Embed Size (px)
Citation preview
1
Zadatak 341 (Paula, maturantica)
Koliko realnih rješenja ima jednadžba ( ) ( ) ( )log 2 log 3 2 log 2 3 ?2 2 2
x x x− + + = + ⋅ −
. . . .A nijedno B jedno C dva D tri
Rješenje 341
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )log log log log log log, , .n
x y x y b n f x g x f x g xb b b b b b
⋅ = + = = ⇒ =
0 .,a b c a c b c> > ⇒ ⋅ > ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Množenje zagrada
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Logaritamska funkcija s bazom b realna je funkcija oblika
( ) lo ,gf x xb
=
gdje je b > 0 i b ≠ 1. Područje definicije (domena) logaritamske funkcije je interval pozitivnih realnih
brojeva
, .0x ∈ + ∞
Najprije moramo napraviti diskusiju rješenja zadatka. Budući da baza mora biti pozitivan broj i različit od 1, a logaritmandi (brojevi ili izrazi pod znakom logaritma) ne smiju biti negativni (logaritamska
funkcija definirana je samo za pozitivne realne brojeve!), postavit ćemo sljedeće nejednadžbe koje
tražena rješenja moraju zadovoljiti:
presjek
zajednički
2 0 2 2 2
3 0 3 3 3
2 3 0 2 3 2 3
dio
/ : 2 oba rješenja3
2
x x x x
x x x x
x x xx
− > > > >
+ > ⇒ > − ⇒ > − ⇒ > − ⇒ ⇒
⋅ − > ⋅ > ⋅ >>
2, .x⇒ ∈ + ∞
Tražimo rješenje jednadžbe.
( ) ( ) ( )log 2 log 3 2 log 2 32 2 2
x x x− + + = + ⋅ − ⇒
( ) ( ) ( )2
log 2 log 3 log 2 log 2 32 2 2 2
x x x⇒ − + + = + ⋅ − ⇒
( ) ( ) ( )log 2 log 3 log 4 log 2 32 2 2 2
x x x⇒ − + + = + ⋅ − ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )log 2 3 log 4 2 3 2 3 4 2 32 2
x x x x x x⇒ − ⋅ + = ⋅ ⋅ − ⇒ − ⋅ + = ⋅ ⋅ − ⇒
2 23 2 6 8 12 3 2 6 8 12 0x x x x x x x x⇒ + ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⇒ + ⋅ − ⋅ − − ⋅ + = ⇒
2
1 , 7 , 62
2 7 6 027 6 0
41 , 7 , 6
1,2 2
a b c
x xx x
b b a ca b c x
a
= = − =
− ⋅ + =⇒ − ⋅ + = ⇒ ⇒ ⇒
− ± − ⋅ ⋅= = − = =
⋅
( ) ( )2
7 7 4 1 6 7 49 24
1,2 1,22 1 2x x
− − ± − − ⋅ ⋅ ± −⇒ = ⇒ = ⇒
⋅
7 5 12
1 1 17 25 7 5 2 21,2 1,2 7 5 22 2
2
12
2
2
22 22 2
x x x
x x
x x x
+= = =
± ±⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
−= = =
6 6 2,1 1
6.1 1 2,2 2
x xx
x x
= = ∈ + ∞⇒ ⇒ ⇒ =
= = ∉ + ∞
Postoji samo jedno rješenje.
Odgovor je pod B.
Vježba 341
Koliko realnih rješenja ima jednadžba ( ) ( ) ( )log 2 2 log 2 3 log 3 ?2 2 2
x x x− − = ⋅ − − +
. . . .A nijedno B jedno C dva D tri
Rezultat: B.
Zadatak 342 (Paula, maturantica)
3 log2
Ako je 2 , koliko je ?x
y x+
=
( )8
. . 3 . log 3 . 28
y yA x B x y C x y D x= = − = + =
Rješenje 342
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
,log
.a
n m n m ba a a b a
+⋅ = =
3 log log2 3 2
2 2 2 / : 88 8 8 .8
x x yy y y x x y x y x
+
= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Odgovor je pod A.
Vježba 342 3 log
5Ako je 5 , koliko je ?
xy x
+
=
( )
25
. . 25 . log 5 . 5125
y yA x B x y C x y D x= = − = + =
Rezultat: A.
3
Zadatak 343 (Paula, maturantica)
Čemu je jednak x ako je log x = log a + log b – log c, gdje su a, b, c pozitivni brojevi?
