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PROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE RADICALES.
1º) Ordena de menor a mayor los siguientes radicales, reduciéndolos a índice común: 3,5,16 8 73 .
Solución: Reduzcamos los radicales a índice común, para ellos expresémoslos como potencia de exponente fraccionario.
21
87
31
8 73 3,5,163,5,16 ⇒ . Como sabemos, el índice de un radical es el denominador de la fracción del exponente. Así, si queremos reducir los radicales al mismo índice (reducción a índice común), tendremos que hallar fracciones equivalentes de los exponentes con el mismo denominador, pues, insisto, el denominador de un exponente es el índice del radical.
Así, ⇒⇒⇒ 24 1224 2124 82412
2421
248
21
87
31
3,5,163,5,163,5,16242424 531441,031254768371582,4294967296
Así, como tienen igual índice, el menor de esos radicales es el que menor radicando tenga, es decir,
242424 0312547683715824294967296531441
c)
32
1522
32
1512
1510
32
54
32
32
54
32
32
32
54
32
32
3524
3322
3522
3322
5322
3322
7532
278
7532
278 2
2
4
2
2
=⋅
+=⋅
+=⋅+⋅=⋅+⋅
=+=+=⋅
⋅+
⋅
⋅=+=+
.
Nota: Si se quiere, también se puede poner la solución como
45622
315622
3153222
33153222
315222
32
1522
32
1522
2=
⋅=
⋅=
⋅⋅
==⋅= .
3º) Simplificar las expresiones:
a) 172172
−+
b) 315
953227−−
+−
c) 33
33
5431631652
−−
Solución: a)
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )
( )
( )33
17233172
27
172
174172
17722172
17272172
172
172172172172172
172172
2
*2
22
22
2
+=
⋅
+=
+=
−⋅
+
=−⋅⋅⋅
+=
−⋅+
=−
+=
+⋅−+⋅+
=−+
Racionalizando la última expresión ( )
93212
3331372
3333172
33172
172172 +
=⋅
⋅+⋅⋅=
⋅⋅+
=+
=−+
* Téngase en cuenta que xx =2 . b)
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1222222
2222253
222153
3225153153
315
315153
315
315353233315315
315953227315
953227
22
22
22
−=−
=−
=−
=−
−⋅+=
−−
+−⋅+=
=−−
+−⋅⋅+−=
+−⋅−−+−⋅+−
=−−
+−
c)
339
2329
29262102
2332232252
2332232252
5431631652
3
3
33
33
33
33
3 33 3
3 33
33
33
−=−−
=−−
=−
−=
⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−
=⋅−⋅
⋅−=
−−
4º) Racionalizar:
a) 515
2+
, b) 15
53
−, c)
2121
+− , d)
315
−, e)
457+
, f) 1273
+− , g)
52 , h)
3 72 ,
i) 12
1−
, j) 25
14 −
, k) 352
8+−
, l) 3 3
3
52281
Solución: a)
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )5
51551551515
102
105152
5155152
515
5152515515
5152515
222
−=−⋅=−⋅
=−⋅
=−
−⋅=
−
−⋅=
−⋅+−⋅
=+
b) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
455
4555
4555
41555
4155
15155
15
1551515
15515
5
36 536 3236 36 2
3333
22
333
+=
+⋅=
+⋅
=⋅+⋅
=+
=−
+=
−
+=
+⋅−+
=−
c) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )( ) 2231
22311
1223
1223
12221
2122121
21
2121212121
2121
22
22
2
+−=+−
=−⋅−
−⋅−
=−
−=
−+−
=−
+⋅⋅−=
−
−=
−⋅+−⋅−
=+−
d) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2355
23515
2315
213151
2315
31315
31
3153131
31531
522
−−=
⋅−⋅−=
+⋅−
=−⋅−+⋅⋅−
=−+⋅
=−+⋅
=−
+⋅=
+⋅−+⋅
=−
e) ( )
( )( ) ( ) ( )
112857
114757
11457
11457
165457
45
45745
722
+−
=⋅+⋅−
=−⋅−
=−
−⋅=
−−⋅
=−
−⋅=
+
f) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1472337143231
714323
12727323
12
1727132312121273
1273
22
−++−=+−−=+−−
=−
+⋅−−=
−
⋅+⋅−⋅−⋅=
−⋅+−⋅−
=+
−
Observación: La igualdad 14723371432 −++−=+−−3 es obvia y no es necesario ponerla. La he puesto para hacer coincidir esta solución 714323 +−− con la propuesta inicialmente 147233 −++− .
