5.3. TRIGONOMETRIJSKI NIVELMAN · • visina objekata (tornjeva, dimnjaka, itd.), • prenošenja apsolutnih visina sa jedne na drugu obalu kod jako širokih reka, • visinskom povezivanju

Glava 5. Geodetske jednodimenzionalne mreže

281

5.3. TRIGONOMETRIJSKI NIVELMAN

5.3.1. TRIGONOMETRIJSKO ODREðIVANJE VISINSKIH

RAZLIKA

Odreñivanje visinskih razlika na osnovu zenitnih uglova, odnosno vertikalnih uglova naziva se trigonometrijsko merenje visina, tj. trigonometrijski nivelman. On se uglavnom primenjuje u brdovitim i teško pristupačnim terenima za odreñivanje visinskih razlika koje se koriste u geodeziji i inženjerskoj geodeziji pri odreñivanju:

• visinskih razlika izmeñu poligonskih tačaka,

• visinskih razlika izmeñu trigonometrijskih tačaka nižeg reda,

• visinskih razlika izmeñu tačaka na fizičkoj površi Zemlje u inženjerskoj geodeziji,

• sleganja (oskultacija) objekata ili terena u strmim i jako nepristupačnim područjima,

• visina objekata (tornjeva, dimnjaka, itd.),

• prenošenja apsolutnih visina sa jedne na drugu obalu kod jako širokih reka,

• visinskom povezivanju ostrva, i ostrva sa kopnom i tako dalje.

Mogućnosti trigonometrijskog nivelmana su velike i raznovrsne. Zbog nedovoljne tačnosti on još uvek nema svestranu primenu.

U brdovitim područjima daje zadovoljavajuće rezultate i zato se često koristi jer je trigonometrijski nivelman najcelishodniji metod odreñivanja visinskih razlika.

Kada su odstojanja dugačka i teren ravan trigonometrijski nivelman ne daje dobre rezultate. Zato se na ravničarskom terenu visinske razlike ne odreñuju putem trigonometrijskog nivelmana. Tada je bolje za odreñivanje visinskih razlika primeniti generalni nivelman.

Prednost trigonometrijskog nivelmana naročito dolazi do izražaja u brdovitim terenima.

Trigonometrijski nivelman daje bolje rezultate kada su odstojanja kraća. Kod dužih rastojanja (preko 6 km) mogu biti znatne greške odreñivanja visinskih razlika (naročito jednostrano). Tada se one obično odreñuju umetanjem pomoćnih tačaka .

KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU

282

5.3.2. OPŠTE REŠENJE ZA ODREðIVANJE VISINSKIH RAZLIKA

Prilikom odreñivanja visinskih razlika putem trigonometrijskog nivelmana nulta nivoska površ aproksimira se loptom čiii je poluprečnik 6377=r km.

Visinska razlika izmeñu dveju tačaka A i B na fizičkoj površi Zemlje je razlika njihovih apsolutnih visina (odstojanje izmeñu nivoskih površi tačaka A i B)( Sl. 5.5)

.ABBA HHH −=∆

Neka je označeno sa D odstojanje izmeñu projekcija tačaka A i B na nultu nivosku površ, sa Ai visina instrumenata u tački A, sa Bl visina signala u tački B i sa Az izmeren zenitski ugao u tački A.

A

A'

B''

B'

B

C

H

i

l

D

A

>

>

>

>

<

<

<

<

<

H

>

>

r

B

B

A

A

B

oo

r

>

>

ABH

<

<

<<

<

< <

<

Z

Z'A

A

<

<

A

Slika 5.5. Visinska razlika trigonometrijskog nivelmana.


283

Zenitski uglovi mere se na fizičkoj površi Zemlje koja je okružena atmosferom čija su optička svojstva u stalnoj promeni. Stoga se vizura neće kretati pravolinijski od instrumenta do signala već po refrakcionoj krivoj liniji. To je prostorna kriva čija vertikalna komponenta ima bitan uticaj na merenje zenitnih odstojanja

Nikada se ne može prikupiti dovoljno podataka (o temperaturi, vlažnosti i pritisku vazduha) koji će objektivno karakterisati deo atmosfere kroz koji prolazi vizura. Zbog toga nije poznata trajektorija refrakcione krive. Meñutim, može se tvrditi da će za ustaljene atmosferske prilike refrakciona kriva konkavnom stranom biti okrenuta prema površi Zemlje (Sl. 5.6).

Obrazloženje: Može se smatrati da se atmosfera Zemlje sastoji iz, niza koncentričnih slojeva različite gustine, a time i različitog optičkog svojstva. Gustina slojeva se smanjuje idući od Zemljine površi, pa zbog toga najveći indeks prelamanja imaće prvi

sloj do Zemlje 1n zatim drugi 2n odnosno važi

....... 121 +>>>> ii nnnn

Ova promena gustine vazduha izaziva prelamanje zraka na dodirnim površima

susednih slojeva. Pošto je 1+> ii nn to vizura prolazi iz optički gušće u optički reñu sredinu i lomi se od normale. Kad se pretpostavi da je debljina slojeva mala, dobiće se refrakciona kriva koja je konkavnom stranom okrenuta prema površi Zemlje.

n

n

nn

1

23

4

Slika 5.6. Uticaj refrakcije.