Rješenje 343
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
( ) , ,log log log l .og log logx b a b
x y x y x y ay c c
⋅⋅ = + = − ⋅ =
( ) ( ) ( ) ( )log og .lf x g x f x g x= ⇒ =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
1.inačica
( ) ( )log log log log log log log log log log logx a b c x a b c x a b c= + − ⇒ = + − ⇒ = ⋅ − ⇒
log log .a b a b
x xc c
⋅ ⋅⇒ = ⇒ =
2.inačica
( )log log log log log log log log log log logb
x a b c x a b c x ac
= + − ⇒ = + − ⇒ = + ⇒
log log log log .b a b a b
x a x xc c c
⋅ ⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =
Vježba 343
Čemu je jednak x ako je log x = log a + log b + log c, gdje su a, b, c pozitivni brojevi?
Rezultat: x = a · b · c.
Zadatak 344 (Darija, gimnazija)
Odredite log 729.27
Rješenje 344
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
4
( )1
log log log 1 log lo, .g, ,mn n n m
a n a b a a a ab b b k bkb
⋅= ⋅ = = = ⋅
,log
log log log .log
a na a n a
b b= = ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Prost broj (prim – broj) je prirodni broj veći od 1 koji je djeljiv jedino sa 1 i samim sobom.
1.inačica
Uočimo da je 272 = 729. Tada je:
2log 729 log 27 2 log 27 2 1 2.
27 27 27= = ⋅ = ⋅ =
2.inačica
Broj 729 rastavimo na proste faktore.
729 3 243= ⋅ =
3 3 81= ⋅ ⋅ =
3 3 3 27= ⋅ ⋅ ⋅ =
3 3 3 3 9= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
3 3 3 3 3 3= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
.
63=
Tada je:
( )2
6 3 2log 729 log 3 log 3 log 27 2 log 27 2 1 2.
27 27 27 27 27= = = = ⋅ = ⋅ =
3.inačica
Brojeve 27 i 729 rastavimo na proste faktore.
27 3 9= ⋅ = 729 3 243= ⋅ =
3 3 3= ⋅ ⋅ = 3 3 81= ⋅ ⋅ =
.
33=
3 3 3 27= ⋅ ⋅ ⋅ =
3 3 3 3 9= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
3 3 3 3 3 3= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
.
63=
Tada je:
1 1 16log 729 log 3 6 log 3 6 log 3 6 log 3 6 1 2.
27 27 27 3 33 36
33= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
4.inačica
Zadani logaritam po bazi 27 može se računati preko dekadskih logaritama pa slijedi:
6log 729 log 3 6 log 3 6 6
log 729 2.27 3log 27 3 log 3 3 3lo
log 3
3
6
3g log 3
⋅ ⋅= = = = = = =
⋅ ⋅
Vježba 344
Odredite log 64.8
Rezultat: 2.
5
Zadatak 345 (Darija, gimnazija)
Logaritmirajte izraz
2 2x y
x y
−
⋅ po bazi 10.
Rješenje 345
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
( ) ( ) ( )2 2
log , ,log log log lo .g logx
x y a b a b a b x y x yy
= − − = − ⋅ + ⋅ = +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Uporabit ćemo formulu za logaritam kvocijenta, formulu za razliku kvadrata te formulu za logaritam
umnoška.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2
2 2log log log log log
x yx y x y x y x y x y
x y
−= − − ⋅ = − ⋅ + − ⋅ =
⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( )log log log log log log log log .x y x y x y x y x y x y= − + + − + = − + + − −
Vježba 345
Logaritmirajte izraz 2 2
x y
x y
⋅
−
po bazi 10.
Rezultat: ( ) ( )log log log log .x y x y x y+ − − − +
Zadatak 346 (4A, TUPŠ)
Izračunajte 1
log .3 3 27⋅
Rješenje 346
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
( ), .2
, ,2 1 n m n m
a b a b a a a a a a a+
⋅ = ⋅ = ⋅ = =
6
log 1 0 log log log log log, , , .log 1x n
x y a n a bb b b b b b by
= = − = ⋅ =
1 log 1log log log
lo, , , , .
g 2 1
a
a a d nn ba a a a nn b cb b ca
d
⋅−= = = = ⋅ =
⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅ Uočimo da vrijedi
2 33 3 3 3 3 27.⋅ = ⋅ = =
1.inačica
( )21 1
log log log 1 log 27 0 log 273 3 27 27 27 2727 27
= = − = − =⋅
2 log 27 2 1 2.27
= − ⋅ = − ⋅ = −
2.inačica
( )21 1 1
log log log 27 1 log 27 1 log 273 3 27 27 27 2727 27
−= = = − ⋅ = − ⋅ =
⋅
1 2 log 27 1 2 1 2.27
= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −
3.inačica
1log
1 1 log1 log 27 0 log 27 log 2727log log1 1 13 3 2727 27 log 27
log 27 log 27 log 272 2 2
− − −= = = = = =
⋅⋅ ⋅ ⋅
1
1 21 2.1 1
log 27
lo 71
g 21
2 2 2
−− −
= = = = − = −
⋅
Vježba 346
Izračunajte 1
log .2 2 8⋅
Rezultat: – 2.