g) ( ) 552
552
5
5255
525
222
=⋅
=⋅
=⋅
⋅=
h) 7492
7492
7772
7772
72 3
3 3
3
3 2
3 2
3 23
3 2
3==
⋅=
⋅
⋅=
52281
i) ( )( ) ( ) ( ) 12112
1212
12
121212
12112
122
+=+
=−+
=−
+=
+⋅−+⋅
=−
j) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) 165
42524555
45
4525
45454525
4525
4525
25
252525
25125
1
44
22
4
44
4 2
4
224
4
44
4
4
−⋅+⋅+⋅+⋅
=−
+⋅+
=+⋅−+⋅+
=−+
=−
+=
−
+=
+⋅−+⋅
=−
Recuérdese que 554 ⋅ no se pueden multiplicar, a no ser que pongamos radicales equivalentes a cada uno que tengan el mismo índice (reducción a índice común). Así
4 244 5555 ⋅=⋅ .
( ) ( )( )
11854252125
11852545
1111852545
118525455
118525455
44444 3
44 344 244 24
−−−−=
−−−−
=−⋅−
−⋅+++=
−+++⋅
=−
+++⋅
¿Alguna duda en la última igualdad
11854252125
11852545 44444 3 −−−−
=−−−− ? Por supuesto que el lector/a se
habrá dado cuenta que está todo igual, salvo 44 2 2525252 == y salvo el orden de los sumandos, insistiendo en que “... la he puesto para hacer coincidir esta solución
11852545 44 3 −−−− con la propuesta inicialmente
11854252125 444 −−−− ”.
k)
( )( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]( )[ ]
( ) ( )( )[ ]
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
( )( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )
( ) ( )( )[ ] ( )
( )( )[ ] ( )
( ) ( ) =⋅−+⋅−−
=−
+⋅⋅−−
=+⋅−
+⋅−−⋅=
−−−⋅
=−
−−⋅=
−−−
⋅
=−⋅
−−⋅=
−−−⋅
=−+−
−−⋅=
−+⋅⋅−
−−⋅
=−−
−−⋅=
−−⋅+−−−⋅
=+−
=+−
252542208352
252
2524352
2522522523524
2523524
2523524
252352
28
25223528
21043528
3521023528
355222
3528
352
3528352352
3528352
8352
8
22
222
22
52281
( ) ( )
( )
2361034247
232610342472
4662038294
4662038210028
46620382100404028
4623203821002204028
46232038220522208528
225422038322052852
++
=⋅−
++⋅−=
−−−−
=−
−−−
=−
−−−+−=
−⋅−−−⋅+−
=−
−−⋅−+⋅−=
⋅−⋅−⋅−⋅−+⋅−
l)
666
666 66 66 7
3 3
6 43
3 2
6 46 3
3 23
3 2
3
331333
333
333
333
33
333
3333
3333
33
=⋅=⋅
=⋅
=⋅
=⋅
==⋅
=⋅
⋅=
⋅
⋅=
2453500452 −+33 1654250 −−
baabbaa 533 +−
2252
258
92
−+
( )3 3
2725083 +−
( )
5º) Simplificar: a) b) 3
c) 3
d)
e)
f) 5
4
4580180455 −++
g) 12
34
ba
ab
ba
⋅
Solución: a)
( ) 55521106521510567531055327531055327531055322453500452 222222
−=−+=−+=⋅−⋅+⋅⋅
=−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+
b) ( ) 0202235222325
22325222325222325233333
33333 33 333 333 33 33 3
=⋅=⋅−−=⋅−−
=⋅−⋅−⋅=−−=⋅−⋅−⋅
c)
( ) ( ) abbaababaabaabbababaababbaaabaabbabaaabaabbaa
⋅−=⋅+−=+−
=⋅+⋅−⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=+−22222
2422533
433
333
52281
d)
3222
322
1510
15210
1522625
15222325
152
522
32
152
522
32
2252
258
92
2252
258
92 2
=⋅=⋅==−+
=−⋅+
=−+=−⋅
+=−+=−+
e) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3914
3914
33314
33314
314
327
3227
32262526
3232252223
3232252223
3232252223
32725083
3
3 3
3
3 2
3 2
3 23
3 2
333
333
2222
3
2222
3
=⋅
=⋅
⋅=
⋅
⋅==
⋅=
=+−
=⋅⋅+⋅−⋅⋅
=+−
=⋅⋅+⋅−⋅
=+−
f) ( ) ( ) ( )
5
4
5
4
5
42
5
4
4556
455456535
4552532535
4580180455
⋅
=−++
=⋅−⋅⋅++
=−++
Se recuerda que los radicales con distinto índice 4 55 ⋅ (el índice del primero es 2 y el del segundo es 4) no se pueden multiplicar, a no ser que se pongan radicales equivalentes a cada uno de los radicales de forma que tengan el mismo índice (reducción a índice común).
