Upload
others
View
90
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
1
Transformarea Fourier a semnalelor
analogice
O reprezentare spectrala aplicabila
semnalelor neperiodice
http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ssist/Cap5.pdf
2
Transformarea Fourier pentru
semnale aperiodice
• Semnalul x(t) poate fi periodizat prin
repetarea sa la infinit din T in T.
• Semnalul este versiunea periodizata a
lui x(t). Pentru T ∞ se obtine semnalul
neperiodic x(t)
Tk k
x t x t t x t t kT x t kT
T
x t x t
x t
2
3
Semnalul rectangular
Semnalul neperiodic si cel periodic, de perioada T.
repetare T ∞
1
11
0 otherwiseT
, t Tx t p t
,
Neperiodic
Periodic
4
T
x t x t
Cresterea perioadei T face ca semnalul periodic sa se apropie
de cel neperiodic
• Semnalul periodic este de banda nelimitata, cu seria Fourier:
• Produsul Tck
3
5
Produsul Tck si anvelopa
Relatia dintre produs si anvelopa 0 01 2
kc X k ,T T
X() = anvelopa pentru Tck
6
Demonstratie • Coeficientii seriei Fourier pentru semnalul periodic sunt:
• Cu notatia:
• Rezulta:
0
2
2
1T
jk tk
T
c x t e dtT
0
2
2
1T
jk tk
T
c x t e dtT
Semnalele egale pe [-T/2, T/2]
j tX x t e dt
0 01 2
kc X k ,T T
4
7
Spectrul semnalului dreptunghiular
pentru diverse valori ale perioadei T
8
Cateva observatii
• Anvelopa nu este afectata de T.
• Cu cat creste T componentele spectrale sunt
mai “aproape”.
• T→∞
– distanta→0
– Reprezentarea spectrala discreta devine continua.
– Iar semnalul periodic devine neperiodic.
5
9
Definitii. Perechea Fourier
1
2
j t j tx t X e d X x t e dt
Transformata Fourier directa, functia
de densitate spectrala, sau Spectru Transformata Fourier inversa
• Spectrul unui semnal periodic este discret: linii spectrale
la frecventele k0
• Spectrul unui semnal aperiodic este continuu.
0 01 2
kc X k ,T T
10
Teorema de reconstructie. Semnale din clasa L1
• Transformata Fourier a unui semnal din L1, nu apartine neaparat de
L1 : Transformata este convergenta (x(t)L1) dar X()L1.
• Daca semnalul x(t) apartine clasei de functii L1 si este marginit pe
toata axa reala, atunci transformata Fourier inversa este
ω
ωsin2ω
X
tttptx σσ
detxtx tjR
RR
1lim F
6
11
Remarci • Transformata Fourier este o functie complexa.
Transformata Fourier H() a raspunsului la impuls
h(t) al unui sistem: raspunsul in frecventa al
sistemului.
• Dependenta modulului lui H() in functie de
frecventa se numeste caracteristica de modul a
sistemului, |H()|
• Dependenta fazei lui H() in functie de frecventa se
numeste caracteristica de faze a sistemului,
arg{H()}
12
Proprietati: 1. Liniaritatea Daca semnalele x(t), y(t) L1 au transformatele Fourier
X(ω), Y(ω) atunci pentru a, b=const., semnalul ax(t)+by(t)
L1 si are transformata Fourier X(ω)+bY(ω). Tema:
demonstratia.
bYaXtbytax
2. Deplasarea in timp
0
0
j tx t t e X
. F
Xedexdtettxttxtjtj
tttj 00
0
001
7
13
3. Modularea semnalului
0
0 .j t
e x t X
00 01
0Fj tj t j t j tx t e x t e e dt x t e dt X
Dualitatea
• operatie in timp alta operatie in frecventa
(modulatie deplasare in frecventa)
• A doua operatie in timp efect: prima operatie
in frecventa (deplasare in timp modulatie).
14
4. Scalarea variabilei timp • Daca x(t) L1 versiunea scalata x(t/a) L1 , spectrul
este o versiune scalata a semnalului x(t). Operatie auto-
duala.