Zadatak 347 (4A, TUPŠ)
Izračunajte ( )4log 3 log log 256 .
3 4 16+
Rješenje 347
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
7
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
1 1log log log 1 log log log lo, , , .g
nna a b a n a a anb b b b b bbn n
= ⋅ = = ⋅ = ⋅
1 loglog lo, , .g
log log
a c a d b c aa a
b bb d b d b ba
⋅ + ⋅+ = = =
⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅ Uočimo da je 162 = 256.
1.inačica
( ) ( ) ( )1 124log 3 log log 256 log 3 log log 16 1 log 2 log 16
3 4 16 3 4 16 4 164 4+ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ =
( )1 1 1 1 1 1 1 1 1
log 2 1 log 2 log 2 log 2 14 4 2 24 4 4 4 2 4 2 4 22
= + ⋅ = + = + = + ⋅ = + ⋅ = + =
1 2 3.
4 4
+= =
2.inačica
( ) ( ) ( )1 124log 3 log log 256 log 3 log log 16 1 log 2 log 16
3 4 16 3 4 16 4 164 4+ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ =
( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 log 2 1 log 24 4 24 4 4 log 4 4 4 2 log 2 4 2 1log 22 22
= ⋅ + ⋅ = + = + = + = + = + =⋅ ⋅
1 1 1 2 3.
4 2 4 4
+= + = =
3.inačica
( )2
1 log 256 1 log164log 3 log log 256 log 3 log 1 log
3 4 16 3 4 44 log16 4 log16+ = ⋅ + = ⋅ + =
log16
log16
1 2 log16 1 2 1 1 1 1log log log 2 log 2 log 2
4 4 4 2 24 log16 4 4 4 4 22
⋅ ⋅= + = + = + = + = + ⋅ =
1 1 1 1 1 2 31
4 2 4 2 4 4
+= + ⋅ = + = =
Vježba 347
Izračunajte ( )4log 3 log log 625 .
3 4 25+
Rezultat: 3
4
8
Zadatak 348 (Mislav, gimnazija)
Izračunajte ( )log log 3 .8 9
Rješenje 348
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
, ,1 1 1
log log log 1 lo, , .glog
a c a cna a b a an nb b bb n b d b d ba a
⋅−= ⋅ = = ⋅ = =
⋅
( )2log 1
log log log log logl
, , .g
,o
an na n a a a a a a
b b b b bb n= ⋅ = = = ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅ 1.inačica
( ) 1 1 1 1log log 3 log log 3 log log 3 log 1 log log 2
8 9 8 2 8 3 8 8 82 2 23
−= = ⋅ = ⋅ = = =
1 1 11 log 2 1 log 2 1 log 2 1 1 .
8 3 23 3 32= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −
2.inačica
( ) 1 1 1 1log log 3 log log log log
8 9 8 8 8 82log 9 2 log 3 2 1log 33 33
= = = = =⋅ ⋅
1 1 1 1 1 11log log 2 1 log 2 1 .
8 8 8 32 log 8 3 log 2 3 1 3log 22 22
− − −−= = = − ⋅ = − ⋅ = = = = −
⋅ ⋅
3.inačica
( ) log 3 log 3 log 3log log 3 log log log log
8 9 8 8 8 82log 9 2 log 3 2log
log 3
lo3 g 3= = = = =
⋅ ⋅
1 1 1 11log log 2 1 log 2 1 log 2 1 log 2 1 1 .
8 8 8 3 22 3 3 32
−= = = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −
4.inačica
( ) ( ) 1 1log log 3 log log 9 log log 9 log 1
8 9 8 9 8 9 82 2= = ⋅ = ⋅ =
9
1 1 1 11log log 2 1 log 2 1 log 2 1 log 2 1 1 .
8 8 8 3 22 3 3 32
−= = = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −
Vježba 348
Izračunajte ( )log log 2 .8 4
Rezultat: 1
.3
−
Zadatak 349 (4A, TUPŠ)
Ako je a = log 5 i b = log 3, izrazite log 30 8 kao funkciju varijabli a i b.
Rješenje 349
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
( )log
log log log log10 1 log log log, ,l
, .og
a na a n a a b a b
b b= = ⋅ = ⋅ = +
log log lo .ga
a bb
= −
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
1.inačica
( )
( )10
3 3 log3 log10 log 5log8 log 2 3 log 2 5log 8
30 log 30 log 10 3 log10 log 3 1 log 3 1 log 3
⋅⋅ −⋅
= = = = = =⋅ + + +
( ) ( )3 1 log 5 3 1.