Zbog uticaja refrakcije vizura neće biti uperena u pravcu tetive A'B' nego u pravcu

tangente A' B". Kao posledica ove pojave, umesto istinitog zenitnog ugla Az' , meri se

prividni ugao Az . Razlika ova dva zenitna ugla ( )AAA zz −= 'ε predstavlja uticaj refrakcije na izmeren zenitni ugao Az . Veličina ugla Aε zavisi od temperature, vlažnosti vazduha, atmosferskog pritiska, vegetacije, konfiguracije terena, dužine vizure, visine vizure (udaljenosti vizure od površi Zemlje), doba dana, sastava zemljišta itd.


284

U toku dana temperatura se stalno menja, vlažnost i pritisak vazduha takoñe pa samim tim i uticaj refrakcije je u funkciji doba dana. Taj uticaj najveći je izjutra i uveče, a najmanji u podne.

Mnogi uzroci koji uslovljavaju veličinu refrakcije su u stalnoj promeni, te njen uticaj nije moguće uzeti u obzir u potpunosti pri odreñivanju visinskih razlika. Zato su neophodne pretpostavke i aproksimacije, iz kojih proističu približna rešenja, koja se pojavljuju kao posledica toga, što se vertikalna komponenta refrakcione krive zamenjuje kružnim lukom koji leži u ravni koja prolazi kroz vertikale tačaka A i B.

Primenom tangensne teoreme na trougao A'B'C (Sl. 5.5)

222

2''

'' βαβαβα

βα+−=

+

−

=+−

ctgtgtg

tg

CACB

CACB (5.12)

i kada se uzme u obzir

( ) ABABAABB ilHHirHlrHCACB −+−=++−++=− '' rliHHCACB BABA 2

'' ++++=+

290

20 δβα −=+

dobija se

−−=++++

−+−2

9022

0 δβα ctgtgrliHH

ilHH

BABA

ABAB

odnosno

( ) BAABBAABBA lirilHHtgtgHHH −+++++−=−=∆ 2

22

δβα. (5.13)

Imajući u vidu da je luk D jednak proizvodu poluprečnikra r i ugla δ dobija se

r

D=δ . (5.14)

Tangens malog ugla može se zameniti samim uglom

22

δδ ≈tg . (5.15)

Kada se uvrsti (5.14) u (5.15) dobija se


285

r

Dtg

222=≈ δδ . (5.16)

Zamenom (5.16) u (5.13)

BABABAB

A lir

li

r

HHtgDH −+

++++⋅−⋅=∆ 1222

βα

odnosno

BAmB

A lir

HtgDH −+

+⋅−⋅=∆ 12

βα

ili

r

HtgDlitgDH mBA

BA ⋅

−⋅+−+−⋅=∆2

2

βαβα

(5.17)

jer je

2BA

m

HHH

+= (5.18)

0≈+r

li BA .

gde je mH srednja visina izmeñu tačaka A i B.

5.3.3. JEDNOSTRANO ODREðIVANJE VISINSKIH RAZLIKA

Kada se zenitski ugao meri samo sa jedne tačke, tada prema slici 5.5 sledi

AAA zz εα −−=−=0'0 180180

δεβ −+= AAz ili

δεβα +−−=− AAz 221800

odnosno


286

−+−=−2

902

0 δεβα AAz

tj.

−+=

−+−=−22

902

0 δεδεβα AAAA zctgztgtg . (5.19)

Razvijanjem (5.19) u Tajlorov red i zadržavanjem prva dva člana sledi

−−=−2sin

12 2

δεβα AA

A zctgztg .

Kada je ,900≈Az tada je ,1 sin ≈Az pa je

AActgztg εδβα −+=−22

. (5.20)

A

A'

B'

B

C

D

A

r

B

oo

<

<

A

<

<

B

R

A+<

<

B

BA+

<

<

O

Slika 5.7. Refrakciona kriva.


287

Već je naglašeno da se refrakciona kriva može aproksimirati delom kružnog luka čij je poluprečnik R (Sl. 5.7).

Neznatna greška se pravi takoñe kada se dužina luka refrakcione krive zameni sa odgovarajućom dužinom luka na nultoj nivoskoj površi, tj.

DBABA =≈ 00'' .

Kada se ovo uzme u obzir sa slike 5.7 sledi

DR A =ε2 odnosno ugao refrakcije

R

DA 2

=ε

ili

AA kr

D

r

r

R

D ⋅=⋅=22

ε (5.21)

gde je Ak koeficijenat refrakcije

R

rkA = . (5.22)

Koeficijent refrakcije stalno se menja u toku dana i godine. Eksperimentalnim putem za ustaljene atmosferske uslove može se odrediti njegova srednja vrednost.

Uticaj refrakcije Aε na mereni zenitski ugaoAz direktno je proporcionalan dužini D . Ukoliko je odstojanje izmeñu tačaka veće utoliko refrakcija ima veći uticaj na merenje zenitskog ugla.

Znači da uticaj refrakcije, pored ostalog, zavisi od dužine D , te kada su velika odstojanja, potrebno je sa većom pažnjom meriti zenitna odstojanja.

Kada se (5.14) i (5.21) uvrste u (5.20) dobiće se

AA kr

D

r

Dctgztg ⋅−+=−

222βα

. (5.23)

Zamenom (5.23) u (5.17)

( ) ( )r

H

r

Dk

r

HctgzDli

r

DkctgzDH mA

mABAAA

BA 2

1 2

1 22

−++−+−+=∆

odnosno


288

( )r

HctgzD

r

DklictgzDH mAABAA

BA 2

1 2

+−+−+=∆ (5.24)

jer je

( ) 02

12

=⋅−r

H

r

Dk mA .