1
.x at Xa a
.1
;111
aX
aatx
aX
adex
adteatxatx a
jattj
F
8
15
Exemplu: semnalul rectangular
• Spectrul semnalului este
• Versiunea scalata in timp cu a=2:
• Cu a=1/2
21 2 2 2
212 2
2
sin sinp t p t
2 sin
p t
2
22 2 22 =2
2
sin sin
p t p t
16
Comprimarea in timp expandare in
frecventa
Expandarea in timp comprimare in
frecventa
9
17
Spectrul constantei 1(t)
F
1 2t
* *x t X
*
1 * *F *j tj tx t x t e dt x t e dt X
5. Transfomata conjugatei complexe a
semnalului
18
6. Reflectarea in timp
• Demonstratie: tema
Xtx
1F
7. Derivarea in timp
Xjtx
1
'F
10
19
8. Integrarea in timp • Pentru x(t) L1 fara componenta continua X(0)=0,
integrala semnalului este tot din L1
1F
pentru 0 0
t Xx d X
j
9. Convolutia semnalelor: teorema convolutiei
x t y t X Y
• Convolutia a doua semnale din L1 este tot din L1.
Convolutia in timp -> produs in frecventa.
20
1
1
F
F
.
j t
j t
j tj
t uj j u
x t y t x y t e dt
x y t d e dt
x e x t e dtd
x e d y u e du
x t y t X Y
Demonstratie
11
21
Semnalul triunghiular este obtinut prin convolutia a doua semnale
dreptunghiulare cu aceeasi durata
2 2
1t
p t p t p t
Exemplu. Spectrul semnalului triunghiular
2
2 22
2
sin sin
p t
2
2 21
2
sintp t
22
10. Teorema de derivare a spectrului
Derivata spectrului este transformata Fourier a semnalului
–jtx(t).
ω
ω
dXtx t j
d
j t j t j t
dX d dx t e dt x t e dt x t jt e dt
d d d
12
23
•Spectrul unui semnal real si par este real si par.
•Spectrul unui semnal real si impar este pur imaginar si impar.
11. Proprietati ale spectrelor semnalelor
reale din L1
Re = ; Imp P i Ix t X X x t j X jX
*
* *
Re Im
Re Im
j
j
X X e X j X
X X e X j X
x t x t X X
; ;
Re Re ; Im Im .
X X
X X X X
Modulul si partea reala ale spectrului: functii pare.
Faza si partea imaginarea ale spectrului: functii impare.
24
Semnal real impar
2 2
2 2
222 2
j jsin
x t p t p t e e
Spectrul unui semnal real impar este pur imaginar si impar
13
25
Deplasare in timp
22
2
sin
tp
2 2
sin1 cos22 2
j j
x t e e j
22
2 and 22
22
2
2
2
sin
etp
sin
etpjj
Relatia lui Euler
sin2(u) =1-cos (2u)
26
12. Teorema lui Parseval pentru
semnale din L1
Forma echivalenta:
dYxdttytX
x t y t dt x y t d
Transformata Fourier a semnalului
x(t) cu variabila timp, t
Semnalul x(t) cu variabila
frecventa
14
27
Aceasta relatia a fost deja stabilita.
13. Relatia dintre transformata Fourier a unui semnal
aperiodic si coeficientii seriei Fourier exponentiale ai
semnalului obtinut prin periodizarea semnalului aperiodic
0 01 2
kc X k ,T T
22
0
2
0
2
00
Ttp
Ttptx TT
0122
Tcos
X j
0 0
0 0
1 cos2 2
1 cos2
x
k
k Tj
cT k
kj
k
28
Transformata Fourier a unui semnal din L1 L2 este din L2
Energia semnalului (relatie de tip Parseval sau Rayleigh) .
Densitatea de energie: |X()|2
Relatia se poate scrie folosind norma in L2 :
2 2
2X d x t dt
2
2
2
22 txX
1) Semnale de energie finita x(t) L1 L2
Transformata Fourier pentru semnale din L2
15
29
norma L2 a transformatei Fourier
2 l.i.m. j tx t x t e dt
2
2
2
dtetxlimtx tj
Transformata Fourier in clasa L2
2) Semnale de energie finita x(t) L2 \ L1
•Trunchierea x(t) prin inmultirea cu pτ(t) duce la aproximarea lui x(t) L1 L2 .
