002174 74 74 6 400

2 2

rr

r r

k

k⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

2 2824 6 400 824 6 4002 2 2 2

74 824 6 40074 7

/ : 74 /4

r r r⋅ ⋅

⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒

2824 6 400 824

6 400 21356.74 74

r r r⋅

⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ =


212356 6 400 14 956 .d km km d km= − ⇒ =

Odgovor je pod B.

Vježba 079 Težina nekog objekta obrnuto je proporcionalna kvadratu njegove udaljenosti od središta

Zemlje. Na Zemljinoj površini, što je 6400 km od središta Zemlje, težina astronauta je 1648 N. Koliko

je astronaut udaljen od Zemljine površine ako mu je težina 148 N?

. 1918 . 14 956 . 82 467 . 447 634A km B km C km D km

Rezultat: B.

Zadatak 080 (Dado, gimnazija)

Sljedeća tablica povezuje duljine izražene u stopama i metrima. Popunite vrijednosti koje

nedostaju.

Stopa (foot) 1 5.8

Metar (m) 0.3048 1.40208 1.40208




a : b = k i c : d = k,

28


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Stopa (foot) 1 5.8 y

Metar (m) 0.3048 x 1.40208

Broj metara x izračunamo iz razmjera:

1 : 0.3048 5.8 : 0.3048 5.8 1.76784.x x x= ⇒ = ⋅ ⇒ =

Broj stopa y izračunamo iz razmjera:

1 : 0.3048 : 1.40208 0.3048 1.40208 0.3 / : 0.3048048 1.40208y y y= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

1.402084.6.

0.3048y y⇒ = ⇒ =

Stopa (foot) 1 5.8 4.6

Metar (m) 0.3048 1.76784 1.40208

Vježba 080 Sljedeća tablica povezuje duljine izražene u stopama i metrima. Popunite vrijednosti koje

nedostaju.

Stopa (foot) 2 5.8

Metar (m) 0.6096 1.40208 1.40208

Rezultat:

Stopa (foot) 2 5.8 4.6

Metar (m) 0.6096 1.76784 1.40208

Documents

· 5 Rezultat : C. Zadatak 066 (Vlado, gimnazija) Na zemljopisnoj karti udaljenost dvaju mjesta iznosi 15 cm, a stvarna udaljenost tih mjesta je 120 km. Koliko je mjerilo karte?