5
4 3
5
4 3
5
4 3
5
4 2
5
44 2
5
4
456
456
456
4556
4556
4556
⋅=⋅
=⋅
=⋅⋅
=⋅⋅
=⋅
Se recuerda que los radicales con distinto índice 5
4 3
45 (el índice del numerador es 4 y el
del denominador es 5) no se pueden dividir, a no ser que se pongan radicales equivalentes a cada uno de los radicales de forma que tengan el mismo índice (reducción a índice común).
204
15
20 4
20 15
5
4 3
456
4
56456 ⋅=⋅=⋅
g) 12
34
ba
ab
ba
⋅
Se recuerda que los radicales con distinto índice 34ab
ba
⋅ (el índice del primero es 4 y
el del segundo es 3) no se pueden multiplicar, a no ser que se pongan radicales equivalentes a cada uno de los radicales de forma que tengan el mismo índice (reducción a índice común). Así:
52281
612
2
122
2
12
12
12
12
1243
43
12
124
4
3
3
12
12
43
12
12
4
12
3
12
34
:
ab
ab
ab
ba
ab
baab
baabba
ba
ab
ba
ba
ab
ba
ba
ab
ba
ba
ab
ba
=
=
===⋅⋅
=⋅
=
=
⋅
=⋅
6º) Demuestra que los siguientes números son enteros:
a) 347347 −++
b) 324324 −−+
c) 33 2142021420 −++Pista: Dale nombre a cada número, por ejemplo x, y resuelve la ecuación con radicales resultante. Ten cuidado al llegar a la solución, pues al elevar los dos miembros de una ecuación a un número, se pueden introducir soluciones no válidas.
Solución: a) x=−++ 347347 Resolvamos esta ecuación con radicales:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )19228019231631628
38383163474383823472
38347238347234723434
34734723473473472347
347347347347347347
242422
24222222
2
222
22
22
22
22
+−=⇒+⋅−=⋅−
⇒⋅+⋅−=−⋅⇒+⋅⋅−=
−⋅
⇒−=
−⇒−=−⇒−−=+
⇒−+−−=+⇒
−+−−=+
⇒
−−=
+⇒−−=+⇒=−++
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
xxx
019228 24 =+− xx2xy = 0192282 =+− yy
La ecuación es una ecuación bicuadrada, la cual con el cambio , se convierte en la ecuación de segundo grado . Así:
( ) ( )
2428
21628
276878428
276878428
12192142828 2
±
=±
=−±
=−±
=⋅
⋅⋅−−±−−=y
Es decir: 162
322
4281 ==
+=y ; 12
224
2428
2 ==−
=y .
Como hicimos el cambio , no se puede olvidar el deshacer el cambio: 2xy =4161616 22 ±=±=⇒=⇒== xxyx
Ejercicios difíciles:
52281
3232121212 222 ±=⋅±=±=⇒=⇒== xxyx . Por tanto, las soluciones a la ecuación son 019228 24 =+− xx
32,32,4,4 −==−== xxxx .
Dado que x=−++ 347347 , y nos dicen que es un número entero y además es
fácil ver que 0347347 >−++ , así el número 347347 −++ será 4. Es
decir, 347347 −++ =4.
b) x=−−+ 324324 . Resolvamos esta ecuación con radicales:
( )
( ) ( ) ( ) ( )048161648381638316
3244383434324234234
324234324234324234
32432423243243242324
324324324324324324
24242242
2422
22222
22222
22
2
22
=+−⇒=+⇒⋅−=+⋅−⋅
⇒−⋅=+⋅−⋅⇒
−⋅=+⋅⋅−
⇒
−=−⇒−=−⇒−+=
⇒−+−+=+⇒
−+−+=+
⇒
−+=
+⇒−+=+⇒=−−+
xxxxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
xxx
04816 24 =+− xx2xy = 0048162 ==+− yy
La ecuación es una ecuación bicuadrada, la cual con el cambio , se convierte en la ecuación de segundo grado . Así:
( ) ( )
2816
26416
219225616
219225616
1248141616 2
±
=±
=−±
=−±
=⋅
⋅⋅−−±−−=y
Es decir: 12224
2816
1 ==+
=y ; 428
2816
2 ==−
=y .