•Avem doua aproximari.
• Cea mai “buna” este cea cu durata mai
mare.
• Cealalta este o aproximare a primei.
•Eroarea tinde spre zero daca durata tinde
spre infinit.
Teorema lui Plâncherel
2Daca atunci:
i) exista , R
ii) pentru are loc egalitatea:
1
2
j t
Rj t
R R
x t L
X l.i.m x t e dt ,
t R
x t l.i.m X e d
30
16
2 2
1
2
Observatii
i) Transformata Fourier a semnalelor din este si ea in .
ii) Toate proprietatile demonstrate pentru transformarea Fourier raman valabile si
pentru transformarea Pentru semnale din
L L
.
2
1 2
2
-
este valabila relatia Rayleigh.
Ea nu este valabila pentru semnale din
iii) Pentru ( ) si ( ) din are loc relatia:
1
2
Cele 2 integrale sunt formele de exprimare al
* *
L
L \ L .
x t y t L
x t y t dt X Y d
e unor produse scalare.
Relatia poate fi scrisa si in forma:
1
2x t , y t X ,Y
2 21
2x t dt X d
Daca cele doua semnale sunt egale, avem relatia lui Parseval:
31
Proprietati suplimentare ale
transformarii Fourier din L2 14. Convolutia spectrelor (teorema convolutiei spectrelor)
1
12
2
12 2
2
2 .
j u t
j u j t j t
Z X Y L
Z X u Y u du X u y t e dt du
y t X u e du e dt x t y t e dt
x t y t
F
1
.2
x t y t X Y
32
17
15. Teorema simetriei
2
x t X x t
X t x X t
F
F
• Se porneste de la o pereche cunoscuta (x(t), X(ω))
• Care este spectrul semnalului X(t)?
• Se schimba variabilele si constantele de timp cu cele
de frecventa,
• Se obtine perechea (X(t), 2πx(-ω)).
33
34
. 2τ
sintttp
. 2 and τ
sinXtptx
t 0
0sin2
tX t
t
. 22
0 px
Exemple: Semnalul poarta temporala
18
35
Semnalul triunghiular simetric
.
2
21
2
Tsin
tpT
tTttri TT
.
2
2 and
2
Tsin
Xttritx T
2
2
2
0
t
tsin
tX
0
2
2 .
x
tri
36
Semnal cauzal exponential cazator
.tetxt
0 with 0ω0
j
ej
dtedteeXtjtjtjt
00
000
11000
22
000
111
jjX
00
0
11
arctgjargargj
argXarg
19
37
22
0
1
X
0
arctg
38
Semnal anti-cauzal exponential cazator
.tetxt
0 with 0ω0
.tetxt
0 with 0ω0
.j
XX
0
1
22
0
1
XX
.arctg
jargXarg
00
1
20
39
Semnal simetric exponential cazator
10 ; 0
0 0
ω
0
00
t,e
t,eetx
t
tt
s
.txtxtxs
0
2 2
0 0 0
21 1
sX X X
j j
40
Semnalul Gaussian
0. ,
22
4
1
aea
e aat
Spectrul semnalului Gaussian este tot Gaussian
21
41
Transformarea Fourier pentru distributii
1) Spectrul distributiei Dirac
2) Spectrul constantei 1(t)
1t
cc 2
42
3) Spectrul treptei unitare (t)
1
tj
4) Spectrul semnalului sgn(t)
j
tutsgn2
2
1, 0
sgn 0, 0
1, 0
t
t t
t
22
43
5) Spectrul semnalului 1/(πt)
, 01
sgn 0, 0
, 0
j
jt
j
44
6) Transformata Fourier a integralei unui semnal
care are componenta continua, X(0)≠0
ττστττ dt-xdxtyt
ω1
ω ω ω ω πδ ω π ω δ ωω ω
XY X t X X
j j
ωδ0πω
ωττ X
j
Xdx
t
ωδ0ωδω XX
23
45