U izrazu (5.24) figurišu tri male veličine koje se nazivaju korekcioni članovi i koji nastaju:

• usled uticaja zakrivljenosti Zemljine površi, r

DK

2

2

1 =

• usled uticaja refrakcije, Akr

DK

2

2

2 −=

• usled uticaja visina krajnjih tačaka, r

HzctgDK mA 3 = .

Korekcioni član usled uticaja zakrivljenosti Zemljine površi

r

DK

2

2

1 = . (5.25)

Vrednosti korekcionog člana 1K prikazane su u narednoj tabeli

D[km] 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1,0 2 3 4 5

K1[m] 0,001 0,003 0,007 0,01 0,02 0,08 0,31 0,71 1,25 1,96

Uticaj zakrivljenosti Zemljine površi.

Za kraća odstojanja, kao što su dužine poligonskih strana ( )m400


289

Odavde sledi

∆≤ rD 2 . (5.26)

Korekcioni član usled uticaja refrakcije

kr

DK

2

2

2 −= . (5.27)

Delenjem izraza (5.27) sa (5.25)

13.01

2 −=−= kK

K

ili

21 8KK −≈ .

Korekcioni član 1K usled zakrivljenosti zemljine površi je oko osam puta veći od

korekcionog člana 2K koji nastaje zbog refrakcije. U istom odnosu stoje poluprečnici nulte nivoske površi r i refrakcione krive R

rR 8≈ . Kada je poznata granična vrednost tolerancije ∆ uticaja refrakcije moguće je

odrediti za koja se odstojanja može zanemariti korekcioni član 2K

∆≤= kr

DK

2

2

2

odnosno

k

rD

∆≤ 2 . (5.28)

Srednja vrednost koeficijenta refrakcije nije nikada poznata. Na tačnost odreñivanja visinskih raylika trigonometrijskim putem u znatnoj meri utiče nepoznavanje stvarne vrednosti koeficijenta refrakcije.

Stalna promena pritiska, temperature i vlažnosti vazduha uslovljavaju nestabiinost koeficijenta refrakcije, čija se vrednost menja, tokom dana, godine i nije ista u svim područjima.

Ispitivanjem dnevnog hoda (promene) koeficijenta refrakcije ustanovljeno je da je njegova vrednost izjutra i uveče najveća, a u sredini dana (u podne) najmanja (Sl. 5.8).


290

U sredini dana od 9 do 17 časova je najstabilniji koeficijenat refrakcije i tada na terenima (izrazito brdoviti tereni) sa izrazitim reljefom njegova vrednost iznosi od 0,10 do 0,16. Pri računanju visinskih razlika koristi se srednja vrednost 13.0=k . Kada vizura prolazi blizu terena (ravničarski teren) i velikih vodenih površi veoma je nesigurno odreñivanje visinskih razlika zato što su promene koeficijenta refrakcije nagle i velike. To je razlog što se trigonometrijski nivelmam uglavnom primenjuje samo u brdovitim terenima.

Glavna poteškoća za svestranu primenu trigonometrijskog nivelmana jeste činjenica da u toku merenja zenitnih uglova nije poznata stvarna vrednost koeficijenta refrakcije.

Kada se visinske razlike odreñuju na osnovu obostrano merenih zenitskih uglova, tada je za tačnije odreñivanje visinskih razlika, bitno da bude što manja razlika

koeficijenata refrakcije ( )BA kk − u tačkama A i B . Ova razlika biće zanemarljiva ako se istovremeno ili bar u isto doba dana, mere zenitski uglovi na tačkama A i B . Tada je

BA kk ≈ odnosno( )0≈− BA kk te i ako nije poznata stvarna vrednost koeficijenta refrakcije to neće imati uticaja na tačnost odreñivanja visinskih razlika. Kod preciznih radova treba nastojati da se visinske razlike odreñuju na osnovu obostrano merenih zenitskih uglova koji se obavljaju, po mogućnosti, u isto vreme. Tada će uticaj refrakcije biti neznatan.

k

h

4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.10

0.20

>

>

0.10

>>

0.16

k

Slika 5.8. Promene koeficijenta refrakcije.

Korekcioni član usled uticaja visina tačaka

r

HH

r

HzDK mmA

'3 ctg ∆== (5.29)

gde je približna vrednost visinske razlike


291

AzctgDH ' =∆ .

Ovaj se korekcioni član pojavljuje zato što se pri računanju visinskih razlika ne koriste horizontalna odstojanja izmeñu tačaka, već svedena na nultu nivosku površ, odnosno u projekciju.

Srednja visina mH izmeñu tačaka A i B uzima se sa plana ili karte i njenu

vrednost treba poznavati sa aproksimativnom tačnosti do m100 .

Može se odrediti kada o korekcionom članu 3K treba voditi računa pri računanju

visinskih razlika ako je poznata granična vrednost tolerancije ∆ uticaja visina tačaka

∆≤∆=r

HHK m'3

ili približna vrednost visinske razlike biće

mH

rH

∆⋅≤∆ ' . (5.30)

Obično je poznata približna vrednost visine mH za područje na kome se izvode

radovi, pa se na osnovu nje može odrediti kada je korekcioni član 3K zanemarljiv i nije potrebno o njemu voditi računa.