1 lo
log 5
l 3g o3 1g
a
b
a
b
⋅ − ⋅ −= = =
+
=
=+
2.inačica
( )
( )1000
3log3 1 log 5log 8 log1000 log125 3 log 5 3 3 log 5125log 8
30 log 30 log 10 3 log10 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3
⋅ −− − − ⋅= = = = = = =
⋅ + + + +
( )log 5
log
3 1
3.
1
a
b
a
b
⋅ −= =
+
=
=
Vježba 349
Ako je a = log 5 i b = log 3, izrazite log 8 30 kao funkciju varijabli a i b.
Rezultat: ( )
1.
3 1
b
a
+
⋅ −
10
Zadatak 350 (4A, TUPŠ)
Odredite x
y iz jednakosti
2 2log log 2
.log log 1
x y
x y
− =
+ =
Rješenje 350
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
log log log, , .log loga
a b a b a b a b f x g x f x g xb
− = − ⋅ + = − = ⇒ =
( )2
,2 2
, ,log100 2 21
.n a b a b
a b a a b b nn n n
+= − = − ⋅ ⋅ + = + =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
1.inačica
( ) ( )
( )
2 2 log log log log 2lo metoda zamjene
supstitucij
g log 2
log log 1log log e1
x y x yx y
x yx y
− ⋅ + =− =⇒ ⇒ ⇒
+ =+ =
( )log log 1 2 log log 2 log 2 log log100 100.x x x
x y x yy y y
⇒ − ⋅ = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
2.inačica
( ) ( )
( )
2 2 log log log log 2lo metoda zamjene
supstitucij
g log 2
log log 1log log e1
x y x yx y
x yx y
− ⋅ + =− =⇒ ⇒ ⇒
+ =+ =
( )log log 1 2 log log 2.x y x y⇒ − ⋅ = ⇒ − =
Sada promatramo jednostavniji sustav jednadžbi.
log log 2
log log 1.
x y
x y
− =
+ =
Sustav riješimo metodom suprotnih koeficijenata.
log log 2 32 log 3 2 log 3 log .
log log 1/ : 2
2
x yx x x
x y
− =⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
+ =
Računamo log y tako da uvrstimo log x u bilo koju jednadžbu sustava.
log log 13 3 1 3 2 3
log 1 log 1 log log32 2 1 2 2log
2
x y
y y y yx
+ =−
⇒ + = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒=
11
1log .
2y⇒ = −
Budući da je
log log log ,x
x yy
= −
slijedi:
3log
2
1
3 1 3 1log log log log log
2 2l
2 2og
2
x x xx y
y
x
yy
y= − ⇒ ⇒ = − − ⇒ = + ⇒
=
= −
4
2
4log log log 2 log log100 100.
2
x x x x x
y y y y y⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
3.inačica
Riješimo sustav jednadžbi.
( )
2 2 2 2log log 2 log log 2
l
metoda zamjene
supstitucijeog log 1 log 1 log
x y x y
x y x y
− = − =⇒ ⇒ ⇒
+ = = −
( )2 2 2 2
1 log log 2 1 2 log log log 2y y y y y⇒ − − = ⇒ − ⋅ + − = ⇒
1 2 log 2 1 2 log 2 2 log 2 1 2 log 12 2
log logy y yy yy⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅+ =− ⇒
( )1
2 log 1 log ./ :2
2y y−⇒ − ⋅ = ⇒ = −
Računamo log x. Računamo log y tako da uvrstimo log x u bilo koju jednadžbu sustava.
log log 11 1 1 1 2 1
log 1 log 1 log log12 2 1 2 2log
2
x y
x x x xy
+ =+
⇒ − = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒= −
3log .
2x⇒ =
Sada je:
3 1 3 1 4log log log log log log
2 2 2 2 2x y x y x y− = − − ⇒ − = + ⇒ − = ⇒
log log log log 2 log 2 log log1004
102
0.x x x
x y x yy y y
⇒ − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Vježba 350
Odredite y
x iz jednakosti
2 2log log 2
.log log 1
x y
x y
− =
+ =
Rezultat: 1
.100
y
x=
Zadatak 351 (4A, TUPŠ)
Izračunajte: log 2 log 3
.1 log 3.6
+
+
Rješenje 351
Ponovimo!
12
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
( )log log log log log, ,log log10 1 log log, .a n
a b a b a b a n ab
⋅ = + = − = = ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅ 1.inačica
( )
( )
log 2 3log 2 log 3 log 6 log 6 log 6 log 6 1.
21 log 3.6 log10 log 3.6 log 10 3.6 log 36 2 log 6 2 2log 6
log 6
log 6
⋅+= = = = = = =
+ + ⋅ ⋅ ⋅
2.inačica
6log log 3
log 2 log 3 log 6 log 3 log 3 log 63361 log 3.6 log10 log 36
l
log10 log 36l
og 3 log 3
log10 logog10 log
10
10
++ − +
= = = =+ + − +
+
− +
−
log 6 log 6 log 6 1.
