5.2 뷰 프레임과 뷰 변환5.2.1 가상 카메라 정의

5.2.1 가상 카메라 정의하기 1 ) 어디에 있는가 카메라의 위치 . 다른 말로 시점 , 뷰 위치 , 뷰 공간 원점 .

2) 어디를 바라보는가 뷰 방향 벡터 . Vdir 이라고 불리는 벡터 . 카메라의 위치에서 부터 바라보는 임의의 위치 까지의 벡터 . 즉 , 게임에서 캐릭터가 바라보는 방향 .

그러나 방향 벡터는 하나로 제한 해야 함 . 이에 View Up, View Side 벡터가 필요 . 이 세 벡터들은 서로 직교 .

우측 그림에서 보면 View Dir 벡터가 Z 축 View Side 벡터가 X 축 View Up 벡터가 Y 축 OpenGL 은 오른손 시스템을 사용하기 때문에 Z 축의 진행방향이 – Z 축 .

5.2.2 카메라 조작하기

View Dir, Up, Side 구하기 Dir : 바라보는 위치 – 카메라의 위치 Up : 적절한 직교 기저를 만들기 위해 정보를 조작 . 즉 , 월드의 Up 을 사용 . ( k 로 가정 )

Vup = k – ( k ∙ Vdir ) Vdir

Side : Dir 과 Up 의 외적으로 구함 . Vside = Vdir x Vup

@ 정규 직교 기저를 생성할 수 없는 문제 . 뷰벡터와 월드 Up 이 평행하다면 Vup 구할 수 없음 .

Vup = k – ( k ∙ Vdir ) Vdir 여기서 k 와 Vdir 이 평행하다면 내적값은 1. = k – ( 1 ) Vdir

= 0

반대의 방향일땐 내적값은 -1. 방향이 반대 이므로 이 역시 0.

= k – ( -1 ) Vdir = 0

5.2.3 뷰 변환 만들기Void LookAt( const IvVector3& eye, const IvVector3& lookAt, const IvVector3& up ){

// 뷰벡터 계산IvVector3 viewDir = lookAt – eye;IvVector3 viewSide;IvVector3 viewUp;viewDir.Normalize();viewUp = up – up.Dot( viewDir ) * viewDir;viewUp.Normalize();viewSide = viewDir.Cross( viewUp );

// 전치 회전 행렬 구성IvMatrix33 rotate;rotate.SetRows( viewSide, viewUp, -viewDir );

// 이동 변환IvVector3 eyeInv = -( rotate * eye ); // p.196

// 4x4 행렬구성IvMatrix44 matrix;matrix.Rotation( rotate );matrix( 0, 3 ) = eyeInv.x;matrix( 1, 3 ) = eyeInv.y;matrix( 2, 3 ) = eyeInv.z;

// 뷰 -> 월드 변환 설정::SetViewTransform( matrix.mV );

}

5.3 투영 변환5.3.1 정의

3 차원에서 2 차원으로 변환하는 과정을 투영 이라고 함 .하나의 벡터에서 또 다른 벡터로의 투영을 위해 내적을 사용 . 즉 , 게임상 물체를 구성하는 정점들을 2 차원 스크린에 나타내기 위한 프로젝션 평면 또는 뷰 평면이라고 불리는 임의의 평면위로 투영 .

투영의 종류1. 원근 투영 – 우리가 흔히 사용하는 투영2. 평행 투영 – CAD 등에서 사용하는 시야가 없는 투영3. 사선 평행 투영 – 건물 조감도에서 사용하는 투영4. 사선 원근 투영 – 거울에 렌더링되는 공간… 추가로 엔젤 아담스 얘기가 나오는데… 못찾겠음 ㅡㅡ ;

5.3.2 시야 절두체 ( View Frustum )

* 무한한 월드를 뷰평면 디스플레이 장치에 사상하는것은 불가능 .

* 이때 시야 절두체를 사용하여 해당 절두체 안에 있는 물체만 뷰 평면에 투영 .

* 절두체의 위쪽 평면과 아래 평면 사이의 각을 수직시야 ( Field of View ) 라고 함 .

* 시야 , 뷰윈도우 크기 , 뷰 평면 거리 사이엔 하나의 관계가 성립 . 이들중 두개가 주어지면 나머지 하나를 구할수 있음 .