5.3.4. OBOSTRANO ODREðIVANJE VISINSKIH RAZLIKA

U cilju kontrole i za povećanje tačnosti, visinske razlike se odreñuju na osnovu

obostrano merenih zenitskih uglova. Neka je u tački A izmeren zenitski ugaoAz , a u tački

B zenitski ugao Bz .

Pomoću zenitskog ugla Bz može se odrediti visinska razlika ABH∆ , analogno

formuli (5.24)

( )r

HzctgDli

r

DkzctgDH mBABBB

AB 2

1 2

+−+−+=∆ (5.31)

gde su:

Bk - koeficijenat refrakcije na tački B ,


292

Bi - visina instrumenta na tački B ,

Al - visina signala na tački A .

Visinska razlika BAH∆ i ABH∆ treba da su približno iste po apsolutnoj vrednosti,

a suprotnog predznaka. Ako je BAH∆ pozitivno onda će ABH∆ biti negativno i obratno.

Za definitivnu vrednost usvaja se aritmetička sredina

( )2

AB

BA HHH

∆−+∆=∆

ili, kada se uzme u obzir (5.24) i (5.28) dobiće se

( ) ( ) +−+−+−+−=∆r

Dkk

lliizctgzctg

DH AB

BABABA 422

2

2

( )r

Hzctgzctg

D mBA 2

−+ (5.32)

Ako se poñe od izraza

( ) =

−+−=−=−22

sinsinsin

1sinsin

sin ABAB

BAAB

ABBA

zzzz

zzzz

zzzctgzctg

=−−⋅=2

cos2

sin2sinsin

1 ABABBA

zzzz

zz

BA

AB

AB

zz

zzzz

tgsinsin

2cos

22

2 −

⋅−=

dobija se

22 ABBA

zztgctgzctgz

−=− (5.33)

jer je

1sinsin

2cos2

≈BA

AB

zz

zz


293

zato što su zenitski uglovi BA zz i bliski 900, a razlika 0≈− AB zz .

Kada se uvrsti (5.33) u (5.32) dobiće se izraz za odreñivanje visinskih razlika na osnovu obostrano merenih zenitnih uglova

r

HzztgD

lliizztgDH mABBABAAB ⋅−⋅+−+−+−⋅=∆

2222 (5.34)

jer je

( ) 04

2

≈−r

Dkk AB .

Pošto se pretpostavlja da je ista vrednost koeficijenta refrakcije u tačkama A i B , sledi zaključak da refrakcija nema praktičnog uticaja na odreñivanje visinskih razlika kada se one računaju na osnovu obostrano merenih zenitnih uglova.

5.3.5. ELEMENTI ZA ODREðIVANJE VISINSKIH RAZLIKA

ODREðIVANJE DUŽINA

DužinaD odreñuje se:

• iz koordinata krajnjih tačaka odgovarajuće strane,

• indirektnim putem primenom sinusne ili kosinusne teoreme,

• neposrednim merenjem.

Dužine koje su odreñene iz koordinata odnose se na ravan projekcije, a ne na nultu nivosku površ. Kako se dužine u projekciji i na nultoj nivoskoj površi ne razlikuju više od desetohiljaditog dela dužine, nije značajno koja će se od ovih dve koristiti za računanje visinskih razlika. Pri preciznijem radu o tome treba voditi računa. Dužinu odreñenu iz koordinata treba svesti na nultu nivosku površ.

U trigonometrijskoj mreži dužine se obično računaju iz koordinata tačaka. U poligonskoj mreži redukovane dužine poligonskih strana koriste se za računanje visinskih razlika. U inženjerskoj geodeziji, obično, dužine se mere neposredno na terenu.

ODREðIVANJE ZENITNIH UGLOVA

U geodetskim mrežama u cilju odrñivanja visinskih razlika trigonometrijskim putem zenitni uglovi se mere girusnom metodom.


294

U trigonometrijskoj mreži zenitni uglovi se mere u tri girusa ka tačkama koje su predviñene planom odreñivanja visina putem trigonometrijskog nivelmana.

Tri girusa, odnosno tri vrednosti zenitnskog ugla dobiće se ako se vrh signala vizira u oba položaja durbina sa sva tri horizontalna konca (gornjim, srednjim i donjim koncem). U prvom položaju durbina gornjim koncem navizira se vrh signala, očita vrednost na vertikalnom limbu, a zatim se na isti način postupa sa srednijim i donjim koncem. U drugom položaju durbina postupak je isti samo što se ide obrnutim redosledom: vizira se donjim, srednjim i na kraju gornjim koncem.

Pre nego se pristupi merenju zenitnih uglova treba izmeriti visinu instrumenta i signala.

Visina instrumenta se meri ručnom pantljikom do na 1 cm od gornje površi belege do obrtne osovine durbina.

Visina signala se takode meri ručnom pantljikom od gornje površi belege do vizurne tačke na signalu.

Zenitni uglovi mere se u sredini dana od 9-17 časova. Tada je koeficijenat refrakcije najstabilniji.

U poligonskoj mreži u cilju odredivanja visinskih razlika trigonometrijskim putem, zenitni uglovi se mere srednjim horizontalnim koncem u oba položaja durbina.

NEPOSREDNO MERENJE VISINE SIGNALA

Kada je moguće visinu signala treba odrediti neposrednim merenjem ručnom pantljikom. U trigonometrijskoj mreži visina signala se meri do na 1 cm. Kod preciznijih radova u inženjerskoj geodeziji visina signala se meri znatno tačnije. Visina signala je odstojanje od gornje površi belege do tačke signala na koju se vizira.