Como hicimos el cambio , no se puede olvidar (¡Hay del alumno olvidadizo que se le olvida deshacer siempre cualquier cambio!) el deshacer el cambio:
2xy =
3232121212 222 ±=⋅±=±=⇒=⇒== xxyx2444 22 ±=±=⇒=⇒== xxyx
Por tanto, las soluciones a la ecuación son 019228 24 =+− xx32,32,4,4 −==−== xxxx .
Dado que x=−−+ 324324 , y nos dicen que es un número entero y además es
fácil ver que 0324324 >−−+ , así el número 324324 −−+ será 2. Es
decir, 324324 −−+ =2.
c) x=−++ 33 2142021420 . Resolvamos esta ecuación con radicales:
⇒=
−++⇒=−++ 3
33333 21420214202142021420 xx
52281
33
32
33
32
33
3
2142021420214203
2142021420321420
x=
−+
−⋅
+⋅+
−⋅
+⋅+
+
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
333
333
333
33 33 3
333
333
333
33223
22
33
3
33 23 2
33 33 2333 23 3
2142021420604
21420621420604
2142023214202304
2142023221420304
2142083821420304
21420392400339240021420304
21420214214400321421440021420304
214202142032142021420340
214202142021420214203
214202142021420321420
21420214202142032142021420321420
21420214202142032142021420321420
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
−++⋅+⇒
=−+++⇒
=−⋅⋅++⋅⋅+⇒
=−⋅⋅+⋅+⋅+⇒
=−⋅⋅+⋅+⋅+⇒
=−⋅−⋅+−⋅+⋅+⇒
=−⋅⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+⇒
=−⋅
−⋅+
−⋅+⋅+⇒
=−+−⋅−⋅+⋅+
−⋅+⋅+⋅++⇒
=−+−⋅+⋅+−⋅+⋅++⇒
=−+−⋅+⋅+−⋅+⋅++⇒
Pero resultaba que x=−++ 33 2142021420 . Por tanto la ecuación a resolver es 0406604 33 =−−⇒=+ xxxx .
Sabemos que las soluciones que sean números enteros de la ecuación , están entre los divisores de –40, a saber:
04063 =−− xx40,20,10,8,5,4,2,1 ±±±±±±±± . Probemos con
x=4, por Ruffini: 1 0 -6 -40
4 4 16 40 1 4 10 0
Por tanto, ( )( ) 01044406 23 =+−−=−− xxxxxIntentemos seguir descomponiendo el polinomio : 1042 +− xx
( ) ( )2
2442
4016412
101444 2 −±=
−±=
⋅⋅⋅−−±−−
=x
1042 +− xx
, es decir, el polinomio
no descompone más. Por tanto:
( )( )
+−
=⇒=−⇒=+−−=−−
reales números losen soluciones tieneno que104404
01044406 223
xxxx
xxxxx
Luego 42142021420 33 ==−++ x . 7º) Hallar dos números racionales positivos m y n tales que verifiquen:
a) nm +=+ 11211
52281
b) nm −=− 6411Solución: a)
( ) ( ) ( )nmnmnmnmnmnm
nnmmnmnm
++=+⇒+⋅+=+⇒++=+
+⋅⋅+=+⇒+=
+⇒+=+
411211211211211211
2112111121111211
2
2222
Por tanto, queda resolver el siguiente sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:
==+112411
mnnm
( )
=−+−⇒=−⇒=−
−=⇒
0281111244411211411
22 mmmmmmmn
Luego: ( ) ( )
( )
=−−
=−
−−=
=−−
=−
+−=
⇒−
±−=
−±−
=−
−±−=
−⋅−⋅−⋅−±−
=
72
142
311
428
2311
2311
2911
211212111
1228141111 2
m
m
m
Por tanto: • Si m 74114 =−=⇒= n• Si m 47117 =−=⇒= n
b)
( )nmnmnmnm
nmnmnmnm
+−=−⇒+⋅−=⋅−
⇒+−=−⇒−=
−⇒−=−
4961126411
2641164116411
22
22
Por tanto, queda resolver el siguiente sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:
==+96411
mnnm
( )
=−+−⇒=−⇒=−
−=⇒
02411964449611411
22 mmmmmmmn
Luego: ( ) ( )
( )
=−−
=−
−−=
=−−
=−
+−=
⇒−
±−=
−±−
=−
−±−=
−⋅−⋅−⋅−±−
=
82
162
511
326
2511
2511
22511
29612111
1224141111 2
m
m
m
Por tanto: • Si m 83113 =−=⇒= n• Si m .38118 =−=⇒= n
Pero si m=3 y n=8, resulta que 00963,183 =− , y por tanto, esta solución m=3 y n=8 hay que desecharla. Como conclusión, m=8, n=3 son los únicos dos números racionales positivos que
verifican nm −=− 6411 .
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