* 일반적으로 60~90 도에 해당하는 시야를 사용 .

* 평행 투영엔 시야의 개념이 존재 하지 않음 .

5.3.3 정규화된 장치 좌표계 ( Normalized Device Coordinates )

3 차원에서 2 차원으로 투영할 시에 뷰 평면 공간에 대한 프레임이 필요 .원점으로 뷰윈도우의 중심을 사용 .넓이와 높이의 절반의 크기를 가지는 기저 벡터 생성 . 이는 위 그림처럼 left = -1, right = 1, top = 1, bottom = -1

5.3.4 동차 좌표계http://blog.naver.com/neosafe/130044604300 참조3D 에서의 필요한 벡터는 기본적으로 3 차원좌표계이다 .이것을 4 차원 좌표계로 확장하는데 추가되는 개념이 바로 동차 좌표계이다 . 동차좌표는 결국은 4x4 행렬과의 연산 때문에 필요하다 .이동 , 크기 , 회전을 모두 담은 행렬은 최소 4x4 행렬일 수밖에 없다 .이 행렬과 정상적인 연산을 하기 위해서는 ' 벡터도 행렬 ' 이므로 1x4 또는 4x1 형태를 맞춰줘야 한다 .그렇다면 처음부터 끝까지 동차좌표계가 1 이면 된다 .게다가 당연히 1 이라는 표시만 해주면 되는 기호는 생략 가능한데 굳이 따라다니는 아래와같다 . 동차좌표는 방향과 점의 구분시켜준다 . x,y,z(DirextX 는 D3DXVECTOR3) 의 형태의 3 차원 좌표계 구조체는 이게 점인지 방향인지 구분이 모호하기 때문에 동차 좌표계가 포함된 4 차원좌표계로 표시하게 되면 (0 은 방향 ,1 은 위치 ) 좀 더 그 의미가 확실해진다 . ┌ 1   , 0 ,  0  , 0  ┐ - x 축 벡터│ 0   , 1  ,  0 , 0  │ - y 축 벡터│ 0   , 0  , 1  , 0  │ - z 축 벡터└ 0  , 0  ,  0  , 1  ┘ - 이동관련 벡터0 은 방향을 의미하는 벡터로써 위치 , 방향으로서 서로 다른 벡터인지 구분 가능하다 .( 방향벡터가 방향이 같고 위치가 다르다라는 것은 확대 또는 축소인 상태이다 .)1 은 위치를 의미하는 벡터로써 위치가 서로 다른 벡터인지 구분가능하다 . 그러므로 ,0 의 동차항을 가지고 있는 벡터는 확대 , 축소 ( 크기변화 ), 방향변경 ( 방향변화 ) 가능하고1 의 동차항을 가지고 있는 벡터는 이동 ( 위치변화 ) 가 가능하다 .

결국 동차좌표계가 0 이면 방향변화 , 크기변화라고 표현 할 수 있지만 위치변화라고는 말할 수 없다 .동차좌표계가 1 이면 위치변화 라고 표현할 수 있지만 방향이나 크기변화라고는 말할 수 없다 .

type A 는 투영행렬에 대한 이론을 간략하게 설명해 놓은 그림인데 우리가 결국 원하는 것은 3 차원의 점들이 2 차원인빨간상자안에 모인 위치들인 것이다 .

type B 는 점들의 위치보다는 시점으로부터의 방향이 중요한 것이 무슨 말인지 이해하기 위한 그림이다 .

동차좌표라는 것은 마치 ' 지도의 축소비율 ' 처럼 축소나 확대에 관한 비례개념처럼 보여지기도 하고 이 좌표가 1 이되서 완전한 위치의 형태 ( 변환 끝 ) 로 변형되었는지도 의미하게 된다 .