INDIREKTNO MERENJE VISINE SIGNALA

Često signal nije pristupačan pa se neposrednim merenjem ne može odrediti njegova visina. Tada se visina signala odreñuje indirektnim putem. Pri tome postoji nekoliko slučajeva.

I slučaj: Signal stoji vertikalno odnosno tačka z i c leže na istoj vertikali (Sl. 5.9). U cilju odreñivanja visine signala meri se: . i , , 21 szz Sa slike 5.9 sledi:

) ( 21 zctgzctgsl −= . (5.35)

Zenitni uglovi 21 i zz mere se u dva položaja durbina.


295

Slika 5.9. Indirektno odreñivanje visine signala (Slučaj I).

Horizontalno odstojanje s meri se neposredno ili indirektnim putem primenom sinusne teoreme (Sl. 5.10)

( ) .sinsin ββα +=a

s

Meri se dužina a , i uglovi α i β .

Slika 5.10. Indirektno odreñivanje dužine.

II slu čaj: Signal stoji vertikalno ali nema dovoljno prostora da se formira trougao 1, 2, )(zc (Sl. 5.10). U tom slučaju treba postaviti stanicu 1 i 2 tako da zajedno sa signalom leže u istoj vertikalnoj ravni (Sl. 5.11). Pri tome treba voditi računa da su što veće razlike


296

zenitnih odstojanja ( ) 31 zz − i ( )42 zz − . Kada su ove razlike male odreñivanje visine signala ovim načinom je nesigurno. Meri se: 4321 ,,, zzzz i a .

Za visinu signala l mogu da se odrede dve vrednosti:

• preko stanice 1

( )( )21 zctgzctgxal −+= • preko stanice 2

( )43 zctgzctgxl −=

Slika 5.11. Indirektno odreñivanje visine signala (Slučaj II).

Njihovim uporeñivanjem

( )( ) ( )4321 zctgzctgxzctgzctgxa −=−+ dobija se

Qzctgzctg

zctgzctg

x

xa =−−=+

21

43

Odavde se odreñuje dužina x

1−=

Q

ax

a zatim se računa visina signala l .


297

III slučaj: Tačke c i z ne leže na istoj vertikali i nije moguće obrazovati trougao u horizontalnoj ravni radi odreñivanja odstojanja primenom sinusne teoreme. Ovakav slučaj javlja se u gradovima gde su uske ulice i trgovi, kao i u inženjerskoj geodeziji pri odreñivanju visine tornjeva, dimnjaka i slično, zatim prilikom povezivanja trigonometrijskog i geometrijskog nivelmana.

Na slici 5.12 tačka c opažana je sa okolnih trigonometrijskih tačaka, a tačka z je reper R čija je visina poznata.

Slika 5.12. Indirektno odreñivanje visine signala (Slučaj III).

Visina signala l odreñuje se na dva načina

11 lhl += (5.36)

22 lhl += (5.37) Uporeñenjem (5.36) i (5.37)

2211 lhlh +=+ dobija se

hllhh ∆=−=− 1221 (5.38) Ovo neposredno sledi iz slike 5.12.

Kada se u (5.38) uvrsti


298

( ) 121 zctgsah += (5.39) 222 zctgsh = (5.40)

dobiće se

( ) hzctgszctgsa ∆=−+ 2212 . Odavde se odreñuje

21

12

zctgctgz

zctgahs

−−∆= . (5.41)

Kad se uvrsti (5.41) u (5.40) biće

221

12

zctg

zctgctgz

zctgahh

−−∆=

i uzme u obzir

21

222121 sin zsin

zsin cossin cos

z

zzzctgzctgz

−=−

dobiće se

( )1221

21212 sin cos sin cos

sin z sin z

zzzz

zzctgctgahh

−−∆=

ili

( )12

21212

z z

ztgztg

ztgtgzctgctgahh

−−∆=

odnosno

12

12

ztgztg

aztghh

−−−∆= . (5.42)

Analognim postupkom dobiće se

12

21

ztgztg

aztghh

−−∆= . (5.43)

Visinska razlika izmeñu obrtnih osa durbina u tačkama 1 i 2 može biti pozitivna i

negativna. Ako je 12 HH > , onda je 0>∆h i obratno.


299

Postupak rada: na terenu se meri dužina a , zenitna odstojanja 1z i 2z , i pri

horizontalnoj vizuri se očitavaju odsečci 1l i 2l na letvi postavljenoj na reperu R .

Po formulama (5.42) i (5.43) računa se 1h i 2h , a zatim iz (5.36) i (5.37) odreñuje visinu signala l .

Kada je signal (objekat) nepristupačan i nije moguće na njemu držati letvu tada se visina signala može odrediti ako se izmeri dužina a , visinska razlika h∆ i zenitna odstojanja 4321 i , , zzzz (Sl. 5.13).

Slika 5.13. Indirektno odreñivanje visine signala (Slučaj III).

Sa slike 5.13 sledi

31 hhh −=∆

42 hhh −=∆ odnosno

( ) 3111 zctgszctgsah −+=∆ ( ) 4222 zctgszctgsah −+=∆ .

Odavde se odreñuju dužine

31

11

zctgzctg

zctgahs

−−∆= (5.44)


300

42

22

zctgzctg

zctgahs

−−∆= (5.45)

a zatim visine signala

( ) ( ) 221121 zctgsazctgsahhl +−+=−= (5.46) 423143 zctgszctgshhl −=−= . (5.47)

Veća tačnost odreñivanja visine signala može se obezbediti ako se dužine

21 i ss mogu odrediti neposrednim merenjem ili indirektnim putem primenom sinusne teoreme.