2log 36 2 lo
log
g 6 2
6
log 2o 6 6l g
= = = = =⋅ ⋅
Vježba 351
Izračunajte: 1 log 3.6
.log 2 log 3
+
+
Rezultat: 2.
Zadatak 352 (4A, TUPŠ)
Izračunajte: ( )log log 3 log 4 .1 2 34
⋅
Rješenje 352
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
1log log log lo, ,g .1 g 1, lo
n na n a a b a ba nb b b ba
−= ⋅ ⋅ = = =
13
1 loglog log log log, .log
l,
og
a na a a a n an b bb n b
= ⋅ = = ⋅
log
l.log
og
aca
b bc
=
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
1.inačica
( ) ( ) ( )2log log 3 log 4 log log 3 log 2 log log 3 2 log 2
1 2 3 1 2 3 1 2 34 4 4
⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =
( ) ( )1 1 1
log 2 log 3 log 2 log 2 1 log 2 log 2 log 2 1 .1 2 3 1 1 2 22 2 224 4 4
= ⋅ ⋅ = ⋅ = = = − ⋅ = − ⋅ = −−
2.inačica
( ) log 3 log 4 log 4 1 log 4log log 3 log 4 log log log
1 2 3 1 1
log 3
lo 1log 2 log 3 log 2 log 2 14 4 4
g 34
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
2log 4 log 2 2 log 2 2
log log log log log 21 1 1 1 1log 2 log 2 log 24 4 4 4 4
log 2
log 2
⋅ ⋅= = = = = =
1 1 1log 2 log 2 1 .
2 22 2 22= = − ⋅ = − ⋅ = −
−
3.inačica
( ) ( )log 4
1 3log log 3 log 4 log log 4 log log log 4
1 2 3 1 3 1 1 2log 2 log 23 34 4 4 4
⋅ = ⋅ = = =
( ) ( ) ( )2
log log 2 log 2 log 2 log 2 1 log 21 2 1 2 1 14 4 4 4
= = ⋅ = ⋅ = =
1 1 1log 2 log 2 1 .
2 22 2 22= = − ⋅ = − ⋅ = −
−
Vježba 352
Izračunajte: ( )log log 4 log 3 .1 3 24
⋅
Rezultat: 1
.2
−
Zadatak 353 (4A, TUPŠ)
Izračunajte: log 25 log 1.6.0.25 0.5
+
Rješenje 353
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
14
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
, , ,1
log log log log lo 1.gan
a a a n a b a bn b b b bb n b= ⋅ = ⋅ ⋅ = =
( )log log .logx y x yb b b
⋅ = +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Baze logaritama su decimalni brojevi pa ih najprije napišimo u obliku razlomaka, skratimo, a zatim
napišemo u obliku potencija.
• 25
10
25 1 1 20.25 2 .
2100 40 2
−= = = = =
• 5
10
5 1 10.5 2 .
10 2
−= = = =
1.inačica
1 1log 25 log 1.6 log 25 log 1.6 log 25 log 1.6
0.25 0.5 2 1 2 22 12 2+ = + = − ⋅ − ⋅ =
− −
1 1 12log 5 log 1.6 2 log 5 log 1.6 log 5 log 1.6
2 2 2 2 2 22 22
2= − ⋅ − = − ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ − =
( ) ( )3
log 5 log 1.6 log 5 log 1.6 log 5 1.6 log 8 log 22 2 2 2 2 2 2
= − − = − + = − ⋅ = − = − =
3 log 2 3 1 3.2
= − ⋅ = − ⋅ = −
2.inačica
Uočimo da je 0.52 = 0.25.
1log 25 log 1.6 log 25 log 1.6 log 25 log 1.6
0.25 0.5 2 0.5 0.5 0.520.5+ = + = ⋅ + =
1 1 12log 5 log 1.6 2 log 5 log 1.6 2
2log 5 log 1.6
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.52 2= ⋅ + = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + =
( )3
log 5 log 1.6 log 5 1.6 log 8 log 8 log 8 log 20.5 0.5 0.5 0.5 1 2 22
= + = ⋅ = = = − = − =−
3 log 2 3 1 3.2
= − ⋅ = − ⋅ = −
Vježba 353 Izračunajte: log 1.6 log 25.
0.5 0.25+
Rezultat: – 3.
Zadatak 354 (4A, TUPŠ)
Izračunajte: 1
log log 5 log .2 0.23 8
⋅
15
Rješenje 354
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
1 1log log log log log log, , , .
n n na a n a a a a an nn b b b bb bna
−= = ⋅ = ⋅ =
( )21 log
log log 1 log log 1, , , , loglog lo
.g
aa b a a a b aab b b bb ba
⋅ = = = = =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Decimalni broj 0.2 pretvorimo u razlomak, skratimo, a zatim napišemo u obliku potencije.