7) Spectrul exponentialei complexe
0ω
ω-ωπδ20 tj
e
46
8) Spectrul semnalului cosω0t
0 0ω ω
0 0 0cosω π δ ω-ω δ ω ω2
j t j te e
t
24
47
9) Spectrul semnalului sinω0t
0 0 0sin π δ ω-ω δ ω ωt j
48
Transformarea Fourier pentru
semnale periodice
0ω
0 0 ω0
0
1δ ω δ ω
jk t
T
k
t eT
ttxty T0δ
0ω-ωδπ2ω kcYyk
k
25
49
Repartitia unei variabile aleatoare Repartitia unei variabile aleatoare X este descrisa de functia de densitate
de probabilitate fX (x) :
i) Media
ii) Puterea
iii) Puterea de fluctuatie in jurul mediei: varianta (dispersie)
iv) Abatere standard (grad de imprastiere in jurul mediei)
0 si 1X Xf x f x dx
;μ
dxxxfXE XX
;22 dxxfxXE X
2 2
μ μX X XVar X E X x f x dx
σ .X Var X
50
Exemplu: repartitia gaussiana (normala)
X -medie
σX –abatere standard
2
2
σ2
μ
Xσπ2
1X
Xx
X exf
2
2
2
μ
2σ
X
X
2
11
2πσ
μ 0,σ 1
11
2π
X
X
x
X
x
e dx
e dx
26
2
2
Repartizarea in timp a energiei semnalului :
: densitate de repartitie in timp a energiei.
moment de timp in jurul caruia se grupeaza energia semnalului
si o dispersie a acestuia,
c
x t W x t dt
x t
W
t
2
222
2t
2 2
σ
t
c
c
:
t x t dt t t x t dt
t
x t dt x t dt
Repartizarea in timp a energiei semnalului
51
2
2
Repartizarea in frecventa a energiei semnalului , cu spectrul
1
2
:densitate de repartitie in frecventa a energiei.
Frecventa in jurul careia se grupeaza e
nergia semnalului
si o
c
x t X
W X d ;
X
W
2
222
2ω
2 2
dispersie in frecventa,
ω ω ω ω ω ω ω
ω σ
ω ω ω ω
c
c
:
X d X d
X d X d
Repartizarea in frecventa a energiei semnalului
52
27
Valorile abaterilor standard si ne dau informatii despre durata efectiva
si banda efectiva a semnalului ( )
t
x t .
Relatia de incertitudine Heisenberg-Gabor
Daca si pot fi definite, atunci pentru orice semnal avem:
Egalul are loc daca si numai daca este un semnal Gaussian.
t
1
2t
x t
Exemplu: semnalul gaussian
2
21
4
2 2
t ω
10; σ ; ω 0 σ
4
at a
c c
x t e X ea
t aa
t ω
1σ σ .
2
53
54
2
3
2
2 66
3
2
20.9974 99.74%
2
a
at
a
WW e dt
Wa
23
626
3
1 20.9974 ; 99.74%
2 2
a
a
a
WW e d
a Wa
Energia in intervalul de timp 3 3
3 ,3 ,2 2
t ta a
Energia in banda de frecvente ω0,3σ
3Durata semnalului ; banda 3
produsul durata-banda 9 pentru 99.74% W
T B aa
TB
28
55
Observatii:
i) Interpretari ale inegalitatii Heisenberg-Gabor
Daca durata semnalului t creste banda (intinderea spectrala) descreste. Exemplu: proprietatea de scalare in timp. La o durata a semnalului fixata, intinderea spectrala este
Dintre toate semnalele cu aceeasi durata, semnalul gaussian are banda de frecvente minima.
Dintre toate semnalele de banda de frecvente impusa, cea mai mica durata o are semnalul gaussian.