5.3.5 원근 투영

그림에서 가장 왼쪽에 있는 점이 투영중심 [ 시점 ] 이고 수직선이 뷰 평면이다 .뷰 절두체 평면들 중 하나위에 놓인 뷰 좌표계에서 점 Pv 를 가지고 있고 뷰 평면위에 놓인 대응하는 점Ps 를 구하길 원한다고 가정해 보자 .Ps 의 y 좌표를 찾는 것은 간단하다 .윈도우의 상단에 부딪힐 때 까지 투영의 선이 그 평면을 따라가도록 한다 .뷰 윈도우의 높이가 2 이고 0 에 중점이 맞추어져 있기 때문에 Ps 의 y 좌표는 뷰 윈도우 높이의 절반인 1 이 된다 . d 는 어떻게 구할 수 있을까 ?y 뷰 절두체 평면들의 절단면은 투영의 중심으로부터 뷰 윈도우의 범위 (1,d),(1,-d) 를 통과하는 선들로표현될 수 있다 . 이러한 선들 사이의 각도가 시야 fov 이다 . 이때 음의축 위에 놓인 영역만 고려함으로써 문제를 단순화할 수 있다 .즉 , 시야를 fov/2 의 각으로 이등분 하는 것이다 .z 축과 Ps 사이의 거리가 1 이라는 것을 알기 때문에 1/d = tan( fov/2) 로 설정할 수 있따 .이는 d = 1/tan(fov/2) 가 되며 이는 cot(fov/2) 와 같다 .따라서 고정된 뷰 윈도우 크기에 대해서 , 시야의 각을 알기만 하면 거리 d 를 구할 수 있다 . 위 방법으로 상단 뷰 절두체 평면위에 놓인 임의의 점에 대한 좌표를 구할 수 있다 .이러한 2D 절단면인 경우에 모든 점들이 하나의 점 (1,-d) 로 투영된다 .마찬가지로 아래쪽 y 절두체 평면 위에 놓인 점들은 (-1,-d) 로 투영될 것이다 .

그렇지만 뷰 공간 안에 일반적인 점 (Yv,Zv) 를 가지고 있다고 가정하자 .그것의 투영도 또한 뷰 평면 위에 놓일 것이라는 것을 알고 있기 때문에 Zndc 좌표는 -d 일 것이지만Yndc 는 어떻게 구할 수 있을까 ?

만약 임의의점 (Yv,Zv) 를 가지고 있다면 그림에서 대응하는 직각 삼각형의 빗변의 길이가 Yv, 그리고-Zv 이다 (-Z 축을 바라보고 있으므로 ). 투영된 점의 경우에 직각 삼각형의 변들의 길이는 Yndc 와 d 이다 .닮은꼴 삼각형 이므로 다음을 얻는다 .

Yndc/d  = Yv / -ZvYndc 에 대해서 풀면 다음을 얻는다 .

Yndc = dYv / -Zv 이것이 Y 방향에서 좌표를 알려준다 .만약 뷰 영역이 정사각형이라면 x 방향에 대해서도 같은 식을 사용할 수 있지만 대부분 그렇지 않다 .뷰 영역의 종횡비에 의해서 이것을 수정해야만 하며 이는 a = Wv/Hv 로 정의 된다 .여기서 Wv 와 Hv 는 각각 뷰 사각형의 너비와 높이다 . NDC 뷰 윈도우 높이가 2 이고 종횡비에 의해NDC 뷰 너비를 수정한다고 가정할 것이다 . 마찬가지로 닮은꼴 삼각형이므로 다음과 같은 공식을얻는다 .

aXndc/d = Xv/-ZvXndc 에 대해 풀면

Xndc = dXv/-aZv.그래서 최종 투영 변환 공식은 다음과 같다 .Xndc = dXv/-aZv,  Yndc = dYv/-aZv

 여기서 주목해야 하는 것은 z 좌표로 나눗셈을 수행한다는 것이다 .이로 인해 행렬 연산으로 전체 변환을 표현할 수 없다는 것이다 .이제 동차 공간에서 변환이 나와야 한다 .이를 위해서 w 값으로 다른 좌표들을 나누어야만 한다 .

만약 w 값에 -Zv 를 사상하도록 행렬을 설정한다면 , 변환의 비선형적인 부분을 다루기 위해서동차 나누기를 이용할 수 있다 . 동차 나누기 이전에 그러한 상황을 일련의 선형 방정식들로정리 할 수 있고 다음과 같다 .x = d/a * xy = dyz = dxw = -z4 차원 선형 변환으로 이것을 다룰 수 있다기저벡터들을 살펴보면 e0 가 (d/a, 0, 0, 0) 으로 e1 이 (0, d, 0, 0), e2 가 (0,0,d,-1), e3 가 (0,0,0,0) 으로사상되는데 , w 가 이 공식 어디에도 사용되지 않는다 . 이것에 근거한 동차 원근 행렬은 아래와 같다 .[ d/a  0  0  0 ][  0    d  0  0 ][  0    0  d  0 ][  0    0  -1 0 ]

기대했던 것처럼 변환된 w 값은 더이상 1 이 아니다 .이 행렬의 가장 우측열이 0 이므로 이 행렬은 역또한 가지지 않는다 .이것이 기대한 결과인데 정보의 한 차원을 잃어버리기 때문이다 .