Obično, u praksi, dužina 1s odreñuje se iz (5.44), a dužina 2s može se neposredno izmeriti na terenu.

Kada terenske prilike dozvoljavaju da stanice 1 i 2 sa projekcijama tačke z i c formiraju trouglove (Sl. 5.14), tada se primenom sinusne teoreme prvo odreñuju dužine

4321 s i s ,s ,s a zatim kao u prvom slučaju visina signala

2211 zctgszctgsl −= (5.48)

4432 zctgszctgsl −= .

Slika 5.14. Indirektno odreñivanje dužina.

Ako je tačka z pristupačna onda se dužine 42 i ss mogu odrediti neposrednim putem odnosno merenjem na terenu.


301

5.3.6. PRIMENA TRIGONOMETRIJSKOG NIVELMANA U

TRIGONOMETRIJSKOJ MREŽI

U brdovitim terenima visine trigonometrijskih tačaka računaju se pomoću visinskih razlika koje su odreñene trigonoinetrijskim nivelmanom.

Visinska razlika izmedu dveju tačaka odreñuje se na osnovu obostrano opažanih zenitnih uglova. Izuzetno se mogu koristiti samo jednostrano opažani zenitni uglovi ako je jedna tačka nepristupačna.

Kada je odstojanje izmeñu tačaka manje od 6 km visinske razlike se odreñuju neposredno na osnovu zenitnih uglova izmerenih na krajnjim tačkama trigonometrijskih strana. Za duža odstojanja visinske razlike se indirektnim putem odreñuju sabiranjem visinskih razlika izmeñu pomoćnih tačaka. Na primer, ako je potrebno odrediti visinsku razliku izmeñu tačaka 1 i 2 koje su na odstojanju oko 15 km, tada se ona odreñuje indirektno preko pomoćnih tačaka CBA i , (Sl. 5.15).

1 2A

B

C

Slika 5.15. Indirektno odreñivanje visinskih razlika.

Pre nego što se pristupi opažanju zenitnih uglova potrebno je napraviti "plan opažanja zenitnih uglova". On je potreban da bi se opažali zenitni uglovi samo izmeñu onih tačaka čije visinske razlike treba koristiti pri odreñivanju visina trigonometrijskih tačaka.

Slika 5.16. Plan opažanja zenitnih uglova.


302

Na slici 5.16 trigonometrijske strane na čijim krajnjim tačkama se mere zenitni uglovi, prikazane su punom linijom. Znači, ne opažaju se sve okolne tačke kao pri merenju horizontalnih uglova.

Plan opažanja zenitnih uglova zavisi od plana računanja visina trigonometrijskih tačaka. Unapred se odreñuje koncepcija na koji način i kojim redosledom treba pristupiti računanju visina trigonometrijskih tačaka. Pri tome treba imati u vidu sve mogućnosti koje su korišćene u geometrijskom nivelmanu. Naime mreža trigonometrijskog nivelmana sastoji se od niza vlakova koji čine mrežu u obliku:

• zatvorenih poligona (Sl. 5.17),

• čvornih tačaka (Sl. 5.18),

• vlakova.

Mreža se deli na glavnu i sporednu. Glavnu mrežu čine glavni vlaci a sporednu sporedni vlaci.

Slika 5.17. Mreža trigonometrijskog nivelmana-zatvoreni poligoni.

Po pravilu glavnu mrežu čine zatvoreni poligoni, a sporednu mrežu čine vlaci koji se neposredno oslanjaju na tačke glavne mreže.

DT 1 DT 2

DT 3

DT 4

Slika 5.18. Mreža trigonometrijskog nivelmana-čvorne tačke.


303

Na slici 5.19 debljim linijama prikazana je glavna mreža, a tanjim linijama sporedna mreža.

Glavna mreža sastoji se iz dva zatvorena poligona. Ona se oslanja na četiri repera, čije su visine odreñene preciznim nivelmanom. Visinske razlike u glavnoj mreži obostrano se odreñuju. Glavni vlaci ne treba da imaju više od 10 strana.

Vlakovi trigonometrijskog nivelmana treba da idu preko kraćih odstojanja i da vizura bude udaljena što više od površi zemlje, drveća, objekata i sl. Dužine strana ne bi trebalo da budu duže od 5 km.

GN 1 GN 2

GN 3

GN 4

Slika 5.19. Mreža trigonometrijskog nivelmana.

Kao osnova za računanje visina trigonometrijskih tačaka služi nivelmanska mreža u kojoj su visine repera sračunate na osnovu visinskih razlika odreñenih preciznim nivelmanom. Zato je potrebno da se na svakih 10-12 km izvrši veza izmeñu trigonometrijskog i geometrijskog nivelmana. Ova se veza ostvaruje na taj način što se putem geometrijskog ili trigonometrijskog nivelmana odreñuju visinske razlike izmeñu repera i najbližih trigonometnjskih tačaka. Ako se ova veza ne može ostvariti direktno onda se mogu postaviti pomoćne tačke i preko njih odrediti visinske razlike izmeñu repera i trigonometrijske tačke (Sl. 5.20).

AB

TR

Slika 5.20. Veza trigonometrijskog i geometrijskog nivelmana.