Folosirea sa este indicata in telecommunicatii: la banda impusa ofera cea mai mare viteza de transmisie.
t ω
1σ σ
2
ω
t t
1σ
σ 2σ
C
56
ii) Nu intotdeauna se pot determina σt si σω
2
0 0 0
22
2 2
ω2 220
222
02 2
0 0
ω
1 1 1; ;
2 2 2
ω ω ω1
(functie para) 0 σ ;
ω ω
ωω ω ω ω
σ nu poate fi definit
C t
C
W x t dt t
X d
X
X d
X d d arctg
0ω
0
1
tx t e t X
j
29
In intervalul [0,T] energia semnalului:
Impunem WT=0,995W si avem: T=2,65/ω0
Energia in banda de frecvente [0,Bω] este
Impunem WBω =0,995W si avem: Bω≈127,3ω0
Rezulta produsul durata-banda 337,3
Un astfel de semnal, la o durata impusa, are o banda foarta larga, astfel incat 99,5% din energia sa sa fie transmisa.
57
2
0
1 2ω ω
2
B
B
B
BW X d arctg W
0 02 2 2
0 0
= 1
T T
t T
TW x t dt e dt e W
iii) Semnalul poarta temporala In durata T este cuprinsa toata energia semnalului. In domeniul frecventa:
Energia ce nu este cuprinsa in intervalul [0,Bω] este
Impunem WBω =0,995W si avem produsul durata-banda 130.
La aceeasi durata, semnalul dreptunghiular are o banda de frecventa mai mica decat semnalul exponential.
58
2
21 2 sinω ω
2
B Bx
B
B B
x
x
xW X d dx
x
, cu 2p t T
2sin
B
B B
x
x
xdx
xW W
W
30
59
Pentru 65 0 5 0 995
65 2 130
x BB ; , % W , W
B T
Raspunsul in frecventa al sistemelor
liniare si invariante in timp continuu
Raspunsul sistemului poate fi determinat inversand transformata
Fourier a produsului dintre spectrul semnalului de intrare si
raspunsul in frecventa al sistemului.
( ) ( ) ( ) ( ) HXthtx ↔*
60
31
Transformata Fourier a raspunsului la impulsul unitar h(t),
este raspunsul sistemului in frecventa H(ω).
Cunoscand H(ω) se poate afla iesirea pentru orice intrare.
i)Se determina X(ω)=F{x(t)},
ii)Se determina Y(ω)=X(ω)H(ω), unde H(ω)=F{h(t)},
iii) Se calculeaza y(t)=F-1{Y(ω)}.
Se descompune Y(ω) intr-o suma de fractii simple. 61
Raspunsul in frecventa al SLIT
Raspunsul SLIT la semnale periodice
0 0
0, .jk t jk t
k k
k k
x t c e y t c H k e
0 0 0cos argH t H
Metoda armonica
62
32
63
Calculul raspunsului unui sistem liniar si invariant in timp
caracterizat printr-o ecuatie diferentiala liniara si cu
coeficienti constanti
0 0
, 0
k kN N
Nk kk kk k
d y t d x ta b a
dt dt
0
0
, 0
Nk
kk
NNk
kk
b jY
H aX
a j
i) Functia raspuns in frecventa este, pentru circuitele electrice cu
constante concentrate, de tip fractie rationala de variabila jω
ii) Coeficientii puterilor variabilei jω din raspunsul in frecventa sunt
aceeasi cu coeficientii ce intervin in structura ecuatiei diferentiale ce
descrie sistemul (circuitul)
64
0
0 0 0
0
0
0
, 0, 0
t
dy ty t k x t k
dt
kH
j
h t k e t
Exemple i) SLIT cauzal, descris de ecuatia diferentiala de ordin unu
33
65
2
2
2
2 4
6 8 3
3 3
2 46 8
0.5 0.5
2 4
0.5 t t
d y t dy t dx ty t x t
dt dtdt
j jH
j jj j
Hj j
h t e e t
ii) SLIT cauzal, descris de ecuatia diferentiala de ordinul doi
66
1 2
2
2
21 2
2 2 2
2 1 1 1 1
2 22 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1
2 2
cos sin
a t a t
jt jtt t
jt jt jt jtt t
t
d y t dy t dx ty t x t
dt dtdt
j j jH
j a j aj j