동일한 투영의 선을 따라 놓인 뷰 공간에서 개별적인 점들이 NDC 공간에서 하나의 점으로 사상될 것이다 .따라서 NDC 공간에서 하나의 점이 주어진다면 , 뷰 공간에서 그것의 원래 위치들을 재구성하는 것은 불가능하다 .실제 이 행렬이 어떻게 동작하는지 살펴보면 , 만약 뷰 공간에서 일반적인 점에 이 행렬을 곱한다면결과는 아래와 같다 .[ d/a  0  0  0 ] [x]            [dx/a][  0    d  0  0 ] [y]      =     [ dy  ][  0    0  d  0 ] [z]            [ dz  ][  0    0  -1 0 ] [1]            [ -z  ] 이를 w 로 나누면 다음과 같이 된다 . Xndc = dx / -azYndc = dy / -zZndc = -d

지금까지 x 와 y 를 투영하는 것을 다루어 왔고 z 에 대해서는 완전히 무시했었다 .이전 유도과정에서 모든 z 값들은 투영 평면에 거리의 음인 -d 로 사상된다 .차원을 잃어버리는 것이 개념적으로 일리가 있지만 ( 결국 3D 공간에서 2D 평면으로 투영하므로 ) 실용적인이유 때문에 z버퍼나 또 다른 깊이 비교를 위해서 z 값들을 유지하는 것이 낫다 . 뷰 윈도우 안에 X 와 Y 값들을 [-1,1] 의 구간으로 사상할 것이므로 , 마찬가지로 z 값에 대해서근단면과 원단면 위치안에 놓이도록 사상한다 .근단면과 원단면을 시점에상대적인 n 과 f 로 지정할 것이고 그래서 근단면 위에 놓인 점들은 -n 인Zv 값을 가지고 -1 인 Zndc 값으로 사상된다 . ( 참고로 Dx 의 경우는 깊이에 대한 사상범위가 [0,1] 이므로Zndc 가 0 으로 사상된다 .) 원단면 위에 놓인 그러한점들은 -f 인 Zv 값을 가지고 1 로 사상될 것이다 .

xy 좌표들을 구하기 위해서 사용한 것과 약간 다른 방법으로 Zndc 에 대한 공식을 유도할 것이다 .구간 [-n, -f] 를 [-1, 1] 로 사상하기 위해서 두 가지 변환들이 존재한다 .첫번째 그 구간으로 그만큼 비례 축소하는 것이고 두번째는 그것을 [-1,1] 로 이동하는 것이다 .통상적으로 이것은 일련의 선형 변환과정이지만 , 최종적인 w 나눗셈과 같은 곤란한 문제가 있다 .대신에 , 비례 축소와 이동 인자에 대한 미지수를 가진 원근 행렬을 만들 것이고미지수들에 대해서 해를 구하기 위해서 -n 과 -f 에 대한 최종값들을 안다는사실을 사용할 것이다 . 첫 원근행렬은 아래와 같다 . [ d/a  0  0  0 ][  0    d  0  0 ][  0    0  A  B][  0    0  -1 0 ] 여기서 A 와 B 는 각각 미지수인 비례 축소와 이동 인자들이다 .만약 근단면 위의 점 (0,0,-n) 에 이 값을 곱한다면 다음과 같다 . [ d/a  0  0  0 ] [0]           [0][  0   d  0  0 ] [0]     =   [0][  0   0  A  B ] [-n]         [ -An + B  ][  0   0  -1  0 ] [1]          [n]

w 를 나누면 다음을 얻는다 .Zndc = -A + B/n

근단면 위의 임의의 점이 -1 인 정규화된 장치 좌표로 사상된다는 것을 알고 그래서 Zndc 에 -1 을 대입해서B 에 대해서 풀수 있다 .