304

5.3.7. PRIMENA TRIGONOMETRIJSKOG NIVELMANA U

POLIGONSKOJ I LINIJSKOJ MREŽI

U poligonskoj i linijskoj mreži za odreñivanje visina tačaka obično se koriste visinske razlike odreñene trigonometrijskim ili geomneralnim nivelmanom.

Pošto su poligonske i linijske tačke na relativno kratkim odstojanjima pri odreñivanju visinskih ralika može se zanemariti zakrivljenost zemljine površi. To praktično znači da nulta nivoska površ predstavlja horizontalnu ravan, a vertikale kroz tačke A i B su normale na tu ravan (Sl. 5.21).

H

D

A

B

l

i

>>

>>

>z

>

>

A

A

B

AB

Slika 5.21. Visinska razlika trigonometrijsog nivelmana.

Sa slike 5.21 sledi

BAABA lizctgDH −+⋅=∆

gde je:

D horizontalno odstojanje izmeñu tačaka A i B ,

Az mereno zenitno odstojanje na tački A ,

Ai visina instrumenata na tački A ,

Bl visina signala na tački B .

Ova formula neposredno sledi iz (5.24) kada se zanemare korekcioni članovi

321 i , KKK .


305

5.3.8. TAČNOST TRIGONOMETRIJSKOG NIVELMANA

TAČNOST ODREðIVANJA VISINSKE RAZLIKE

Na osnovu formule (5.24) koja služi za odreñivanje visinskih razlika na osnovu jednostrano opaženih zenitnih uglova

( )r

HH

r

DklizctgDH m′∆+−+−+=∆

21

2

(5.49)

diferenciranjem ove jednačine

( ) dkr

Ddldidz

z

DdDzctgHd

2sin

2

2 −−+−=∆

sledi varijansa visinske razlike

22

4222

4

2222

4sin klizDH rD

z

Dzctg σσσσσσ ++++⋅=∆ . (5.50)

Korekcioni članovi zbog zakrivljenosti zemljine površi i apsolutnih visina tačaka smatraju se apsolutno tačnim.

Formula (5.50) može se pojednostaviti ako se izostavi prvi član koji je

zanemarljivo mali i ako se usvoji 090=z sledi

22

422222

4 klizH rD

D σσσσσ +++=∆ . (5.51)

Iz (5.50) sledi da:

• tačnost visinske razlike zavisi od dužine i nagnutnosti vizure,

• je uticaj refrakcije veći za duža odstojanja,

• greška merenja zenitnih odstojanja ima veći uticaj za duža odstojanja,

• greške merenja visine instrumenta i signala ne zavise od dužine i nagnutosti vizure.

Uticaji standardnih devijacija liD σσσ i , ne zavise od dužine D . Uticaji standardnih devijacija kz σσ i zavise od dužineD i veći su za duža odstojanja. Kod dugačkih odstojanja naročito veliki uticaj ima refrakcija. Ovaj uticaj naglo raste ako su odstojanja duža od 6km.


306

Kod kraćih rastojanja veći uticaj ima standardna devijacija zσ a kod dužih, obratno kσ . Ove dve standardne devijacije imaju najveći uticaj na tačnost odreñivanja visinskih razlika trigonometrijskim nivelmanom. Savremenim instrumentima, pogodnom stabilizacijom i signalisanjem tačaka može se postići visoka tacnost merenja zenitnih uglova. Prema tome, za dalje povećanje tačnosti visinskih razlika dominantnu ulogu ima uticaj refrakcije. Pogodnim izborom vremena za merenje i obostranim opažanjima zenitnih uglova (po mogućstvu u isto doba) uticaj refrakcije smanjuje se u najvećoj mogućoj meri. Kod obostranog odreñivanja visinskih razlika bitno je da razlika koeficijenata refrakcije u

tačkamaA i B bude što manja ( )0≈− AB kk . Tada nije potrebno koeficijenat refrakcije uzimati u obzir i nije bitno koliko iznosi njegova vrednost.

Ako su uticaji tačnosti merenja visine instrumenta, visine signala i refrakcije zanemarljivo mali u odnosu na tačnost visinske razlike onda standardna devijacija (5.51) postaje

zH D σσ ⋅=∆ (5.52) a njena vrednost zavisi id dužine i tačnosti merenja zenitskog ugla.

Težine visinskih razlika trigonometrijskog nivelmana u stohastičkim modelima izravnanja mreža, imajući u vidu (5.52) odreñuju se

22222

1DD

k

D

ccp

zHH ==⋅

==∆

∆ σσ (5.53)

gde je proizvoljna konstanta 1/ 2 == zck σ a dužina D se izražava najčešće u km .

Ako se visinska razlika H∆ odreñuje na osnovu obostranih merenja 1h∆ i

2h∆ onda je

2121

21

21

2hh

hhH ∆+∆=∆+∆=∆

sa varijansom

22221 4

141

hhH ∆∆∆ += σσσ

ili za homogenu tačnost hhh ∆∆∆ == σσσ 21

22

21

hH ∆∆ = σσ


307

i imajući u vidu opšti izraz za težine

= 2

ii

cp

σ sledi

hH p

c

p

c

∆∆

⋅=21

. (5.54)

Prema izrazu (5.54) proizilazi da je težina obostrano merene visinske razlike

Hp∆ dva puta veća od težine visinske razlike merene jednostrano hp∆ ili

hH pp ∆∆ ⋅= 2 (5.55)

Zbog ovoga u praktičnim primenama težine visinskih razlika trigonometrijskog nivelmana se odreñuju:

2

1D

p H =∆ za obostrano odreñene visinske razlike, (5.56)

221D

p H =∆ za jednostrano odreñene visinske razlike. (5.57)

U mreži državnog premera pri odreñivanju visina trigonometrijskih tačaka, putem trigonometrijskog nivelmana, postignuta je tačnost koja se karakteriše standardnom devijacijom obostrano odreñene visinske razlike strane dužine 1km, u intervalu od

kmcmH / 7.0=∆σ do kmcmH / 5.3=∆σ , a pri odreñivanjima u poligonskoj mreži kmmmH /5=∆σ .