j jh t e e t
j je e e e t
je e e e e e t
e t t t
h
2 cos4
tt e t t
iii) tot un SLIT cauzal, descries printr-o ecuarie diferentiala de ordin doi
34
67
2 4
3
2 4
1/ 1
3
1 2 4
2 1 1 1 1 1
3 1 2 2 6 4
2 1 1
3 2 6
t
t t t
jH
j j
x t e t X j
jY H X
j j j
Yj j j
y t e e e t
tx t e t
Se cauta raspunsul y(t) al sistemului din exemplul ii), la o
exponentiala cauzala
Sistemul (si semnalul de intrare) este cauzal deci si raspunsul
sau este cauzal
68
1 2
2
2
2 2
1,21 2
2
2 2
2 2 / 2
2 2 2
22 2 2 2
; 1
2
2 sin
t
a t a t jtt t t
jt jtt t
jH
j j
x t e t X j
jY
jj j j j
j jY a j
j a j a
y t je je t je je je e t
je e e t e t t
Se cauta raspunsul y(t) al sistemului din exemplul iii), la o
exponentiala cauzala 22 tx t e t
35
69
Reprezentarea caracteristicilor de frecventa
10: 20 20000 log lg , 0f Hz Hz
Reprezentarea frecventei in coordonate logaritmice
Reprezentarea modulului raspunsului in frecventa in coordonate
logaritmice, (nu se exclude utilizarea coordonatelor liniare.)
intre frecventele ω1 si 10ω1 avem o „decada”,
intre frecventele ω1 si 2ω1 avem o „octava”.
70
6 7
2
2
2 500 / 500 2 5000 / 5000 : o decada
2 10 / 2 10 / : o decada
lg10..........1 50 ... lungimea pentru o decada
lg 2............ ... lungimea pentru o octava
1 lg 2 50 0.3
rad s Hz rad s Hz
rad s rad s
mm
x mm
x m
15m mm
10 0
0 0
20log 20lg ;nivelul de referinta dB H H
A HH H
O crestere cu 20dB inseamna ca |H(ω)|=10H0.
O scadere cu 20dB,A=-20, inseamna ca |H(ω)|=0.1 H0.
O crestere cu 40dB inseamna |H(ω)|=102H0.
O scadere cu 40dB, inseamna |H(ω)|=10-2H0.
Pentru frecventa (axa orizontala)
Pentru nivel (axa verticala)
36
71
Crestere cu 3dB =multiplicarea valorii de referinta cu √2 ,
Scadere cu 3dB = multiplicarea valorii de referinta cu 1/ √2
(0.707) .
Cresterea (scadere) cu 6dB= dublarea (injumatatirea) valorii de
referinta
dB 0 1 2 3 4 6 8 10 12 14 16 18 20
|H| 1 1.122 1.253 2 1.585 2 2.512 3.162 3.981 5.012 6.31 7.943 10
dB 0 -1 -2 -3 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20
|H| 1 0.891 0.794 1/2 0.631 0.5 0.398 0.316 0.251 0.2 0.158 0.126 0.1
Sisteme de ordinul intai
0 000 txKty
dt
tdy
0
0
K
Hj
0
0
2 200
; .K K
H arctg
Caracteristica de modul este o functie para.
Caracteristica de faza este o functie impara.
; 0
dy ty t kx t
dt
In automatizari forma tipica este:
72
37
73
2
0 0
2
0 00
, / 1 20lg 20lg
ecuatia unei paralele la axa frecventei, asimptota la stanga
10 , / 1 20lg 20lg 20lg
ecuatia unei drepte, asimptota la frecvente mari (la dreapta)
-20dB/decada -6dB/o
H k
H k
ctava
Caracteristici de frecventa, K=1, ω0=1
Reprezentarea curbei prin asimptote
74
38
75
Hodograful folosit pentru studiul stabilitatii
, H
Sisteme de ordinul doi
,2 20
2002
2
txKtydt
tdy
dt
tyd
2
0
2 2
0 0
.2
KH
j
1 si 2/1 0
76
40
79
Sistem trece sus
0 0
0
1
; 0
dy t dx ty t
dt RC dt
dy t dx ty t k
dt dt
k jH
j
Functia de corelatie pentru un semnal de
energie infinita, dar putere medie finita
0
0
0
12
000
1
2
Produsul se construieste ca si in cazul convolutiei,
cu exceptia reflectarii unui termen.