B = (A-1)n이제 원본행렬과 원단면 위의 임의의 점 (0,0,-f) 를 곱하는 것으로 대체하면 다음과 같다 . [ d/a  0  0      0    ] [0]           [0][  0    d  0      0    ] [0 ]     =    [0][  0    0  A  (A-1)n] [-f]          [ -Af + (A-1)n ][  0    0  -1     0    ] [1]           [f] 그렇게 하면 다음과 같은 Zndc 를 얻는다 .

Zndc = -A + (A-1)n/f=-A + A(n/f) - n/f= A(n/f-1)-n/f

Zndc 를 1 로 설정하고 A 에 대해서 풀면 다음을 얻는다 .A(n/f-1)-n/f = 1 A(n/f-1) = 1 + n/f A = (1 + n/f) / (n/f-1) =(n+f)/(n-f)

 B = (A-1)n 이 식에 대입하면B = (2nf)/(n-f) 가 된다 .따라서 최종 행렬은 [ d/a  0         0            0      ][  0    d         0            0      ][  0    0  (n+f)/(n-f)  2nf/(n-f)][  0    0        -1            0      ]

생성한 이 행렬은 OpenGL 함수 gluPerspective() 를 호출함으로써 생성되는 행렬과 동일하다 .이 함수는 시야를 통해 시야 , 종횡비 , 그리고 근단면과 원단면 설정을 인자로 받고 원근 행렬을만들고 그것을 현재 행렬에 곱한다 .위에서 말했듯이 이는 OpengGL 의 경우로 축약된다 .Directx 는 z 방향에 대해서 [0,1] 로 사상한다 . [ d/a  0         0            0      ][  0    d         0            0      ][  0    0       f/(f-n)   -nf/(f-n)][  0    0         1            0      ]

Direct3D 의 원근 투영 행렬

5.3.6 사선 원근

일반적인 원근의 예는 glFrustum() 호출을 통해서 생성 .이때 사용되는 값들은 z 축에 중심을 두고 있지 않음 .이로 인해 사선투영을 생성 하기위해 이를 사용 .

y 방향에서 볼때 투영 평면의 뷰 윈도우의 구간이 [-1, 1] 이었다면 , 사선 원근에서의 구간은 [ b, t ] 에 놓이므로 적절한 NDC 공간을 가지도록 조정 .

( t + b ) / 2 에 위치한 위도우 중심을 원점으로 이동 .

p.212 그림 15.16a

구간을 ( t -b ) 의 크기에서 비례 축소 인자 2 / ( t - b ) 를 사용해서 2 의 크기로 변경하기 위해 비례 축소 .

y 에 NYv / -Zv 를 대입해서 단순화 .

이러한 과정을 x 에 대해서도 수행 .

원본 원근 행렬에서 동일한 A 와 B 를 사용 . 최종 투영행렬

5.3.7 직교 평행 투영OpenGL 에선 glOrtho() 를 통해 행렬 생성 .점 ( Yv, Zv ) 는 점 ( Yv, -n ) 으로 투영 .평행 투영이기 때문에 Z 로 나누기 또응 d 로 비례축소가 없고 Y 값을 직접 사용 .

유사한 과정이 Xndc 공식 제공 . Zndc 는 Z 값이 음수이고 n 과 f 값들이 양수이므로 z 값을 부정

5.3.8 사선 평행 투영

Z 방향으로 2, Y 방향으로 1 단위 거리 이동 .

YZ 평면에서 Y 축 1, -Z 축 2 단위로 이동하는 벡터 ( 1, -2 ) 를 점 P 에 대한 투영 선에 대한 공식 .

L(t) = P + t ( 1, -2 )

선과 근단면의 교차 점 .

Pz - 2t = -n

t 에 대해서 풀면t = 1 / 2 ( n + Pz )

L ( t ) 의 y 좌표에 대한 공식에 대입 .

y’ = Py + 1 / 2 ( n + Pz )

범위 변환에 대입 .

추가적인 Z 쉬어를 제외 하면 직교 변환과 동일 .

5.4 제외와 오려내기5.4.1 왜 제외와 오려내기를 수행하는가

뷰 프러스텀을 아예 벗어나는 물체들은 렌더링 , 시뮬레이션 , 충돌 판정같은 과정에서 제외 하여 속도를 향상 시킬 수있음 . 오려내기는 물체의 일부가 뷰 프러스텀에 들어갈경우 보여지는 부분만 렌더링 .