2
10
2 1 10.2 5 .
10 5
−= = = =
1.inačica
1 1 1log log 5 log log log 5 log log log 5 log 8
2 0.2 2 1 2 13 3 38 85 5
−⋅ = ⋅ = ⋅ =
− −
( ) ( ) ( )3log log 5 log 8 log log 5 log 2 log log 5 3 log 2
5 5 52 2 23 3 3= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =
( ) ( ) ( )2
log 3 log 5 log 2 log 3 1 log 3 log 3 2 log 3523 3 3 3 3
= ⋅ ⋅ = ⋅ = = = ⋅ =
2 1 2.= ⋅ =
2.inačica
11log
1 log 5 log 5 log 88log log 5 log log log2 0.2 23 3 38 log 2 log 0.2 log 2
log10
−
⋅ = ⋅ = ⋅ =
3log 5 1 log 8 log 5 1 log 2 log 5 1 3 log 2
log log log113 3 3log 2 log 2 log 2 log 5log log
5
2
10
− ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
−
log 5 3 log 2 log 5 3 log 2 3log log log
3 3 3log 2 1 log 5 log 2 log 5
log 5 log 2
log 2 log 5
− ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
− ⋅
( )2
log 3 log 3 2 log 3 2 1 2.3 3 3
= = = ⋅ = ⋅ =
3.inačica
16
1 1 1log log 5 log log log 5 log log log 5 log 8
2 0.2 2 1 2 13 3 38 85 5
−⋅ = ⋅ = ⋅ =
− −
( ) 1 1log log 5 log 8 log log 5 log log 5
52 2 23 3 3log 5 log 58 32
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
log 51 3 3
log log 5 log log 5 log2 213 3 3log 5
2log 52 log 5
223
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
⋅
( )2
log 3 log 3 2 log 3 2 1 2.3 3 3
= = = ⋅ = ⋅ =
Vježba 354
Izračunajte: 1
log log log 5 .0.2 23 8
⋅
Rezultat: x = a · b · c.
Zadatak 355 (4A, TUPŠ)
Izračunajte: 1 3
log log 2.2 255
⋅
Rješenje 355
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
1 1log lo , , , .g log log
a c a c n nna a a a n anb b b bn b d b d a
⋅ −= ⋅ ⋅ = = = ⋅
⋅
1 loglog log log l, ,og 1 log
og.
l
aa a a b an ab b bb n b
= ⋅ ⋅ = =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅ 1.inačica
1 1 1 1 1 1 1 113log log 2 log log 2 log log 2 log 5
2 25 2 25 2 25 25 2 5 3 6 5 6 log 252
−⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
( )1 1 1 1 1 1
1 log 5 log 52 226 6 2 log 5 6 2log 5 2
log 52
2log 5
2
= ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ =⋅ ⋅
17
1 1 1.
6 2 12= − ⋅ = −
2.inačica
1 1 1 1 1 1 1 13log log 2 log log 2 log log 2 log 5 log 2
2 25 2 25 2 25 2 25 2 5 3 6 5 6 5
−⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
( )1 1 1 1 1
1 log 5 log 2 log 5 log 2 1 .5 52 26 2 12 12 12
= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ = −
3.inačica
1log
1 1 1 1 1 1 1 log 23 5log log 2 log log 2 log log 22 25 2 25 2 255 2 5 3 6 5 6 log 2 log 25
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
1 1 11log log log
1 1 1 1 1 log 5 1 1 log 5 1 15 5 526 log 25 6 1 log 25 6 log 2
log 2 log 5
log 5 6 6 2 log2 l5 o6 2log g5 5
−− ⋅ − ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅
1 1 1.
6 2 12
−= ⋅ = −
Vježba 355
Izračunajte: 13
log 2 log .25 2 5
⋅
Rezultat: 1
.12
−
Zadatak 356 (Tanja, ekonomska škola)
Zadana je funkcija ( ) ( )log 5 1 .2
f x x= ⋅ − Odredite nultočku funkcije f.
Rješenje 356
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
( ) ( ) ( ) ( )0
log 1 0 log log 1, , 0, .f x g x f x g x a ab b b
= = ⇒ = = ≠
Za broj x0 kažemo da je nultočka (korijen) funkcije f ako vrijedi
( ) .00
f x =
1.inačica
( ) ( )
( )( ) ( )
log 5 12
log 5 1 0 log 5 1 log 1 5 1 12 2 2
0
f x xx x x
f x
= ⋅ −
⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⇒=
25 1 1 5 / :2 5 2
55 .x x x x⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
2.inačica
( ) ( )
( )( )
log 5 12 0 0
log 5 1 0 2 5 1 5 1 22
0
f x xx x x
f x
= ⋅ −
⇒ ⋅ − = ⇒ = ⋅ − ⇒ ⋅ − = ⇒=
18
25 1 1 5 1 1 5 2 5 2 .