Daca , perioada T
2
F
T
xT
T
Njk
x k
k
R lim x* t x t dt ,T
x* t x t
R c e ,T
semnalul este periodic
0
00
unctia este periodica de perioada
1
x
T
x x
T
R T
R R T x* t x t dt ,T
80
41
81
2
2
2 20 0
1
0
Teorema Wiener-Hincin: are coeficientii seriei
Fourier exponentiale
unde
0 2
P - puterea medie pe o perioada a semnalului x(t)
Se defin
x
k
x k k
x x k x
k
x x
R
c
R c x t c
R R nT P c c ; R k P
T
R R
2
0
este ca
transformata Fourier a functiei de corelatie:
2x x k
n
R S c k
densitatea spectrala de putere a semnalului
82
1
2
Daca ,
functia de corelatie este conjugat simetrica(simetrie Hermitica)
Pentru semnalul trunchiat
T
xT
T
*x x
T T T
R lim x* t x t dt ,T
R R
x t p t x t X
semnalul este neperiodic dar de putere finita, P
2
se defineste densitatea spectrala de putere:
2
teorema Wiener-Hincin
Tx
T
x x
XS lim
T
R S
42
83
Teorema Wiener-Hincin: Functia de corelatie si densitatea
spectrala de putere a unui semnal, formeaza o pereche de
transformate Fourier.
, cu 0,
1
2
10
2
Valoarea functiei de corelatie in origine reprezinta
chiar puterea medie a semnalului
0
x x x x x
jx x
x x
x x
R S S S S
R S e d
R S d P
R R
84
0
0
0
1 1lim lim
2 2 2
1 1lim , 0
2 2
1 1 1lim lim lim , 0
2 2 2 2 2
Se observa ca functia de corelatie este para
1/ 2
T
T T
T
x T
T
x T T T
x t t
TP dt
T T
R dtT
TR dt
T T T
Semnalul treapta unitara
43
85
2 2
2 2
Semnalul trunchiat:
1 1
1
sin sin2 2 2
2
sin sin1 2 2lim lim
2 2
2 2
j TT
j T
T
T Tj j
x T T
x t t t T ej j
eX
j
T T
e e
T TT
ST
Functia de intercorelatie pentru semnale
de putere finita
0
0
0
0
2
0
2
1
2
In cazul a doua semnale periodice, de perioada functia
de intercorelatie este si ea periodica de aceeasi perioada:
1
yx
T
xyT
T
T
xy xyT
xy
R lim x t y t dtT
T ,
R R T x t y t dtT
R R
86
44
87
20 0
Coeficient de intercorelatie al semnalelor: 10 0
Semnale ortogonale sau necorelate: 0
Functie de intercovarianta
1
2
xy x y x y
xyxy xy
x y
xy
xy x yT
T
R P P R R
R;
R R
R ,
K lim x t m y t m dtT
0
0
2
0
2
1Media temporala
2
Media unui semnal periodic este tocmai componenta sa continua
1
T
T
xT
T
T
xT
T
m lim x t dtT
m lim x t dtT
88
Trecerea semnalelor de putere medie finita
prin SLIT (periodice)
2
y xS H S
Densitatile spectrale de putere ale semnalelor de intrare si iesire
sunt legate printr-o relatie extrem de simpla.
Pentru un semnal periodic avem:
Coeficientii seriei semnalulului de iesire sunt dati de:
Rezulta:
22
0 02y kk
S c H k k
0yk k
c c H k
2
02x kk
S c k
45
Functii de corelatie pentru semnale de
energie finita
2 2
functia de intercorelatie
functia de (auto)corelatie
Valoarea corelatiei in origine este energia semnalului
10
2
xy
x
x
R x t y t dt x y x y
R x t x t dt x x x x
R x t dt X d
89
Functii de corelatie pentru semnale de
energie finita
Semnale reale:
xy yx x x
xy yx x x
R R ; R R
R R ; R R
90
Functia de (auto)corelatie este simetrica, dar nu si
functia de intercorelatie