이러한 불필요한 작업을 없애는것이 좋더라도 또다른 이유로 여전히 제외와 오려내기를 수행 해야 함 .

투영에 의한 물체의 반전

시점 뒤를 지나는 선분의 투영 - 시각적으로 원하는 결과는 아니지만 수학적으론 정확한 형태P-Q 선분이 투영되어 P’ - Q’ 되었으나 선분이긴 하지만 최단거리의 선분이 아닌 형태로 변형 .

앞서 있었던 변형과 같지만 P’ - Q’ 점을 최단거리로 이은 잘못된 선분

앞선 현상에 대해 오려내기로 인해서 보여지는 부분의 선분만 그려지며 올바른 투영의 형태가 됨즉 , 시점 뒤에 있는 물체를 원근 투영시에 반전되지 않고 정상적으로 투영되게 하기 위해서라도 오려내기는필요함 .

또한 , Z = 0 인 평면 위에 놓인 정점일 때도 원근 행렬을 통해 동차 공간으로 변환할때 0 으로 나누는 유효하지않은 연산 발생 .이러한 논제들의 모두를 제거하기 위해서 뷰 프러스텀안 에 놓이지 않는 근단면이 필요 .

5.4.2 제외 11 장에서 더 자세히 알아본다고 함… 중요 !!!

뷰 프러스텀의 6 개 평면에다가 물체들의 정점을 평면의 방정식에 대입하여 평면의 안쪽에 있는지 바깥쪽인지를 판별하여 모든 정점이 밖에 있으면 제외 , 모든 정점이 안에 있으면 제외 하지 않음 .

ax + by + cz + d < 0 <- 모든 정점이 이러면 밖에 있는것ax + by + cz + d > 0 <- 모든 정점이 이러면 안에 있는것

그러나 모든 정점을 비교하는건 비용이 많이 들게 되므로 해당 물체의 모든 정점을 포함하는 바운드 스피어 등을사용 해서 과정을 줄임 .

제외에는 이것 말고도 여러가지가 있으며 6 장에서 다룰 후면 제외 같은것 도 있음 .

5.4.3 일반 평면 오려내기한마디로 표현하자면 선분과 평면의 교차점 구하기 .

선의 공식 P + t ( Q - P )평면 공식 ax + by + cz + d = 0

즉 , 선의 공식을 구해서 평면 공식에 대입하면 됨 ! 단순화 하기 위해 Q - P 를 V 로 표시 .

X -> Px + t ( Q - P )Px + tVx

약간 변형된 Blinn 표기법t = BCP / ( BCP - BCQ )

임의의 평면에 대해서 선분이 오려내기 되는 네 가지 경우최종 오려내기는

5.4.4 동차 오려내기블린과 뉴웰은 투영 할때 투영된 점들의 몇가지 성질을 이용해 오려내기를 단순화 할 수 있다고 함 . w 의 나눗셈 이후에 보이는 점들은 NDC 구간 [ -1, 1 ] 안에 존재 .

-1 ≤ x/w ≤ 1-1 ≤ y/w ≤ 1-1 ≤ z/w ≤ 1

이 공식에 w 를 곱해 w 를 나누기 이전에 구간을 제공 .

-w ≤ x/w ≤ w-w ≤ y/w ≤ w-w ≤ z/w ≤ w

즉 , 6 개의 평면들에 의해 경계 .평면들에 대해서 점들을 오려내는것 대신에 , RP3 공간에서 이러한 단순 평면들에 대해서 점들을 오려 낼 수 있음 .W = X 인 평면 평가는 W - X. 평면의 전체 집합은 임의의 점 P 에 대해서

BCP-x = W + XBCPx = W - XBCP-y = W + YBCPy = W - YBCP-z = W + ZBCPz =W - Z

5.5 화면 변환 렌더링을 위한 준비 단계에서 물체를 변환하는 최종 단계는 NDC 프레임에서 화면 ( 장치 프레임 ) 에 사상 하는것 . NDC 프레임에서 좌하단은 ( -1, -1 ), 우 상단은 ( 1, 1 ) 의 범위를 갖는다 . 실제 장치 공간 좌표계는 좌상단 ( 0, 0 ) 에서 우하단 ( Width, Height ) 범위에 놓인다 . ( 일반적으로 Width 와 Height 는 같지 않다 . )

좌측은 NDC, 우측은 화면 영역으로 그림처럼 NDC 에서 화면 영역으로 사상해야 한다 . 이것은 Y 방향을 반전하고 왼쪽 상단 모서리가 원점이 되도록 이동해서 화면과 같은 크기를 가지도록 NDC 영역을비례 축소 하는것으로 구성된다 .