Pri praćenju sleganja objekata i tla putem trigonometrijskog nivelmana ili prilikom povezivanja nivelmanskih mreža preko reka, može se postići visoka tačnost tako da

standardna devijacija odreñivanja visinskih razlika budu manje od 1mm )mm 1(


308

gde su ip težine, a n je broj razlika Hf∆ .

TAČNOST IZ ZATVORENIH POLIGONA

Odstupanje u zatvorenom poligonu se dobija kao suma visinskih razlika u poligonu

∑=

∆=i

i

n

iih Hf

1

.

Eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine odreñuje se po formuli

n

fps

n

ihi

o

i∑=

⋅= 1

2

(5.59)

gde su:

ihf - odstupanja u zatvorenim poligonima;

−ip težina visinskih razlika u i-tom poligonu;

n - broj poligona.

Težina zatvorenog poligona odreñuje se prema

∑= ∆

=i

ii

n

i Hh pp 1

11

odnosno

∑= ∆

=i

i

i n

i H

h

p

p

1

1

1

gde su iH

p∆ težine visinskih razlika izmeñu susednih tačaka, a in je broj visinskih razlika u i tom poligonu. Pri izboru poligona neophodno je voditi računa da oni budu nezavisni. U protivnom treba uzeti u obzir korelaciju koja nastaje zato što poligoni imaju zajedničkih visinskih razlika

nso

fQf 1T −= .


309

TAČNOST IZ ISTINITIH GREŠAKA

Vrednosti visinskih razlika dobijene generalnim nivelmanom smatraju se istinitim vrednostima u odnosu na trigonometrijski nivelman, te razlike

TNGN HH ∆−∆=ε predstavljaju istinite greške, gde je:

GNH∆ visinska razlika dobijena generalnim nivelmanom,

TNH∆ visinska razlika dobijena trigonometrijskim nivelmanom.

Eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine računa se po formuli

n

ps

n

iii

o

∑=

⋅= 1

2ε (5.60)

gde su iε istinite greške.

TAČNOST IZ IZRAVNANJA MREŽE

Nakon izravnanja mreže odreñuju se eksperimentalne standardne devijacije jedinice težine:

• u uslovnom izravnanju mreže

rso

PvvT=

gde je r broj uslovnih jednačina,

• u posrednom izravnanju mreže

unso −

= PvvT

gde je n broj merenih veličina, a u broj nepoznatih parametara.


310

5.3.9. ODREðIVANJE KOEFICIJENTA REFRAKCIJE

Koeficijent refrakcije može se odrediti eksperimentalnim putem. Aktuelnost odreñivanja koeficijenta refrakcije proističe iz nemogućnosti da se odredi njegova egzaktna vrednost i da se ovaj problem reši u konačnom obliku.

Stalna promena atmosferskih uslova (temperature, vlažnosti i pritiska vazduha) izaziva stalnu promenu koeficijenta refrakcije. On je u stvari varijabilna veličina i njegova vrednost nije poznata u trenutku merenja zenitnih odstojanja.

Dosadašnja ispitivanja su pokazala da pri stabilnim atmosferskim uslovima (kada nisu nagle temperaturne promene u sredini dana) i kada je vizura udaljena od zemljine površi koeficijent refrakcije iznosi 0.10 do 0.16. Zato su naša zemlja i mnoge evropske zemlje usvojile za praktičnu primenu da vrednost koeficijenta refrakcije iznosi 0.13.

Meñutim, kada vizura prolazi blizu terena koeficijenat refrakcije stalno menja svoju vrednost i može biti čak i negativan. U tom slučaju je nesigurno odreñivanje koeficijenta refrakcije a samim tim i odreñivanje visinskih razlika putem trigonometrijskog nivelmana.

Koeficijent refrakcije za odreñeno područje može se odrediti na osnovu poznatih

visinskih razlika. Neka je poznata visinska razlika BAH∆ odreñena generalnim nivelmanom i izmeren zenitni ugao Az , visina instrumenta Ai , i visina signala Bl .

Iz (5.24) može se neposredno odrediti koeficijenat refrakcije

∆−+−−∆−=r

HHlizctgDH

D

rk mBAA

BAA '

21 2 . (5.61)

Na isti način, može se odrediti koeficijent refrakcije Bk ako je

poznato: ABB llz i ,

∆−+−−∆−=r

HHlizDctgH

D

rk mABB

ABB '

21 2 . (5.62)

Napomena: Odreñivanje koeficijenta refrakcije na osnovu obostrano opažanih zenitnih uglova videti Geodezija II, II deo (Mihailović, K. 1995.).

Documents

5.3. TRIGONOMETRIJSKI NIVELMAN · • visina objekata (tornjeva, dimnjaka, itd.), • prenošenja apsolutnih visina sa jedne na drugu obalu kod jako širokih reka, • visinskom povezivanju