5/ : 5x x x x x⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Vježba 356
Zadana je funkcija ( ) ( )log 4 1 .2
f x x= ⋅ − Odredite nultočku funkcije f.
Rezultat: 1
.2
Zadatak 357 (Kikica ljenivica, gimnazija)
Odredi x u sljedećoj jednakosti 1 3
log .8 2
x = −
Rješenje 357
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
( ), , , ,2 31 3
.
ma c b dnn mna a a a a a anb d a ca
−= = = ⇒ = = =
( ), , .1
,1,m a b an n n n m
a b a b a a a a b ab a b
⋅= ⇒ = = ⋅ = = ⋅ =
log log , .
n na bn
a n ab b b a
−
= ⋅ =
1.inačica
31 3 1 1 1 1 1 3 32log 8 8
3 38 8
2/
2 8 82
x x xxx
x
−= − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
3233 2 3 3
/33
8 64 64 64 4x x x x x⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
34 4.
3x x⇒ = ⇒ =
2.inačica
potenciramo 23/2
sa3
223 3 3 331 3 1 1 12 2 2log
8 2 8 8 8x x xx
−−− − −
= − ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒−
−
( )22
1 3 2338 2 2 4.x x x x⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
3.inačica
( )2
1 3 1 3 1 1log log 2 log 3 log 3
8 2 8 2 8/ 2
8x x x x
−
= − ⇒ = − ⇒ −− = ⇒ ⇒⋅ ⋅ =
32 3 3 33log 8 3 log 64 3 6
34 64 64 4/x x x xx x⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
34 4.
3x x⇒ = ⇒ =
19
4.inačica
( )1 3 3 3 31
log log 8 1 log 8 1 log 88 2 2 2 2
/ 1x x x x−
= − ⇒ = − ⇒ − ⋅ = − − ⋅ = − ⋅ −⇒ ⇒
potenciramo 23/2
s
223 3 3 3
3 32 2 2log 8 8 8 8a
32
x x xx⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒
( )2
1 3 232 2 4.x x x⇒ = ⇒ = ⇒ =
Vježba 357
Odredi x u sljedećoj jednakosti 1 1
log .4 2
x = −
Rezultat: 16.
Zadatak 358 (Kikica ljenivica, gimnazija)
Izračunajte
2 log 12 log 160.2 5
.log 36 3 log 2
525
⋅ +
− ⋅
Rješenje 358
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Decimalni broj 0.2 pretvorimo u razlomak, skratimo, a zatim napišemo u obliku potencije.
2
10
2 1 10.2 5 .
10 5
−= = = =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
1log log log log log lo, g, .
n na a a n a a an nb b b bb bn
= ⋅ = ⋅ =
1
log log log 2 log log log log1
, , , .x a b
a a a a x yb b b b bb y b a
b
−
= − = ⋅ − = =
.
n na b
b a
−
=
2 log 12 2 log 16 2 log 12 2 log 165 522 log 12 log 16
0.2 5 102 3log 36 3 log 2 log 6 log 8log 6 log 25 5 52
5
2
5
10
5 2
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ +
= = =− ⋅ −−
20
2 log 12 2 log 1651 2 log 12 2 log 16 2 log 16 2 log 12
5 5 5 556 3
log log log5 5 5
6
8 48
⋅ + ⋅− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅
= = = =
( ) 16
12
13416
2 log2 log2 log 2 log2 log 16 log 12 555 55 5 43123 3 3 3 3
log log log log log5 5 5 5 54 4 4 4 4
−
⋅⋅⋅ ⋅⋅ −
= = = = = =
32 log 2
3log
55 4 2.3
l
43
log5
g5 4 4
o
− ⋅ − ⋅
= = = −
Vježba 358
Izračunajte
log 36 3 log 2525
.2 log 12 log 16
0.2 5
− ⋅
⋅ +
Rezultat: 1
.2
−
Zadatak 359 (Kikica ljenivica, gimnazija)
Izračunajte ( )log log 3 log log 9 3 .50.2 33
− ⋅
Rješenje 359
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Decimalni broj 0.2 pretvorimo u razlomak, skratimo, a zatim napišemo u obliku potencije.
2
10
2 1 10.2 5 .