NDC 윈도우는 2 유니트의 높이를 갖고 , 화면 은 H 높이를 갖는다 . 따라서 NDC 윈도우를 단위 높이로 비례 축소하기 위해 2 로 나눈다 . 거기에 화면 높이를 비례 축소 하기 위해 H 를 곱한다 .Y’ = H / 2 * Yndc

원점에 중심을 맞춰야 하므로 부정을 해서 축을 반전할 수 있다 .

Y’’ = - H / 2 * Yndc

마지막으로 화면 상단을 원점으로 사상하도록 아래 방향으로 이동 .

Y = - H / 2 * Yndc + H / 2

X 는 반전 되지 않음 .

X = W / 2 * Xndc + W / 2

화면의 일정 부분만 다루는 등의 xy 에서 일반화된 화면 변환 .

X = W / 2 * Xndc + W / 2 + SxY = H / 2 * Yndc + H / 2 + Sy

Z 는 0 에서 D 까지 범위이고 여기서 D 는 항상 1. [ -1, 1 ] 에서 [ 0, D ] 로의 사상 .

Z = Ds / 2 * Zndc + Ds / 2

화면 변환의 행렬 .

투영에서 선택된 종횡비 a 가 화면 변환의 종횡비 W / H 와 일치하지 않을경우 이미지가 왜곡 된다 . 특히 디스플레이가 오프스크린 버퍼와 다른 종횡비를 가질때 발생 . 해결책은 오프스크린 종횡비와 관계 없이 화면의 종횡비로 설정 . 오프스크린 버퍼에서 이미지는 왜곡되겠지만 디스플레이로 출력될때 비례 적으로 늘어날 것이다 .

5.6 피킹 2D 화면 좌표를 통해 3D 공간에서 교차하는 물체를 판별하는것 . 이 장에선 판별하기 위해서 사용할 수 있는 형태로 변환 하는 방법 설명 . 자세한건 11 장 !!!

Ps 가 투영 평면 위에 클릭 위치 . 시점에서 Ps 를 통과하는 반직선 ( 픽 반직선 ) 을 그린다면 클릭 위치 앞쪽에놓인 모든 물체를 통과한다 . 어떤 물체를 클릭했는지를 판별하는건 투영평면 위에 점을 생성 하는 것 에서 부터시작한다 .

화면 공간 점 ( Xs, Ys ) 를 NDC 공간 점 ( Xndc, Yndc ) 로 변환 . 이는 P.231 의 [ 식 5.5 ], [ 식 5.6 ] 의 역만 필요 .

최종 화면 공간에서 뷰 공간으로 변환 공식

이들은 연립 방정식이므로 3 x 3 행렬로 표현

이때 선택 해야 할것이 있음 .

첫째 . 뷰 프레임에서 교차 판별모든 물체가 뷰 프레임으로 변환해서 픽 반직선에 대해서 평가 .

둘째 . 월드 프레임에서 판별픽 반직선을 월드 프레임으로 변환하고 각 물체의 월드 좌표에 대해서 평가 .

셋째 . 로컬 프레임에서 판별월드 프레임에서의 판별은 이미 월드 위치와 경계 정보가 생성 되었으므로 교차 평가에만 집중한다면 충분히효과적 . 그러나 일반적으로 모델 정점들을 월드 프레임으로 변환 하지않고 로컬 공간에서 평가 .그러기 위해선 뷰 변환의 역을 통해 뷰 공간 점을 변환해야 함 .

Pw = Mview->world * Pv

로컬 투 월드 행렬의 역을 곱함으로 이것과 시점 E 를 월드 좌표계에서 로컬 좌표계로 변환 할수 있음 .

Pl = Mworld->local * PwEl = Mworld->local * E

로컬 공간에서 픽 반직선에 대한 공식 .

R( t ) = El + t ( Pl - El )

역시 자세한건 11 장에서…