10 5
−= = = =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
,log 2 log , .
mn m n m n mna a a a a a a
bb
+= ⋅ = ⋅ =
log 1 log log log log1
, , , .b a c b n
a b a n a a ab b b bc c
b
⋅ ++ = = = ⋅ = −
( )log log log , .a
x y x y b ab b b b
+ = ⋅ ⋅ =
21
( ) ( )1
2 2log log 3 log log 9 3 log 2 log 3 log log 3 35 50.2 3 0.2 3 33
− ⋅ = ⋅ − ⋅ =
( )1 52 52 2log 2 1 log log 3 log 2 log log 3 log 2 log log 3
5 5 50.2 3 0.2 3 2 3210
+= ⋅ − = − = − ⋅ =
5 5 5 5log 2 log 1 log 2 log log 2 log log 2 log
5 5 5 5 5 512 2 2210
25
= − ⋅ = − = − − = − + =
5 5log 2 log log 5 1.
5 52
2 52= − ⋅ = − ⋅ = − = −
Vježba 359
Izračunajte ( )log log 2 log log 9 3 .50.2 32
− ⋅
Rezultat: – 1.
Zadatak 360 (Kikica ljenivica, gimnazija)
Izračunajte 1 1
log 54 log 3 log 20.3 3
⋅ − − ⋅
Rješenje 360
Ponovimo!
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
( )1 1
log log log log log log log, , , .loga b bn
a a a b a b a bn b a c a c
= ⋅ ⋅ = + = − ⋅ =⋅
11log10 1 log log, , , , .
na a n nn a n a a a a nn
bb a
−= = = ⋅ = =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
1.inačica
( )1 1 3 3 3 3
log 54 log 3 log 20 log 54 log 3 log 20 log 54 log 3 log 203 3
⋅ − − ⋅ = − − = − + =
( )3 3
54 541 1 54 13 3 3 3log 54 log 3 20 log log log log3 33 3 20 33 20 20
54
20= − ⋅ = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
⋅
22
( )1 27 1 27 1 1 27 1 13 3log log log log log log log 27 log103 10 3 10 3 3 10 3 3
= ⋅ = + = + ⋅ = + ⋅ − =
( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13
log log 27 1 log log 27 log log 3 log 3 log 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
= + ⋅ − = + ⋅ − = + ⋅ − = + ⋅ ⋅ − =
1 1 1 1 1 1 11log log 3 log log 3 log 3 log3
33 log 3 log 3
3 3 3 3 3 3
−= + ⋅ ⋅ − = + − = + − = − + − =
log 3 log1 1
.3 3
3 −+= = −−
2.inačica
( )1 1 1 1 1
log 54 log 3 log 20 log 54 log 20 log 3 log 54 log 20 log 33 3 3 3 3
⋅ − − ⋅ = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − − =
( )1 54 1 1 27 1
log log 3 log log 3 log log 3 log 27 log10 log 33 20 3 3 1
54
0 320= ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − − =
( ) ( )1 1 1 1 1 13
log 3 1 log 3 3 log 3 1 log 3 3 log 3 log 3 log 3 log 33 3 3 33
33
= ⋅ − − = ⋅ ⋅ − − = ⋅ ⋅ − − = ⋅ ⋅ − − =
log 31 1 1
log 3 log 3 .3 3
log3
3= − − = − = −−
3.inačica
( ) ( )1 1 1 1 3log 54 log 3 log 20 log 54 3 log 3 log 20 log 54 log 3 log 20
3 3 3 3⋅ − − ⋅ = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − − =
( ) ( )1 1 54 1 1
log 54 log 27 log 20 log log 20 lo5
g log 20 log 2 log 203 3 27 3
4
27 3= ⋅ − − = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − =
( ) ( )1 2 1 1 1 1 1 1 11
log log log log10 1 log10 1 1 .3 20 3 3 10 3 3 30 3
2
2
−= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = −
4.inačica
( ) ( )1 1 1 1
log 54 log 3 log 20 log 27 2 log 3 log 10 23 3 3 3
⋅ − − ⋅ = ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 13
log 27 log 2 log 3 log10 log 2 log 3 log 2 log 3 1 log 23 3 3 3
= ⋅ + − − ⋅ + = ⋅ + − − ⋅ + =
( ) ( )1 1
3 log 3 log 2 log 3 1 log 23 3
= ⋅ ⋅ + − − ⋅ + =
1 1 1 1 1 1 1 13 log 3 log 2 log 3 log 2 log 3 log 2 log 3 log 2
3 3 3 3 3 3 33
3= ⋅ ⋅ + ⋅ − − − ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ − − − ⋅ =
1 1log 3
1 1 1 1 1log 3 log 2 log 3 lo log 2 log 3 log 2
3g 2 .
3 3 3 3 3 3+= + ⋅ − − − ⋅ = − ⋅ = −⋅ − −
Vježba 360
Izračunajte 1
log 27 log 3.3
⋅ +
Rezultat: log 9.
